दो समान गेंदें $A$ और $B$,प्रत्येक का द्रव्यमान $0.1 \ kg$ है,दो समान द्रव्यमान रहित स्प्रिंग से जुड़ी हैं। स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली को चित्र में दिखाए अनुसार एक वृत्त के रूप में मुड़े हुए कठोर चिकने पाइप के अंदर चलने के लिए विवश किया गया है। पाइप एक क्षैतिज तल में स्थिर है। गेंदों के केंद्र $0.06 \ m$ त्रिज्या के वृत्त में चल सकते हैं। प्रत्येक स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई $0.06\pi \ m$ और बल नियतांक $0.1 \ N/m$ है। प्रारंभ में,दोनों गेंदों को वृत्त के व्यास $PQ$ के सापेक्ष $\theta = \pi/6$ रेडियन के कोण से विस्थापित किया जाता है और विरामावस्था से छोड़ा जाता है। गेंद $B$ के दोलन की आवृत्ति है:

चित्रों में दिखाए अनुसार,$l$ लंबाई की एक समान छड़ $OO^{\prime}$ को बिंदु $O$ पर कब्ज़े (hinged) द्वारा जोड़ा गया है और समान स्प्रिंग नियतांक $K$ वाली दो द्रव्यमानहीन स्प्रिंगों का उपयोग करके दो दीवारों के बीच लंबवत रखा गया है। जैसा कि चित्र $1$ में दिखाया गया है,स्प्रिंगें छड़ के मध्य बिंदु और ऊपरी सिरे $(O^{\prime})$ पर जुड़ी हुई हैं,और छड़ को एक छोटे कोणीय विस्थापन द्वारा दोलन कराया जाता है। छड़ के दोलन की आवृत्ति $f_1$ है। दूसरी ओर,यदि दोनों स्प्रिंगें चित्र $2$ में दिखाए अनुसार छड़ के मध्य बिंदु पर जुड़ी हों और छड़ को एक छोटे कोणीय विस्थापन द्वारा दोलन कराया जाता है,तो दोलन की आवृत्ति $f_2$ है। गुरुत्वाकर्षण की उपेक्षा करते हुए और केवल आरेख के तल में गति मानते हुए,$\frac{f_1}{f_2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

फेज स्पेस आरेख सभी प्रकार की गतिशील समस्याओं के विश्लेषण में उपयोगी उपकरण हैं। जब प्रारंभिक स्थिति और संवेग बदलते हैं तो गति में होने वाले परिवर्तनों का अध्ययन करने में ये विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। यहाँ हम एक आयाम में कुछ सरल गतिशील प्रणालियों पर विचार करते हैं। ऐसी प्रणालियों के लिए, फेज स्पेस एक तल है जिसमें स्थिति को क्षैतिज अक्ष पर और संवेग को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर आलेखित किया जाता है। फेज स्पेस आरेख इस तल में $x(t)$ बनाम $p(t)$ वक्र है। वक्र पर तीर समय के प्रवाह को इंगित करता है। उदाहरण के लिए, स्थिर वेग से गति करने वाले कण के लिए फेज स्पेस आरेख चित्र में दिखाए अनुसार एक सीधी रेखा है। हम उस चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हैं जिसमें ऊपर की ओर (या दाईं ओर) स्थिति या संवेग धनात्मक है और नीचे की ओर (या बाईं ओर) ऋणात्मक है।
$1.$ जमीन से ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए फेज स्पेस आरेख कौन सा है?
$2.$ सरल आवर्त गति के लिए फेज स्पेस आरेख मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त है। चित्र में, दो वृत्त एक ही ऑसिलेटर का प्रतिनिधित्व करते हैं लेकिन अलग-अलग प्रारंभिक स्थितियों के लिए, और $E_1$ और $E_2$ क्रमशः कुल यांत्रिक ऊर्जाएं हैं। तो:
$(A) E_1 = \sqrt{2} E_2$
$(B) E_1 = 2 E_2$
$(C) E_1 = 4 E_2$
$(D) E_1 = 16 E_2$
$3.$ पानी में डूबे हुए द्रव्यमान के साथ स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली पर विचार करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इस प्रणाली के एक चक्र के लिए फेज स्पेस आरेख कौन सा है?
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

एक द्रव्यमान $m$,$f = \frac{\omega}{2\pi}$ आवृत्ति और $A$ आयाम के साथ $K$ नियतांक वाली स्प्रिंग पर सरल आवर्त गति करता है। इसलिए:

एक ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल छोटे दोलन कर रहे एक सरल लोलक के आवर्तकाल के समान है। अब, उन दोनों को $a = 5 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे जा रही एक लिफ्ट में रखा जाता है। स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के आवर्तकाल और लोलक के आवर्तकाल का अनुपात क्या होगा? (गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$ मानिए)

दो समान बेलन (प्रत्येक का द्रव्यमान $m$,घनत्व $\rho_0$,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $s$) संतुलन में हैं,जो चित्र में दिखाए अनुसार $\rho_1$ और $\rho_2$ घनत्व वाले तरल पदार्थों से भरे दो पात्रों में आंशिक रूप से डूबे हुए हैं। इस निकाय के संतुलन के इर्द-गिर्द छोटे दोलनों का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए। पात्रों में तरल के स्तर में होने वाले परिवर्तनों की उपेक्षा करें। डोरियों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। गुरुत्वीय त्वरण $g$ है। ($v$ प्रत्येक ब्लॉक का आयतन है)।