Instantaneous Velocity and Speed and Velocity-time Graph Questions in Hindi

(C) ग्राफ से:
कार के लिए,वेग $15\,s$ में $0$ से $45\,m/s$ तक समान रूप से बढ़ता है। $15\,s$ में कार द्वारा तय की गई दूरी त्रिभुज $OAC$ के नीचे का क्षेत्रफल है,जो $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 15\,s \times 45\,m/s = 337.5\,m$ है।
स्कूटर के लिए,वेग $30\,m/s$ पर स्थिर है। $15\,s$ में स्कूटर द्वारा तय की गई दूरी $30\,m/s \times 15\,s = 450\,m$ है।
$(i)$ $15\,s$ में तय की गई दूरी के बीच का अंतर $450\,m - 337.5\,m = 112.5\,m$ है।
$(ii)$ $15\,s$ के बाद,कार $45\,m/s$ के स्थिर वेग से चलती है। मान लीजिए कि कार $t$ समय पर स्कूटर को पकड़ लेती है (जहाँ $t > 15\,s$ है)।
$t$ समय पर स्कूटर की दूरी $= 30t$।
$t$ समय पर कार की दूरी $= 337.5 + 45(t - 15)$।
दूरियों को बराबर करने पर: $30t = 337.5 + 45t - 675$।
$15t = 337.5 \Rightarrow t = 22.5\,s$।

(C) दिया गया है कि वस्तु एक स्थिर ऋणात्मक त्वरण के साथ गति कर रही है,इसलिए $a = -C$,जहाँ $C$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
गतिकीय संबंध $a = v \frac{dv}{dx}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v \frac{dv}{dx} = -C$
$v \, dv = -C \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int v \, dv = \int -C \, dx$
$\frac{v^2}{2} = -Cx + k$
$v^2 = -2Cx + 2k$
यह समीकरण $v^2 = -Ax + B$ के रूप का एक परवलय दर्शाता है,जो वेग-दूरी ग्राफ के अनुरूप है जो नीचे की ओर अवतल है,जो धनात्मक वेग से शुरू होता है और दूरी बढ़ने के साथ घटकर शून्य हो जाता है। यह ग्राफ विकल्प $C$ में मेल खाता है।

(A) तात्क्षणिक वेग $v$ को स्थिति-समय ग्राफ की ढाल (slope) द्वारा दर्शाया जाता है,$v = \frac{dx}{dt}$।
चूंकि ग्राफ एक सीधी रेखा है,इसलिए ढाल सभी बिंदुओं पर स्थिर रहती है।
ग्राफ से,बिंदु $A$ पर,विस्थापन $\Delta x = 4\,m$,$\Delta t = 8\,s$ समय में होता है।
अतः,$v_A = \frac{4\,m}{8\,s} = 0.5\,m/s$।
इसी प्रकार,बिंदु $B$ पर,रेखा की ढाल समान रहती है।
अतः,$v_B = 0.5\,m/s$।
इसलिए,$v_A = v_B = 0.5\,m/s$।

(D) किसी भी समय $t$ पर कण की स्थिति $t = 0$ से $t = 5\,s$ तक वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल द्वारा दी जाती है।
$1$. $t = 0$ से $t = 2\,s$ तक,ग्राफ $2\,s$ आधार और $2\,m/s$ ऊंचाई वाला एक त्रिभुज है। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\,m$.
$2$. $t = 2\,s$ से $t = 4\,s$ तक,ग्राफ $2\,s$ चौड़ाई और $2\,m/s$ ऊंचाई वाला एक आयत है। क्षेत्रफल = $2 \times 2 = 4\,m$.
$3$. $t = 4\,s$ से $t = 5\,s$ तक,ग्राफ $1\,s$ चौड़ाई और $3\,m/s$ ऊंचाई वाला एक आयत है। क्षेत्रफल = $1 \times 3 = 3\,m$.
$t = 5\,s$ पर कुल स्थिति = $2 + 4 + 3 = 9\,m$.

(A) पिंड का त्वरण $a$,वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ के ढलान द्वारा दिया जाता है,अर्थात $a = \frac{dv}{dt}$.
दिए गए $v-t$ ग्राफ में,वेग शुरू में समय के साथ रैखिक रूप से घटता है,जिसका अर्थ है कि ढलान स्थिर और ऋणात्मक है। अतः,त्वरण स्थिर और ऋणात्मक है।
न्यूनतम वेग तक पहुँचने के बाद,वेग समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि ढलान स्थिर और धनात्मक है। अतः,त्वरण स्थिर और धनात्मक है।
इसे दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ एक स्थिर ऋणात्मक त्वरण और उसके बाद एक स्थिर धनात्मक त्वरण को दर्शाता है,वह विकल्प $A$ है।

(B) वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ में,समय $t$ के किसी भी क्षण पर,वेग $v$ का केवल एक ही अद्वितीय मान होना चाहिए।
यदि हम ग्राफ पर किसी भी समय $t$ पर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचते हैं,तो इसे वक्र को केवल एक बिंदु पर काटना चाहिए।
विकल्प $(B)$ में,वक्र एक वृत्त है। किसी भी समय $t$ (वृत्त की सीमा के भीतर) पर खींची गई एक ऊर्ध्वाधर रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटेगी,जिसका अर्थ है कि कण का एक ही समय पर दो अलग-अलग वेग हैं,जो एक विमीय गति के लिए भौतिक रूप से असंभव है।
इसलिए,वृत्ताकार ग्राफ एक विमीय गति को प्रदर्शित नहीं करता है।

(C) औसत गति को कुल तय की गई दूरी को कुल लिए गए समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
कुल दूरी = $v-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल।
$v-t$ ग्राफ एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी समानांतर भुजाओं की लंबाई $8t$ और $(t + 8t + t) = 10t$ है,और ऊंचाई $v_{max} = 60\,km/h$ है।
कुल दूरी = $\frac{1}{2} \times (8t + 10t) \times 60 = \frac{1}{2} \times 18t \times 60 = 540t$.
कुल समय = $t + 8t + t = 10t$.
औसत गति = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{540t}{10t} = 54\,km/h$.

(C) वेग-समय ग्राफ में,ढाल त्वरण $(a = dv/dt)$ को दर्शाती है।
बिंदु $B$ पर,ग्राफ की ढाल ऋणात्मक है,जिसका अर्थ है कि त्वरण ऋणात्मक है (मंदन)।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$। चूंकि त्वरण ऋणात्मक है,इसलिए पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल भी ऋणात्मक होना चाहिए।
धनात्मक दिशा में गति कर रहे पिंड पर कार्य करने वाला ऋणात्मक बल यह दर्शाता है कि बल पिंड की गति का विरोध कर रहा है।
अतः,बिंदु $B$ पर,गति का विरोध करने वाला बल कार्य कर रहा है।

(D) वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ दर्शाता है कि पहले अंतराल में वेग $0$ से बढ़कर अधिकतम मान $v$ तक पहुँच जाता है,जो निरंतर धनात्मक त्वरण को इंगित करता है।
निरंतर धनात्मक त्वरण के लिए,विस्थापन-समय $(x-t)$ ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय (parabola) होना चाहिए $(x \propto t^2)$।
दूसरे अंतराल में,वेग स्थिर और ऋणात्मक है,जिसका अर्थ है कि कण एक स्थिर ऋणात्मक वेग के साथ गति करता है।
स्थिर ऋणात्मक वेग के लिए,$x-t$ ग्राफ को ऋणात्मक ढलान वाली एक सीधी रेखा होनी चाहिए।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ परवलयिक वृद्धि और उसके बाद सीधी रेखा में गिरावट दिखाता है,वह विकल्प $D$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) कण द्वारा तय की गई दूरी वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होती है।
$1$. अंतराल $t = 0$ से $t = 1 \, s$ के लिए: क्षेत्रफल एक त्रिभुज है जिसका आधार $= 1 \, s$ और ऊँचाई $= 25 \, m/s$ है।
क्षेत्रफल$_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 25 = 12.5 \, m$.
$2$. अंतराल $t = 1$ से $t = 2 \, s$ के लिए: क्षेत्रफल एक आयत है जिसकी चौड़ाई $= 1 \, s$ और ऊँचाई $= 25 \, m/s$ है।
क्षेत्रफल$_2 = 1 \times 25 = 25 \, m$.
$3$. अंतराल $t = 2$ से $t = 3 \, s$ के लिए: क्षेत्रफल एक समलंब (trapezoid) है जिसकी समानांतर भुजाएँ $25 \, m/s$ और $20 \, m/s$ हैं और ऊँचाई $= 1 \, s$ है।
क्षेत्रफल$_3 = \frac{1}{2} \times (25 + 20) \times 1 = 22.5 \, m$.
$4$. अंतराल $t = 3$ से $t = 4 \, s$ के लिए: क्षेत्रफल एक आयत है जिसकी चौड़ाई $= 1 \, s$ और ऊँचाई $= 20 \, m/s$ है।
क्षेत्रफल$_4 = 1 \times 20 = 20 \, m$.
कुल दूरी $= 12.5 + 25 + 22.5 + 20 = 80 \, m$.

(C) स्याही के धब्बे का क्षेत्रफल फलन $A(t) = 3t^2 + 7$ द्वारा दिया गया है।
क्षेत्रफल के बढ़ने की दर ज्ञात करने के लिए,हमें समय $t$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करना होगा,जो $\frac{dA}{dt}$ है।
अवकलन के घात नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dt}(3t^2 + 7) = 3(2t) + 0 = 6t$ प्राप्त होता है।
अब,हम इस दर का मान $t = 2 \, s$ पर ज्ञात करते हैं:
$\frac{dA}{dt} \Big|_{t=2} = 6(2) = 12 \, cm^2/s$.
अतः,$t = 2 \, s$ पर क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $12 \, cm^2/s$ है।

(D) सही उत्तर $(d)$ है।
$1$. स्थिति-समय $(x-t)$ ग्राफ का ढाल वस्तु का वेग (या चाल) दर्शाता है। अधिक ढाल का अर्थ है अधिक चाल।
$2$. ग्राफ से,लड़के $B$ को दर्शाने वाली रेखा लड़के $A$ को दर्शाने वाली रेखा से अधिक ढाल वाली है,जिसका अर्थ है कि $B$,$A$ की तुलना में तेज चलता है।
$3$. ग्राफ दिखाता है कि $A$ और $B$ की रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। यह प्रतिच्छेदन बिंदु दर्शाता है कि उस विशिष्ट समय पर,दोनों लड़के एक ही स्थिति पर हैं। चूंकि $B$ बाद में शुरू करता है लेकिन $A$ के समान स्थिति तक पहुँच जाता है और आगे बढ़ता है,इसका मतलब है कि $B$,घर जाते समय $A$ को ओवरटेक करता है।
$4$. इसलिए,कथन $(d)$ सत्य है।

(B) दिया गया स्थिति-समय समीकरण: $x = 2t + 1$ है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t + 1) = 2 \, m/s$।
चूंकि वेग $v = 2 \, m/s$ एक नियत मान है जो समय $t$ पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए $v-t$ ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज सीधी रेखा होगी।
$v = 2$ पर स्थित एक क्षैतिज रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर नहीं गुजरती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x = ct^2 + b$ है। यह एक परवलय का समीकरण है।
जब $t = 0$ है,तो $x = b$ है। चूँकि $b$ एक धनात्मक स्थिरांक है,इसलिए ग्राफ को $x$-अक्ष को एक धनात्मक मान $b$ पर काटना चाहिए (अर्थात $y$-अंतःखंड धनात्मक है)।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$x$,$t$ के वर्ग के साथ बढ़ता है। $x-t$ ग्राफ का ढाल $v = \frac{dx}{dt} = 2ct$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $c > 0$ है,वेग $v$ धनात्मक है और समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि ग्राफ ऊपर की ओर अवतल (concave upwards) है।
इसलिए,ग्राफ एक परवलय है जो ऊपर की ओर खुलता है और $x = b$ पर एक धनात्मक $y$-अंतःखंड रखता है।

(C) कण की स्थिति फलन $y(t) = 3t^2 - t^3$ द्वारा दी गई है।
वह समय ज्ञात करने के लिए जिस पर कण अधिकतम धनात्मक स्थिति प्राप्त करता है,हम $y$ का $t$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dy}{dt} = 6t - 3t^2$.
$\frac{dy}{dt} = 0$ रखने पर,$3t(2 - t) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t = 0$ या $t = 2$.
उच्चतम मान की पुष्टि करने के लिए,हम द्वितीय अवकलन ज्ञात करते हैं: $\frac{d^2y}{dt^2} = 6 - 6t$.
$t = 2$ पर,$\frac{d^2y}{dt^2} = 6 - 6(2) = -6$ है। चूंकि द्वितीय अवकलन ऋणात्मक है,इसलिए फलन $t = 2 \ s$ पर अधिकतम स्थिति प्राप्त करता है।

(B) दिए गए वेग-समय ग्राफ से,हम देखते हैं कि वेग $v$ समय $t$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है। इसका अर्थ है कि त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ स्थिर और धनात्मक है,जो दिए गए त्वरण-समय ग्राफ के अनुरूप है।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,और $v$ समय का एक रैखिक फलन है (अर्थात,$v = at + u$),इसलिए स्थिति $x$ समय के सापेक्ष वेग के समाकलन द्वारा प्राप्त होती है:
$x = \int v \, dt = \int (at + u) \, dt = \frac{1}{2}at^2 + ut + x_0$
यह समीकरण एक परवलय को दर्शाता है। चूंकि त्वरण $a$ धनात्मक है,इसलिए स्थिति-समय ग्राफ एक ऐसा परवलय होना चाहिए जो ऊपर की ओर खुलता हो (concave up)।
अतः,सही ग्राफ वह है जो समय के साथ स्थिति में परवलयाकार वृद्धि दर्शाता है।

(D) कण का विस्थापन समीकरण $x = 1 - t - t^2$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम विस्थापन का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - t - t^2) = -1 - 2t$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-1 - 2t) = -2 \, m/s^2$.
चूंकि त्वरण $a = -2 \, m/s^2$ स्थिर और ऋणात्मक है,इसलिए $x-t$ ग्राफ नीचे की ओर खुलने वाला परवलय (parabola) होना चाहिए।
$t = 0$ पर,$x = 1 - 0 - 0^2 = 1 \, m$। अतः,ग्राफ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर $x = 1$ से शुरू होता है।
$t = 0$ पर,वेग $v = -1 - 2(0) = -1 \, m/s$ है। चूंकि वेग ऋणात्मक है,इसलिए $t = 0$ पर ग्राफ का ढाल (slope) ऋणात्मक होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,वह ग्राफ जो $x = 1$ से शुरू होता है,जिसका ढाल ऋणात्मक है और जो नीचे की ओर झुकता है (स्थिर ऋणात्मक त्वरण को दर्शाता है),वह ग्राफ $D$ है।

(C) दिया गया वेग समीकरण: $v(t) = 6t^2 - 6t^3$.
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम समय के सापेक्ष प्रथम अवकलन करते हैं: $\frac{dv}{dt} = 12t - 18t^2$.
$\frac{dv}{dt} = 0$ रखने पर,हमें $6t(2 - 3t) = 0$ प्राप्त होता है,जो $t = 0 \ s$ और $t = 2/3 \ s$ पर क्रांतिक बिंदु देता है।
अब,हम द्वितीय अवकलन ज्ञात करते हैं: $\frac{d^2v}{dt^2} = 12 - 36t$.
$t = 0$ पर: $\frac{d^2v}{dt^2} = 12 - 36(0) = 12 > 0$। चूंकि द्वितीय अवकलन धनात्मक है,$t = 0 \ s$ स्थानीय न्यूनतम मान को दर्शाता है।
$t = 2/3$ पर: $\frac{d^2v}{dt^2} = 12 - 36(2/3) = 12 - 24 = -12 < 0$। चूंकि द्वितीय अवकलन ऋणात्मक है,$t = 2/3 \ s$ स्थानीय अधिकतम मान को दर्शाता है।
$t = 0 \ s$ पर,वेग $v = 6(0)^2 - 6(0)^3 = 0 \ m/s$ है। अतः,न्यूनतम वेग $0 \ m/s$ है।

(C) त्वरण $a$ को समय के सापेक्ष वेग के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे $a = \frac{dv}{dt}$ द्वारा दिया जाता है। यह $v-t$ ग्राफ की ढाल (slope) को दर्शाता है।
$1$. शुरुआत में $(t=0)$,$v-t$ ग्राफ की ढाल शून्य है,इसलिए $a=0$ है।
$2$. जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,ढाल ऋणात्मक हो जाती है और इसका परिमाण बढ़ता है,जो नति परिवर्तन बिंदु (जहाँ वक्र अवतल से उत्तल में बदलता है) पर अधिकतम ऋणात्मक मान तक पहुँचता है।
$3$. जिस बिंदु पर वेग $v$,$t$-अक्ष को काटता है,वहाँ ढाल अपने अधिकतम ऋणात्मक मान पर होती है।
$4$. जैसे-जैसे $t$ बढ़ता रहता है,ढाल ऋणात्मक बनी रहती है लेकिन इसका परिमाण घटता जाता है,और वक्र के सपाट होने पर यह शून्य के करीब पहुँच जाती है।
विकल्पों को देखने पर,वह ग्राफ जो $a=0$ से शुरू होता है,ऋणात्मक हो जाता है,न्यूनतम मान तक पहुँचता है और वापस $0$ की ओर लौटता है,उसे विकल्प $C$ द्वारा दर्शाया गया है।

(B) $v-t$ ग्राफ का ढाल त्वरण या मंदन देता है। दोनों कारों के लिए त्वरण का परिमाण $|a| = \frac{20\,m/s}{4\,s} = 5\,m/s^2$ है।
कार $A$ विरामावस्था से शुरू होती है और त्वरित होती है,इसलिए $t$ समय पर इसका विस्थापन $s_A = \frac{1}{2} \times 5 \times t^2$ है।
कार $B$ $20\,m/s$ के प्रारंभिक वेग से शुरू होती है और मंदन का अनुभव करती है,इसलिए $t$ समय पर इसका विस्थापन $s_B = 20t - \frac{1}{2} \times 5 \times t^2$ है।
कारें एक-दूसरे को तब पार करेंगी जब उनके विस्थापन का योग उनके बीच की प्रारंभिक दूरी के बराबर होगा:
$s_A + s_B = 60$
$\frac{1}{2} \times 5 \times t^2 + (20t - \frac{1}{2} \times 5 \times t^2) = 60$
$20t = 60$
$t = 3\,s$.

(D) कार विराम अवस्था से $1\,m/s^2$ के त्वरण के साथ $20\,m/s$ की अधिकतम गति प्राप्त करती है। त्वरण के लिए लगा समय $t_1 = v/a = 20/1 = 20\,s$ है। इस चरण के दौरान तय की गई दूरी $d_1 = (1/2) \times a \times t_1^2 = (1/2) \times 1 \times 20^2 = 200\,m$ है।
कार $20\,m/s$ से $2\,m/s^2$ के मंदन के साथ विराम अवस्था में आती है। मंदन के लिए लगा समय $t_3 = v/a' = 20/2 = 10\,s$ है। इस चरण के दौरान तय की गई दूरी $d_3 = (1/2) \times a' \times t_3^2 = (1/2) \times 2 \times 10^2 = 100\,m$ है।
कुल दूरी $1\,km = 1000\,m$ है। स्थिर गति पर तय की गई दूरी $d_2 = 1000 - (200 + 100) = 700\,m$ है। स्थिर गति पर लगा समय $t_2 = d_2 / v = 700 / 20 = 35\,s$ है।
कुल लगा समय $T = t_1 + t_2 + t_3 = 20 + 35 + 10 = 65\,s$ है।

(B) गति को वेग-समय ग्राफ द्वारा दर्शाया गया है। वेग-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल कुल तय की गई दूरी देता है।
मान लीजिए $v$ अधिकतम प्राप्त वेग है।
पहले भाग के लिए (त्वरण): दूरी $S = \frac{1}{2} \times t_1 \times v \Rightarrow t_1 = \frac{2S}{v}$।
दूसरे भाग के लिए (समान गति): दूरी $2S = v \times t_2 \Rightarrow t_2 = \frac{2S}{v}$।
तीसरे भाग के लिए (मंदन): दूरी $3S = \frac{1}{2} \times t_3 \times v \Rightarrow t_3 = \frac{6S}{v}$।
कुल दूरी $D = S + 2S + 3S = 6S$।
कुल समय $T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{2S}{v} + \frac{2S}{v} + \frac{6S}{v} = \frac{10S}{v}$।
औसत वेग $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{6S}{10S/v} = 0.6v$।
अतः,अनुपात $\frac{v_{avg}}{v} = 0.6$ है।

(C) ग्राफ से,$t = 0\, s$ पर प्रारंभिक वेग $u = 1\, m/s$ और $t = 1\, s$ पर अंतिम वेग $v = 2\, m/s$ है।
त्वरण $a$,$v-t$ ग्राफ की ढाल है:
$a = \tan(45^{\circ}) = 1\, m/s^2$.
तय की गई दूरी $v-t$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल है,जो एक समलंब चतुर्भुज है:
$s = \text{Area} = \frac{1}{2} \times (u + v) \times t = \frac{1}{2} \times (1 + 2) \times 1 = 1.5\, m$.
औसत चाल इस प्रकार है:
$v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{1.5\, m}{1\, s} = 1.5\, m/s$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) ग्राफ से,सरल रेखा का समीकरण ढाल-अंतःखंड रूप में इस प्रकार है: $\frac{1}{v} = mt + c$.
ढाल $m = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.
$t = 3\,s$ पर,$\frac{1}{v} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
समीकरण $\frac{1}{v} = -t + c$ में $t = 3\,s$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = -3 + c \implies c = 3 + \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,समीकरण $\frac{1}{v} = -t + (3 + \frac{1}{\sqrt{3}})$ है।
$v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v = \frac{1}{(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}) - t}$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ द्वारा प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर: $a = \frac{d}{dt} [(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}) - t]^{-1} = -1 \cdot [-1] \cdot [(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}) - t]^{-2} = \frac{1}{[(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}) - t]^2}$.
$t = 3\,s$ पर,पद $[(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}) - t] = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इसलिए,$a = \frac{1}{(1/\sqrt{3})^2} = \frac{1}{1/3} = 3\,m/s^2$.

(D) गति का समीकरण $v^2 = u^2 + 2ax$ है। ग्राफ से,$v^2$ को $x$ के सापेक्ष आलेखित किया गया है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जिसका ढाल $m = \frac{dv^2}{dx} = 2a$ है।
ग्राफ से,ढाल $m = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इसलिए,$2a = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,त्वरण $a = \frac{1}{2\sqrt{3}}\,m/s^2$ है। चूँकि ढाल स्थिर है,इसलिए $x$ के सभी मानों के लिए त्वरण स्थिर रहता है।

(C) इस गति को वेग-समय ग्राफ द्वारा दर्शाया जा सकता है जो $2T$ आधार और $v_m$ ऊंचाई वाला एक त्रिभुज है।
पहले भाग के लिए ($t=0$ से $t=T$),कार विरामावस्था से $a$ त्वरण के साथ शुरू होती है। प्राप्त अधिकतम वेग $v_m = aT$ है।
तय की गई कुल दूरी $s$ वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर है।
$s = \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2T) \times v_m = T \times v_m$.
$v_m = aT$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $s = T(aT) = aT^2$ प्राप्त होता है।
कुल लगा समय $t_{total} = 2T$ है।
औसत चाल $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{aT^2}{2T} = \frac{aT}{2}$ है।

(B) समय अंतराल $(0, T)$ पर औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है: $v_{avg} = \frac{x(T) - x(0)}{T}$.
औसत वेग के शून्य होने के लिए (अर्थात $v_{avg} = 0$),विस्थापन शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x(T) = x(0)$.
इसका तात्पर्य यह है कि समय $T$ पर कण की स्थिति समय $t = 0$ पर उसकी स्थिति के समान होनी चाहिए।
दिए गए ग्राफों को देखने पर:
ग्राफ $B$ में,वक्र $t = 0$ पर एक निश्चित स्थिति $x(0)$ से शुरू होता है और बाद के किसी समय $T$ पर उसी स्थिति $x(T)$ पर वापस आ जाता है। यह समाधान आकृति में स्पष्ट रूप से दिखाया गया है जहाँ $OA = BT$,जिसका अर्थ है कि अंतराल $(0, T)$ के दौरान विस्थापन शून्य है।
इसलिए,ग्राफ $B$ के लिए औसत वेग शून्य हो सकता है।

(C) दी गई स्थिति फलन: $x(t) = 4t^3 - 3t^2 + 2$।
वेग $v(t)$ समय के सापेक्ष स्थिति का प्रथम अवकलज है: $v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^3 - 3t^2 + 2) = 12t^2 - 6t$।
त्वरण $a(t)$ समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(12t^2 - 6t) = 24t - 6$।
$t = 2 \, s$ पर:
वेग $v(2) = 12(2)^2 - 6(2) = 12(4) - 12 = 48 - 12 = 36 \, ms^{-1}$।
त्वरण $a(2) = 24(2) - 6 = 48 - 6 = 42 \, ms^{-2}$।
अतः,त्वरण $42 \, ms^{-2}$ है और वेग $36 \, ms^{-1}$ है।

(C) एकसमान गति में,वस्तु एक नियत वेग के साथ चलती है। इसका अर्थ है कि किसी भी समय $t$ पर इसके वेग का परिमाण समान रहता है।
चूंकि वेग समय के साथ नहीं बदलता है,इसलिए वेग-समय ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा होती है।
अतः,$Assertion$ सही है।
एकसमान गति में वेग नियत रहता है,न कि समय के वर्ग के रूप में बढ़ता है। इसलिए,$Reason$ गलत है।

(A) $s-t$ ग्राफ का ढाल वेग $(v = ds/dt)$ को दर्शाता है।
$1$. क्षेत्र $M$ के लिए: ढाल धनात्मक है और बढ़ रहा है। अतः,वेग धनात्मक है और बढ़ रहा है,जो $A$ के अनुरूप है।
$2$. क्षेत्र $N$ के लिए: ढाल धनात्मक है और घट रहा है। अतः,वेग धनात्मक है और घट रहा है,जो $R$ के अनुरूप है।
$3$. क्षेत्र $P$ के लिए: ढाल ऋणात्मक है और घट रहा है (अधिक ऋणात्मक हो रहा है)। अतः,वेग ऋणात्मक है और घट रहा है,जो $R^{-1}$ के अनुरूप है।
$4$. क्षेत्र $Q$ के लिए: ढाल ऋणात्मक है और बढ़ रहा है (शून्य के करीब पहुंच रहा है)। अतः,वेग ऋणात्मक है और बढ़ रहा है,जो $A^{-1}$ के अनुरूप है।
अतः,सही मिलान है: $(A \rightarrow r, B \rightarrow s, C \rightarrow q, D \rightarrow p)$.

(C) वेग $v$,स्थिति $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन है।
दिया गया है $x = a + b t^{2}$.
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a + b t^{2}) = 0 + 2bt = 2bt$.
दिए गए मान $b = 2.5 \; m s^{-2}$ को रखने पर:
$v = 2 \times 2.5 \times t = 5.0 t \; m s^{-1}$.
$t = 0 \; s$ पर,$v = 5.0 \times 0 = 0 \; m s^{-1}$.
$t = 2.0 \; s$ पर,$v = 5.0 \times 2.0 = 10 \; m s^{-1}$.

(A-D) चूंकि $OP < OQ$ है,इसलिए $A$,$B$ की तुलना में स्कूल के करीब रहता है।
$(b)$ $x=0$ के लिए,$A$ के लिए $t=0$ है,जबकि $B$ के लिए $t$ का एक निश्चित धनात्मक मान है। इसलिए,$A$,$B$ की तुलना में स्कूल से जल्दी निकलता है।
$(c)$ चूंकि एकसमान गति के मामले में वेग $x-t$ ग्राफ के ढलान के बराबर होता है और $B$ के लिए $x-t$ ग्राफ का ढलान $A$ की तुलना में अधिक है,इसलिए $B$,$A$ की तुलना में तेज चलता है।
$(d)$ दिए गए ग्राफ से यह स्पष्ट है कि $A$ और $B$ दोनों अपने-अपने घर समान समय पर पहुँचते हैं।
$(e)$ $B$,$A$ के बाद चलना शुरू करता है और उसकी गति $A$ से अधिक है। ग्राफ से यह स्पष्ट है कि $B$ सड़क पर $A$ को केवल एक बार ओवरटेक करता है।

(N/A) $1$. कार्यालय पहुँचने में लगा समय:
महिला की गति $= 5\; km\; h^{-1}$।
उसके कार्यालय और घर के बीच की दूरी $= 2.5\; km$।
लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{2.5}{5} = 0.5\; h = 30\; min$।
अतः, वह सुबह $9.30$ बजे कार्यालय पहुँचती है।
$2$. कार्यालय में बिताया गया समय:
वह सुबह $9.30$ बजे से शाम $5.00$ बजे तक कार्यालय में रहती है।
$3$. घर लौटने में लगा समय:
ऑटो की गति $= 25\; km\; h^{-1}$।
दूरी $= 2.5\; km$।
लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{2.5}{25} = 0.1\; h = 6\; min$।
वह शाम $5.06$ बजे घर पहुँचती है।
$x-t$ ग्राफ $y$-अक्ष पर स्थिति $x$ ($km$ में) और $x$-अक्ष पर समय $t$ को दर्शाता है। ग्राफ $(9.00, 0)$ से $(9.30, 2.5)$ तक एक सीधी रेखा, $(9.30, 2.5)$ से $(5.00, 2.5)$ तक एक क्षैतिज रेखा, और $(5.00, 2.5)$ से $(5.06, 0)$ तक एक सीधी रेखा है।

(N/A) तात्क्षणिक वेग को औसत वेग की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है जब समय अंतराल $\Delta t$ शून्य की ओर अग्रसर होता है,जिसे $v = \frac{dx}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
इस अत्यंत सूक्ष्म समय अंतराल $dt$ में,कण द्वारा तय की गई पथ की लंबाई उसके विस्थापन के परिमाण के बराबर होती है क्योंकि कण के पास अपनी गति की दिशा बदलने के लिए पर्याप्त समय नहीं होता है।
चूंकि तात्क्षणिक चाल दूरी के परिवर्तन की दर का परिमाण है और तात्क्षणिक वेग विस्थापन के परिवर्तन की दर है,और एक अत्यंत सूक्ष्म अंतराल के लिए $dx = |dx|$ होता है,इसलिए तात्क्षणिक चाल हमेशा तात्क्षणिक वेग के परिमाण के बराबर होती है।

(N/A) दिया गया $x-t$ ग्राफ निम्नलिखित गति को दर्शाता है:
$1$. प्रारंभ में,वस्तु एक ऋणात्मक स्थिति पर स्थिर है।
$2$. फिर वस्तु एक स्थिर धनात्मक वेग के साथ गति करती है और बिंदु $A$ पर अधिकतम धनात्मक विस्थापन प्राप्त करती है।
$3$. बिंदु $A$ पर,वस्तु अपनी दिशा बदल लेती है और एक स्थिर ऋणात्मक वेग के साथ गति करती है,मूल बिंदु से होकर गुजरती है।
$4$. अंत में,वस्तु एक ऋणात्मक स्थिति पर आकर रुक जाती है।
इस ग्राफ के लिए एक उपयुक्त भौतिक स्थिति यह है कि जमीन के स्तर से नीचे के किसी बिंदु (जैसे एक गड्ढे) से ऊपर की ओर फेंकी गई एक गेंद,जो बिंदु $A$ पर छत से टकराती है,वापस लौटती है,शुरुआती स्तर को पार करती है और अंततः जमीन पर आकर रुक जाती है।

(N/A) $1$. औसत चाल $x-t$ आलेख के ढाल (slope) के परिमाण द्वारा निर्धारित की जाती है। ढाल $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि समय अंतराल $\Delta t$ समान हैं,जिस अंतराल में ढाल सबसे तीव्र (अधिकतम परिमाण) है,वहां औसत चाल सबसे अधिक है,और जिस अंतराल में ढाल सबसे कम (न्यूनतम परिमाण) है,वहां औसत चाल सबसे कम है।
$2$. आलेख का अवलोकन करने पर:
- अंतराल $1$ में,ढाल धनात्मक और मध्यम है।
- अंतराल $2$ में,ढाल धनात्मक और बहुत छोटा है (आलेख लगभग समतल है)।
- अंतराल $3$ में,ढाल ऋणात्मक और बहुत तीव्र है।
$3$. ढाल के परिमाणों की तुलना करने पर: ढाल का परिमाण अंतराल $3$ में सबसे अधिक और अंतराल $2$ में सबसे कम है।
$4$. इसलिए,औसत चाल अंतराल $3$ में सबसे अधिक और अंतराल $2$ में सबसे कम है।
$5$. औसत वेग का चिह्न ढाल के चिह्न के अनुरूप होता है:
- अंतराल $1$: धनात्मक ढाल,इसलिए औसत वेग धनात्मक है।
- अंतराल $2$: धनात्मक ढाल,इसलिए औसत वेग धनात्मक है।
- अंतराल $3$: ऋणात्मक ढाल,इसलिए औसत वेग ऋणात्मक है।

(N/A) $1$. औसत त्वरण अंतराल $2$ में सबसे अधिक है।
$2$. औसत चाल अंतराल $3$ में सबसे अधिक है।
$3$. $v$ अंतराल $1, 2,$ और $3$ में धनात्मक है। $a$ अंतराल $1$ में धनात्मक,अंतराल $2$ में ऋणात्मक और अंतराल $3$ में शून्य है।
$4$. बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ पर त्वरण शून्य है।
विस्तृत व्याख्या:
- त्वरण चाल-समय ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है। चूंकि अंतराल $2$ में ग्राफ का ढाल सबसे अधिक है,इसलिए औसत त्वरण इस अंतराल में सबसे अधिक है।
- औसत चाल समय-अक्ष से वक्र की औसत ऊँचाई द्वारा दर्शाई जाती है। यह स्पष्ट है कि अंतराल $3$ में औसत ऊँचाई सबसे अधिक है। अतः,कण की औसत चाल अंतराल $3$ में सबसे अधिक है।
- अंतराल $1$ में: चाल-समय ग्राफ का ढाल धनात्मक है,इसलिए त्वरण $a$ धनात्मक है। चाल $v$ धनात्मक है।
- अंतराल $2$ में: चाल-समय ग्राफ का ढाल ऋणात्मक है,इसलिए त्वरण $a$ ऋणात्मक है। चाल $v$ धनात्मक है।
- अंतराल $3$ में: चाल-समय ग्राफ क्षैतिज है (ढाल शून्य है),इसलिए त्वरण $a$ शून्य है। चाल $v$ धनात्मक है।
- बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ पर,वक्र की स्पर्शरेखा समय-अक्ष के समानांतर है,जिसका अर्थ है कि ढाल शून्य है। इसलिए,इन बिंदुओं पर त्वरण शून्य है।

(B) चाल-समय ग्राफ में कण द्वारा तय की गई दूरी वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
यह ग्राफ एक त्रिभुज है जिसका आधार $b = 10\; s$ और ऊँचाई $h = 12\; m/s$ है।
दूरी $= \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
दूरी $= \frac{1}{2} \times 10\; s \times 12\; m/s = 60\; m$.

(C) कण द्वारा तय की गई दूरी चाल-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होती है।
समयांतराल $t=2\;s$ से $t=5\;s$ के लिए:
चाल $v$,$v = at$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $t=5\;s$ पर $v=12\;m/s$ है,इसलिए त्वरण $a_1 = 12/5 = 2.4\;m/s^2$ है।
$t=2\;s$ पर,$v_2 = 2.4 \times 2 = 4.8\;m/s$.
$t=5\;s$ पर,$v_5 = 12\;m/s$.
दूरी $s_1$,$t=2$ से $t=5$ तक के समलंब (trapezoid) का क्षेत्रफल है:
$s_1 = \frac{1}{2} \times (v_2 + v_5) \times (5-2) = \frac{1}{2} \times (4.8 + 12) \times 3 = \frac{1}{2} \times 16.8 \times 3 = 25.2\;m$.
समयांतराल $t=5\;s$ से $t=6\;s$ के लिए:
त्वरण $a_2$,$t=5$ से $t=10$ तक की रेखा का ढाल है,जो $a_2 = (0-12)/(10-5) = -2.4\;m/s^2$ है।
$t=6\;s$ पर,चाल $v_6 = v_5 + a_2 \times (6-5) = 12 + (-2.4) \times 1 = 9.6\;m/s$.
दूरी $s_2$,$t=5$ से $t=6$ तक के समलंब का क्षेत्रफल है:
$s_2 = \frac{1}{2} \times (v_5 + v_6) \times (6-5) = \frac{1}{2} \times (12 + 9.6) \times 1 = \frac{1}{2} \times 21.6 = 10.8\;m$.
कुल दूरी $s = s_1 + s_2 = 25.2 + 10.8 = 36\;m$.

(C, D, F) कण की गति का वर्णन करने वाले सही सूत्र $(c)$,$(d)$ और $(f)$ हैं।
$1$. दिया गया वेग-समय ग्राफ अरैखिक है,जिसका अर्थ है कि त्वरण $a$ स्थिर नहीं है। इसलिए,स्थिर त्वरण के लिए गति के समीकरण,जैसे $x(t_2) = x(t_1) + v(t_1)(t_2 - t_1) + (1/2)a(t_2 - t_1)^2$ और $v(t_2) = v(t_1) + a(t_2 - t_1)$,लागू नहीं होते हैं। यह $(a)$ और $(b)$ को गलत बनाता है।
$2$. औसत वेग की परिभाषा कुल विस्थापन को कुल समय अंतराल से विभाजित करना है,जो $v_{\text{average}} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$ है। अतः,$(c)$ सही है।
$3$. औसत त्वरण की परिभाषा वेग में परिवर्तन को समय अंतराल से विभाजित करना है,जो $a_{\text{average}} = \frac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2 - t_1}$ है। अतः,$(d)$ सही है।
$4$. $(e)$ में दिया गया समीकरण गलत है क्योंकि यह औसत मानों का उपयोग करके स्थिर त्वरण गति के समीकरण जैसा रूप बनाने का प्रयास करता है,जो असमान गति के लिए मान्य नहीं है।
$5$. एक विमीय गति में कण का विस्थापन हमेशा दिए गए समय अंतराल के बीच वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है। अतः,$(f)$ सही है।

(A) अंतराल $(a)$ $t = 0\; s$ से $10\; s$ के लिए:
दूरी = चाल-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 10\; s \times 12\; m/s = 60\; m$.
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{60\; m}{10\; s} = 6\; m/s$.
अंतराल $(b)$ $t = 2\; s$ से $6\; s$ के लिए:
चाल $v(t)$,$0 \le t \le 5$ के लिए $v(t) = 2.4t$ और $5 < t \le 10$ के लिए $v(t) = 12 - 2.4(t-5)$ द्वारा दी जाती है।
$t = 2\; s$ पर,$v(2) = 2.4 \times 2 = 4.8\; m/s$.
$t = 5\; s$ पर,$v(5) = 12\; m/s$.
$t = 6\; s$ पर,$v(6) = 12 - 2.4(6-5) = 9.6\; m/s$.
$t = 2\; s$ से $5\; s$ तक की दूरी = समलंब का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (4.8 + 12) \times (5 - 2) = \frac{1}{2} \times 16.8 \times 3 = 25.2\; m$.
$t = 5\; s$ से $6\; s$ तक की दूरी = समलंब का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (12 + 9.6) \times (6 - 5) = \frac{1}{2} \times 21.6 \times 1 = 10.8\; m$.
कुल दूरी = $25.2 + 10.8 = 36\; m$.
औसत चाल = $\frac{36\; m}{6\; s - 2\; s} = \frac{36}{4} = 9\; m/s$.

(N/A) किसी वस्तु की गति को स्थिति-समय $(x-t)$ ग्राफ द्वारा दर्शाया जा सकता है।
$(i)$ जब कोई वस्तु विराम अवस्था में होती है,तो उसकी स्थिति $x$ समय के साथ नहीं बदलती है। ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा होती है।
$(ii)$ जब कोई वस्तु धनात्मक दिशा में एकसमान वेग से गति करती है,तो स्थिति $x$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है। ग्राफ एक धनात्मक ढाल वाली सीधी रेखा होती है।
$(iii)$ जब कोई वस्तु ऋणात्मक दिशा में एकसमान वेग से गति करती है,तो स्थिति $x$ समय के साथ रैखिक रूप से घटती है। ग्राफ एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा होती है।
$(iv)$ जब कोई वस्तु असमान गति करती है,तो उसका वेग समय के साथ बदलता रहता है। ग्राफ एक वक्र होता है,जो यह दर्शाता है कि ढाल (वेग) स्थिर नहीं है।

(N/A) ग्राफ $(a)$ में,समय $t$ के सापेक्ष स्थिति $x$ बढ़ती है,जिसका अर्थ है कि ग्राफ का ढाल धनात्मक है। चूँकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$ $x-t$ ग्राफ का ढाल होता है,इसलिए वेग धनात्मक है।
ग्राफ $(b)$ में,समय $t$ के सापेक्ष स्थिति $x$ घटती है,जिसका अर्थ है कि ग्राफ का ढाल ऋणात्मक है। इसलिए,वेग ऋणात्मक है।
ग्राफ $(c)$ में,समय $t$ के सापेक्ष स्थिति $x$ स्थिर रहती है,जिसका अर्थ है कि ग्राफ का ढाल शून्य है। इसलिए,वेग शून्य है।

(N/A) औसत वेग हमें बताता है कि कोई वस्तु एक निश्चित समयांतराल में कितनी तेजी से चल रही है,लेकिन यह नहीं बताता कि उस अंतराल के दौरान अलग-अलग क्षणों पर वह कितनी तेजी से चलती है। इसके लिए,हम तात्क्षणिक वेग को परिभाषित करते हैं।
किसी क्षण पर वेग को औसत वेग की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है जब समयांतराल $\Delta t$ अत्यंत सूक्ष्म हो जाता है।
दूसरे शब्दों में,
$v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$
$v = \frac{dx}{dt} = \dot{x}$
कलन (calculus) की भाषा में,यह $t$ के सापेक्ष $x$ का अवकल गुणांक है और इसे $\frac{dx}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
हम किसी क्षण पर वेग का मान ग्राफ़ीय या संख्यात्मक रूप से प्राप्त कर सकते हैं।
$(1)$ ग्राफ़ीय विधि:
मान लीजिए कि दिया गया $x-t$ ग्राफ एक कार की असमान गति के लिए है और हम $t = 4 \ s$ पर वेग का मान ग्राफ़ीय रूप से प्राप्त करना चाहते हैं।
जैसे-जैसे हम $t = 4 \ s$ के आसपास छोटे समयांतराल $\Delta t_1, \Delta t_2, \Delta t_3, \dots$ लेते हैं,संगत विस्थापन $\Delta x_1, \Delta x_2, \Delta x_3, \dots$ प्राप्त होते हैं। वक्र पर बिंदुओं को जोड़ने वाली छेदक रेखा (secant line) का ढाल $t = 4 \ s$ पर स्पर्श रेखा (tangent line) के ढाल के करीब पहुंच जाता है। $t = 4 \ s$ पर तात्क्षणिक वेग उस बिंदु पर $x-t$ ग्राफ की स्पर्श रेखा के ढाल के बराबर होता है।

(B) औसत वेग एक निश्चित समय अंतराल में वस्तु की गति के बारे में जानकारी प्रदान करता है,लेकिन यह हमें यह नहीं बताता है कि उस अंतराल के भीतर किसी विशिष्ट क्षण पर वस्तु कैसे गति कर रही है।
कई वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में,वस्तु का वेग लगातार बदलता रहता है।
किसी सटीक क्षण पर गति की स्थिति को समझने के लिए,हम तात्क्षणिक वेग को परिभाषित करते हैं।
इसे औसत वेग की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है जब समय अंतराल $\Delta t$ शून्य के करीब पहुंचता है: $v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$.
इसलिए,इसका उपयोग समय के किसी विशिष्ट क्षण पर वस्तु की गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

(N/A) औसत वेग हमें यह बताता है कि कोई वस्तु एक निश्चित समयांतराल में कितनी तेजी से गति कर रही है,लेकिन यह उस अंतराल के दौरान समय के विभिन्न क्षणों पर वस्तु की गति के बारे में नहीं बताता है। इसके लिए,हम तात्क्षणिक वेग को परिभाषित करते हैं। तात्क्षणिक वेग का अर्थ है समय के किसी विशेष क्षण पर वस्तु का वेग। गणितीय रूप से,इसे औसत वेग की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है जब समयांतराल $\Delta t$ शून्य की ओर अग्रसर होता है: $v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$.

(N/A) $x-t$ (स्थिति-समय) ग्राफ से किसी विशिष्ट समय $t$ पर तात्क्षणिक वेग ज्ञात करने के लिए:
$1$. वक्र पर बिंदु $P$ की पहचान करें जो उस समय $t$ के अनुरूप हो जिस पर तात्क्षणिक वेग की आवश्यकता है।
$2$. बिंदु $P$ पर वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा (tangent) खींचें।
$3$. इस स्पर्शरेखा का ढाल (slope) उस समय $t$ पर तात्क्षणिक वेग प्रदान करता है।
$4$. गणितीय रूप से,ढाल की गणना $v = \frac{dx}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$ के रूप में की जाती है।
$5$. जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है,$t=4 \ s$ के आसपास छोटे से छोटे समय अंतराल $\Delta t$ लेकर,छेदक रेखाएं (जैसे $P_1P_2$,$Q_1Q_2$,$T_1T_2$) बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा के करीब पहुंचती हैं,और उनका ढाल $t=4 \ s$ पर तात्क्षणिक वेग के मान के करीब पहुंच जाता है।

(A) भौतिकी में,डॉट नोटेशन (न्यूटन का नोटेशन) का उपयोग किसी चर के समय के सापेक्ष अवकलज (time derivative) को दर्शाने के लिए किया जाता है।
यदि $x$ किसी वस्तु की स्थिति को दर्शाता है,तो $\dot x$ को $\frac{dx}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि समय के सापेक्ष स्थिति में परिवर्तन की दर को वेग के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $\dot x$ वस्तु के तात्क्षणिक वेग को दर्शाता है।

(N/A) मान लीजिए कि एक वस्तु नियत वेग $u$ से गति कर रही है। इसका वेग-समय ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
$t=0$ और $t=T$ के बीच $v-t$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल $u$ ऊँचाई और $T$ आधार वाले आयत का क्षेत्रफल है।
इसलिए,क्षेत्रफल $= u \times T = uT$ है,जो इस समयांतराल में वस्तु का विस्थापन दर्शाता है।
$t$-अक्ष के ऊपर घिरा क्षेत्रफल धनात्मक माना जाता है,जबकि $t$-अक्ष के नीचे घिरा क्षेत्रफल ऋणात्मक माना जाता है।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यद्यपि सैद्धांतिक $x-t$,$v-t$ और $a-t$ ग्राफ में कभी-कभी तीखे मोड़ (kinks) दिखाई देते हैं,लेकिन किसी भी वास्तविक भौतिक स्थिति में,ये फलन सभी बिंदुओं पर अवकलनीय होते हैं और ग्राफ सुचारू होते हैं। इसका अर्थ यह है कि त्वरण और वेग के मान किसी क्षण पर अचानक नहीं बदल सकते; परिवर्तन हमेशा निरंतर होते हैं।

(A) शून्य त्वरण $(a = 0)$ के साथ गति कर रही वस्तु के लिए,वस्तु का वेग $(v)$ स्थिर रहता है।
गति के समीकरण $x = x_0 + vt$ के अनुसार,जहाँ $x$ स्थिति है,$x_0$ प्रारंभिक स्थिति है,$v$ स्थिर वेग है और $t$ समय है।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जो एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
इसलिए,शून्य त्वरण के लिए $x-t$ ग्राफ एक स्थिर ढाल वाली सीधी रेखा होती है,जहाँ रेखा का ढाल वस्तु के स्थिर वेग को दर्शाता है।