Instantaneous Velocity and Speed and Velocity-time Graph Questions in Hindi

(D) कण का तात्क्षणिक वेग दूरी-समय ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है,जो $v = \frac{ds}{dt}$ है।
दूरी-समय ग्राफ में,ढाल को किसी भी बिंदु पर वक्र की तीव्रता (steepness) द्वारा दर्शाया जाता है।
चित्र का अवलोकन करने पर,बिंदु $C$ पर वक्र सबसे अधिक तीव्र है,जिसका अर्थ है कि इस बिंदु पर ढाल अधिकतम है।
इसलिए,बिंदु $C$ के आसपास तात्क्षणिक वेग अधिकतम है।

(A) कण का वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{dx}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया विस्थापन संबंध: $x = \frac{k}{b}\,[1 - {e^{ - bt}}]$।
$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v = \frac{d}{dt} \left[ \frac{k}{b} (1 - e^{-bt}) \right]$
$v = \frac{k}{b} \left[ \frac{d}{dt}(1) - \frac{d}{dt}(e^{-bt}) \right]$
चूंकि अचर का अवकलन $0$ होता है और $\frac{d}{dt}(e^{-bt}) = -b e^{-bt}$:
$v = \frac{k}{b} [0 - (-b) e^{-bt}]$
$v = \frac{k}{b} [b e^{-bt}]$
$v = k e^{-bt}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) पक्षी का वेग $v(t) = |t - 2| \, m/s$ द्वारा दिया गया है।
$4 \, s$ में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $t = 0$ से $t = 4 \, s$ तक समय के सापेक्ष गति का समाकलन करते हैं:
$S = \int_{0}^{4} |t - 2| \, dt$
हम $t = 2$ पर समाकलन को विभाजित कर सकते हैं क्योंकि निरपेक्ष मान के अंदर का व्यंजक चिह्न बदलता है:
$S = \int_{0}^{2} -(t - 2) \, dt + \int_{2}^{4} (t - 2) \, dt$
$S = \int_{0}^{2} (2 - t) \, dt + \int_{2}^{4} (t - 2) \, dt$
$S = [2t - \frac{t^2}{2}]_{0}^{2} + [\frac{t^2}{2} - 2t]_{2}^{4}$
$S = (4 - 2) - (0) + [(8 - 8) - (2 - 4)]$
$S = 2 + [0 - (-2)] = 2 + 2 = 4 \, m$.
वैकल्पिक रूप से,दूरी वेग-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल है,जिसमें दो समकोण त्रिभुज होते हैं,जिनमें से प्रत्येक का आधार $2 \, s$ और ऊँचाई $2 \, m/s$ है।
$S = 2 \times (\frac{1}{2} \times 2 \times 2) = 4 \, m$.

(C) स्थिति-समय ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होकर नीचे की ओर जाने वाला एक ज्या वक्र है,जिसे समीकरण $x(t) = -A \sin(\omega t)$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।
वेग को समय के सापेक्ष स्थिति में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,$v(t) = \frac{dx}{dt}$।
स्थिति फलन का अवकलन करने पर: $v(t) = \frac{d}{dt} [-A \sin(\omega t)] = -A \omega \cos(\omega t)$।
$t = 0$ पर,वेग $v(0) = -A \omega \cos(0) = -A \omega$ है,जो कि ऋणात्मक है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,जो ग्राफ एक ऋणात्मक कोज्या (cosine) फलन को दर्शाता है ($t=0$ पर ऋणात्मक मान से शुरू होता है),वह विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया ग्राफ ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है,जो $a = -k v + c$ संबंध को दर्शाता है। चूंकि कण विराम अवस्था से शुरू होता है ($t=0$ पर $v=0$),इसलिए अंतःखंड $c$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $a = a_0 - k v$.
$a = \frac{d v}{d t}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{d v}{d t} = a_0 - k v$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{d v}{a_0 - k v} = d t$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$-\frac{1}{k} \ln(a_0 - k v) = t + C$.
$t=0, v=0$ के लिए,$C = -\frac{1}{k} \ln(a_0)$.
इससे $\ln\left(\frac{a_0 - k v}{a_0}\right) = -k t$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $v(t) = \frac{a_0}{k}(1 - e^{-k t})$ मिलता है।
यह समीकरण एक ऐसे वक्र को दर्शाता है जो मूल बिंदु से शुरू होता है और अनंत पर एक स्थिर अंतिम वेग की ओर जाता है। यह अंतिम विकल्प में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।

(A) जब कोई पिंड गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत विरामावस्था से नीचे गिरता है,तो उसका वेग नीचे की दिशा में (ऋणात्मक लिया जाता है) बढ़ता है। जैसे ही यह ठोस सतह से टकराता है,यह ऊपर की दिशा में (धनात्मक लिया जाता है) एक निश्चित वेग के साथ वापस उछलता है। उछलने के बाद,पिंड गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध ऊपर की ओर गति करता है,इसलिए उसका वेग तब तक रैखिक रूप से घटता है जब तक कि वह अधिकतम ऊंचाई पर शून्य न हो जाए। यह गति एक ऐसे ग्राफ द्वारा दर्शाई जाती है जहाँ वेग शून्य से शुरू होता है,अधिक ऋणात्मक होता जाता है,फिर अचानक एक धनात्मक मान पर कूदता है,और अंत में रैखिक रूप से घटकर शून्य हो जाता है।

(D) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F = m \cdot a$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ त्वरण है।
त्वरण को समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है: $a = \frac{dv}{dt}$.
दिए गए वेग $v = \ln x$ के लिए,हम त्वरण को स्थिति $x$ के पदों में व्यक्त करने के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dx}(\ln x) \cdot v$.
चूँकि $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ और $v = \ln x$,इसलिए:
$a = \frac{1}{x} \cdot \ln x = \frac{\ln x}{x}$.
कुल बल तब शून्य होता है जब $F = m \cdot a = 0$ हो। चूँकि $m \neq 0$,इसलिए $a = 0$ होना चाहिए:
$\frac{\ln x}{x} = 0$.
इसका अर्थ है $\ln x = 0$,जिससे हमें $x = e^0 = 1 \, m$ प्राप्त होता है।
अतः,पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $x = 1 \, m$ पर शून्य है।

(B) $x-t$ ग्राफ नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय (parabola) है,जिसे समीकरण $x = at - bt^2$ द्वारा दर्शाया जा सकता है,जहाँ $a$ और $b$ धनात्मक स्थिरांक हैं।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष स्थिति $x$ का अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at - bt^2) = a - 2bt$.
यह समीकरण $v = a - 2bt$ एक ऋणात्मक ढलान $(-2b)$ और धनात्मक अंतःखंड $(a)$ वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$t = 0$ पर,$v = a$ (धनात्मक)।
$t = T$ पर,$x-t$ ग्राफ की ढलान शून्य है,इसलिए $v = 0$। इससे $a - 2bT = 0$ प्राप्त होता है,या $a = 2bT$।
$t = 2T$ पर,$v = a - 2b(2T) = a - 4bT = 2bT - 4bT = -2bT = -a$ (ऋणात्मक)।
इस प्रकार,वेग एक धनात्मक मान से घटकर $t = T$ पर शून्य हो जाता है और फिर ऋणात्मक हो जाता है,जो $t = 2T$ पर $-a$ तक पहुँच जाता है। यह विकल्प $B$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) दिया गया $x-t$ ग्राफ एक परवलय (parabola) है। $0 < t < T$ के लिए,ग्राफ नीचे की ओर अवतल (concave downwards) है,जिसका अर्थ है कि त्वरण नियत और ऋणात्मक है। $T < t < 2T$ के लिए भी,ग्राफ नीचे की ओर अवतल है,जो पूरी गति के दौरान एक नियत ऋणात्मक त्वरण का संकेत देता है। $x-t$ ग्राफ का ढाल वेग $(v = dx/dt)$ को दर्शाता है। $0 < t < T$ के लिए ढाल धनात्मक है और घट रहा है,और $T < t < 2T$ के लिए ढाल ऋणात्मक है और घट रहा है। वेग में परिवर्तन की दर (त्वरण) दोनों अंतरालों में नियत और ऋणात्मक है। दिए गए विकल्पों में से,वह ग्राफ जो पूरी गति के दौरान एक नियत ऋणात्मक त्वरण को दर्शाता है,सही उत्तर है।

(D) दिया गया $x-t$ ग्राफ एक परवलय है,जो निरंतर त्वरण के साथ गति को दर्शाता है।
$0 < t < T$ के लिए,कण धनात्मक दिशा में गति करता है,इसलिए दूरी $0$ से $x_{max}$ तक बढ़ती है।
$T < t < 2T$ के लिए,कण मूल बिंदु की ओर वापस आता है,इसलिए दूरी $x_{max}$ से $2x_{max}$ तक बढ़ना जारी रखती है।
चूंकि कण एक सीधी रेखा में गति कर रहा है,इसलिए दूरी विस्थापन का निरपेक्ष मान है।
दूरी-समय ग्राफ को एक निरंतर बढ़ता हुआ फलन होना चाहिए।
विकल्प $D$ एक ऐसा ग्राफ दिखाता है जो निरंतर बढ़ रहा है,जो समय के साथ कण द्वारा तय की गई कुल दूरी को दर्शाता है।

(A) दिया गया $x-t$ ग्राफ एक परवलय (parabola) है। $0 \le t \le T$ के लिए,ग्राफ $x = kt^2$ (जहाँ $k > 0$) है,इसलिए वेग $v = dx/dt = 2kt$,जो $t$ का एक रैखिक फलन है जो $0$ से शुरू होकर बढ़ता है।
$T \le t \le 2T$ के लिए,ग्राफ नीचे की ओर का परवलय है,$x = -k'(t-2T)^2 + x_{max}$। वेग $v = dx/dt = -2k'(t-2T) = 2k'(2T-t)$ है। यह एक रैखिक फलन है जो $t = 2T$ पर घटकर $0$ हो जाता है।
चूंकि चाल वेग का परिमाण $|v|$ है,इसलिए चाल $t = 0$ से $t = T$ तक रैखिक रूप से बढ़ती है और फिर $t = 2T$ तक रैखिक रूप से घटकर $0$ हो जाती है।
यह व्यवहार विकल्प $A$ में दिए गए ग्राफ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(C) जब किसी कण का वेग शून्य हो जाता है तो वह विराम अवस्था में आ जाता है।
वेग-समय ग्राफ को देखने पर,वेग $v$ तब शून्य होता है जब ग्राफ समय अक्ष ($t$-अक्ष) को काटता है।
$t = 0 \text{ s}$ पर,वेग $0 \text{ m/s}$ है।
$t = 4.5 \text{ s}$ (लगभग,$4$ और $5$ के बीच) पर,ग्राफ $t$-अक्ष को पार करता है,जिसका अर्थ है कि वेग शून्य है।
$t = 8 \text{ s}$ पर,वेग $0 \text{ m/s}$ है।
चूंकि $4.5 \text{ s}$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए हम दिए गए विकल्पों की जांच करते हैं।
विकल्प $A$ $(0 \text{ s})$ और विकल्प $C$ $(8 \text{ s})$ वे बिंदु हैं जहाँ कण विराम अवस्था में है।
आमतौर पर,ऐसे प्रश्न अंतिम स्थिति या रुचि के किसी विशिष्ट बिंदु को संदर्भित करते हैं। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$8 \text{ s}$ एक मान्य बिंदु है जहाँ कण विराम अवस्था में है।

(C) वेग परिवर्तन की दर $\left| \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \right|$ त्वरण के परिमाण को दर्शाती है,जो वेग-समय ग्राफ के ढाल (slope) के परिमाण के बराबर होता है।
प्रत्येक अंतराल के लिए ढाल की गणना करें:
$1$. $0$ से $2 \, s$ के लिए: $\text{ढाल} = \frac{10 - 0}{2 - 0} = 5 \, m/s^2$.
$2$. $2$ से $4 \, s$ के लिए: $\text{ढाल} = 0 \, m/s^2$.
$3$. $4$ से $6 \, s$ के लिए: $\text{ढाल} = \frac{-20 - 10}{6 - 4} = \frac{-30}{2} = -15 \, m/s^2$. परिमाण $15 \, m/s^2$ है।
$4$. $6$ से $8 \, s$ के लिए: $\text{ढाल} = \frac{0 - (-20)}{8 - 6} = \frac{20}{2} = 10 \, m/s^2$.
परिमाणों की तुलना करने पर: $5, 0, 15, 10$। अधिकतम परिमाण $15 \, m/s^2$ है,जो $4$ से $6 \, s$ के अंतराल में प्राप्त होता है।

(A) किसी दिए गए समय अंतराल में कण का विस्थापन वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$t = 0 \, s$ से $t = 2 \, s$ के अंतराल के लिए,क्षेत्रफल एक त्रिभुज है जिसका आधार $b = 2 \, s$ और ऊँचाई $h = 10 \, m/s$ है।
विस्थापन $\Delta x = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10 \, m$.
हम जानते हैं कि विस्थापन $\Delta x = x_f - x_0$,जहाँ $x_f$ अंतिम स्थिति है और $x_0$ प्रारंभिक स्थिति है।
दिया गया है $x_0 = -15 \, m$,इसलिए $10 = x_f - (-15)$.
$10 = x_f + 15$.
$x_f = 10 - 15 = -5 \, m$.
अतः,$t = 2 \, s$ पर स्थिति $-5 \, m$ होगी।

(A) कण का विस्थापन वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम विस्थापन ज्ञात करने के लिए, हम $t = 0$ से उस समय तक ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल निकालते हैं जब वेग पहली बार शून्य होता है।
वेग $t = 0 \, s$ पर और फिर $t = 4.67 \, s$ (लगभग $14/3 \, s$) पर शून्य होता है।
$t = 0$ से $t = 2 \, s$ तक ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल एक त्रिभुज है: $\text{Area}_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10 \, m$.
$t = 2 \, s$ से $t = 4 \, s$ तक का क्षेत्रफल एक आयत है: $\text{Area}_2 = 2 \times 10 = 20 \, m$.
$t = 4 \, s$ पर, वेग कम होना शुरू हो जाता है। रेखा $t = 4 + \Delta t$ पर शून्य से गुजरती है। ढाल $\frac{-20 - 10}{6 - 4} = -15 \, m/s^2$ है। $t > 4$ के लिए रेखा का समीकरण $v = 10 - 15(t - 4)$ है। $v = 0$ रखने पर, हमें $10 = 15(t - 4)$ प्राप्त होता है, इसलिए $t - 4 = 2/3$, या $t = 4.67 \, s$।
$t = 4 \, s$ से $t = 4.67 \, s$ तक छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times (2/3) \times 10 = 3.33 \, m$ है।
कुल अधिकतम विस्थापन $= 10 + 20 + 3.33 = 33.33 \, m$।

(A) तय की गई कुल दूरी वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत समय अक्ष के साथ बने क्षेत्रों के परिमाणों का योग है।
क्षेत्रफल $1$ ($t=0$ से $t=4.67$ s तक): त्रिभुज का आधार $4.67$ s और ऊँचाई $10$ m/s है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4.67 \times 10 = 23.35$ m.
क्षेत्रफल $2$ ($t=4.67$ से $t=8$ s तक): त्रिभुज का आधार $(8 - 4.67) = 3.33$ s और ऊँचाई $|-20| = 20$ m/s है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 3.33 \times 20 = 33.3$ m.
कुल दूरी $= 23.35 + 33.3 = 56.65$ m. दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सबसे निकटतम मान $66.6$ m है।

(B) त्वरण $a$ वेग-समय ग्राफ का ढाल (slope) है,जिसे $a = \frac{dv}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
अंतराल $0 \le t < 2 \ s$ के लिए: ढाल $\frac{10 - 0}{2 - 0} = 5 \ m/s^2$ है।
अंतराल $2 \le t < 4 \ s$ के लिए: वेग स्थिर $(10 \ m/s)$ है,इसलिए ढाल $0 \ m/s^2$ है।
अंतराल $4 \le t < 6 \ s$ के लिए: ढाल $\frac{-20 - 10}{6 - 4} = \frac{-30}{2} = -15 \ m/s^2$ है।
अंतराल $6 \le t < 8 \ s$ के लिए: ढाल $\frac{0 - (-20)}{8 - 6} = \frac{20}{2} = 10 \ m/s^2$ है।
इन मानों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,सही त्वरण-समय ग्राफ निम्नलिखित मानों को दर्शाता है: $t \in [0, 2)$ के लिए $5 \ m/s^2$,$t \in [2, 4)$ के लिए $0 \ m/s^2$,$t \in [4, 6)$ के लिए $-15 \ m/s^2$,और $t \in [6, 8)$ के लिए $10 \ m/s^2$। यह विकल्प $B$ में दिए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(C) विस्थापन $x$,वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल है।
$1$. $t = 0$ से $t = 2 \ s$ तक,वेग रैखिक रूप से बढ़ता है,इसलिए विस्थापन $x$ परवलयाकार रूप से बढ़ता है (ऊपर की ओर अवतल)।
$2$. $t = 2 \ s$ से $t = 4 \ s$ तक,वेग स्थिर $(10 \ m/s)$ है,इसलिए विस्थापन $x$ रैखिक रूप से बढ़ता है।
$3$. $t = 4 \ s$ से $t = 5 \ s$ तक,वेग $10 \ m/s$ से घटकर $0$ हो जाता है,इसलिए विस्थापन $x$ घटती ढाल के साथ बढ़ता है (नीचे की ओर अवतल) जब तक कि यह $t = 5 \ s$ पर अधिकतम न हो जाए।
$4$. $t = 5 \ s$ से $t = 6 \ s$ तक,वेग ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए विस्थापन $x$ घटना शुरू हो जाता है।
$5$. $t = 6 \ s$ से $t = 8 \ s$ तक,वेग $-20 \ m/s$ से बढ़कर $0$ हो जाता है,इसलिए विस्थापन $x$ घटना जारी रहता है लेकिन बढ़ती ढाल के साथ (ऊपर की ओर अवतल) जब तक कि यह $t = 8 \ s$ पर एक निश्चित मान पर वापस न आ जाए।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $C$ विस्थापन-समय ग्राफ का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(C) वेग-समय ग्राफ बदलते वेग के साथ एक सीधी रेखा में कार की गति को दर्शाता है।
तय की गई कुल दूरी वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल के बराबर होती है।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल जिसकी त्रिज्या $r = 1 \, m/s$ और आधार की लंबाई $T = 2 \, s$ है,इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2} \, m$.
औसत चाल को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है:
$V_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{\pi / 2}{2} = \frac{\pi}{4} \, m/s$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) ग्राफ एक धनात्मक ढलान वाली सीधी रेखा दिखाता है,जिसका अर्थ है कि त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ स्थिर है। चूंकि $F = ma$,एक स्थिर त्वरण का अर्थ है कि बल भी स्थिर है।
जैसे-जैसे कण गति करता है,उसका वेग ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है। $v-t$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन को दर्शाता है। चूंकि ग्राफ समय अक्ष को पार करता है,इसलिए कुल विस्थापन शून्य हो सकता है,जिसका अर्थ है कि कण अपनी प्रारंभिक स्थिति को पार करता है।
हालाँकि,चाल वेग का परिमाण $|v|$ है। जैसे-जैसे कण ऋणात्मक वेग से शून्य की ओर और फिर धनात्मक मानों की ओर बढ़ता है,उसकी चाल पहले घटती है (जैसे ही यह शून्य के करीब पहुंचती है) और फिर बढ़ती है। इसलिए,यह कथन कि चाल लगातार बढ़ती है,गलत है।

(A) जब कण $E$ के बाईं ओर होता है,तो बल $F$ दाईं दिशा में होता है,जो धनात्मक है। चूंकि $F$ का परिमाण एक स्थिरांक $F_0$ है,इसलिए त्वरण $a = F_0 / m$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
चूंकि $a = dv/dt$,इसलिए $v-t$ ग्राफ का ढाल एक धनात्मक स्थिरांक है। इस प्रकार,कण के $E$ तक पहुँचने तक वेग समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
कण के $E$ को पार करने के बाद,बल $F$ बाईं दिशा में कार्य करता है,जो ऋणात्मक है। इस प्रकार,त्वरण एक ऋणात्मक स्थिरांक बन जाता है,और $v-t$ ग्राफ का ढाल एक ऋणात्मक स्थिरांक होता है।
वेग रैखिक रूप से घटता है,शून्य हो जाता है,और फिर ऋणात्मक हो जाता है क्योंकि कण $E$ के दाईं ओर चला जाता है।
यह गति दोहराती है,जिसके परिणामस्वरूप वेग-समय ग्राफ के लिए एक त्रिकोणीय तरंग पैटर्न प्राप्त होता है।
इसलिए,सही ग्राफ वह है जो वेग में रैखिक वृद्धि और कमी को दर्शाता है,जो विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(C) जब किसी पिंड को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो त्वरण स्थिर $(a = -g)$ रहता है।
किसी भी समय $t$ पर वेग गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है: $v = u - gt$,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
ऊपर की ओर गति (उड़ान) के दौरान,वेग धनात्मक होता है और समय के साथ रैखिक रूप से घटता है जब तक कि अधिकतम ऊँचाई पर यह शून्य न हो जाए।
नीचे की ओर गति (पतन) के दौरान,वेग ऋणात्मक हो जाता है और समय के साथ इसका परिमाण रैखिक रूप से बढ़ता है,जो विपरीत दिशा में गति को दर्शाता है।
ग्राफ $C$ वेग के धनात्मक मान से शून्य तक इस रैखिक कमी को और उसके बाद ऋणात्मक दिशा में रैखिक वृद्धि को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) वेग $v = x^2 + x$ द्वारा दिया गया है।
त्वरण $a$ को $a = \frac{dv}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चेन नियम का उपयोग करते हुए,$a = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$।
$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + x) = 2x + 1$।
त्वरण के सूत्र में $v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान रखने पर: $a = (x^2 + x)(2x + 1)$।
जब $x = 2 \ m$ हो:
$a = (2^2 + 2)(2(2) + 1) = (4 + 2)(4 + 1) = 6 \times 5 = 30 \ m/s^2$।

(D) वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल वस्तु के विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है।
दिए गए ग्राफ में,क्षेत्रफल $X$ $1^{st}$ प्रभाव के बाद सतह से ऊपर उठते समय गेंद के विस्थापन को दर्शाता है जब तक कि वह अपनी अधिकतम ऊंचाई तक नहीं पहुंच जाती।
क्षेत्रफल $Y$ उस अधिकतम ऊंचाई से $2^{nd}$ प्रभाव से पहले सतह पर वापस गिरते समय गेंद के विस्थापन को दर्शाता है।
चूंकि गेंद दो लगातार प्रभावों के बीच समान ऊर्ध्वाधर दूरी तय करके ऊपर उठती है और नीचे गिरती है,इसलिए ऊपर की ओर गति के लिए विस्थापन का परिमाण नीचे की ओर गति के लिए विस्थापन के परिमाण के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,क्षेत्रफल $X$ और $Y$ बराबर हैं क्योंकि गेंद $1^{st}$ और $2^{nd}$ प्रभाव के बीच समान दूरी तय करके ऊपर उठती है और नीचे गिरती है।

(B) एक समान त्वरित कण के लिए,किसी भी बिंदु पर तात्क्षणिक वेग उस बिंदु पर $x-t$ ग्राफ की स्पर्शरेखा (tangent) का ढाल होता है,अर्थात $v = \tan \theta$।
बिंदु $(i)$ पर,कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए वेग $v_1 = \tan 45^{\circ} = 1 \ ms^{-1}$ है।
बिंदु $(ii)$ पर,कोण $\theta_2$ है जहाँ $\tan \theta_2 = 3$ है,इसलिए वेग $v_2 = 3 \ ms^{-1}$ है।
समान त्वरण वाली गति के लिए,दो बिंदुओं के बीच औसत वेग उन बिंदुओं पर तात्क्षणिक वेगों का अंकगणितीय माध्य होता है:
$v_{\text{average}} = \frac{v_1 + v_2}{2}$
$v_{\text{average}} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \ ms^{-1}$।

(C) न्यूनतम समय ज्ञात करने के लिए,हम वेग-समय ग्राफ का उपयोग करते हैं। ट्रेन विरामावस्था से $10\ m/s^2$ के त्वरण के साथ $10\ m/s$ तक पहुँचती है,जिसमें $t_1 = \frac{10}{10} = 1\ s$ का समय लगता है। फिर यह $5\ m/s^2$ के मंदन के साथ $10\ m/s$ से विरामावस्था में आती है,जिसमें $t_2 = \frac{10}{5} = 2\ s$ का समय लगता है। मान लीजिए $t$ वह समय है जिसके लिए यह $10\ m/s$ की स्थिर गति से चलती है। तय की गई कुल दूरी $v-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल है: $Area = \frac{1}{2} \times (base_1 + base_2) \times height = \frac{1}{2} \times (t + (t + 1 + 2)) \times 10 = 135$। सरल करने पर,$5(2t + 3) = 135$,इसलिए $2t + 3 = 27$,जिससे $2t = 24$ प्राप्त होता है,अर्थात $t = 12\ s$। कुल समय $T = t_1 + t + t_2 = 1 + 12 + 2 = 15\ s$ है।

(C) जब किसी कण का वेग शून्य होता है तो वह विरामावस्था में कहलाता है। स्थिति-समय ग्राफ के संदर्भ में,इसका अर्थ है कि ग्राफ का ढाल (जो वेग को दर्शाता है) शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि उस समय अंतराल के दौरान स्थिति स्थिर रहती है।
$x-t$ ग्राफ को देखने पर,$t = 2\ s$ और $t = 3\ s$ के बीच स्थिति $x$ स्थिर (एक क्षैतिज रेखा) है।
$y-t$ ग्राफ को देखने पर,$t = 1\ s$ और $t = 3\ s$ के बीच स्थिति $y$ स्थिर ($y = 0$ पर एक क्षैतिज रेखा) है।
कण के द्विविमीय गति में विरामावस्था में होने के लिए,इसके वेग के $x$ और $y$ दोनों घटक एक साथ शून्य होने चाहिए।
इसलिए,कण उस समय अंतराल के दौरान विरामावस्था में है जब दोनों ग्राफ क्षैतिज हैं,जो $t = 2\ s$ और $t = 3\ s$ के बीच है।

(A) $1$. जैसे ही गेंद ढलान $AB$ पर नीचे लुढ़कती है,उसकी स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,इसलिए उसकी गति समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है।
$2$. क्षैतिज सतह $BC$ पर,गति की दिशा में कोई बल कार्य नहीं करता है (घर्षण को अनदेखा करते हुए),इसलिए गति स्थिर रहती है।
$3$. जैसे ही गेंद ढलान $CD$ पर ऊपर चढ़ती है,वह गतिज ऊर्जा की कीमत पर स्थितिज ऊर्जा प्राप्त करती है,इसलिए उसकी गति समय के साथ रैखिक रूप से घटती है।
$4$. अंत में,क्षैतिज तल $DE$ पर,गति फिर से $BC$ की तुलना में कम मान पर स्थिर रहती है।
$5$. इस व्यवहार की दिए गए ग्राफ़ के साथ तुलना करने पर,चित्र $(1)$ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है: गति बढ़ती है,स्थिर रहती है,घटती है,और फिर कम मान पर स्थिर रहती है।

(C) $V-S$ ग्राफ में दी गई सीधी रेखा का समीकरण $V = -mS + V_0$ है,जहाँ $m$ ढाल का परिमाण है और $V_0$ अंतःखंड है।
ग्राफ की ढाल $\frac{dV}{dS} = -m$ है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = V \left(\frac{dV}{dS}\right)$ होता है।
मान रखने पर,हमें $a = (-mS + V_0)(-m)$ प्राप्त होता है।
$a = m^2S - mV_0$.
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जो एक सीधी रेखा को दर्शाता है। अतः,त्वरण बनाम विस्थापन ग्राफ एक सीधी रेखा है।

(D) वेग-समय ग्राफ,त्वरण-समय ग्राफ का समाकलन (integration) करके प्राप्त किया जाता है,क्योंकि $v = \int a \, dt$ होता है।
$1$. $0$ से $t_{1}$ तक,त्वरण $a$ स्थिर और धनात्मक है। इसलिए,वेग समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है (धनात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा)।
$2$. $t_{1}$ से $t_{2}$ तक,त्वरण $a = 0$ है। इसलिए,वेग स्थिर रहता है (एक क्षैतिज रेखा)।
$3$. $t_{2}$ से $t_{3}$ तक,त्वरण $a$ फिर से स्थिर और धनात्मक है। इसलिए,वेग समय के साथ फिर से रैखिक रूप से बढ़ता है (धनात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा)।
इस व्यवहार की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,$823$-d272 में दिखाया गया ग्राफ इस गति को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) मान लीजिए कि अधिकतम वेग $v_{\max}$ तक पहुँचने के लिए $\alpha$ दर से त्वरित होने में लगा समय $t_1$ है,और रुकने के लिए $\beta$ दर से मंदित होने में लगा समय $t_2$ है।
वेग-समय ग्राफ से,त्वरण चरण का ढाल $\alpha = \frac{v_{\max}}{t_1}$ है,जिससे $t_1 = \frac{v_{\max}}{\alpha}$ प्राप्त होता है।
मंदन चरण का ढाल $\beta = \frac{v_{\max}}{t_2}$ है,जिससे $t_2 = \frac{v_{\max}}{\beta}$ प्राप्त होता है।
कुल समय $t = t_1 + t_2$ है।
$t_1$ और $t_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $t = \frac{v_{\max}}{\alpha} + \frac{v_{\max}}{\beta}$।
$t = v_{\max} \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \right)$।
$v_{\max}$ के लिए हल करने पर,हमें $v_{\max} = \frac{\alpha \beta t}{\alpha + \beta}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि वेग और विस्थापन के बीच संबंध $v = x^2$ है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a$ को $a = v \frac{dv}{dx}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
सबसे पहले,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$ प्राप्त होता है।
अब,$v$ और $\frac{dv}{dx}$ के मान को त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a = (x^2) \cdot (2x) = 2x^3$ प्राप्त होता है।
$x = 3 \ m$ पर त्वरण ज्ञात करने के लिए,$x$ का मान समीकरण में रखने पर:
$a = 2(3)^3 = 2 \cdot 27 = 54 \ m/s^2$ प्राप्त होता है।

(C) वेग-समय ग्राफ में,ढाल त्वरण $(a = dv/dt)$ को दर्शाती है।
बिंदु $B$ पर,ग्राफ की ढाल ऋणात्मक है,जिसका अर्थ है कि त्वरण ऋणात्मक है (मंदन)।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$ होता है।
चूंकि त्वरण ऋणात्मक है,इसलिए पिंड पर कार्य करने वाला बल भी ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि यह वेग (गति) की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
अतः,एक ऐसा बल है जो पिंड की गति का विरोध करता है।

(B) विस्थापन $(X)$ बनाम समय $(t)$ ग्राफ में,ढलान कण का वेग दर्शाती है। भौतिक रूप से संभव होने के लिए,किसी भी दिए गए समय $(t)$ पर एक कण की केवल एक ही अद्वितीय स्थिति होनी चाहिए।
विकल्प $(A)$ संभव है क्योंकि यह एक कण को दूर जाते और फिर वापस लौटते हुए दर्शाता है।
विकल्प $(C)$ संभव है क्योंकि यह दोनों दिशाओं में गति को दर्शाता है।
विकल्प $(D)$ संभव है क्योंकि यह स्थिर वेग से चलते हुए,रीसेट होते हुए और दोहराते हुए कण को दर्शाता है।
विकल्प $(B)$ संभव नहीं है क्योंकि समय $(t)$ के एक विशिष्ट क्षण पर,ग्राफ विस्थापन $(X)$ के दो अलग-अलग मान दर्शाता है। चूंकि एक कण एक ही समय में दो स्थानों पर नहीं हो सकता है,इसलिए यह ग्राफ भौतिक रूप से असंभव है।

(C) रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ के अंतर्गत उस क्षेत्रफल के बराबर होती है जहाँ तक वेग शून्य नहीं हो जाता।
ग्राफ से,$t = 0$ से $t = 110 \ s$ तक वेग धनात्मक है।
$v-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल एक त्रिभुज है जिसका आधार $b = 110 \ s$ और ऊँचाई $h = 1000 \ m/s$ है।
अधिकतम ऊँचाई $= \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
अधिकतम ऊँचाई $= \frac{1}{2} \times 110 \ s \times 1000 \ m/s$
अधिकतम ऊँचाई $= 55 \times 1000 \ m = 55000 \ m$
चूँकि $1 \ km = 1000 \ m$,इसलिए:
अधिकतम ऊँचाई $= 55 \ km$.

(C) एक सीधी रेखा में गति करने वाले कण के लिए,समय $t$ के किसी भी दिए गए क्षण पर,वेग $v$ का केवल एक ही अद्वितीय मान हो सकता है।
ग्राफ $(i)$ में,समय $t$ के एक ही मान के लिए,वेग $v$ के कई मान हैं,जो भौतिक रूप से असंभव है।
ग्राफ $(ii)$ में,वेग समय के साथ लगातार बदलता है,जो संभव है।
ग्राफ $(iii)$ में,वेग अचानक (असतत रूप से) बदलता है,जिसका अर्थ है कि उन बिंदुओं पर त्वरण अनंत है। हालांकि आदर्श मॉडलों में सैद्धांतिक रूप से संभव है,लेकिन एक भौतिक कण के लिए इसे आमतौर पर वास्तविक नहीं माना जाता है।
ग्राफ $(iv)$ में,वेग लगातार बदलता है और धनात्मक,शून्य या ऋणात्मक मान ले सकता है,जो भौतिक रूप से संभव है।
इसलिए,केवल ग्राफ $(ii)$ और $(iv)$ भौतिक रूप से वास्तविक गति का प्रतिनिधित्व करते हैं।

(A) विस्थापन-समय ग्राफ का ढाल कण का वेग दर्शाता है $(v = \frac{dx}{dt})$।
प्रारंभ में,ढाल धनात्मक और बड़ा है,जो इंगित करता है कि कण एक निश्चित वेग के साथ शुरू होता है।
जैसे-जैसे समय बढ़ता है,वक्र का ढाल लगातार घटता जाता है और अंततः शून्य हो जाता है (स्पर्शरेखा क्षैतिज हो जाती है)।
घटता हुआ ढाल यह दर्शाता है कि वेग कम हो रहा है,जिसका अर्थ है कि गति मंदित है।
चूंकि अंतिम ढाल शून्य है,इसलिए कण अंततः स्थिर हो जाता है।

(A) तय की गई दूरी $v-t$ ग्राफ के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल के बराबर होती है,जिसमें प्रत्येक खंड के लिए क्षेत्रफल का निरपेक्ष मान लिया जाता है।
क्षेत्रफल $1$ ($t=0$ से $t=1$ तक त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 1 \times 4 = 2 \text{ m}$।
क्षेत्रफल $2$ ($t=1$ से $t=3$ तक आयत): $2 \times 4 = 8 \text{ m}$।
क्षेत्रफल $3$ ($t=3$ से $t=4$ तक त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 1 \times 4 = 2 \text{ m}$।
क्षेत्रफल $4$ ($t=4$ से $t=5$ तक त्रिभुज): $|\frac{1}{2} \times 1 \times (-2)| = 1 \text{ m}$।
क्षेत्रफल $5$ ($t=5$ से $t=7$ तक आयत): $|2 \times (-2)| = 4 \text{ m}$।
क्षेत्रफल $6$ ($t=7$ से $t=8$ तक त्रिभुज): $|\frac{1}{2} \times 1 \times (-2)| = 1 \text{ m}$।
कुल दूरी $= 2 + 8 + 2 + 1 + 4 + 1 = 18 \text{ m}$।

(A) माना कुल समय $T$ है और अधिकतम वेग $v$ है। वेग-समय ग्राफ एक समलंब चतुर्भुज है।
$v-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल कुल दूरी $S$ देता है।
$S = \frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (T + (T - 2t)) \times v = \frac{1}{2} \times (2T - 2t) \times v = (T - t)v$,जहाँ $t$ त्वरण के लिए लिया गया समय है।
औसत चाल $v_{av} = \frac{S}{T} = \frac{(T - t)v}{T}$.
दिया गया है $v_{av} = \frac{7v}{8}$,इसलिए $\frac{(T - t)v}{T} = \frac{7v}{8}$.
$1 - \frac{t}{T} = \frac{7}{8} \implies \frac{t}{T} = \frac{1}{8}$.
नियत वेग के साथ बिताया गया समय $T_{const} = T - 2t$ है।
कुल समय का अंश $\frac{T - 2t}{T} = 1 - 2(\frac{t}{T}) = 1 - 2(\frac{1}{8}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$ है।

(B) कारों $A$ और $B$ के लिए स्थिति फलन दिए गए हैं:
$X_A(t) = at + bt^2$
$X_B(t) = ft - t^2$
किसी कण का वेग उसके स्थिति फलन का समय के सापेक्ष अवकलन होता है,$v = \frac{dX}{dt}$.
कार $A$ के लिए:
$v_A = \frac{d}{dt}(at + bt^2) = a + 2bt$
कार $B$ के लिए:
$v_B = \frac{d}{dt}(ft - t^2) = f - 2t$
वह समय ज्ञात करने के लिए जब दोनों कारों का वेग समान हो,हम $v_A = v_B$ रखते हैं:
$a + 2bt = f - 2t$
$t$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2bt + 2t = f - a$
$t(2b + 2) = f - a$
$t(2(b + 1)) = f - a$
$t = \frac{f - a}{2(1 + b)}$
अतः,$t = \frac{f - a}{2(1 + b)}$ समय पर दोनों कारों का वेग समान होगा।

(D) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,यदि कण पर नेट बल शून्य है,तो उसका त्वरण शून्य होना चाहिए।
दिया गया वेग फलन: $v = t^2 - 3t - 4$ है।
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $a = \frac{dv}{dt} = 2t - 3$ है।
त्वरण को शून्य रखने पर: $2t - 3 = 0 \Rightarrow t = 1.5 \, s$ प्राप्त होता है।
अब,$t = 1.5$ का मान वेग समीकरण में रखने पर:
$v = (1.5)^2 - 3(1.5) - 4$
$v = 2.25 - 4.5 - 4$
$v = -6.25 \, m/s$।

(C) विस्थापन-समय ग्राफ का ढलान वेग को दर्शाता है।
पहले $2 \text{ s}$ के लिए ($t = 0$ से $t = 2$ तक):
विस्थापन $0$ से $20$ तक बदलता है।
गति का परिमाण $v_1 = \frac{|\Delta x|}{\Delta t} = \frac{20 - 0}{2 - 0} = 10 \text{ units/s}$.
अगले $4 \text{ s}$ के लिए ($t = 2$ से $t = 6$ तक):
विस्थापन $20$ से $0$ तक बदलता है।
गति का परिमाण $v_2 = \frac{|\Delta x|}{\Delta t} = \frac{|0 - 20|}{6 - 2} = \frac{20}{4} = 5 \text{ units/s}$.
गति के परिमाणों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{10}{5} = 2 : 1$ है।

(C) दिया गया त्वरण-वेग $(a-v)$ ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसका ढाल ऋणात्मक है और $a$-अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड है। इसे समीकरण $a = -kv + c$ द्वारा दर्शाया जा सकता है,जहाँ $k$ और $c$ धनात्मक स्थिरांक हैं।
चूंकि कण विराम अवस्था से शुरू होता है,इसलिए $t = 0$ पर,$v = 0$ है। ग्राफ से,$v = 0$ पर,$a = a_0$ (एक धनात्मक मान) है। अतः,समीकरण $a = a_0 - kv$ है।
हम जानते हैं कि $a = \frac{dv}{dt}$,इसलिए:
$\frac{dv}{dt} = a_0 - kv$
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\int_{0}^{v} \frac{dv}{a_0 - kv} = \int_{0}^{t} dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$-\frac{1}{k} [\ln(a_0 - kv)]_{0}^{v} = t$
$\ln\left(\frac{a_0 - kv}{a_0}\right) = -kt$
दोनों पक्षों का घातांकीय लेने पर:
$1 - \frac{kv}{a_0} = e^{-kt}$
$v(t) = \frac{a_0}{k}(1 - e^{-kt})$
यह समीकरण एक ऐसे वक्र को दर्शाता है जो मूल बिंदु ($t=0$ पर $v=0$) से शुरू होता है और जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,यह अंतिम वेग $v_{max} = \frac{a_0}{k}$ तक पहुँचता है। $v-t$ ग्राफ का ढाल,जो कि त्वरण है,वेग बढ़ने के साथ घटता है,जो दिए गए $a-v$ ग्राफ से मेल खाता है। यह विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(A) त्वरण-समय $(a-t)$ ग्राफ दिखाता है कि $0 \le t \le 10 \text{ s}$ के लिए,त्वरण $a$ समय $t$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है। इस रेखा का समीकरण $a = kt$ है। $t = 10 \text{ s}$ पर,$a = 2 \text{ m/s}^2$,इसलिए $2 = k(10)$,जिससे $k = 0.2 \text{ s}^{-2}$ प्राप्त होता है। अतः,$a = 0.2t$। चूँकि $a = dv/dt$,हमारे पास $dv = a \, dt = 0.2t \, dt$ है। $t = 0$ से $t = 10 \text{ s}$ तक समाकलन करने पर,$v(0) = 0$ के साथ,हमें $v = \int_0^t 0.2t \, dt = 0.1t^2$ प्राप्त होता है। यह एक परवलयिक वक्र (ऊपर की ओर अवतल) है। $t = 10 \text{ s}$ पर,$v = 0.1(10)^2 = 10 \text{ m/s}$।
$10 \le t \le 15 \text{ s}$ के लिए,त्वरण $a = 1 \text{ m/s}^2$ पर स्थिर है। चूँकि $a = dv/dt$ स्थिर है,वेग-समय ग्राफ $1 \text{ m/s}^2$ की धनात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा होगी। $t = 15 \text{ s}$ पर वेग $v = 10 + 1(15 - 10) = 15 \text{ m/s}$ होगा। अतः,ग्राफ पहले भाग के लिए एक परवलय है और दूसरे भाग के लिए एक सीधी रेखा है।

(C) वेग में परिवर्तन $\Delta v$ त्वरण-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
कण द्वारा अपना प्रारंभिक वेग प्राप्त करने के लिए,वेग में कुल परिवर्तन शून्य होना चाहिए,अर्थात $\Delta v = 0$।
इसका अर्थ है कि $a-t$ ग्राफ के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए समय अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल $A_1$ है और समय अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल $A_2$ है।
$A_1 = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 10 = 20 \ m/s$।
रेखा की ढाल $m = \frac{0 - 10}{4 - 0} = -2.5 \ m/s^3$ है।
रेखा का समीकरण $a = -2.5t + 10$ है।
$t_0$ समय पर,त्वरण $a(t_0) = -2.5t_0 + 10$ है।
क्षेत्रफल $A_2$ एक त्रिभुज है जिसका आधार $(t_0 - 4)$ और ऊंचाई $|a(t_0)| = | -2.5t_0 + 10 | = 2.5t_0 - 10$ है।
चूंकि $A_1 = A_2$,हमें प्राप्त होता है $20 = \frac{1}{2} \times (t_0 - 4) \times (2.5t_0 - 10)$।
$40 = (t_0 - 4) \times 2.5(t_0 - 4)$।
$40 = 2.5(t_0 - 4)^2$।
$(t_0 - 4)^2 = \frac{40}{2.5} = 16$।
$t_0 - 4 = 4$।
$t_0 = 8 \ s$।

(B) तय की गई दूरी चाल-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होती है।
समय अंतराल $t = 2\,s$ से $t = 5\,s$ के लिए,$t$ समय पर चाल $v = \frac{12}{5}t = 2.4t$ द्वारा दी जाती है।
$t = 2\,s$ पर,$v_1 = 2.4 \times 2 = 4.8\,m/s$.
$t = 5\,s$ पर,$v_2 = 12\,m/s$.
$t=2\,s$ और $t=5\,s$ के बीच बने समलंब का क्षेत्रफल $S_1 = \frac{1}{2} \times (v_1 + v_2) \times \Delta t = \frac{1}{2} \times (4.8 + 12) \times (5 - 2) = \frac{1}{2} \times 16.8 \times 3 = 25.2\,m$.
समय अंतराल $t = 5\,s$ से $t = 6\,s$ के लिए,$t$ समय पर चाल $v = 12 - \frac{12}{5}(t - 5) = 24 - 2.4t$ द्वारा दी जाती है।
$t = 5\,s$ पर,$v_2 = 12\,m/s$.
$t = 6\,s$ पर,$v_3 = 12 - 2.4(6 - 5) = 9.6\,m/s$.
$t=5\,s$ और $t=6\,s$ के बीच बने समलंब का क्षेत्रफल $S_2 = \frac{1}{2} \times (v_2 + v_3) \times \Delta t = \frac{1}{2} \times (12 + 9.6) \times (6 - 5) = \frac{1}{2} \times 21.6 \times 1 = 10.8\,m$.
कुल दूरी $S = S_1 + S_2 = 25.2 + 10.8 = 36\,m$.

(B) दो वस्तुओं $A$ और $B$ का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_A - v_B$ द्वारा दिया जाता है।
सापेक्ष वेग के शून्य होने के लिए,हमारे पास $v_A = v_B$ होना चाहिए।
विस्थापन-समय ग्राफ का ढलान वस्तु का वेग दर्शाता है।
इसलिए,$v_A = v_B$ के लिए,$A$ और $B$ के विस्थापन-समय ग्राफ का ढलान समान होना चाहिए।
समान ढलान वाली दो रेखाएं एक-दूसरे के समानांतर होती हैं।
अतः,दो समानांतर तिरछी रेखाएं दिखाने वाला ग्राफ शून्य सापेक्ष वेग के साथ गति कर रही दो वस्तुओं को दर्शाता है।

(C) कण को $x = -A$ ($E$ के बाईं ओर) पर विरामावस्था से छोड़ा जाता है। चूंकि बल $F$ स्थिर है और $E$ की ओर निर्देशित है,त्वरण $a = F/m$ स्थिर और धनात्मक (दाईं ओर) है।
जैसे-जैसे कण $x = -A$ से $x = E$ तक चलता है,उसका वेग समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है: $v(t) = at = (F/m)t$।
$x = E$ पर,बल शून्य हो जाता है,और कण अधिकतम वेग के साथ $E$ से गुजरता है।
एक बार जब कण $E$ के दाईं ओर होता है,तो बल $F$ दिशा बदल लेता है (बाईं ओर इंगित करता है),जिससे स्थिर ऋणात्मक त्वरण $a = -F/m$ उत्पन्न होता है।
वेग अपने अधिकतम मान से घटकर $x = +A$ पर शून्य हो जाता है।
यह चक्र दोहराता है,जिसके परिणामस्वरूप एक त्रिकोणीय वेग-समय ग्राफ प्राप्त होता है। ग्राफ $C$ इस गति को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) दिया गया द्रव्यमान $m = 50 \, g = 0.05 \, kg$ है।
वेग-समय ग्राफ से,त्वरण $a$ रेखा का ढाल है।
$t = 2 \, s$ पर,ढाल $a = \frac{15 - 0}{3 - 0} = 5 \, m/s^2$ है। बल $F = ma = 0.05 \times 5 = 0.25 \, N$ गति की दिशा में है।
$t = 4 \, s$ पर,वेग स्थिर है,इसलिए त्वरण $a = 0$ है। अतः,$F = 0$ है।
$t = 6 \, s$ पर,ढाल $a = \frac{0 - 15}{8 - 5} = -5 \, m/s^2$ है। बल $F = ma = 0.05 \times (-5) = -0.25 \, N$ है। ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि बल गति की विपरीत दिशा में है।

(D) तय की गई दूरी वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होती है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = 3000\,m.$
$\frac{1}{2} \times 300\,s \times V_{\max} = 3000\,m.$
$150 \times V_{\max} = 3000 \implies V_{\max} = 20\,m/s.$
त्वरण $a_1 = \frac{V_{\max} - 0}{100} = \frac{20}{100} = 0.2\,m/s^2.$
मंदन $a_2 = \frac{0 - V_{\max}}{200} = -\frac{20}{200} = -0.1\,m/s^2$ (परिमाण $0.1\,m/s^2$ है)।
चूंकि $V_{\max} = 20\,m/s$ है,इसलिए विकल्प $D$ गलत है।