Instantaneous Velocity and Speed and Velocity-time Graph Questions in Hindi

(A) नियत धनात्मक त्वरण $a > 0$ के साथ गति के लिए,गति का समीकरण $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह समीकरण $t$ में द्विघात है और $t^2$ का गुणांक धनात्मक है,इसलिए $x-t$ ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय होता है।
इस वक्र के स्पर्शरेखा की ढाल वेग को दर्शाती है,जो समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है।

(B) वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाला क्षेत्रफल वस्तु के विस्थापन को दर्शाता है।
गणितीय रूप से,यह क्षेत्रफल समाकलन $\int v \, dt$ द्वारा दिया जाता है,जो दिए गए समयांतराल में वस्तु की स्थिति में परिवर्तन या विस्थापन $(\Delta x)$ के बराबर होता है।

(B) नहीं,किसी गतिमान वस्तु का स्थिति-समय ग्राफ स्थिति अक्ष के समानांतर नहीं हो सकता है।
यदि ग्राफ स्थिति अक्ष के समानांतर होता है,तो इसका अर्थ यह होगा कि वस्तु एक ही समय पर कई स्थितियों में है।
इसका अर्थ यह होगा कि वस्तु का वेग अनंत है,जो एक गतिमान वस्तु के लिए भौतिक रूप से असंभव है।

(B) त्वरण-समय ग्राफ में $y$-अक्ष पर त्वरण $a$ और $x$-अक्ष पर समय $t$ को दर्शाया जाता है।
त्वरण-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल समाकलन $\int a \, dt$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $a = \frac{dv}{dt}$,इसलिए $dv = a \, dt$ होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int_{v_1}^{v_2} dv = \int_{t_1}^{t_2} a \, dt$,जो $\Delta v = v_2 - v_1$ देता है।
अतः,त्वरण-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल दिए गए समयांतराल के दौरान कण के वेग में होने वाले परिवर्तन को दर्शाता है।

(A) $v-t$ ग्राफ का ढाल $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है,जो त्वरण को दर्शाता है।
$v-t$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाला क्षेत्रफल वस्तु के विस्थापन को दर्शाता है।

(B) स्पीडोमीटर समय के किसी विशेष क्षण पर वेग का परिमाण मापता है,जिसे तात्क्षणिक चाल के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह गति की दिशा के बारे में जानकारी प्रदान नहीं करता है,इसलिए यह वेग को नहीं माप सकता है।

(A) स्थिति-समय ग्राफ की ढाल वस्तु के वेग को दर्शाती है।
चूंकि ग्राफ एक सीधी रेखा है,इसलिए इसकी ढाल स्थिर है,जिसका अर्थ है कि वस्तु का वेग स्थिर है।
त्वरण को वेग परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि वेग स्थिर है,इसलिए वेग परिवर्तन की दर शून्य है।
अतः,वस्तु का त्वरण $0 \ m/s^2$ है और वेग स्थिर है।

(A) $v-t$ ग्राफ की ढाल वस्तु के त्वरण को दर्शाती है।
ढाल $a = \tan \theta$,जहाँ $\theta$ समय अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $\theta_{1} = 30^{\circ}$ और $\theta_{2} = 45^{\circ}$ दिया गया है।
उनके त्वरण का अनुपात $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{\tan \theta_{1}}{\tan \theta_{2}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 45^{\circ}}$.
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\tan 45^{\circ} = 1$,हमें प्राप्त होता है $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,त्वरण का अनुपात $1 : \sqrt{3}$ है।

(A) यह कथन सत्य है।
स्थिति-समय ग्राफ की ढाल वस्तु के वेग को दर्शाती है।
यदि वस्तु का वेग ऋणात्मक है (अर्थात,वस्तु चुनी गई धनात्मक दिशा के विपरीत दिशा में गति कर रही है),तो $x-t$ ग्राफ की ढाल ऋणात्मक होगी।

(B) $x-t$ ग्राफ का ढाल वस्तु के वेग को दर्शाता है।
यदि त्वरण नियत है,तो वेग समान दर से बदलता है,जिसका अर्थ है कि वेग नियत नहीं है।
चूंकि वेग $x-t$ ग्राफ का ढाल है,इसलिए बदलते हुए वेग का अर्थ है कि $x-t$ ग्राफ का ढाल बदल रहा है।
अतः,नियत त्वरण के लिए $x-t$ ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है,न कि एक सीधी रेखा।
इसलिए,दिया गया कथन असत्य है।

(N/A) स्थिति-समय $(x-t)$ ग्राफ का ढाल वस्तु का वेग दर्शाता है।
दिए गए दोनों ग्राफ में,ढाल स्थिर और ऋणात्मक है।
चूंकि ढाल ऋणात्मक है,इसलिए दोनों स्थितियों में वस्तु का वेग ऋणात्मक है।

(A-III, B-II, C-IV, D-I) हम प्रत्येक वक्र के ढलान का विश्लेषण करते हैं,जो वेग $v = \frac{dx}{dt}$ को दर्शाता है,और वक्रता,जो त्वरण $a = \frac{d^2x}{dt^2}$ से संबंधित है।
$1$. ग्राफ $(A)$: वक्र $t$-अक्ष को बिंदु $B$ पर काटता है,जिसका अर्थ है कि कुछ $t > 0$ के लिए विस्थापन $x = 0$ है। अतः,$(A)$ का मिलान $(iii)$ से होता है।
$2$. ग्राफ $(B)$: वक्र $t$-अक्ष के ऊपर रहता है $(x > 0)$। इसका शिखर $B_1$ पर है जहाँ ढलान $v = 0$ है। इसमें $B_1$ और $C_1$ के बीच वक्रता बदलने का एक बिंदु भी है जहाँ $a = 0$ है। अतः,$(B)$ का मिलान $(ii)$ से होता है।
$3$. ग्राफ $(C)$: ढलान पूरी गति के दौरान ऋणात्मक है $(v < 0)$ और वक्र ऊपर की ओर मुड़ा हुआ है (ढलान कम ऋणात्मक होता है),जिसका अर्थ है कि $a > 0$ है। अतः,$(C)$ का मिलान $(iv)$ से होता है।
$4$. ग्राफ $(D)$: ढलान धनात्मक है $(v > 0)$ और वक्र नीचे की ओर मुड़ा हुआ है (ढलान घटता है),जिसका अर्थ है कि $a < 0$ है। अतः,$(D)$ का मिलान $(i)$ से होता है।
अंतिम मिलान: $(A)-(iii), (B)-(ii), (C)-(iv), (D)-(i)$.

(N/A) तात्क्षणिक वेग को समय के किसी विशिष्ट क्षण या पथ के किसी विशिष्ट बिंदु पर वस्तु के वेग के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,यह औसत वेग की सीमा है जब समय अंतराल $\Delta t$ शून्य की ओर अग्रसर होता है।
इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$.
यहाँ,$dx$ सूक्ष्म विस्थापन है और $dt$ सूक्ष्म समय अंतराल है।
ग्राफ के अनुसार,स्थिति-समय ग्राफ पर किसी भी बिंदु पर तात्क्षणिक वेग उस बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा (tangent) के ढाल (slope) के बराबर होता है।

(N/A) ग्राफ से,$x=0$ पर प्रारंभिक वेग $v_{0}$ है और $x=x_{0}$ पर वेग $0$ है।
$(a)$ $v$-अक्ष पर $v_{0}$ अंतःखंड और $x$-अक्ष पर $x_{0}$ अंतःखंड वाली सरल रेखा का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{v}{v_{0}} + \frac{x}{x_{0}} = 1$
$v = v_{0} \left(1 - \frac{x}{x_{0}}\right) = v_{0} - \frac{v_{0}}{x_{0}}x$
$(b)$ हम जानते हैं कि त्वरण $a = v \frac{dv}{dx}$ होता है।
संबंध $v = v_{0} - \frac{v_{0}}{x_{0}}x$ से,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = -\frac{v_{0}}{x_{0}}$
इन मानों को $a$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \left(v_{0} - \frac{v_{0}}{x_{0}}x\right) \left(-\frac{v_{0}}{x_{0}}\right)$
$a = -\frac{v_{0}^{2}}{x_{0}} + \frac{v_{0}^{2}}{x_{0}^{2}}x$
यह $a = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ ढाल $\frac{v_{0}^{2}}{x_{0}^{2}}$ है और अंतःखंड $-\frac{v_{0}^{2}}{x_{0}}$ है। ग्राफ एक सीधी रेखा है जो $x=0$ पर $-\frac{v_{0}^{2}}{x_{0}}$ से शुरू होती है और $a=0$ पर $x=x_{0}$ से होकर गुजरती है।

(N/A) पथ लंबाई हमेशा धनात्मक होती है।
$(b)$ त्वरित गति करने वाली वस्तु के वेग-समय ग्राफ की ढाल नियत और अशून्य होती है (जो त्वरण को दर्शाती है)।
$(c)$ यदि वेग-समय ग्राफ समय-अक्ष के समानांतर है,तो वेग नियत रहता है,जिसका अर्थ है कि वस्तु एकसमान वेग से गति कर रही है (त्वरण शून्य है)।

(A) दूरी-समय $(d-t)$ ग्राफ की ढाल वस्तु के वेग को दर्शाती है।
$(1)$ वेग घटता है: यह नीचे की ओर वक्र (concave down) ग्राफ के अनुरूप है जहाँ ढाल समय के साथ घटती है। यह ग्राफ $(c)$ से मेल खाता है।
$(2)$ वेग बढ़ता है: यह ऊपर की ओर वक्र (concave up) ग्राफ के अनुरूप है जहाँ ढाल समय के साथ बढ़ती है। यह ग्राफ $(b)$ से मेल खाता है।
$(3)$ वेग नियत है: यह एक सीधी रेखा के अनुरूप है जिसकी ढाल नियत रहती है। यह ग्राफ $(a)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(1-c, 2-b, 3-a)$ है।

(N/A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \text{ kg}$।
बल $\vec{F} = m\vec{a} = 1 \cdot (a_x \hat{i} + a_y \hat{j}) = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$।
$v_x - t$ आरेख $(a)$ के लिए:
$1$. $0 \le t \le 1 \text{ s}$ के लिए,ढाल $a_x = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2 \text{ m/s}^2$। अतः,$F_x = 1 \times 2 = 2 \text{ N}$।
$2$. $1 \le t \le 2 \text{ s}$ के लिए,ढाल $a_x = \frac{0 - 2}{2 - 1} = -2 \text{ m/s}^2$। अतः,$F_x = 1 \times (-2) = -2 \text{ N}$।
$v_y - t$ आरेख $(b)$ के लिए:
$1$. $0 \le t \le 1 \text{ s}$ के लिए,ढाल $a_y = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1 \text{ m/s}^2$। अतः,$F_y = 1 \times 1 = 1 \text{ N}$।
$2$. $t > 1 \text{ s}$ के लिए,वेग स्थिर है,इसलिए $a_y = 0$। अतः,$F_y = 0 \text{ N}$।
परिणामी बल $\vec{F}(t)$:
- $0 \le t \le 1 \text{ s}$ के लिए: $\vec{F} = 2\hat{i} + 1\hat{j} \text{ N}$।
- $1 < t \le 2 \text{ s}$ के लिए: $\vec{F} = -2\hat{i} + 0\hat{j} = -2\hat{i} \text{ N}$।
- $t > 2 \text{ s}$ के लिए: $\vec{F} = 0\hat{i} + 0\hat{j} = 0 \text{ N}$।

(B) किसी कण द्वारा तय की गई दूरी चाल-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
दिए गए ग्राफ से,बनने वाली आकृति एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $b = 5\, s$ और ऊँचाई $h = 8\, m/s$ है।
दूरी $= \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
दूरी $= \frac{1}{2} \times 5\, s \times 8\, m/s = 20\, m$.
अतः,कण द्वारा तय की गई दूरी $20\, m$ है।

(A) तय की गई कुल दूरी वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफलों के परिमाणों का योग है।
$1$. क्षेत्रफल $A_1$ ($t=0$ से $t=4$ तक): यह एक समलंब है जिसकी समानांतर भुजाएँ $4 \; s$ और $1 \; s$ हैं,और ऊँचाई $4 \; m/s$ है।
$A_1 = \frac{1}{2} \times (4 + 1) \times 4 = 10 \; m$.
$2$. क्षेत्रफल $A_2$ ($t=4$ से $t=6$ तक): यह एक त्रिभुज है जिसका आधार $(6 - 4) = 2 \; s$ और ऊँचाई $2 \; m/s$ है।
$A_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \; m$.
कुल दूरी $= |A_1| + |A_2| = 10 + 2 = 12 \; m$.

(A) दिए गए वेग-विस्थापन ग्राफ से,$0 \leq x \leq 200 \ m$ के लिए,ग्राफ $(0, 10)$ और $(200, 50)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
रेखा का समीकरण $v = mx + C$ है।
ढाल $m = \frac{50 - 10}{200 - 0} = \frac{40}{200} = \frac{1}{5} \ m^{-1}s^{-1}$।
अंतःखंड $C = 10 \ m/s$।
अतः,$v = \frac{1}{5}x + 10$।
त्वरण $a = v \frac{dv}{dx} = (\frac{1}{5}x + 10) \frac{d}{dx}(\frac{1}{5}x + 10) = (\frac{1}{5}x + 10)(\frac{1}{5}) = \frac{x}{25} + 2$।
$x = 0$ पर,$a = 2 \ m/s^2$।
$x = 200$ पर,$a = \frac{200}{25} + 2 = 8 + 2 = 10 \ m/s^2$।
$x > 200 \ m$ के लिए,$v = 50 \ m/s$ (स्थिर)।
चूंकि $v$ स्थिर है,$a = \frac{dv}{dt} = 0$।
इसे दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ गणना किए गए मानों का सबसे निकटतम प्रतिनिधित्व है।

(C) माना $t _{1}$ त्वरण का समय है और $t _{2}$ मंदन का समय है। प्राप्त अधिकतम वेग $v _{0}$ है।
गति के समीकरणों से:
$v _{0} = \alpha t _{1} \Rightarrow t _{1} = \frac{v _{0}}{\alpha}$
$0 = v _{0} - \beta t _{2} \Rightarrow t _{2} = \frac{v _{0}}{\beta}$
चूंकि कुल समय $t = t _{1} + t _{2}$ दिया गया है,हमारे पास है:
$t = \frac{v _{0}}{\alpha} + \frac{v _{0}}{\beta} = v _{0} \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \right)$
अतः,अधिकतम वेग $v _{0} = \frac{\alpha \beta t}{\alpha + \beta}$ है।
तय की गई कुल दूरी $v-t$ ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल है,जो $t$ आधार और $v _{0}$ ऊंचाई वाला एक त्रिभुज है:
दूरी $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times t \times v _{0}$
$v _{0}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
दूरी $= \frac{1}{2} \times t \times \left( \frac{\alpha \beta t}{\alpha + \beta} \right) = \frac{\alpha \beta t ^{2}}{2(\alpha + \beta)}$

(C) दिए गए ग्राफ से,वेग $v$,विस्थापन $x$ के फलन के रूप में एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है।
रेखा के समीकरण $y = mx + c$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$v = -\left(\frac{v_{0}}{x_{0}}\right)x + v_{0}$
हम जानते हैं कि त्वरण $a$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$a = v \frac{dv}{dx}$
सबसे पहले,अवकलज $\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dv}{dx} = -\frac{v_{0}}{x_{0}}$
अब,$a$ के व्यंजक में $v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान प्रतिस्थापित करें:
$a = \left[-\left(\frac{v_{0}}{x_{0}}\right)x + v_{0}\right] \left[-\frac{v_{0}}{x_{0}}\right]$
$a = \left(\frac{v_{0}}{x_{0}}\right)^{2}x - \frac{v_{0}^{2}}{x_{0}}$
यह समीकरण एक धनात्मक ढाल $\left(\frac{v_{0}}{x_{0}}\right)^{2}$ और ऋणात्मक अंतःखंड $-\frac{v_{0}^{2}}{x_{0}}$ वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है। विकल्पों को देखने पर,ग्राफ $C$ एक रैखिक संबंध को दर्शाता है जहाँ $a$ एक ऋणात्मक मान से शुरू होकर $x$ के साथ बढ़ता है,जो हमारे व्युत्पन्न समीकरण से मेल खाता है।

(B) त्वरण $a$ को वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ के ढाल (slope) के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $a = \frac{dv}{dt}$।
दिए गए $v-t$ ग्राफ में,खंड $AM$ एक निरंतर ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है। इसलिए,इस अंतराल के दौरान त्वरण स्थिर और ऋणात्मक है।
खंड $MB$ एक निरंतर धनात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है। इसलिए,इस अंतराल के दौरान त्वरण स्थिर और धनात्मक है।
इस प्रकार,त्वरण-समय ग्राफ पहले एक स्थिर ऋणात्मक मान और उसके बाद एक स्थिर धनात्मक मान दिखाएगा,जो विकल्प $B$ में दिखाए गए आकार से मेल खाता है।

(B) मान लीजिए कि स्कूटर द्वारा प्राप्त अधिकतम वेग $v_{\max}$ है।
त्वरण चरण के दौरान,अंतिम वेग $v_{\max} = 0 + a_{1}t_{1}$ है,इसलिए $t_{1} = \frac{v_{\max}}{a_{1}}$।
मंदन चरण के दौरान,अंतिम वेग $0 = v_{\max} - a_{2}t_{2}$ है,इसलिए $t_{2} = \frac{v_{\max}}{a_{2}}$।
दोनों समय का अनुपात लेने पर:
$\frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{v_{\max} / a_{1}}{v_{\max} / a_{2}} = \frac{a_{2}}{a_{1}}$।
वैकल्पिक रूप से,वेग-समय ग्राफ का उपयोग करते हुए,त्वरण भाग का ढाल $a_{1} = \tan \theta_{1} = \frac{v_{\max}}{t_{1}}$ है और मंदन भाग के ढाल का परिमाण $a_{2} = \tan \theta_{2} = \frac{v_{\max}}{t_{2}}$ है।
अतः,$\frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{a_{2}}{a_{1}}$।

(A) इसे हल करने के लिए,हम स्थिति-समय $(x-t)$ ग्राफ के ढलान का विश्लेषण करते हैं,जो वेग $(v = dx/dt)$ का प्रतिनिधित्व करता है,और वक्रता,जो त्वरण $(a = d^2x/dt^2)$ का प्रतिनिधित्व करती है।
$1$. ग्राफ $(A)$: वक्र बिंदु $B$ पर $t$-अक्ष को काटता है,जहाँ विस्थापन $x = 0$ है। अतः,$(A) \rightarrow (r)$।
$2$. ग्राफ $(B)$: वक्र $t$-अक्ष के ऊपर रहता है ($x > 0$ पूरे समय)। शीर्ष बिंदु $B_1$ पर,ढलान शून्य है $(v = 0)$। $B_1$ और $D_1$ के बीच एक मोड़ बिंदु है जहाँ वक्रता बदलती है,जिसका अर्थ है $a = 0$। अतः,$(B) \rightarrow (q)$।
$3$. ग्राफ $(C)$: ढलान हमेशा ऋणात्मक है $(v < 0)$ और वक्र ऊपर की ओर अवतल है $(a > 0)$। अतः,$(C) \rightarrow (s)$।
$4$. ग्राफ $(D)$: ढलान हमेशा धनात्मक है $(v > 0)$ और वक्र नीचे की ओर अवतल है $(a < 0)$। अतः,$(D) \rightarrow (p)$।
अतः,सही मिलान $(A \rightarrow r, B \rightarrow q, C \rightarrow s, D \rightarrow p)$ है।

(C) कण का वेग विस्थापन-समय ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{dx}{dt} = \tan \theta$
दिए गए कोण $\theta_1 = 30^{\circ}$ और $\theta_2 = 45^{\circ}$ हैं,इसलिए उनके वेगों का अनुपात होगा:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 45^{\circ}}$
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः,वेगों का अनुपात $1: \sqrt{3}$ है।

(A) गोली नीचे की ओर गति कर रही है। मान लीजिए कि नीचे की दिशा ऋणात्मक है। प्रारंभिक वेग $u = -100\,m/s$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$ नीचे की ओर है,इसलिए $a = -10\,m/s^2$ है।
किसी भी समय $t$ ($0 \le t \le 10\,s$ के लिए) पर वेग $v = u + at = -100 - 10t$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 0\,s$ पर,$v = -100\,m/s$ है।
$t = 10\,s$ पर,$v = -100 - 10(10) = -200\,m/s$ है।
$t = 10\,s$ के बाद,गोली जमीन से टकराती है और स्थिर हो जाती है,इसलिए $10\,s < t \le 20\,s$ के लिए $v = 0$ है।
ग्राफ $-100\,m/s$ से शुरू होता है,$t = 10\,s$ पर $-200\,m/s$ तक रैखिक रूप से घटता है,और फिर $t = 10\,s$ से $t = 20\,s$ तक $0$ पर रहता है। यह विकल्प $A$ में दिए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) दिया गया संबंध $t = \sqrt{x} + 4$ है।
सबसे पहले,$\sqrt{x}$ को अलग करें:
$\sqrt{x} = t - 4$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x = (t - 4)^2$
$x = t^2 - 8t + 16$
अब,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन (differentiation) करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 8t + 16)$
$\frac{dx}{dt} = 2t - 8$
अंत में,$t = 4$ पर अवकलज का मान ज्ञात करने पर:
$\left(\frac{dx}{dt}\right)_{t=4} = 2(4) - 8$
$\left(\frac{dx}{dt}\right)_{t=4} = 8 - 8 = 0$

(B) सही उत्तर $B$ है।
$1$. ब्लॉक $1$ के लिए,गति पूरी गति के दौरान $v$ पर स्थिर रहती है क्योंकि ट्रैक क्षैतिज और घर्षणरहित है।
$2$. ब्लॉक $2$ के लिए,जैसे ही यह ढलान में प्रवेश करता है,यह स्थितिज ऊर्जा प्राप्त करता है जो गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। इस प्रकार,ढलान में रहने के दौरान इसकी गति $v$ से अधिक हो जाती है।
$3$. ढलान को पार करने के बाद,ब्लॉक वापस क्षैतिज स्तर पर चढ़ते समय अपनी मूल गति $v$ पर वापस आ जाता है।
$4$. चूंकि ब्लॉक $2$ ट्रैक के एक हिस्से को $v$ से अधिक गति के साथ तय करता है,इसलिए पूरी दूरी के लिए इसकी औसत गति ब्लॉक $1$ की स्थिर गति $v$ से अधिक होती है।
$5$. परिणामस्वरूप,ब्लॉक $2$ समान कुल क्षैतिज दूरी को ब्लॉक $1$ की तुलना में कम समय में तय करता है।

(C) गेंद की गति को तीन भागों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. $A$ से $B$ तक: सतह क्षैतिज है,इसलिए गेंद एक स्थिर वेग के साथ चलती है। दूरी-समय ग्राफ एक स्थिर ढलान वाली सीधी रेखा है।
$2$. $B$ से $C$ तक: सतह झुकी हुई है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण के कारण गेंद त्वरित होती है। वेग बढ़ता है,और दूरी-समय ग्राफ बढ़ती ढलान के साथ एक परवलयिक वक्र है।
$3$. $C$ से $D$ तक: सतह फिर से क्षैतिज है,इसलिए गेंद एक नए स्थिर वेग (प्रारंभिक वेग से अधिक) के साथ चलती है। दूरी-समय ग्राफ $A B$ अनुभाग की तुलना में अधिक स्थिर ढलान वाली एक सीधी रेखा है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ इस व्यवहार का सही प्रतिनिधित्व करता है,जहाँ प्रारंभिक सीधे अनुभाग के बाद ढलान बढ़ जाती है और फिर एक उच्च मान पर स्थिर रहती है।

(B) प्रथम $4 \, s$ के लिए,वस्तु विरामावस्था $(u = 0)$ से $a = 1 \, m/s^2$ के एकसमान त्वरण के साथ गति शुरू करती है। समय $t$ के फलन के रूप में स्थिति $x$ को $x = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}(1)t^2 = \frac{t^2}{2}$ द्वारा दिया जाता है। यह मूल बिंदु से शुरू होने वाला ऊपर की ओर खुलने वाला परवलयाकार वक्र दर्शाता है।
$t = 4 \, s$ पर,वेग $v = u + at = 0 + (1)(4) = 4 \, m/s$ है। $t = 4 \, s$ पर स्थिति $x = \frac{(4)^2}{2} = 8 \, m$ है।
$t > 4 \, s$ के लिए,वस्तु $4 \, m/s$ के नियत वेग से गति करती है। समय $t$ के फलन के रूप में स्थिति $x$ को $x = x_0 + v(t - t_0) = 8 + 4(t - 4) = 8 + 4t - 16 = 4t - 8$ द्वारा दिया जाता है। यह $4 \, m/s$ के नियत धनात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
ग्राफ में $0 \le t \le 4 \, s$ के लिए परवलयाकार वक्र और $t > 4 \, s$ के लिए $t = 4 \, s$ पर निरंतर ढाल वाली एक सीधी रेखा होनी चाहिए। विकल्प $(b)$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) विस्थापन-समय ग्राफ में,किसी भी बिंदु पर वेग उस बिंदु पर वक्र के स्पर्शरेखा (tangent) के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है।
चाल,वेग का परिमाण है,इसलिए ढाल का परिमाण चाल को दर्शाता है।
बिंदु $P$ पर,स्पर्शरेखा क्षैतिज है,इसलिए ढाल $0$ है,जिसका अर्थ है कि चाल $0$ है।
बिंदु $Q$ पर,ढाल छोटा है (वक्र अपेक्षाकृत सपाट है)।
बिंदु $R$ पर,स्पर्शरेखा बहुत तीव्र है,जिसका अर्थ है कि ढाल का परिमाण $|m| = |\tan \theta|$ तीनों बिंदुओं में सबसे अधिक है।
चूंकि चाल ढाल का परिमाण है,इसलिए बिंदु $R$ पर चाल सबसे अधिक है। अतः,ग्राफ के पिछले हिस्से से बिंदु $R$ की ओर बढ़ने पर चाल बढ़ रही है।

(D) सही विकल्प $(d)$ है।
$1$. कण का वेग $v$,स्थिति-समय $(x-t)$ ग्राफ के ढलान द्वारा दिया जाता है,अर्थात $v = \frac{dx}{dt}$।
$2$. प्रारंभ में,$x-t$ ग्राफ का ढलान ऋणात्मक है और बढ़ रहा है (कम ऋणात्मक हो रहा है),फिर यह धनात्मक हो जाता है और बढ़ता है,और अंत में,यह धनात्मक हो जाता है और घटता है (शिखर पर ढलान शून्य के करीब पहुंचता है)।
$3$. त्वरण $a$,वेग के परिवर्तन की दर है,अर्थात $a = \frac{dv}{dt}$,जो वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ के ढलान के अनुरूप है।
$4$. दिए गए $x-t$ ग्राफ से,वक्रता अवतल (concave up) से उत्तल (concave down) में बदल जाती है। इसका तात्पर्य यह है कि त्वरण शुरू में धनात्मक है (जैसे-जैसे वेग बढ़ता है) और अंततः ऋणात्मक हो जाता है (जैसे-जैसे वेग घटता है)।
$5$. दिए गए विकल्पों में से,व्यंजक $a = p - qt$ (जहाँ $p, q > 0$) एक ऐसे त्वरण को दर्शाता है जो धनात्मक मान $p$ से शुरू होता है और समय $t$ के साथ रैखिक रूप से घटता है,और अंततः ऋणात्मक हो जाता है। यह ग्राफ में देखे गए भौतिक व्यवहार से मेल खाता है।

(B) चाल,वेग का परिमाण है। यदि किसी वस्तु की चाल परिवर्ती है,तो इसका अर्थ है कि उसके वेग का परिमाण समय के साथ बदल रहा है।
चूंकि वेग एक सदिश राशि है जिसे परिमाण और दिशा दोनों द्वारा परिभाषित किया जाता है,इसलिए वेग के परिमाण में परिवर्तन का अर्थ है कि वेग सदिश स्वयं बदल रहा है।
अतः,यदि चाल परिवर्ती है,तो वेग भी परिवर्ती होना चाहिए।

(B) कण की स्थिति $x = 10t - 2t^2$ द्वारा दी गई है।
वेग $(v)$ ज्ञात करने के लिए,हम समय $(t)$ के सापेक्ष स्थिति का अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(10t - 2t^2) = 10 - 4t$.
कण के क्षण भर के लिए विराम अवस्था में आने के लिए,इसका वेग शून्य होना चाहिए:
$v = 0$.
वेग के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$10 - 4t = 0$.
$4t = 10$.
$t = \frac{10}{4} = 2.5 \, s$.
अतः,कण $t = 2.5 \, s$ पर विराम अवस्था में आता है।

(C) वस्तु का वेग स्थिति-समय ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है,जो $v = \frac{dx}{dt}$ है।
एक वस्तु तब विराम अवस्था में आती है जब उसका वेग शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि स्थिति-समय ग्राफ का ढाल शून्य होना चाहिए।
दिए गए ग्राफ में,ढाल उन बिंदुओं पर शून्य है जहाँ वक्र का स्थानीय अधिकतम (local maximum) और स्थानीय न्यूनतम (local minimum) मान है।
चूंकि $O$ और $A$ के बीच एक स्थानीय अधिकतम और एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है,इसलिए इन दो बिंदुओं पर ढाल शून्य है।
अतः,वस्तु $2$ बार विराम अवस्था में आती है।

(A) सही उत्तर $A$ है।
चाल-समय ग्राफ में,चाल एक अदिश राशि है और यह हमेशा शून्य या धनात्मक होनी चाहिए।
ग्राफ $A$ दर्शाता है कि चाल घटकर शून्य हो जाती है और फिर से बढ़ती है,जो सीधी रेखा में गति करने वाली वस्तु के लिए भौतिक रूप से संभव है।
ग्राफ $B$ में चाल ऋणात्मक हो जाती है,जो असंभव है क्योंकि चाल कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती।
ग्राफ $C$ दर्शाता है कि समय के एक ही क्षण पर,वस्तु की दो अलग-अलग चालें हैं,जो असंभव है।
ग्राफ $D$ एक स्थिति-समय ग्राफ है जहाँ एक ही स्थिति पर वस्तु कई समय पर मौजूद है,जो संभव है,लेकिन प्रश्न सीधी रेखा में गति करने वाली वस्तु के ग्राफ के बारे में है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$A$ एक मान्य चाल-समय ग्राफ है जहाँ चाल हमेशा $\ge 0$ रहती है।

(D) विस्थापन-समय ग्राफ में कण का वेग रेखा के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है,जो $\tan \theta$ है,जहाँ $\theta$ रेखा द्वारा समय अक्ष ($X$-अक्ष) के साथ बनाया गया कोण है।
दिए गए ग्राफ से:
कण $A$ के लिए,$X$-अक्ष के साथ कोण $\theta_A = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
अतः,$A$ का वेग $v_A = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
कण $B$ के लिए,$X$-अक्ष के साथ कोण $\theta_B = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
अतः,$B$ का वेग $v_B = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ है।
अनुपात $\frac{v_A}{v_B}$ की गणना इस प्रकार है:
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 60^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
इसलिए,$v_A : v_B$ का अनुपात $1: 3$ है।

(C) $1$. औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय अंतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है: $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$.
$2$. ग्राफ से,$t=0 \,s$ पर,$x=0 \,m$ है। $t=6 \,s$ पर,$x=0 \,m$ है।
$3$. कुल विस्थापन $\Delta x = x(6) - x(0) = 0 - 0 = 0 \,m$.
$4$. इसलिए,औसत वेग $v_{avg} = \frac{0}{6} = 0 \,m/s$.
$5$. तात्क्षणिक वेग किसी दिए गए समय पर $x-t$ ग्राफ की ढाल (slope) है: $v = \frac{dx}{dt}$.
$6$. $t=3 \,s$ पर,कण $t=1 \,s$ से $t=4 \,s$ के अंतराल में है,जहाँ स्थिति $x$ का मान $10 \,m$ स्थिर है।
$7$. चूँकि स्थिति स्थिर है,ग्राफ की ढाल शून्य है। अतः,$t=3 \,s$ पर तात्क्षणिक वेग $0 \,m/s$ है।

(C) औसत वेग $v_{av}$ को कुल विस्थापन और कुल समय अंतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $v_{av} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}$.
औसत वेग को शून्य होने के लिए,कुल विस्थापन शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि अंतिम स्थिति $x_f$ प्रारंभिक स्थिति $x_i$ के बराबर होनी चाहिए।
ग्राफ से,$t_i = 0 \, s$ पर,प्रारंभिक स्थिति $x_i = 6 \, m$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जहाँ स्थिति $x(t) = 6 \, m$ हो।
ग्राफ को देखने पर,वक्र $x = 6 \, m$ रेखा को $t = 0 \, s$ पर और फिर $t = 6 \, s$ पर काटता है।
इसलिए,$t = 6 \, s$ पर,विस्थापन $\Delta x = 6 \, m - 6 \, m = 0 \, m$ है।
अतः,$t = 6 \, s$ पर औसत वेग शून्य है।

(D) पिंड द्वारा तय की गई दूरी वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
समय अंतराल $t = 0 \,s$ से $t = 3 \,s$ के लिए, क्षेत्रफल एक त्रिभुज है जिसका आधार $b = 3 \,s$ और ऊँचाई $h = 4 \,m/s$ है।
दूरी $= \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \,m$.
अतः, विकल्प $(D)$ सही है।
समय अंतराल $t = 0 \,s$ से $t = 2 \,s$ के लिए, दूरी $\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \,m$ है।
समय अंतराल $t = 0 \,s$ से $t = 2 \,s$ में त्वरण ग्राफ का ढाल है: $a = \frac{4-0}{2-0} = 2 \,ms^{-2}$.
समय अंतराल $t = 2 \,s$ से $t = 3 \,s$ में त्वरण ग्राफ का ढाल है: $a = \frac{0-4}{3-2} = -4 \,ms^{-2}$.

(A) कण का वेग स्थिति-समय ग्राफ के ढलान द्वारा दिया जाता है,$v = \frac{dx}{dt}$।
$1$. कण तब विराम अवस्था में आता है जब वेग शून्य होता है,जो उन बिंदुओं के अनुरूप है जहाँ $x-t$ ग्राफ का ढलान शून्य है (वक्र के शिखर और गर्त)।
$2$. ग्राफ को देखने पर,लगभग $t \approx 3.5 \, s$ और $t \approx 8.5 \, s$ पर शिखर हैं,और लगभग $t \approx 1 \, s$ और $t \approx 6 \, s$ पर गर्त हैं। इस प्रकार,कण $4$ अलग-अलग बिंदुओं पर विराम अवस्था में आता है।
$3$. $t=8 \, s$ पर,ग्राफ ऊपर की ओर ढलान वाला है,जिसका अर्थ है कि वेग धनात्मक है।
$4$. $t=2 \, s$ और $t=6 \, s$ के बीच,ग्राफ शिखर से गर्त की ओर जाता है,जिसका अर्थ है कि ढलान ऋणात्मक है (वेग ऋणात्मक है)।
$5$. चूंकि ढलान बदल रहा है,इसलिए वेग स्थिर नहीं है।
अतः,सही कथन यह है कि कण $4$ बार विराम अवस्था में आया है।

(A) कण की स्थिति $x = 4 - 2t + t^2$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$,स्थिति $x$ का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4 - 2t + t^2)$
$v = -2 + 2t$
यह समीकरण $v = 2t - 2$ एक धनात्मक ढाल $(2)$ और ऋणात्मक $y$-अंतःखंड $(-2)$ वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$v$ का मान $t = 0$ पर $-2$ से बढ़कर $t = 1$ पर $0$ हो जाता है,और $t > 1$ के लिए यह धनात्मक हो जाता है।
यह ग्राफ विकल्प $A$ में दर्शाया गया है।

(A) औसत त्वरण को वेग में परिवर्तन और समय अंतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $a_{\text{avg}} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.
स्थिति-समय ग्राफ से:
$t=0$ से $t=2 \, s$ के अंतराल के लिए,वेग $v_1 = \frac{40 - 0}{2 - 0} = 20 \, m/s$.
$t=6$ से $t=8 \, s$ के अंतराल के लिए,वेग $v_2 = \frac{0 - 40}{8 - 6} = -20 \, m/s$.
वेग में परिवर्तन $\Delta v = v_2 - v_1 = -20 - 20 = -40 \, m/s$.
कुल समय अंतराल $\Delta t = 8 - 0 = 8 \, s$.
अतः,$a_{\text{avg}} = \frac{-40}{8} = -5 \, m/s^2$.

(D) वेग $v = 2 t^2 e^{-t}$ द्वारा दिया गया है।
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर है,$a = \frac{dv}{dt}$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर: $a = 2 \left[ t^2 \frac{d}{dt}(e^{-t}) + e^{-t} \frac{d}{dt}(t^2) \right]$.
$a = 2 [ t^2 (-e^{-t}) + e^{-t} (2t) ]$.
$a = 2 e^{-t} (2t - t^2)$.
त्वरण को शून्य होने के लिए,$a = 0$ रखें:
$2 e^{-t} (2t - t^2) = 0$.
चूँकि $2 e^{-t}$ किसी भी परिमित $t$ के लिए शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $2t - t^2 = 0$ होना चाहिए।
$t(2 - t) = 0$.
इससे $t = 0 \ s$ या $t = 2 \ s$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = 0 \ s$ और $t = 2 \ s$ पर त्वरण शून्य है।

(D) त्वरण $a$ को सूत्र $a = v \frac{dv}{dx}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
सबसे पहले,हम स्थिति $x$ के फलन के रूप में वेग $v$ को दर्शाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करते हैं। यह रेखा $(0, 4)$ और $(2, 0)$ बिंदुओं से होकर गुजरती है।
रेखा की ढाल $m = \frac{v_2 - v_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 4}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2$ है।
$y$-अंतःखंड $c = 4$ है।
अतः,रेखा का समीकरण $v = mx + c$ के अनुसार $v = -2x + 4$ होगा।
अब,$\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करने के लिए हम $v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(-2x + 4) = -2$।
अंत में,हम त्वरण के सूत्र में $v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान रखते हैं:
$a = v \frac{dv}{dx} = (-2x + 4)(-2) = 4x - 8$।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) वेग $(v)$,स्थिति $(x)$-समय $(t)$ ग्राफ का ढलान है,अर्थात $v = \frac{dx}{dt}$।
पहले अंतराल में,वेग $0$ से अधिकतम मान तक रैखिक रूप से बढ़ता है। चूंकि $v = at$ (जहाँ $a$ स्थिर त्वरण है),स्थिति $x = \int v dt = \frac{1}{2}at^2$ है,जो ऊपर की ओर खुलने वाला एक पैराबोला है।
दूसरे अंतराल में,वेग ऋणात्मक है और इसका परिमाण घटकर $0$ हो जाता है। इसका अर्थ है ऋणात्मक त्वरण (मंदक)। स्थिति $x$ एक ऐसे पैराबोलिक पथ का अनुसरण करेगी जो घटते ढलान के साथ प्रारंभिक स्थिति पर वापस लौटता है।
सही ग्राफ स्थिति में पैराबोलिक वृद्धि और उसके बाद पैराबोलिक गिरावट को दर्शाता है,जो उस आकार से मेल खाता है जहाँ $x-t$ ग्राफ का ढलान दिए गए $v-t$ ग्राफ के अनुरूप होता है।

(D) भौतिक रूप से संभव चाल-समय $(v-t)$ ग्राफ में,समय $t$ के किसी भी क्षण के लिए,चाल $v$ का एक अद्वितीय मान होना चाहिए।
$1$. ग्राफ $A$ में,एक निश्चित समय $t$ पर,चाल $v$ के दो अलग-अलग मान हैं,जो असंभव है।
$2$. ग्राफ $B$ में,एक ही समय $t$ के लिए,चाल $v$ के कई मान हैं क्योंकि वक्र स्वयं पर वापस मुड़ता है,जो असंभव है।
$3$. ग्राफ $C$ में,चाल $v$ ऋणात्मक हो जाती है। परिभाषा के अनुसार,चाल एक अदिश राशि है और हमेशा गैर-ऋणात्मक $(v \ge 0)$ होती है। इसलिए,ऋणात्मक चाल दिखाने वाला ग्राफ भौतिक रूप से असंभव है।
चूंकि तीनों ग्राफ चाल और समय की मूलभूत परिभाषाओं का उल्लंघन करते हैं,इसलिए वे सभी भौतिक रूप से असंभव हैं।

(A) विस्थापन-समय ग्राफ की ढाल कण का वेग दर्शाती है,अर्थात $v = \frac{dx}{dt}$।
$t = 0$ पर,ग्राफ मूल बिंदु $(0, 0)$ से शुरू होता है और मूल बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा क्षैतिज ($t$-अक्ष के समानांतर) है।
चूंकि $t = 0$ पर स्पर्श रेखा की ढाल शून्य है,इसलिए कण का प्रारंभिक वेग शून्य है।
जैसे-जैसे समय बढ़ता है,वक्र की ढाल लगातार बदलती रहती है,जिसका अर्थ है कि वेग समय के साथ बदल रहा है।
चूंकि वेग समय के साथ बदल रहा है,इसलिए कण त्वरित गति कर रहा है।
चूंकि ढाल (वेग) स्थिर दर से नहीं बदल रही है (वक्र का आकार परवलयाकार नहीं है),इसलिए त्वरण परिवर्ती है।
अतः,कण शून्य वेग और परिवर्ती त्वरण के साथ गति शुरू करता है।

(B) सही विकल्प $(B)$ है।
$(i)$ $t=0 \, s$ से $t=2 \, s$ तक,स्थिति $x=0$ है,इसलिए वेग $v = \frac{dx}{dt} = 0$ है।
$(ii)$ $t=2 \, s$ से $t=5 \, s$ तक,$x-t$ ग्राफ का ढाल धनात्मक है (वेग $v > 0$),लेकिन ग्राफ नीचे की ओर अवतल है,जिसका अर्थ है कि त्वरण $a < 0$ है। चूंकि $v$ और $a$ विपरीत दिशा में हैं,इसलिए वेग त्वरण के विपरीत है।
$(iii)$ $t=5 \, s$ से $t=8 \, s$ तक,$x-t$ ग्राफ का ढाल ऋणात्मक है (वेग $v < 0$),और ग्राफ नीचे की ओर अवतल है (त्वरण $a < 0$)। चूंकि $v$ और $a$ दोनों ऋणात्मक हैं,इसलिए वे समान दिशा में हैं।