Block on Block System, psudo force and Constrained Motion In Friction Questions in Gujarati

(A) બ્લોક અને સ્લેબ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{\text{max}} = \mu N = \mu m_1 g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m_1 = 10 \,kg$ અને $\mu = 0.40$ છે.
$f_{\text{max}} = 0.40 \times 10 \times 10 = 40 \,N$.
આ ઘર્ષણ બળ $40 \,kg$ ના સ્લેબ પર લગાડેલા બળની દિશામાં લાગે છે.
સ્લેબનો પ્રવેગ આ ઘર્ષણ બળને કારણે ઉદ્ભવે છે.
સ્લેબ $(m_2 = 40 \,kg)$ માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$F_{\text{friction}} = m_2 a_{\text{slab}}$
$40 \,N = 40 \,kg \times a_{\text{slab}}$
$a_{\text{slab}} = 1.0 \,m/s^2$.

(B) $1$. ધારો કે બંને બ્લોક એકસાથે સમાન પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરે છે. સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = 4 \,kg + 2 \,kg = 6 \,kg$ છે.
$2$. લાગુ પાડવામાં આવેલ બાહ્ય બળ $F = 30 \,N$ છે. સામાન્ય પ્રવેગ $a = F / M = 30 / 6 = 5 \,m/s^2$ છે.
$3$. જો તેઓ એકસાથે ગતિ કરે છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $2 \,kg$ ના બ્લોક પર જરૂરી ઘર્ષણ બળ $f$ ની ગણતરી કરીએ છીએ: $f = m \cdot a = 2 \,kg \times 5 \,m/s^2 = 10 \,N$.
$4$. બ્લોક્સ વચ્ચેનું સીમાંત ઘર્ષણ $f_L = \mu_s \cdot N = \mu_s \cdot (m \cdot g) = 0.8 \times 2 \times 10 = 16 \,N$ છે.
$5$. કારણ કે જરૂરી ઘર્ષણ બળ $(10 \,N)$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $(16 \,N)$ કરતા ઓછું છે,તેથી બ્લોક્સ $5 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે એકસાથે ગતિ કરશે.

(C) ધારો કે $A$ અને $B$ બ્લોક્સ ધરાવતી સિસ્ટમનો સામાન્ય પ્રવેગ $a$ છે.
કુલ લગાડવામાં આવેલું બળ $F$ છે અને કુલ દળ $(M+m)$ છે.
આખી સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $F = (M+m)a$,જે આપે છે $a = \frac{F}{M+m}$.
હવે,$m$ દળ ધરાવતા બ્લોક $B$ ની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો.
બ્લોક $B$ નીચે ન સરકે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ એ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
તેથી,$f = mg$.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ બ્લોક $A$ દ્વારા બ્લોક $B$ પર લાગતું લંબબળ છે.
લંબબળ $N$ એ બ્લોક $B$ ને પ્રવેગ $a$ પૂરો પાડે છે,તેથી $N = ma$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $N = m \left( \frac{F}{M+m} \right)$.
હવે,ઘર્ષણ બળને વજન સાથે સરખાવતા: $\mu N = mg$.
$\mu \left( m \frac{F}{M+m} \right) = mg$.
$F$ માટે ઉકેલતા: $F = \frac{(M+m)g}{\mu}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે બંને બ્લોક્સ સમાન પ્રવેગ $a$ સાથે ગતિ કરે છે. તંત્રનું કુલ દળ $M = 1 \,kg + 100 \,kg = 101 \,kg$ છે. લાગુ પાડવામાં આવેલ બાહ્ય બળ $F = 10 \,N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = Ma$,તેથી $10 = 101 \times a$,એટલે કે $a = \frac{10}{101} \approx 0.099 \,m/s^2 \approx 0.1 \,m/s^2$.
$1 \,kg$ ના બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ તેને પ્રવેગ પૂરો પાડે છે. તેથી,$f = m \times a = 1 \,kg \times 0.1 \,m/s^2 = 0.1 \,N$.
મહત્તમ સીમાંત ઘર્ષણ $f_L = \mu N = 0.5 \times 1 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 5 \,N$ છે.
અહીં જરૂરી ઘર્ષણ બળ $(0.1 \,N)$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $(5 \,N)$ કરતા ઓછું હોવાથી,બંને બ્લોક્સ સાથે ગતિ કરશે અને $1 \,kg$ ના બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $0.1 \,N$ થશે.

(D) $1$. તંત્રનું કુલ દળ $(A + B) = 2 \, kg + 8 \, kg = 10 \, kg$ છે.
$2$. બ્લોક $B$ અને આડી સપાટી વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_{max} = \mu_s N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $N$ એ સપાટી દ્વારા લાગતું લંબબળ છે.
$3$. લંબબળ $N = (m_A + m_B)g = 10 \, kg \times 10 \, ms^{-2} = 100 \, N$ થાય.
$4$. તેથી, $f_{max} = 0.5 \times 100 \, N = 50 \, N$ મળે.
$5$. બ્લોક $B$ પર લગાડવામાં આવેલું આડું બળ $F_{app} = 10 \, N$ છે.
$6$. અહીં $F_{app} < f_{max}$ $(10 \, N < 50 \, N)$ હોવાથી, આખું તંત્ર સ્થિર રહેશે.
$7$. તંત્ર સ્થિર હોવાથી અને બ્લોક $A$ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી, બ્લોક $A$ અને $B$ વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ શૂન્ય થશે.

(A) બ્લોક $A$ ને બ્લોક $B$ પર સરકાવવા માટે જરૂરી બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = 12 \ N$ છે.
બ્લોક $A$ સરક્યા વિના બ્લોક $B$ સાથે ગતિ કરે તે માટે,તંત્રનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ એ $A$ પર લાગતા મહત્તમ ઘર્ષણ બળ દ્વારા નક્કી થાય છે:
$f_{max} = m_A \cdot a_{max}$
$12 \ N = 4 \ kg \cdot a_{max}$
$a_{max} = 3 \ m \ s^{-2}$
હવે,$A$ અને $B$ બંને બ્લોક સાથે મળીને $a_{max}$ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે તેમ ગણીએ. તંત્રનું કુલ દળ $M = m_A + m_B = 4 \ kg + 6 \ kg = 10 \ kg$ છે.
બ્લોક $B$ પર લગાવી શકાય તેવું મહત્તમ સમક્ષિતિજ બળ $F_B$ નીચે મુજબ છે:
$F_B = M \cdot a_{max}$
$F_B = 10 \ kg \cdot 3 \ m \ s^{-2} = 30 \ N$.

(D) $1$. બ્લોક $A$ અને સ્લેબ $B$ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ ગણો: $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s m_A g = 0.60 \times 10 \times 9.8 = 58 \ N$.
$2$. લાગુ પાડેલ બળ $(100 \ N)$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $(58 \ N)$ કરતા વધારે હોવાથી,બ્લોક $A$ સ્લેબ $B$ પર સરકશે.
$3$. જ્યારે સરકવાની શરૂઆત થાય,ત્યારે સપાટીઓ વચ્ચે ગતિક ઘર્ષણ બળ લાગે છે: $f_k = \mu_k N = \mu_k m_A g = 0.40 \times 10 \times 9.8 = 39.2 \ N$.
$4$. આ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ એ સ્લેબ $B$ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ છે (કારણ કે જમીન ઘર્ષણરહિત છે).
$5$. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ સ્લેબ $B$ માટે: $F_{net} = M_B a_B \Rightarrow f_k = M_B a_B$.
$6$. $39.2 = 30 \times a_B \Rightarrow a_B = \frac{39.2}{30} \approx 1.31 \ m \ s^{-2}$.

(C) આપેલ છે:
બ્લોક $A$ નું દળ,$m_A = 100 \ kg$
બ્લોક $B$ નું દળ,$m_B = 300 \ kg$
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક,$\mu_1 = 0.35$
$B$ અને સપાટી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક,$\mu_2 = 0.5$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 9.8 \ m/s^2$
જ્યારે બ્લોક $B$ ને બળ $P$ વડે ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક $A$ દીવાલ સાથે બાંધેલી દોરીને કારણે સ્થિર રહે છે. તેથી,બંને સપાટીઓ પર ગતિક ઘર્ષણ બળ લાગે છે.
$1$. $A$ અને $B$ વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ $(f_1)$:
$f_1 = \mu_1 N_1 = \mu_1 m_A g$
$f_1 = 0.35 \times 100 \times 9.8 = 343 \ N$
$2$. $B$ અને સપાટી વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ $(f_2)$:
સપાટી પરનું લંબબળ એ બંને બ્લોકના વજન જેટલું હોય છે: $N_2 = (m_A + m_B)g$
$f_2 = \mu_2 N_2 = 0.5 \times (100 + 300) \times 9.8$
$f_2 = 0.5 \times 400 \times 9.8 = 1960 \ N$
$3$. બ્લોક $B$ ને ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી કુલ બળ $P$:
$P = f_1 + f_2$
$P = 343 + 1960 = 2303 \ N$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $2350 \ N$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો જવાબ છે.

(B) $10 \,kg$ અને $40 \,kg$ ના બ્લોક વચ્ચેનું સ્થિત ઘર્ષણ બળ નીચે મુજબ છે:
$F_s = \mu_s R = 0.6 \times (10 \,kg) \times (9.8 \,ms^{-2}) = 58.8 \,N$
અહીં,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $(F = 100 \,N)$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(58.8 \,N)$ કરતા વધારે હોવાથી,$10 \,kg$ નો બ્લોક $40 \,kg$ ના સ્લેબની સાપેક્ષમાં ગતિ કરશે.
આ સાપેક્ષ ગતિને કારણે,$40 \,kg$ ના સ્લેબ પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ:
$f_k = \mu_k R = 0.4 \times (10 \,kg) \times (9.8 \,ms^{-2}) = 39.2 \,N$
આ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ એ $40 \,kg$ ના સ્લેબ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ છે.
તેથી,$40 \,kg$ ના સ્લેબનો પ્રવેગ $a$:
$a = \frac{f_k}{m_{slab}} = \frac{39.2 \,N}{40 \,kg} = 0.98 \,ms^{-2}$

(D) ધારો કે ઉપરના બ્લોકનું દળ $m_1 = 2 \,kg$ અને નીચેના બ્લોકનું દળ $m_2 = 4 \,kg$ છે. બ્લોક્સ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$ છે.
સૌ પ્રથમ,બે બ્લોક વચ્ચેનું સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_L$ શોધીએ:
$f_L = \mu N = \mu m_1 g = 0.5 \times 2 \,kg \times 10 \,ms^{-2} = 10 \,N$.
હવે,$2 \,kg$ ના બ્લોક પર લાગતા બળોનો વિચાર કરીએ. તેના પર $2 \,N$ નું સમક્ષિતિજ બળ લગાડવામાં આવે છે. અહીં લાગુ પાડેલું બળ $(2 \,N)$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $(10 \,N)$ કરતા ઓછું હોવાથી,$2 \,kg$ નો બ્લોક $4 \,kg$ ના બ્લોકની સાપેક્ષમાં સરકશે નહીં.
આ સ્થિર સંતુલન અવસ્થામાં,$2 \,kg$ ના બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ એ તેના પર લાગતા બાહ્ય બળને સંતુલિત કરશે જેથી તે $4 \,kg$ ના બ્લોકની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે.
તેથી,$f = 2 \,N$.

(C) બ્લોક્સ એકસાથે ગતિ કરે છે અને તેમની વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ સરકણ નથી,તેથી ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M+m}$ થાય.
ઉપરના $m$ દળના બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ તેને નીચેના બ્લોક સાથે ગતિ કરવા માટે જરૂરી પ્રવેગ પૂરો પાડે છે. તેથી,$f = ma = m \left( \frac{F}{M+m} \right) = \frac{mF}{M+m}$.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી $t$ સમયમાં બ્લોક્સ દ્વારા કાપેલું અંતર $s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{F}{M+m} \right) t^2$ થાય.
ઉપરના બ્લોક પર ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = f \times s = \left( \frac{mF}{M+m} \right) \times \left( \frac{1}{2} \frac{F t^2}{M+m} \right) = \frac{m F^2 t^2}{2(M+m)^2}$.
નોંધ: નીચેના બ્લોક પર ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં $(-W)$ હોય છે,તેથી તંત્ર પર ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય શૂન્ય છે. પ્રશ્ન બ્લોક્સ પર ઘર્ષણ દ્વારા થયેલા કાર્ય વિશે પૂછે છે (જે ઉપરના બ્લોક માટે છે),જે $\frac{m F^2 t^2}{2(M+m)^2}$ છે.

(B) બંને બ્લોક્સ સાથે ગતિ કરે તે માટે,બ્લોક $m_2$ એ $m_1$ જેટલા જ પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરવી જોઈએ. $m_2$ ને પ્રવેગિત કરતું એકમાત્ર બળ એ $m_1$ અને $m_2$ વચ્ચે લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{\max} = \mu N = \mu m_2 g$ છે.
બ્લોક $m_2$ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$f_{\max} = m_2 a \implies \mu m_2 g = m_2 a \implies a = \mu g$.
હવે,બંને બ્લોક્સના તંત્ર $(m_1 + m_2)$ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F_{\max} = (m_1 + m_2) a$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$F_{\max} = (m_1 + m_2) \mu g = \mu(m_1 + m_2) g$.

(C) સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = 8 \text{ ton} + 2 \text{ ton} = 10 \text{ ton} = 10000 \text{ kg}$.
બ્રેકિંગ બળ $F = 25000 \text{ N}$.
ટ્રકનો પ્રતિપ્રવેગ $a = F / M = 25000 / 10000 = 2.5 \text{ m/s}^2$.
$m = 2000 \text{ kg}$ દળ ધરાવતો બ્લોક ગતિની દિશામાં $F_p = m \times a = 2000 \times 2.5 = 5000 \text{ N}$ જેટલું આભાસી બળ અનુભવે છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu \times m \times g = 0.3 \times 2000 \times 10 = 6000 \text{ N}$ છે.
બ્લોકને સ્થિર રાખવા માટે જરૂરી બળ $(5000 \text{ N})$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(6000 \text{ N})$ કરતા ઓછું હોવાથી, બ્લોક સરકશે નહીં.
તેથી, બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ આભાસી બળ જેટલું જ એટલે કે $5000 \text{ N}$ હશે.

(A) ધારો કે $m_1 = 0.8 \text{ kg}$ અને $m_2 = 0.2 \text{ kg}$. પ્રવેગ $a = 5 \text{ m/s}^2$ છે. ઘર્ષણાંક $\mu = 0.1$ છે.
$0.2 \text{ kg}$ ના બ્લોક માટે, તણાવબળ $T$ તેને ગરગડી તરફ ખેંચે છે, અને $0.8 \text{ kg}$ ના બ્લોક દ્વારા લાગતું ઘર્ષણબળ $f_2$ આ ગતિનો વિરોધ કરે છે. $0.2 \text{ kg}$ ના બ્લોક પરનું લંબબળ $N_2 = m_2 g = 0.2 \times 10 = 2 \text{ N}$ છે.
$m_2$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $T - \mu N_2 = m_2 a \implies T - 0.1 \times 2 = 0.2 \times 5 \implies T - 0.2 = 1.0 \implies T = 1.2 \text{ N}$.
$0.8 \text{ kg}$ ના બ્લોક માટે, લગાડેલું બળ $F$ જમણી તરફ લાગે છે. તણાવબળ $T$ ડાબી તરફ લાગે છે. ટેબલ દ્વારા લાગતું ઘર્ષણબળ $f_1$ અને $0.2 \text{ kg}$ ના બ્લોક દ્વારા લાગતું ઘર્ષણબળ $f_2$ પણ ડાબી તરફ લાગે છે. ટેબલ દ્વારા લાગતું લંબબળ $N_1 = (m_1 + m_2)g = (0.8 + 0.2) \times 10 = 10 \text{ N}$ છે.
$m_1$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $F - T - \mu N_1 - \mu N_2 = m_1 a \implies F - 1.2 - 0.1 \times 10 - 0.1 \times 2 = 0.8 \times 5 \implies F - 1.2 - 1 - 0.2 = 4 \implies F - 2.4 = 4 \implies F = 6.4 \text{ N}$.

(A) ધારો કે $m_A = 3 \ kg$ અને $m_B = 7 \ kg$. લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F = 50 \ N$ એ બ્લોક $B$ પર લાગે છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે તપાસીએ કે સિસ્ટમ ગતિ કરે છે કે નહીં. બ્લોક $B$ અને જમીન વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max, floor} = \mu_{floor} (m_A + m_B) g$ છે.
$f_{max, floor} = 0.55 \times (3 + 7) \times 10 = 0.55 \times 100 = 55 \ N$.
અહીં લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F = 50 \ N$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max, floor} = 55 \ N$ કરતા ઓછું હોવાથી,સિસ્ટમ સ્થિર રહેશે.
બ્લોક $B$ ગતિ કરતું નથી અને બ્લોક $A$ પર તેને બ્લોક $B$ ની સાપેક્ષે સરકાવવા માટે કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી,તેથી સંતુલન જાળવવા માટે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સ્થિત ઘર્ષણ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ $0 \ N$ છે.

(B) ધારો કે $N_{1}$ એ બે બ્લોક્સ વચ્ચેનું લંબબળ છે અને $N_{2}$ એ નીચેના બ્લોક અને ટેબલ વચ્ચેનું લંબબળ છે.
$m_{1}$ દળના ઉપરના બ્લોક માટે,લંબબળ $N_{1} = m_{1}g$ છે.
$m_{2}$ દળના નીચેના બ્લોક માટે,કુલ અધોદિશાનું બળ $N_{2} = m_{2}g + N_{1} = (m_{1} + m_{2})g$ છે.
ઉપરના બ્લોક પર લાગતું આડું બળ $F$ એ નીચેના બ્લોક પર ઘર્ષણ બળ $f_{1}$ ઉત્પન્ન કરે છે,જ્યાં $f_{1} \leq \mu_{1}N_{1} = \mu_{1}m_{1}g$ છે.
નીચેનો બ્લોક ક્યારેય ન ખસે તે માટે,ટેબલ દ્વારા લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ ઉપરના બ્લોક દ્વારા નીચેના બ્લોક પર લાગતા મહત્તમ ઘર્ષણ બળ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
આમ,$\mu_{2}N_{2} \geq \mu_{1}N_{1}$.
કિંમતો મૂકતા,$\mu_{2}(m_{1} + m_{2})g \geq \mu_{1}m_{1}g$.
બંને બાજુ $\mu_{2}m_{1}g$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}} \geq \frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}} \leq 1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}$.
મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય $1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}$ છે.