Instantaneous Velocity and Speed and Velocity-time Graph Questions in Hindi

(D) विस्थापन वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफलों का बीजगणितीय योग है।
क्षेत्रफल $1$ ($0$ से $2\,s$): $2 \times 8 = 16\,m$
क्षेत्रफल $2$ ($2$ से $4\,s$): $2 \times (-4) = -8\,m$
क्षेत्रफल $3$ ($4$ से $8\,s$): $4 \times 4 = 16\,m$
क्षेत्रफल $4$ ($8$ से $10\,s$): $2 \times (-4) = -8\,m$
विस्थापन $= 16 - 8 + 16 - 8 = 16\,m$
दूरी क्षेत्रफलों के परिमाणों का योग है।
दूरी $= |16| + |-8| + |16| + |-8| = 16 + 8 + 16 + 8 = 48\,m$
विस्थापन और दूरी का अनुपात $= \frac{16}{48} = \frac{1}{3}$ या $1: 3$.

(A) कण की स्थिति $x = 4t^2$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन (differentiation) करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2) = 8t$.
अब,दिए गए समय $t = 5 \, s$ को वेग के समीकरण में रखने पर:
$v = 8 \times 5 = 40 \, ms^{-1}$.
अतः,$t = 5 \, s$ पर कण का वेग $40 \, ms^{-1}$ है।

(A) वेग $v$,$x-t$ ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है,अर्थात $v = \frac{dx}{dt}$।
$(A)$ $x-t$ ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है,जो बढ़ते ढाल को दर्शाता है। अतः,$v$ समय के साथ बढ़ता है। यह ग्राफ $II$ से मेल खाता है।
$(B)$ $x-t$ ग्राफ घटती स्थिति और घटता हुआ ढाल (परिमाण) दर्शाता है,जो शून्य के करीब पहुंचता है। यह एक ऋणात्मक वेग के अनुरूप है जिसका परिमाण शून्य की ओर घटता है। यह ग्राफ $IV$ से मेल खाता है।
$(C)$ $x-t$ ग्राफ एक स्थिर धनात्मक ढाल और उसके बाद एक स्थिर ऋणात्मक ढाल दर्शाता है। यह एक स्थिर धनात्मक वेग और उसके बाद एक स्थिर ऋणात्मक वेग के अनुरूप है। यह ग्राफ $III$ से मेल खाता है।
$(D)$ $x-t$ ग्राफ एक स्थिर धनात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है,जो स्थिर धनात्मक वेग को दर्शाती है। यह ग्राफ $I$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(A)-(II), (B)-(IV), (C)-(III), (D)-(I)$ है।

(A) एकसमान धनात्मक त्वरण $(a > 0)$ के साथ गति कर रही वस्तु के लिए,स्थिति-समय समीकरण गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है: $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$।
यदि हम प्रारंभिक स्थिति $x_0 = 0$ और प्रारंभिक वेग $v_0 = 0$ मान लें,तो समीकरण $x = \frac{1}{2} a t^2$ हो जाता है।
यह समीकरण $x-t$ तल में ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय (parabola) को दर्शाता है।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,वक्र की स्पर्शरेखा का ढाल (जो वेग $v = \frac{dx}{dt} = at$ को दर्शाता है) भी बढ़ता है,जो यह इंगित करता है कि वेग समय के साथ बढ़ रहा है,जो धनात्मक त्वरण की परिभाषा है।
इसलिए,विकल्प $A$ में दिखाया गया ग्राफ धनात्मक त्वरण के साथ गति को दर्शाता है।

(C) वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल वस्तु का विस्थापन दर्शाता है,न कि दूरी (दूरी चाल-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल होती है)। इसलिए,कथन $I$ असत्य है क्योंकि इसमें 'दूरी' शब्द का उल्लेख है।
त्वरण-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल $\int a \, dt = \int \frac{dv}{dt} \, dt = \Delta v$ द्वारा दिया जाता है। यह वेग में परिवर्तन को दर्शाता है। इसलिए,कथन $II$ सत्य है।
अतः,कथन $I$ असत्य है और कथन $II$ सत्य है।

(A) $1$. स्थिति-समय ग्राफ $x$-अक्ष पर स्कूल से दूरी और $t$-अक्ष पर समय दर्शाता है। स्कूल मूल बिंदु $(x=0)$ पर है।
$2$. ग्राफ को देखने पर,$A$ का $x$-अन्तःखंड $B$ के $x$-अन्तःखंड से कम है। अतः,$A$ स्कूल के करीब रहता है। कथन $(A)$ सही है।
$3$. स्थिति-समय ग्राफ का ढलान वेग $(v = dx/dt)$ को दर्शाता है। चूंकि रेखा $B$ का ढलान रेखा $A$ के ढलान से अधिक है,इसलिए $B$,$A$ की तुलना में तेज यात्रा करता है। कथन $(E)$ सही है।
$4$. इसलिए,कथन $(A)$ और $(E)$ सही हैं।

(C) दूरी $v-t$ ग्राफ के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल है (सभी क्षेत्रफलों को धनात्मक लेते हुए),और विस्थापन कुल क्षेत्रफल है (समय अक्ष के नीचे के क्षेत्रफलों को ऋणात्मक लेते हुए)।
$1$. $t=0$ से $t=5\,s$ तक का क्षेत्रफल (त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25\,m$.
$2$. $t=5$ से $t=10\,s$ तक का क्षेत्रफल (आयत): $5 \times 10 = 50\,m$.
$3$. $t=10$ से $t=15\,s$ तक का क्षेत्रफल (समलंब): $\frac{1}{2} \times (10 + 20) \times 5 = 75\,m$.
$4$. $t=15$ से $t=20\,s$ तक का क्षेत्रफल (त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 5 \times 20 = 50\,m$.
$5$. $t=20$ से $t=25\,s$ तक का क्षेत्रफल (अक्ष के नीचे त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 5 \times (-20) = -50\,m$.
कुल दूरी $= 25 + 50 + 75 + 50 + |-50| = 250\,m$.
कुल विस्थापन $= 25 + 50 + 75 + 50 - 50 = 150\,m$.
दूरी और विस्थापन का अनुपात $= \frac{250}{150} = \frac{5}{3}$.

(D) दूरी $s$ समय $t$ के फलन के रूप में समीकरण $s = 2.5 t^2$ द्वारा दी गई है।
तात्क्षणिक चाल $v$ को दूरी $s$ के समय के सापेक्ष अवकलन के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $v = \frac{ds}{dt}$ है।
$s$ का मान रखने पर: $v = \frac{d}{dt}(2.5 t^2)$.
अवकलन के घात नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dt}(t^n) = n t^{n-1}$,हमें $v = 2.5 \times 2 \times t = 5t$ प्राप्त होता है।
$t = 5\,s$ पर तात्क्षणिक चाल ज्ञात करने के लिए,$v$ के समीकरण में $t = 5$ रखें:
$v = 5 \times 5 = 25\,m/s$.

(C) कण की स्थिति समीकरण $x = 5t^2 - 4t + 5$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन (differentiation) करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 - 4t + 5)$.
घात नियम (power rule) लागू करने पर,हमें $v = 10t - 4$ प्राप्त होता है।
अब,वेग समीकरण में $t = 2 \, s$ रखने पर:
$v = 10(2) - 4 = 20 - 4 = 16 \, ms^{-1}$.
अतः,$t = 2 \, s$ पर वेग का परिमाण $16 \, ms^{-1}$ है।

(D) तय की गई दूरी वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होती है।
$t = 0$ से $t = 2 \ s$ तक,ग्राफ एक समलंब (trapezoid) है जिसकी समानांतर भुजाएँ $200 \ m/s$ और $400 \ m/s$ हैं,और ऊँचाई $2 \ s$ है।
क्षेत्रफल $1 = \frac{1}{2} \times (200 + 400) \times 2 = 600 \ m$.
$t = 2 \ s$ से $t = 30.5 \ s$ तक,वेग $400 \ m/s$ पर स्थिर है।
समय अंतराल $\Delta t = 30.5 - 2 = 28.5 \ s$.
क्षेत्रफल $2 = 400 \times 28.5 = 11400 \ m$.
कुल दूरी $= 600 + 11400 = 12000 \ m$.
किलोमीटर में बदलने पर: $12000 \ m = 12 \ km$.

(A) किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
$t = 0 \; s$ और $t = 4 \; s$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $t = 0$ से $t = 4$ तक ग्राफ के नीचे के क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालते हैं।
इस क्षेत्र में $t = 0$ से $t = 2$ तक एक त्रिभुज और $t = 2$ से $t = 4$ तक एक आयत शामिल है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल ($t = 0$ से $t = 2$ तक) $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \; s \times 10 \; m/s = 10 \; m$.
आयत का क्षेत्रफल ($t = 2$ से $t = 4$ तक) $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (4 - 2) \; s \times 10 \; m/s = 2 \; s \times 10 \; m/s = 20 \; m$.
कुल दूरी $= 10 \; m + 20 \; m = 30 \; m$.

(D) औसत वेग $\langle v \rangle = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}$ द्वारा दिया जाता है। तात्क्षणिक वेग $x-t$ ग्राफ का ढलान है,$v = \frac{dx}{dt}$.
$(A)$ $t = 0$ से $t = 3\ s$ तक: $x_i = 0$,$x_f = 5$. $\langle v \rangle = \frac{5 - 0}{3 - 0} = \frac{5}{3}\ m/s$. कथन $(A)$ गलत है।
$(B)$ $t = 3$ से $t = 5\ s$ तक: $x_i = 5$,$x_f = 5$. $\langle v \rangle = \frac{5 - 5}{5 - 3} = 0\ m/s$. कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ $t = 2\ s$ पर,ग्राफ $(1, -5)$ और $(3, 5)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। ढलान $= \frac{5 - (-5)}{3 - 1} = \frac{10}{2} = 5\ m/s$. कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ $t = 5$ से $t = 7\ s$ तक: $x_i = 5$,$x_f = 0$. $\langle v \rangle = \frac{0 - 5}{7 - 5} = -2.5\ m/s$. $t = 6.5\ s$ पर,ढलान $= \frac{0 - 10}{7 - 6} = -10\ m/s$. कथन $(D)$ गलत है।
$(E)$ $t = 0$ से $t = 9\ s$ तक: $x_i = 0$,$x_f = 0$. $\langle v \rangle = \frac{0 - 0}{9 - 0} = 0\ m/s$. कथन $(E)$ सही है।
अतः,$(B), (C), (E)$ सही हैं।

(A) औसत वेग कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। विस्थापन वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
मान लीजिए कि $t_1$ समय पर अधिकतम वेग $V_{max}$ है। ग्राफ से:
$V_{max} = t_1 \tan(30^\circ) = t_2 \tan(60^\circ)$
$V_{max} = t_1 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = t_2 (\sqrt{3})$
अतः,$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3$,जिसका अर्थ है कि $t_1 = 3t_2$ है।
$t_1$ समय के दौरान विस्थापन $S_1 = \frac{1}{2} \times t_1 \times V_{max}$ है।
$t_1$ के दौरान औसत वेग $V_{avg1} = \frac{S_1}{t_1} = \frac{1}{2} V_{max}$ है।
$t_2$ समय के दौरान विस्थापन $S_2 = \frac{1}{2} \times t_2 \times V_{max}$ है।
$t_2$ के दौरान औसत वेग $V_{avg2} = \frac{S_2}{t_2} = \frac{1}{2} V_{max}$ है।
इस प्रकार,औसत वेगों का अनुपात $\frac{V_{avg1}}{V_{avg2}} = \frac{\frac{1}{2} V_{max}}{\frac{1}{2} V_{max}} = 1 : 1$ है।

(A) दिए गए $v-x$ ग्राफ से,सीधी रेखा का समीकरण $v = mx + c$ है।
यहाँ,अंतःखंड $c = 20$ और ढाल $m = \frac{0 - 20}{10 - 0} = -2$ है।
अतः,समीकरण $v = -2x + 20$ है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = v \frac{dv}{dx}$ होता है।
सबसे पहले,$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(-2x + 20) = -2$ ज्ञात करें।
अब,त्वरण के सूत्र में $v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान रखें:
$a = (-2x + 20)(-2) = 4x - 40$.
यह $4$ की ढाल और $-40$ के y-अंतःखंड वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है।
$x = 0$ पर,$a = -40$ है।
$x = 10$ पर,$a = 4(10) - 40 = 0$ है।
इस प्रकार,ग्राफ $x = 0$ पर $a = -40$ से शुरू होकर $x = 10$ पर $a = 0$ तक पहुँचने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(C) गतिमान वस्तु का त्वरण समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$a = \frac{dv}{dt}$।
वेग-समय ग्राफ में,ढाल (slope) को $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो तात्कालिक या औसत त्वरण को दर्शाता है।
इसलिए,वेग-समय ग्राफ की ढाल वस्तु का त्वरण प्रदान करती है।

(D) वेग-समय ग्राफ में किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी दिए गए समय अंतराल के बीच वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
चरण $1$: $t = 6 \ s$ से $t = 9 \ s$ तक ग्राफ के आकार को पहचानें।
$t = 6 \ s$ पर,$v = 20 \ m/s$ है। $t = 9 \ s$ पर,वेग $35 \ m/s$ है (चूंकि ग्राफ $(6, 20)$ से $(10, 40)$ तक एक सीधी रेखा है,इसलिए ढाल $m = (40-20)/(10-6) = 5$ है। अतः,$t = 9 \ s$ पर,$v = 20 + 5(9-6) = 35 \ m/s$ होगा)।
चरण $2$: $t = 6 \ s$ और $t = 9 \ s$ के बीच बने समलंब (trapezoid) का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
समांतर भुजाएँ $v_1 = 20 \ m/s$ और $v_2 = 35 \ m/s$ हैं। ऊँचाई (समय अंतराल) $h = 9 - 6 = 3 \ s$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (v_1 + v_2) \times h = \frac{1}{2} \times (20 + 35) \times 3 = \frac{1}{2} \times 55 \times 3 = 82.5 \ m$.

(A) दिए गए विस्थापन-समय ग्राफ में,जैसे-जैसे समय $t$ बढ़ता है,वस्तु की स्थिति $x$ स्थिर रहती है।
चूंकि विस्थापन-समय ग्राफ का ढलान वेग $(v = dx/dt)$ को दर्शाता है,और एक क्षैतिज रेखा का ढलान शून्य होता है,इसलिए वस्तु का वेग शून्य है।
अतः,ग्राफ यह दर्शाता है कि वस्तु विराम अवस्था में है।

(B) तय की गई दूरी वेग-समय ग्राफ द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होती है।
$t = 1 \ s$ से $t = 7 \ s$ के अंतराल में तय की गई कुल दूरी (ग्राफ के अनुसार,गति $t = 7 \ s$ पर समाप्त होती है):
यह क्षेत्रफल एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी समानांतर भुजाएँ $(5-3) = 2 \ s$ और $(7-1) = 6 \ s$ हैं,और ऊँचाई $10 \ m/s$ है।
कुल दूरी $S = \frac{1}{2} \times (2 + 6) \times 10 = 40 \ m$.
अंतिम दो सेकंड में तय की गई दूरी ($t = 5 \ s$ से $t = 7 \ s$):
यह एक त्रिभुज है जिसका आधार $(7-5) = 2 \ s$ और ऊँचाई $10 \ m/s$ है।
$S_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10 \ m$.
अतः,अनुपात $\frac{S_1}{S} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$ है।

(C) विस्थापन वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल है,जिसमें वेग के चिह्न को ध्यान में रखा जाता है। दूरी वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल है,जिसमें वेग का निरपेक्ष मान लिया जाता है।
$t = 0$ से $2 \ s$ के लिए: वेग $v = 3 \ m/s$. क्षेत्रफल $= 3 \times 2 = 6 \ m$.
$t = 2$ से $3 \ s$ के लिए: वेग $v = -2 \ m/s$. क्षेत्रफल $= -2 \times 1 = -2 \ m$.
$t = 3$ से $5 \ s$ के लिए: वेग $v = 2 \ m/s$. क्षेत्रफल $= 2 \times 2 = 4 \ m$.
$t = 5$ से $6 \ s$ के लिए: वेग $v = -2 \ m/s$. क्षेत्रफल $= -2 \times 1 = -2 \ m$.
$t = 6$ से $8 \ s$ के लिए: वेग $v = 2 \ m/s$. क्षेत्रफल $= 2 \times 2 = 4 \ m$.
कुल विस्थापन $= 6 - 2 + 4 - 2 + 4 = 10 \ m$.
कुल दूरी $= |6| + |-2| + |4| + |-2| + |4| = 6 + 2 + 4 + 2 + 4 = 18 \ m$.
विस्थापन और दूरी का अनुपात $= 10 / 18 = 5 / 9$.

(A) किसी वस्तु का वेग उसके स्थिति फलन का समय के सापेक्ष अवकलन होता है,$V(t) = \frac{dR}{dt}$.
कार $A$ के लिए: $V_{A}(t) = \frac{d}{dt}(at + bt^2) = a + 2bt$.
कार $B$ के लिए: $V_{B}(t) = \frac{d}{dt}(xt - t^2) = x - 2t$.
वह समय $t$ ज्ञात करने के लिए जब कारों का वेग समान हो,हम $V_{A} = V_{B}$ रखते हैं:
$a + 2bt = x - 2t$
$t$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2bt + 2t = x - a$
$t(2b + 2) = x - a$
$t = \frac{x - a}{2(b + 1)}$.

(B) किसी वस्तु का त्वरण उसके वेग-समय ग्राफ की ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \tan \theta$,जहाँ $\theta$ वह कोण है जो रेखा समय अक्ष के साथ बनाती है।
वस्तु $A$ के लिए,समय अक्ष के साथ कोण $25^{\circ}$ है। अतः,$a_A = \tan 25^{\circ}$।
वस्तु $B$ के लिए,समय अक्ष के साथ कोण $50^{\circ}$ है। अतः,$a_B = \tan 50^{\circ}$।
इसलिए,$A$ के त्वरण और $B$ के त्वरण का अनुपात $\frac{a_A}{a_B} = \frac{\tan 25^{\circ}}{\tan 50^{\circ}}$ होगा।

(B) $v-t$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल वस्तु का विस्थापन देता है।
$s = \text{v-t ग्राफ का क्षेत्रफल}$
दिए गए ग्राफ में, समान समय अंतराल के लिए एकसमान गति (आयत) के नीचे का क्षेत्रफल, समान त्वरण (समलंब) के नीचे के क्षेत्रफल से अधिक है।
इसलिए, समान त्वरण के दौरान विस्थापन, एकसमान गति के दौरान विस्थापन से कम होता है।

(A) दिया गया ग्राफ $v$-अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड और ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
इसका समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$v = -mx + v_0 \dots(1)$
जहाँ $m = \tan \theta = \frac{v_0}{x_0}$ ढाल का परिमाण है।
त्वरण $a$ को $a = v \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $(1)$ से,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = -m$
इस मान को त्वरण के समीकरण में रखने पर:
$a = v(-m) = (-mx + v_0)(-m)$
$a = m^2x - mv_0$
यह एक सीधी रेखा का समीकरण है जिसकी ढाल धनात्मक $(m^2)$ है और त्वरण अक्ष पर अंतःखंड ऋणात्मक $(-mv_0)$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $(A)$ एक ऋणात्मक अंतःखंड और धनात्मक ढाल वाली सीधी रेखा को दर्शाता है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(D) दूरी-समय ग्राफ में,किसी भी बिंदु पर कण का तात्क्षणिक वेग उस बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा (tangent) के ढलान (slope) द्वारा दिया जाता है।
गणितीय रूप से,$v = \frac{ds}{dt} = \tan(\theta)$,जहाँ $\theta$ वह कोण है जो स्पर्शरेखा समय अक्ष के साथ बनाती है।
ढलान वहाँ अधिकतम होता है जहाँ वक्र सबसे अधिक तीव्र (steep) होता है।
दिए गए ग्राफ का अवलोकन करने पर,बिंदु $Q$ पर वक्र सबसे अधिक तीव्र है। इसलिए,बिंदु $Q$ के आसपास तात्क्षणिक वेग अधिकतम है।

(D) परिभाषा के अनुसार,विस्थापन-समय ग्राफ की ढाल (slope) कण का वेग दर्शाती है।
$v = \tan \theta$
दिए गए कोण $\theta_1 = 30^{\circ}$ और $\theta_2 = 45^{\circ}$ हैं।
उनके वेगों का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$
मान रखने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 45^{\circ}}$
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\tan 45^{\circ} = 1$ होता है,इसलिए:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः,वेगों का अनुपात $1: \sqrt{3}$ है।

(A) कण का $v$-$t$ ग्राफ चित्र में दर्शाया गया है।
$1$. पहले भाग के लिए (एकसमान त्वरण):
दूरी $2L = \frac{1}{2} \times V_m \times t_1 \implies t_1 = \frac{4L}{V_m}$
$2$. दूसरे भाग के लिए (एकसमान वेग):
दूरी $L = V_m \times t_2 \implies t_2 = \frac{L}{V_m}$
$3$. तीसरे भाग के लिए (एकसमान मंदन):
दूरी $3L = \frac{1}{2} \times V_m \times t_3 \implies t_3 = \frac{6L}{V_m}$
$4$. औसत चाल $\bar{V} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$
कुल दूरी $= 2L + L + 3L = 6L$
कुल समय $= t_1 + t_2 + t_3 = \frac{4L}{V_m} + \frac{L}{V_m} + \frac{6L}{V_m} = \frac{11L}{V_m}$
$5$. इसलिए,$\bar{V} = \frac{6L}{11L/V_m} = \frac{6}{11} V_m$
$\frac{\bar{V}}{V_m} = \frac{6}{11}$

(C) प्रारंभिक वेग $v_{i}$ के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंके गए पिंड का वेग गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$v_{f} = v_{i} - gt$
जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $t$ समय है।
$1$. प्रारंभ में,वेग धनात्मक $(v_{i})$ होता है और जैसे-जैसे पिंड ऊपर जाता है,समय के साथ रैखिक रूप से घटता है।
$2$. अधिकतम ऊँचाई पर,$t = \frac{v_{i}}{g}$ समय पर वेग शून्य $(v_{f} = 0)$ हो जाता है।
$3$. अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचने के बाद,पिंड नीचे की ओर गति करना शुरू कर देता है,इसलिए वेग ऋणात्मक हो जाता है और समय के साथ इसका परिमाण रैखिक रूप से बढ़ता है।
यह व्यवहार एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया गया है जिसका ढाल स्थिर ऋणात्मक $(-g)$ है,जो धनात्मक $v$-अक्ष से गुजरती है,$t = \frac{v_{i}}{g}$ पर $t$-अक्ष को काटती है और ऋणात्मक $v$-क्षेत्र में जारी रहती है। ग्राफ $C$ वेग में धनात्मक मान से ऋणात्मक मान तक की इस रैखिक कमी को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) हम जानते हैं कि समान वेग समय से स्वतंत्र होता है। इसलिए,वेग-समय ग्राफ में,ग्राफ को समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा के रूप में खींचा जाता है।
चूंकि रेखा का ढाल $= \tan \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ क्षैतिज अक्ष के साथ बना कोण है।
ग्राफ से,$\theta = 0^{\circ}$ है।
अतः,ढाल $= \tan 0^{\circ} = 0$ है।

(C) दिए गए ग्राफ में,$y$-अक्ष समय $(t)$ को दर्शाता है और $x$-अक्ष विस्थापन $(s)$ को दर्शाता है।
भौतिक गति के लिए,जैसे-जैसे वस्तु गति करती है,समय हमेशा बढ़ना चाहिए।
दिए गए ग्राफ में,जैसे-जैसे वस्तु $B$ से $C$ और फिर $D$ की ओर बढ़ती है,विस्थापन $s$ घटता है जबकि समय $t$ बढ़ता रहता है।
हालाँकि,किसी भी दिए गए समय $t$ पर,एक वस्तु केवल एक ही स्थान $s$ पर हो सकती है।
ग्राफ को देखने पर,समय $t$ के एक ही मान के लिए,विस्थापन $s$ के कई मान संभव हैं,जो गति करती हुई एक अकेली वस्तु के लिए भौतिक रूप से असंभव है।
इसके अलावा,ग्राफ यह दर्शाता है कि वस्तु विस्थापन में पीछे की ओर चल रही है,जो संभव है,लेकिन ग्राफ का विशिष्ट आकार यह दर्शाता है कि एक ही समय के क्षण पर वस्तु कई स्थानों पर है,या अधिक सटीक रूप से,$\frac{ds}{dt}$ के बजाय $\frac{dt}{ds}$ का ग्राफ प्लॉट किया गया है।
चूंकि समय घट नहीं सकता है या एक स्थान के लिए बहु-मूल्यवान नहीं हो सकता है,इसलिए यह ग्राफ भौतिक रूप से असंभव है।

(A) ग्राफ $(2, 0)$ केंद्र और $2 \ m$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। इसका समीकरण इस प्रकार है:
$(s-2)^2 + v^2 = 2^2$
$(s-2)^2 + v^2 = 4$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(s-2) \frac{ds}{dt} + 2v \frac{dv}{dt} = 0$
चूंकि $\frac{ds}{dt} = v$ और $\frac{dv}{dt} = a$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2(s-2)v + 2v \cdot a = 0$
$2v$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $v \neq 0$):
$(s-2) + a = 0$
$a = -(s-2) = 2-s$
बिंदु $(s, v) = (2-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ पर:
$a = 2 - (2-\sqrt{2}) = \sqrt{2} \ ms^{-2}$

(A) तय की गई कुल दूरी $v-t$ ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
ग्राफ से,अधिकतम वेग $V_{max}$,$t_1$ समय पर प्राप्त होता है।
हमारे पास $\tan \theta_1 = \alpha = \frac{V_{max}}{t_1} \implies t_1 = \frac{V_{max}}{\alpha}$ है।
इसी प्रकार,$\tan \theta_2 = \beta = \frac{V_{max}}{t_2} \implies t_2 = \frac{V_{max}}{\beta}$ है।
कुल समय $t = t_1 + t_2 = V_{max} \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right) = V_{max} \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \right)$ है।
अतः,$V_{max} = \frac{\alpha \beta t}{\alpha + \beta}$ प्राप्त होता है।
कुल दूरी $S$ उस त्रिभुज का क्षेत्रफल है जिसका आधार $t$ और ऊँचाई $V_{max}$ है:
$S = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times t \times V_{max}$.
$V_{max}$ का मान रखने पर,हमें $S = \frac{1}{2} \times t \times \left( \frac{\alpha \beta t}{\alpha + \beta} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} \right) t^2$ प्राप्त होता है।

(B) औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय अंतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है: $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$।
विस्थापन $\Delta x$, $t=4 \,s$ और $t=6 \,s$ के बीच वेग-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल है।
$t=6 \,s$ पर, $v=15 \,ms^{-1}$ है। ग्राफ $(0,0)$ से $(6,15)$ तक एक सीधी रेखा है, इसलिए वेग का समीकरण $v(t) = \frac{15}{6}t = 2.5t$ है।
$t=4 \,s$ पर, $v(4) = 2.5 \times 4 = 10 \,ms^{-1}$ है।
$t=4 \,s$ और $t=6 \,s$ के बीच ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल एक समलंब (trapezoid) है जिसकी समानांतर भुजाएँ $v(4)=10 \,ms^{-1}$ और $v(6)=15 \,ms^{-1}$ हैं, और ऊँचाई $\Delta t = 6-4 = 2 \,s$ है।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (v(4) + v(6)) \times \Delta t = \frac{1}{2} \times (10 + 15) \times 2 = 25 \,m$।
औसत वेग $v_{avg} = \frac{25 \,m}{2 \,s} = 12.5 \,ms^{-1}$।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) ट्रेनों के बीच की प्रारंभिक दूरी $d_0 = 300 \, m$ है।
ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी उसके वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
ट्रेन $I$ के लिए, $v-t$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल $A_1 = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 10 \, s \times 40 \, m/s = 200 \, m$ है।
ट्रेन $II$ के लिए, $v-t$ ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल का परिमाण $A_2 = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 8 \, s \times 20 \, m/s = 80 \, m$ है।
चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर विपरीत दिशाओं में चल रही हैं, इसलिए रुकने से पहले दोनों ट्रेनों द्वारा तय की गई कुल दूरी $d_{total} = A_1 + A_2 = 200 \, m + 80 \, m = 280 \, m$ है।
जब दोनों ट्रेनें रुक जाती हैं, तो उनके बीच की अंतिम दूरी $d_{final} = d_0 - d_{total} = 300 \, m - 280 \, m = 20 \, m$ है।

(D) त्वरण $a$ को $a = v \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए ग्राफ से,वेग $v$,विस्थापन $x$ का एक रैखिक फलन है।
अंतराल $0 \le x \le 100$ के लिए,ढाल धनात्मक है। मान लीजिए $v = kx$ (जहाँ $k > 0$)। तब,$a = v \frac{dv}{dx} = (kx)(k) = k^2 x$। यह दर्शाता है कि इस अंतराल में $a$,$x$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
अंतराल $100 \le x \le 200$ के लिए,ढाल ऋणात्मक है। मान लीजिए $v = -k(x - 200) = -kx + 200k$। तब,$a = v \frac{dv}{dx} = (-kx + 200k)(-k) = k^2 x - 200k^2$। यह दर्शाता है कि इस अंतराल में भी $a$,$x$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,लेकिन ऋणात्मक अंतःखंड के साथ।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ पहले भाग में त्वरण में धनात्मक रैखिक वृद्धि और दूसरे भाग में ऋणात्मक मान के साथ धनात्मक रैखिक वृद्धि दर्शाता है,वह विकल्प $D$ है।

(C) वेग को विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$v_y = \frac{dy}{dt}$
$= \frac{d(P t^2 - Q t^3)}{dt}$
$= 2Pt - 3Qt^2$
अधिकतम ऊँचाई पर,कण का ऊर्ध्वाधर वेग शून्य हो जाता है।
$2Pt - 3Qt^2 = 0$
$t(2P - 3Qt) = 0$
चूँकि $t=0$ गति की शुरुआत है,इसलिए अधिकतम ऊँचाई पर समय $t = \frac{2P}{3Q}$ है।
अब,इस समय को विस्थापन समीकरण में रखने पर:
$y_{max} = P(\frac{2P}{3Q})^2 - Q(\frac{2P}{3Q})^3$
$= P(\frac{4P^2}{9Q^2}) - Q(\frac{8P^3}{27Q^3})$
$= \frac{4P^3}{9Q^2} - \frac{8P^3}{27Q^2}$
$= \frac{12P^3 - 8P^3}{27Q^2}$
$= \frac{4P^3}{27Q^2}$

(D) कण का वेग $v$ विस्थापन-समय ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है,जो $v = \tan(\theta)$ है,जहाँ $\theta$ वह कोण है जो ग्राफ समय अक्ष के साथ बनाता है।
पहले कण के लिए,$\theta_1 = 30^{\circ}$,इसलिए इसका वेग $v_1 = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
दूसरे कण के लिए,$\theta_2 = 45^{\circ}$,इसलिए इसका वेग $v_2 = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
उनके वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\tan(30^{\circ})}{\tan(45^{\circ})} = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = 1 : \sqrt{3}$ है।

(B) हम जानते हैं कि दूरी, वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होती है। चूंकि औसत चाल को कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, इसलिए हमें धनात्मक और ऋणात्मक वेग अंतरालों के लिए क्षेत्रफल के परिमाण (magnitude) पर विचार करना चाहिए।
$80 \, s$ में तय की गई कुल दूरी बने हुए त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के मापांक का योग है:
$\text{दूरी } = |Area_{OAB}| + |Area_{BCD}|$
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल ($t=0$ से $t=40 \, s$ तक):
$Area_{OAB} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 40 \, s \times 10 \, m/s = 200 \, m$
त्रिभुज $BCD$ का क्षेत्रफल ($t=40$ से $t=80 \, s$ तक):
$Area_{BCD} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times |\text{ऊंचाई}| = \frac{1}{2} \times 40 \, s \times |-10 \, m/s| = 200 \, m$
कुल दूरी $= 200 \, m + 200 \, m = 400 \, m$
कुल समय $= 80 \, s$
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{400 \, m}{80 \, s} = 5 \, m/s$

(B) से $B$ तक कण की गति के लिए दूरी-समय आलेख चित्र में दिखाया गया है।
आलेख से,$A$ से $C$ और $D$ से $B$ खंडों के लिए दूरी-समय आलेख का ढाल धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि इन अंतरालों में चाल गैर-शून्य है।
औसत चाल को कुल तय की गई दूरी को कुल लिए गए समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। चूंकि $A$ से $B$ तक तय की गई कुल दूरी गैर-शून्य है,इसलिए औसत चाल हमेशा गैर-शून्य होती है।
तात्क्षणिक चाल किसी भी क्षण दूरी-समय आलेख का ढाल होती है। $C$ से $D$ खंड में,आलेख एक क्षैतिज रेखा है,जिसका अर्थ है कि समय के साथ दूरी में कोई परिवर्तन नहीं होता है। इसलिए,ढाल शून्य है,जिसका अर्थ है कि इस अंतराल के दौरान तात्क्षणिक चाल शून्य है।
अतः,औसत चाल हमेशा गैर-शून्य होती है,लेकिन तात्क्षणिक चाल शून्य हो सकती है। इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(C) कण की स्थिति फलन $y(t) = 10 t e^{-2 t}$ द्वारा दी गई है।
यह ज्ञात करने के लिए कि कण क्षणिक रूप से कब रुकता है,हम समय $t$ के सापेक्ष $y(t)$ का अवकलन करके उसका वेग $v$ निकालते हैं:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (10 t e^{-2 t})$.
गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए,$v = 10 [t \cdot (-2 e^{-2 t}) + e^{-2 t} \cdot 1] = 10 e^{-2 t} (1 - 2 t)$.
कण क्षणिक रूप से तब रुकता है जब $v = 0$ हो,जिसका अर्थ है $1 - 2 t = 0$,इसलिए $t = \frac{1}{2} \ s$.
अब,मूल बिंदु से दूरी ज्ञात करने के लिए $t = \frac{1}{2} \ s$ को स्थिति समीकरण में रखने पर:
$y(\frac{1}{2}) = 10 \times (\frac{1}{2}) \times e^{-2 \times (\frac{1}{2})} = 5 \times e^{-1} = \frac{5}{e} \ m$.

(B) पक्षी का वेग $v(t) = t - 2$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि दूरी वेग के परिमाण का समाकलन (integral) है, हम गणना करते हैं:
$\text{दूरी} = \int_{0}^{4} |v(t)| \text{ dt} = \int_{0}^{4} |t - 2| \text{ dt}$.
हम समाकलन को $t = 2 \text{ s}$ पर विभाजित करते हैं जहाँ वेग का चिह्न बदलता है:
$\text{दूरी} = \int_{0}^{2} -(t - 2) \text{ dt} + \int_{2}^{4} (t - 2) \text{ dt}$.
पहले भाग का मूल्यांकन:
$\int_{0}^{2} (2 - t) \text{ dt} = [2t - \frac{t^2}{2}]_{0}^{2} = (4 - 2) - 0 = 2 \text{ m}$.
दूसरे भाग का मूल्यांकन:
$\int_{2}^{4} (t - 2) \text{ dt} = [\frac{t^2}{2} - 2t]_{2}^{4} = (8 - 8) - (2 - 4) = 0 - (-2) = 2 \text{ m}$.
कुल दूरी $= 2 \text{ m} + 2 \text{ m} = 4 \text{ m}$.

(A) वेग-समय ग्राफ एक समलंब चतुर्भुज है। मान लीजिए कि कार $t_1$ समय के लिए त्वरित होती है और $t_1$ समय के लिए मंदित होती है। वह समय जिसके लिए यह एकसमान वेग से चलती है,$(25 - 2t_1) \ s$ है।
अधिकतम वेग $v_{max} = a \times t_1 = 5t_1$.
औसत वेग $v_{avg} = 72 \ km \ hr^{-1} = 72 \times \frac{5}{18} \ m \ s^{-1} = 20 \ m \ s^{-1}$.
कुल विस्थापन $S = v_{avg} \times t_{total} = 20 \times 25 = 500 \ m$.
वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल विस्थापन है:
$S = \frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$
$500 = \frac{1}{2} \times [ (25 - 2t_1) + 25 ] \times 5t_1$
$1000 = (50 - 2t_1) \times 5t_1$
$1000 = 250t_1 - 10t_1^2$
$10t_1^2 - 250t_1 + 1000 = 0$
$t_1^2 - 25t_1 + 100 = 0$
$(t_1 - 20)(t_1 - 5) = 0$
चूंकि $t_1$ को $12.5 \ s$ से कम होना चाहिए (क्योंकि $2t_1 < 25$),इसलिए $t_1 = 5 \ s$.
वह समय जिसके लिए कार एकसमान वेग से चली,$25 - 2t_1 = 25 - 2(5) = 15 \ s$ है।

(B) $v$ बनाम $x$ ग्राफ का समीकरण एक सीधी रेखा है जिसका ढाल ऋणात्मक है और $v$-अक्ष पर अंतःखंड धनात्मक है:
$v = C_1 - C_2 x$,जहाँ $C_1$ और $C_2$ धनात्मक स्थिरांक हैं।
त्वरण $a$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$a = v \frac{dv}{dx}$
$v$ का समीकरण और उसका अवकलज $\frac{dv}{dx} = -C_2$ रखने पर:
$a = (C_1 - C_2 x) \times (-C_2)$
$a = C_2^2 x - C_1 C_2$
यह समीकरण $a = mx + c$ के रूप में है,जहाँ ढाल $m = C_2^2$ (धनात्मक) और अंतःखंड $c = -C_1 C_2$ (ऋणात्मक) है।
अतः,$a$ बनाम $x$ का ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसका ढाल धनात्मक है और $a$-अक्ष पर अंतःखंड ऋणात्मक है,जो विकल्प $B$ के अनुरूप है।

(C) दूरी तय किया गया कुल पथ है,जो $|v|$ बनाम $t$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफलों का योग है।
$0$ से $20 \text{ s}$ के अंतराल के लिए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_1 = 1/2 \times 20 \times 5 = 50 \text{ m}$ है।
$20$ से $40 \text{ s}$ के अंतराल के लिए,वेग का परिमाण $5 \text{ m/s}$ है,इसलिए क्षेत्रफल $A_2 = 1/2 \times 20 \times 5 = 50 \text{ m}$ है।
कुल दूरी $= A_1 + A_2 = 50 + 50 = 100 \text{ m}$।
विस्थापन स्थिति में शुद्ध परिवर्तन है,जो $v$ बनाम $t$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफलों का बीजगणितीय योग है।
विस्थापन $= A_1 - A_2 = 50 - 50 = 0 \text{ m}$।
औसत वेग $= \text{विस्थापन} / \text{कुल समय} = 0 / 40 = 0 \text{ m/s}$।

(C) जब किसी गेंद को प्रारंभिक वेग $u$ के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो किसी भी समय $t$ पर उसका वेग गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है: $v = u - gt$,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
$1$. प्रारंभ में,वेग धनात्मक $(v = u)$ होता है।
$2$. जैसे-जैसे गेंद ऊपर जाती है,गुरुत्वीय त्वरण $g$ के कारण वेग समय के साथ रैखिक रूप से घटता है।
$3$. अधिकतम ऊँचाई पर,वेग शून्य हो जाता है।
$4$. अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने के बाद,गेंद नीचे गिरना शुरू कर देती है। इस चरण के दौरान,वेग ऋणात्मक हो जाता है (क्योंकि यह प्रारंभिक ऊपर की दिशा के विपरीत होता है) और इसका परिमाण समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
यह रैखिक संबंध $v = u - gt$ एक ऋणात्मक ढाल $(-g)$ वाली सीधी रेखा को दर्शाता है। आरेख $(C)$ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है,जो एक धनात्मक प्रारंभिक वेग से शुरू होता है,समय अक्ष को पार करता है (जहाँ $v = 0$ होता है),और ऋणात्मक वेग क्षेत्र में आगे बढ़ता है।