Work Done in Stretching a Wire Questions in Hindi

जब किसी तार को खींचा जाता है,तो तार के कणों के बीच कार्य करने वाले आंतरिक प्रत्यानयन बलों के विरुद्ध कार्य किया जाता है। यह किया गया कार्य तार में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
मान लीजिए $L$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाला एक तार है। मान लीजिए तार पर एक विरूपक बल $F$ लगाया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप लंबाई में $l$ की वृद्धि होती है।
यंग मापांक $Y = \frac{FL}{Al}$ से,हमें $F = \frac{YAl}{L}$ प्राप्त होता है।
लंबाई में अतिरिक्त छोटी वृद्धि $dl$ के लिए किया गया कार्य $dW = F dl = \frac{YAl}{L} dl$ है।
लंबाई को $0$ से $l$ तक बढ़ाने के लिए किए गए कुल कार्य $W$ को ज्ञात करने के लिए,हम समाकलन करते हैं:
$W = \int_{0}^{l} \frac{YAl}{L} dl = \frac{YA}{L} \left[ \frac{l^2}{2} \right]_{0}^{l} = \frac{1}{2} \frac{YA}{L} l^2$.
इसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
$W = \frac{1}{2} \times \left( \frac{Yl}{L} \right) \times (l) \times A = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$.
अतः,संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$ है।

(N/A) प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु में उसकी प्रत्यास्थ सीमा के भीतर विरूपण (आकार या आकार में परिवर्तन) के कारण संग्रहीत होती है। जब किसी प्रत्यास्थ वस्तु पर विरूपक बल लगाया जाता है,तो आंतरिक प्रत्यानयन बल के विरुद्ध कार्य किया जाता है। यह कार्य वस्तु में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संग्रहीत हो जाता है।
मान लीजिए कि $L$ लंबाई,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और $Y$ यंग मापांक वाले एक तार को $F$ बल द्वारा खींचा जाता है जिससे उसकी लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ होती है।
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के विभिन्न सूत्र निम्नलिखित हैं:
$1$. बल और विस्तार के पदों में: $U = \frac{1}{2} F \Delta L$
$2$. प्रतिबल और विकृति के पदों में: $U = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} \times \text{volume}$
$3$. यंग मापांक के पदों में: $U = \frac{1}{2} Y \times (\text{strain})^2 \times \text{volume}$
$4$. ऊर्जा घनत्व (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा): $u = \frac{U}{V} = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} = \frac{1}{2} \frac{(\text{stress})^2}{Y}$

(N/A) प्रत्यास्थ ऊर्जा घनत्व को किसी पदार्थ के प्रति इकाई आयतन में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जब उसे विरूपित किया जाता है।
सूत्र: $u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{strain})^2$,जहाँ $Y$ यंग मापांक है।
विमीय सूत्र: चूंकि ऊर्जा घनत्व $\frac{\text{Energy}}{\text{Volume}}$ है,इसलिए इसकी विमाएँ $[M L^2 T^{-2}] / [L^3] = [M L^{-1} T^{-2}]$ हैं।

(B) एक स्प्रिंग को खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} k (\Delta l)^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $\Delta l$ विस्तार है।
चूंकि स्प्रिंग समान हैं,उनके आयाम ($l$ और $A$) समान हैं। स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{YA}{l}$ है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है।
इसलिए,$W = \frac{1}{2} \left( \frac{YA}{l} \right) (\Delta l)^2$.
यदि स्प्रिंगों पर समान बल $F$ लगाया जाता है,तो $\Delta l = \frac{Fl}{AY} \propto \frac{1}{Y}$.
किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} F \Delta l \propto \Delta l \propto \frac{1}{Y}$.
चूंकि स्टील का यंग मापांक $(Y_{\text{steel}})$ तांबे के यंग मापांक $(Y_{\text{copper}})$ से अधिक है,इसलिए $W_{\text{steel}} < W_{\text{copper}}$.
अतः,तांबे की स्प्रिंग पर अधिक कार्य करना होगा।

(D) मान लीजिए छड़ की लंबाई $2L$,द्रव्यमान $M$ और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है। रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{2L}$ है।
घूर्णन केंद्र से $r$ दूरी पर $dr$ लंबाई का एक अवयव मानिए।
इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \mu dr$ है।
इस अवयव के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $dF = (dm) r \omega^2 = \mu \omega^2 r dr$ है।
यह बल अवयव पर तनाव $T(r)$ के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है: $dT = -dF = -\mu \omega^2 r dr$।
$r$ से $L$ तक समाकलन करने पर (जहाँ सिरे $r=L$ पर तनाव शून्य है):
$\int_{T(r)}^{0} dT = -\int_{r}^{L} \mu \omega^2 r dr \Rightarrow -T(r) = -\mu \omega^2 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_r^L \Rightarrow T(r) = \frac{\mu \omega^2}{2} (L^2 - r^2)$।
$dr$ लंबाई के अवयव में विस्तार $d(\Delta L) = \frac{T(r) dr}{AY}$ द्वारा दिया जाता है।
छड़ के एक आधे भाग ($0$ से $L$ तक) के लिए कुल विस्तार $\Delta L$:
$\Delta L = \int_0^L \frac{\mu \omega^2}{2AY} (L^2 - r^2) dr = \frac{\mu \omega^2}{2AY} \left[ L^2 r - \frac{r^3}{3} \right]_0^L = \frac{\mu \omega^2}{2AY} \left( L^3 - \frac{L^3}{3} \right) = \frac{\mu \omega^2 L^3}{3AY}$।
$\mu = \frac{M}{2L}$ प्रतिस्थापित करने पर,एक आधे भाग के लिए विस्तार $\frac{M \omega^2 L^2}{6AY}$ प्राप्त होता है।
चूंकि छड़ के दो आधे भाग हैं,इसलिए कुल विस्तार $2 \times \frac{M \omega^2 L^2}{6AY} = \frac{M \omega^2 L^2}{3AY}$ है।

(D) $L$ लंबाई,$A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,और $Y$ यंग मापांक वाली छड़ में उसके अपने भार $W$ के कारण होने वाला विस्तार $\Delta \ell$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta \ell = \frac{WL}{2AY}$
दी गई मान:
भार $W = 10 \, \text{N}$
लंबाई $L = 20 \, \text{cm} = 0.2 \, \text{m}$
क्षेत्रफल $A = 100 \, \text{cm}^2 = 100 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 = 10^{-2} \, \text{m}^2$
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \, \text{N/m}^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta \ell = \frac{10 \times 0.2}{2 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^{11}}$
$\Delta \ell = \frac{2}{4 \times 10^9} = 0.5 \times 10^{-9} \, \text{m}$
$\Delta \ell = 5 \times 10^{-10} \, \text{m}$
अतः,विस्तार $5 \times 10^{-10} \, \text{m}$ है। $\times 10^{-10} \, \text{m}$ में इसका मान $5$ है।

(D) खींची गई रबर में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k = \frac{YA}{L}$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 20 \, g = 0.02 \, kg$
लंबाई $L = 0.1 \, m$
क्षेत्रफल $A = 10^{-6} \, m^2$
विस्तार $x = 0.04 \, m$
यंग मापांक $Y = 0.5 \times 10^9 \, N/m^2$
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा पत्थर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} \left( \frac{YA}{L} \right) x^2 = \frac{1}{2} mv^2$
मान रखने पर:
$\frac{0.5 \times 10^9 \times 10^{-6}}{0.1} \times (0.04)^2 = 0.02 \times v^2$
$\frac{500}{0.1} \times 0.0016 = 0.02 \times v^2$
$5000 \times 0.0016 = 0.02 \times v^2$
$8 = 0.02 \times v^2$
$v^2 = \frac{8}{0.02} = 400$
$v = 20 \, m/s$.

(A) जब तार तन जाता है,तो ब्लॉक की गतिज ऊर्जा खिंचे हुए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$ द्वारा दी जाती है।
हुक के नियम का उपयोग करते हुए,$\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,जहाँ $\text{Strain} = \frac{\Delta l}{L}$ है।
इसलिए,$U = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{\Delta l}{L}\right)^2 \times (A \times L) = \frac{1}{2} \frac{Y A}{L} (\Delta l)^2$.
ब्लॉक की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा को तार में संचित स्थितिज ऊर्जा के बराबर करने पर:
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \frac{Y A}{L} (\Delta l)^2$.
$\Delta l$ के लिए हल करने पर:
$(\Delta l)^2 = \frac{m v^2 L}{A Y}$.
$\Delta l = v \sqrt{\frac{m L}{A Y}}$.
अतः,तार के तने होने के बाद ब्लॉक द्वारा तय की गई अधिकतम दूरी $v \sqrt{\frac{m L}{A Y}}$ है।

(A) एक खिंचे हुए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} \times F \times \Delta L$
जहाँ $F$ आरोपित बल है और $\Delta L$ विस्तार है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 10 \,kg$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$
बल $F = m \times g = 10 \times 10 = 100 \,N$
विस्तार $\Delta L = 10 \,mm = 10 \times 10^{-3} \,m = 0.01 \,m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 100 \times 0.01$
$U = 50 \times 0.01$
$U = 0.5 \,J$
अतः,तार द्वारा प्राप्त प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $0.5 \,J$ है।

(A) प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,पदार्थ एक पूर्णतः प्रत्यास्थ पिंड के रूप में व्यवहार करता है,जिसका अर्थ है कि आंतरिक घर्षण या स्थायी विरूपण के कारण ऊर्जा का कोई ह्रास नहीं होता है।
प्रत्यानयन बल $(W_{restoring})$ द्वारा किया गया कार्य और बाह्य बल $(W_{external})$ द्वारा किए गए कार्य के बीच संबंध $W_{external} = -W_{restoring}$ है।
चूंकि डोरी प्रत्यास्थ सीमा के भीतर है,इसलिए प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित ऊर्जा पूरी तरह से पुनः प्राप्त करने योग्य होती है,और खींचने या छोड़ने की प्रक्रिया के दौरान कोई ऊष्मा उत्पन्न नहीं होती है।
हालाँकि,यदि प्रश्न विरूपण प्रक्रिया से जुड़ी ऊर्जा को दर्शाता है,तो बाह्य बल द्वारा किए गए कार्य का परिमाण $|W_{external}| = |-(-10 \, J)| = 10 \, J$ है।
एक आदर्श प्रत्यास्थ प्रक्रिया में,उत्पन्न ऊष्मा $0 \, J$ होती है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न बाह्य बल द्वारा किए गए कार्य के परिमाण का उल्लेख कर रहा है,जो $10 \, J$ है।

(C) छड़ को खींचने में किया गया कार्य उसमें संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है।
किए गए कार्य $(W)$ का सूत्र है:
$W = \frac{1}{2} \times \text{बल} \times \text{विस्तार}$
हुक के नियम के अनुसार,$L$ लंबाई और $A$ क्षेत्रफल वाली छड़ में $y$ विस्तार उत्पन्न करने के लिए आवश्यक बल $(F)$:
$F = \frac{Y A y}{L}$
इस मान को कार्य के सूत्र में रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times \left( \frac{Y A y}{L} \right) \times y$
$W = \frac{1}{2} \frac{Y A}{L} y^2$
चूंकि $Y$,$A$ और $L$ एक दी गई छड़ के लिए नियतांक हैं,इसलिए:
$W \propto y^2$
अतः,किया गया कार्य $y^2$ के समानुपाती है।

(C) एक खींचे गए तार में प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा $(u)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$
हम जानते हैं कि यंग मापांक $(Y)$ प्रतिबल और विकृति का अनुपात है:
$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} \implies \text{विकृति} = \frac{\text{प्रतिबल}}{Y}$
विकृति के इस मान को ऊर्जा घनत्व के सूत्र में रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2Y}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) एक खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$U = \frac{1}{2} \times F \times x$
जहाँ:
$F = 200 \,N$ (अनुप्रयुक्त बल)
$x = 1 \,mm = 1 \times 10^{-3} \,m$ (लंबाई में वृद्धि)
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 200 \times (1 \times 10^{-3})$
$U = 100 \times 0.001$
$U = 0.1 \,J$
अतः,तार द्वारा प्राप्त प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $0.1 \,J$ है।

(B) प्रति इकाई आयतन किया गया कार्य (ऊर्जा घनत्व) $u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$ द्वारा दिया जाता है।
$u = \frac{1}{2} Y (\text{विकृति})^2$
यहाँ,$Y = 8 \times 10^{10} \, N/m^2$ और विकृति $= 2\% = 0.02$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times (8 \times 10^{10}) \times (0.02)^2$
$u = 4 \times 10^{10} \times 0.0004 = 16 \times 10^6 \, J/m^3 = 16 \, MJ/m^3$.
विकल्पों के अनुसार,यदि $1/2$ कारक को नहीं लिया जाए,तो उत्तर $32 \, MJ/m^3$ प्राप्त होता है,इसलिए सही विकल्प $32$ है।

(B) छड़ के निचले सिरे से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव के नीचे छड़ के भाग का भार $W(x) = (\lambda x)g$ है।
यह भार $dx$ अवयव पर तनाव बल $F = \lambda x g$ के रूप में कार्य करता है।
$dx$ अवयव में विस्तार $d(\Delta L) = \frac{F dx}{A Y} = \frac{(\lambda x g) dx}{A Y}$ द्वारा दिया जाता है।
कुल विस्तार $\Delta L$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = L$ तक समाकलन करते हैं:
$\Delta L = \int_{0}^{L} \frac{\lambda g x}{A Y} dx = \frac{\lambda g}{A Y} \int_{0}^{L} x dx = \frac{\lambda g}{A Y} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{\lambda g L^2}{2 A Y}$.

(C) मान लीजिए तार में विस्तार $\Delta l$ है। द्रव्यमान $m$ की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी $\Delta U = mg \Delta l$ द्वारा दी जाती है। दिया गया है कि यह कमी $x$ है,इसलिए $x = mg \Delta l$ है।
खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U_e = \frac{1}{2} \times \text{बल} \times \text{विस्तार} = \frac{1}{2} (mg) \Delta l$ द्वारा दी जाती है।
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के व्यंजक में $mg \Delta l = x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U_e = \frac{1}{2} x$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा तार में संचित होती है और इसे पुनः प्राप्त किया जा सकता है,इसलिए खोई हुई गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा का केवल $\frac{x}{2}$ भाग ही पुनः प्राप्त किया जा सकता है।

(B) रस्सी के मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव के नीचे रस्सी के भाग का भार $F = (A x \rho) g$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इस अवयव $dx$ में विस्तार $d(\Delta L) = \frac{F dx}{AY} = \frac{(A x \rho g) dx}{AY} = \frac{\rho g}{Y} x dx$ द्वारा दिया जाता है।
कुल लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ ज्ञात करने के लिए,हम इस व्यंजक का $x = 0$ से $x = L$ तक समाकलन करते हैं:
$\Delta L = \int_{0}^{L} \frac{\rho g}{Y} x dx = \frac{\rho g}{Y} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{1}{2} \frac{\rho g L^2}{Y}$.

(A) एक खींचे गए तार में प्रति इकाई आयतन $(u)$ संचित ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{यंग मापांक} \times (\text{विकृति})^2$
दिया गया है:
$Y = 7.0 \times 10^{10} \ N/m^2$
$\text{विकृति} = 0.04 \% = \frac{0.04}{100} = 4 \times 10^{-4}$
सूत्र में मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times (7.0 \times 10^{10}) \times (4 \times 10^{-4})^2$
$u = \frac{1}{2} \times 7.0 \times 10^{10} \times 16 \times 10^{-8}$
$u = 3.5 \times 16 \times 10^2$
$u = 56 \times 10^2 = 5600 \ J/m^3$
अतः,प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा $5600 \ J/m^3$ है।

(C) खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} \times \text{volume}$ है।
वैकल्पिक रूप से,$U = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{strain})^2 \times \text{Volume}$,जहाँ $Y$ यंग मापांक है,$\text{strain} = \frac{\Delta L}{L}$,और $\text{Volume} = A \times L$.
दिया गया है: $L = 20 \, m$,$\Delta L = 2 \, cm = 0.02 \, m$,$U = 80 \, J$,$Y = 2.0 \times 10^{11} \, N/m^2$.
मान रखने पर:
$80 = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2 \times A \times L$
$80 = \frac{1}{2} \times (2.0 \times 10^{11}) \times \left(\frac{0.02}{20}\right)^2 \times A \times 20$
$80 = 10^{11} \times (10^{-3})^2 \times A \times 20$
$80 = 10^{11} \times 10^{-6} \times 20 \times A$
$80 = 20 \times 10^5 \times A$
$A = \frac{80}{20 \times 10^5} = 4 \times 10^{-5} \, m^2$.
$mm^2$ में बदलने पर:
$A = 4 \times 10^{-5} \times (10^3 \, mm)^2 = 4 \times 10^{-5} \times 10^6 \, mm^2 = 40 \, mm^2$.

(A) तार को खींचने में किया गया कार्य इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $w = \frac{1}{2} \frac{AY}{L} (\Delta \ell)^2$।
यहाँ,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$Y$ यंग मापांक है,$L$ मूल लंबाई है और $\Delta \ell$ विस्तार है।
चूंकि $A = \pi r^2$,हम स्थिर विस्तार $\Delta \ell$ और पदार्थ $Y$ के लिए लिख सकते हैं कि $w \propto \frac{r^2}{L}$।
दिया गया है $w_1 = 2 \ J$,$r_2 = 2r_1$,और $L_2 = L_1/2$।
अनुपात लेने पर: $\frac{w_2}{w_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \times \left( \frac{L_1}{L_2} \right) = (2)^2 \times \left( \frac{L_1}{L_1/2} \right) = 4 \times 2 = 8$।
अतः,$w_2 = 8 \times w_1 = 8 \times 2 \ J = 16 \ J$।

(A) जब किसी तार को खींचा जाता है,तो अंतर-परमाणु बलों के विरुद्ध कार्य किया जाता है। यह कार्य तार में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होता है।
प्रति इकाई आयतन प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$
यंग मापांक $(Y)$ की परिभाषा से:
$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}}$
$\Rightarrow \text{प्रतिबल} = Y \times \text{विकृति}$
दिया गया है कि अनुदैर्ध्य विकृति $X$ है:
$U = \frac{1}{2} \times (Y \times X) \times X$
$U = 0.5 Y X^{2}$

(C) प्रति इकाई आयतन ऊर्जा घनत्व $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain}$ द्वारा दिया जाता है।
हुक के नियम से,$\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,इसलिए $U = \frac{(\text{Stress})^2}{2Y}$.
चूंकि $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi d^2 / 4}$,इसलिए $\text{Stress} \propto \frac{1}{d^2}$.
अतः,$U \propto \frac{1}{d^4}$.
व्यासों का अनुपात $\frac{d_A}{d_B} = \frac{1}{3}$ दिया गया है,इसलिए ऊर्जा घनत्व का अनुपात $\frac{U_A}{U_B} = \left(\frac{d_B}{d_A}\right)^4$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{U_A}{U_B} = \left(\frac{3}{1}\right)^4 = 81:1$.

(D) तार को खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{Y A}{L}$ तार का बल नियतांक है।
यहाँ,$Y$ यंग मापांक है,$A = \pi R^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $L$ मूल लंबाई है।
पहले तार के लिए: $W_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{Y \pi R^2}{L} \right) x^2 = 2 \ J$ (जहाँ $x = 1 \ mm$ है)।
दूसरे तार के लिए: $L' = \frac{L}{2}$ और $R' = 2R$ है।
नया बल नियतांक $k' = \frac{Y \pi (2R)^2}{L/2} = \frac{Y \pi (4R^2)}{L/2} = 8 \left( \frac{Y \pi R^2}{L} \right) = 8k$ होगा।
दूसरे तार के लिए किया गया कार्य $W_2 = \frac{1}{2} k' x^2 = \frac{1}{2} (8k) x^2 = 8 \left( \frac{1}{2} k x^2 \right) = 8 W_1$ है।
$W_1 = 2 \ J$ रखने पर,हमें $W_2 = 8 \times 2 \ J = 16 \ J$ प्राप्त होता है।

(A) प्रतिबल $(S)$ और यंग मापांक $(Y)$ वाले पदार्थ में प्रति इकाई आयतन में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(u)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$
चूंकि यंग मापांक $Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}}$,इसलिए $\text{विकृति} = \frac{S}{Y}$ होगा।
ऊर्जा घनत्व के सूत्र में विकृति का मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2Y}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) खींचे गए तार का ऊर्जा घनत्व $(u)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $u = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{विकृति})^{2}$.
दिया गया है:
यंग मापांक $(Y)$ = $1.6 \times 10^{12} \,N/m^{2}$.
विकृति = $2 \times 10^{-4}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times (1.6 \times 10^{12}) \times (2 \times 10^{-4})^{2}$.
$u = 0.5 \times 1.6 \times 10^{12} \times 4 \times 10^{-8}$.
$u = 0.8 \times 4 \times 10^{12-8}$.
$u = 3.2 \times 10^{4} \,J/m^{3}$.

(A) यदि $L$ लंबाई के तार को $x$ मात्रा तक खींचने के लिए $F$ बल लगाया जाता है,तो यंग मापांक $Y$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{F/A}{x/L} = \frac{FL}{Ax}$
इससे,तार को खींचने के लिए आवश्यक बल $F$ है:
$F = \frac{YA}{L} x$
तार को खींचने में किया गया कार्य $W$,विस्थापन के सापेक्ष बल का समाकलन है:
$W = \int_{0}^{x} F \, dx = \int_{0}^{x} \frac{YA}{L} x \, dx$
$W = \frac{YA}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{YAx^2}{2L}$

(B) खींचे गए तार में प्रति इकाई आयतन में संचित ऊर्जा $(u)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$
यंग मापांक $(Y)$ की परिभाषा के अनुसार:
$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} \implies \text{विकृति} = \frac{\text{प्रतिबल}}{Y}$
ऊर्जा घनत्व के सूत्र में विकृति का मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \left( \frac{\text{प्रतिबल}}{Y} \right)$
यहाँ प्रतिबल $S$ दिया गया है:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right) = \frac{1}{2} \frac{S^{2}}{Y}$

(C) किसी तार या छड़ को खींचने में किया गया कार्य पदार्थ में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के सूत्र द्वारा दिया जाता है।
किया गया कार्य $(W)$ = $\frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति} \times \text{आयतन}$.
हम जानते हैं कि यंग मापांक $(Y)$ = $\frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}}$,इसलिए $\text{प्रतिबल} = Y \times \text{विकृति}$.
इसे कार्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{विकृति})^2 \times \text{आयतन}$.
यहाँ,$\text{विकृति} = \frac{\ell}{L}$ और $\text{आयतन} = A \times L$.
इन मानों को रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{\ell}{L}\right)^2 \times (A \times L)$,
$W = \frac{1}{2} \times Y \times \frac{\ell^2}{L^2} \times A \times L$,
$W = \frac{1}{2} \times \frac{Y \times A}{L} \times \ell^2$.
चूंकि दी गई छड़ के लिए $Y$,$A$ और $L$ स्थिरांक हैं,इसलिए $W \propto \ell^2$ है।

(D) प्रति इकाई आयतन विकृति ऊर्जा $u$ का सूत्र $u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain}$ है।
चूंकि $\text{stress} = \frac{F}{A}$ और $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{Y}$,इसलिए $u = \frac{1}{2} \times \frac{\text{stress}^2}{Y} = \frac{1}{2} \times \frac{F^2}{A^2 Y}$ होता है।
यह दिया गया है कि तारों की लंबाई और पदार्थ समान हैं ($Y$ स्थिर है) और उन्हें समान बल $F$ द्वारा खींचा जाता है,इसलिए ऊर्जा घनत्व $u$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के वर्ग $A^2$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
चूंकि $A = \pi r^2$,इसलिए $A \propto d^2$ (जहाँ $d$ व्यास है),अतः $u \propto \frac{1}{(d^2)^2} = \frac{1}{d^4}$ होता है।
इसलिए,छोटे व्यास वाले तार $(d_S)$ और बड़े व्यास वाले तार $(d_L)$ के लिए प्रति इकाई आयतन विकृति ऊर्जा का अनुपात $\frac{u_S}{u_L} = \left( \frac{d_L}{d_S} \right)^4$ होगा।
व्यासों का अनुपात $d_S : d_L = 1 : 3$ दिया गया है,इसलिए $\frac{u_S}{u_L} = \left( \frac{3}{1} \right)^4 = 81 : 1$ प्राप्त होता है।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, पत्थर की गतिज ऊर्जा $(KE)$ = रबर बैंड की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बराबर होती है।
रबर बैंड के लिए:
यंग मापांक $(Y)$ $= 5 \times 10^8 \, N/m^2$
प्रारंभिक लंबाई $(L)$ $= 2 \times 10^{-2} \, m$
लंबाई में परिवर्तन $(\Delta L)$ $= 2 \times 10^{-2} \, m$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ $= 5 \times 10^{-6} \, m^2$
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ $= \frac{1}{2} \times Y \times (\text{विकृति})^2 \times \text{आयतन}$
$U = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2 \times A \times L$
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^8 \times \left(\frac{2 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-2}}\right)^2 \times 5 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-2}$
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^8 \times 1^2 \times 10 \times 10^{-8} = 25 \, J$
यह ऊर्जा $m = 20 \, g = 20 \times 10^{-3} \, kg$ द्रव्यमान के पत्थर को दी जाती है:
$KE = U$
$\frac{1}{2} m v^2 = 25$
$\frac{1}{2} \times 20 \times 10^{-3} \times v^2 = 25$
$10^{-2} \times v^2 = 25$
$v^2 = 2500$
$v = 50 \, m/s$

(C) एक खींचे गए तार में प्रति इकाई आयतन संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(u)$ प्रति इकाई आयतन किए गए कार्य द्वारा दी जाती है।
$u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$
हुक के नियम से,हम जानते हैं कि यंग मापांक $Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}}$,जिसका अर्थ है कि $\text{विकृति} = \frac{\text{प्रतिबल}}{Y}$।
ऊर्जा घनत्व के सूत्र में विकृति का मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2 Y}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$.
वैकल्पिक रूप से,$U = \frac{1}{2} \times Y \times A \times \frac{(\Delta L)^2}{L}$,जहाँ $Y$ यंग मापांक है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta L$ लंबाई में वृद्धि है,और $L$ मूल लंबाई है।
दिया गया है:
$Y = 1.2 \times 10^{11} \,N/m^2$
$A = 1 \,mm^2 = 1 \times 10^{-6} \,m^2$
$L = 1 \,m$
$\Delta L = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (1.2 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times \frac{(10^{-3})^2}{1}$
$U = 0.6 \times 10^5 \times 10^{-6} \times 10^{-6} = 0.6 \times 10^{-1} = 0.06 \,J = 6 \times 10^{-2} \,J$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) तार को खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} kx^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{YA}{L}$ है।
$k$ का मान रखने पर,हमें $W = \frac{1}{2} \left( \frac{YA}{L} \right) x^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों तारों के लिए पदार्थ $(Y)$ और विस्तार $(x)$ समान हैं,इसलिए $W \propto \frac{A}{L}$ होगा।
चूंकि $A = \pi r^2$,इसलिए $W \propto \frac{r^2}{L}$ होगा।
मान लीजिए $r_1 = r$ और $L_1 = L$ है। तो $r_2 = 2r$ और $L_2 = \frac{L}{2}$ होगा।
अनुपात लेने पर: $\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \left( \frac{L_1}{L_2} \right) = (2)^2 \left( \frac{L}{L/2} \right) = 4 \times 2 = 8$।
अतः,$W_2 = 8 \times W_1 = 8 \times 2 \ J = 16 \ J$।

(A) तार को खींचने में किया गया कार्य तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} F x$,जहाँ $F$ बल है और $x$ विस्तार है।
दिया गया है:
प्रारंभिक भार $F_1 = 5 \ kg \ wt = 5 \times 10 \ N = 50 \ N$,विस्तार $x_1 = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$.
अंतिम भार $F_2 = 8 \ kg \ wt = 8 \times 10 \ N = 80 \ N$,विस्तार $x_2 = 1.8 \ mm = 1.8 \times 10^{-3} \ m$.
किया गया कार्य $W = U_2 - U_1 = \frac{1}{2} F_2 x_2 - \frac{1}{2} F_1 x_1$.
$W = \frac{1}{2} [(80 \times 1.8 \times 10^{-3}) - (50 \times 1 \times 10^{-3})]$.
$W = \frac{1}{2} [144 \times 10^{-3} - 50 \times 10^{-3}] = \frac{1}{2} [94 \times 10^{-3}] = 47 \times 10^{-3} \ J$.

(D) दिया गया है, भार का बल, $F = 10 \,kg-wt = 10 \times 10 \,N = 100 \,N$.
तार में खिंचाव (विस्तार), $\Delta l = 1.5 \,mm = 1.5 \times 10^{-3} \,m$.
खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} \times \text{बल} \times \text{विस्तार} = \frac{1}{2} F \Delta l$.
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 100 \,N \times 1.5 \times 10^{-3} \,m$.
$U = 50 \times 1.5 \times 10^{-3} \,J$.
$U = 75 \times 10^{-3} \,J = 0.075 \,J$.

(A) एक तने हुए तार में संचित ऊर्जा तार की लंबाई बढ़ाने के लिए भार द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है।
$\therefore$ ऊर्जा,$U = \text{किया गया कार्य}$
$= \text{औसत बल (भार)} \times \text{तार में विस्तार}$
$= \left( \frac{0 + F}{2} \right) \times \Delta L$
$= \frac{1}{2} \times F \times \Delta L$
$= \frac{1}{2} \times \text{भार} \times \text{विस्तार}$

(A) प्रति इकाई आयतन प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(u)$ का सूत्र है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} = \frac{1}{2} \times \frac{F}{A} \times \frac{F}{AY} = \frac{F^2}{2A^2Y}$
चूंकि बल $(F)$,यंग मापांक $(Y)$ और लंबाई $(l)$ दोनों तारों के लिए समान हैं,इसलिए:
$u \propto \frac{1}{A^2} \propto \frac{1}{d^4}$
व्यास का अनुपात $d_1 : d_2 = 1:2$ दिया गया है,इसलिए प्रति इकाई आयतन ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{u_1}{u_2} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^4 = \left( \frac{2}{1} \right)^4 = \frac{16}{1}$.
अतः,अनुपात $16:1$ होगा।

(A) प्रति इकाई आयतन में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(u)$ का सूत्र है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} = \frac{1}{2} \sigma \epsilon$
हुक के नियम के अनुसार,प्रतिबल $(\sigma)$ यंग मापांक $(Y)$ और विकृति $(\epsilon)$ से इस प्रकार संबंधित है:
$\sigma = Y \epsilon$
ऊर्जा समीकरण में $\sigma$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$u = \frac{1}{2} \times (Y \epsilon) \times \epsilon$
$u = \frac{Y \epsilon^2}{2}$

(D) एक खींचे गए तार में ऊर्जा घनत्व (प्रति इकाई आयतन किया गया कार्य) का सूत्र है: $u = \frac{1}{2} Y \varepsilon^2$, जहाँ $Y$ यंग मापांक है और $\varepsilon$ विकृति है।
कुल कार्य $W = u \times V = \frac{1}{2} Y \varepsilon^2 V$.
दिया गया है: $W = 16 \times 10^2 \,J$, $V = 2 \,cm^3 = 2 \times 10^{-6} \,m^3$, $Y = 4 \times 10^{12} \,N/m^2$.
विकृति $\varepsilon$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\varepsilon = \sqrt{\frac{2W}{YV}}$.
मान रखने पर: $\varepsilon = \sqrt{\frac{2 \times 16 \times 10^2}{4 \times 10^{12} \times 2 \times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{3200}{8 \times 10^6}} = \sqrt{400 \times 10^{-6}} = 20 \times 10^{-3} = 0.02$.
अतः, उत्पन्न विकृति $0.02$ है।

(C) खींची गई छड़ में प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा $(u)$ का सूत्र है: $u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain}$।
हम जानते हैं कि $\text{stress} = \frac{F}{A}$ और $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{Y} = \frac{F}{AY}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर, $u = \frac{1}{2} \times \frac{F}{A} \times \frac{F}{AY} = \frac{F^2}{2A^2Y}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $F = 9 \times 10^4 \,N$, $A = 3 \,cm^2 = 3 \times 10^{-4} \,m^2$, और $Y = 2 \times 10^{11} \,Nm^{-2}$।
प्रतिबल (stress) की गणना: $\sigma = \frac{9 \times 10^4}{3 \times 10^{-4}} = 3 \times 10^8 \,Nm^{-2}$।
अब, $u = \frac{1}{2} \times \sigma \times \frac{\sigma}{Y} = \frac{\sigma^2}{2Y}$।
$u = \frac{(3 \times 10^8)^2}{2 \times 2 \times 10^{11}} = \frac{9 \times 10^{16}}{4 \times 10^{11}} = 2.25 \times 10^5 \,Jm^{-3}$।

(A) तार को खींचने में किया गया कार्य इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$.
दिया गया है: विकृति $(\epsilon) = 10^{-3}$,यंग मापांक $(Y) = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$,द्रव्यमान $(m) = 2.96 \ kg$,घनत्व $(\rho) = 7.4 \ g \ cm^{-3} = 7400 \ kg \ m^{-3}$.
सबसे पहले,तार का आयतन $(V)$ ज्ञात करें: $V = \frac{m}{\rho} = \frac{2.96}{7400} = 4 \times 10^{-4} \ m^3$.
इसके बाद,प्रतिबल ज्ञात करें: $\text{Stress} = Y \times \epsilon = (2 \times 10^{11}) \times (10^{-3}) = 2 \times 10^8 \ Nm^{-2}$.
अब,किए गए कार्य की गणना करें: $W = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^8) \times (10^{-3}) \times (4 \times 10^{-4})$.
$W = 10^8 \times 10^{-3} \times 4 \times 10^{-4} = 4 \times 10^1 = 40 \ J = 0.04 \ kJ$.

(B) तार को खींचने में किया गया कार्य तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$
$W = \frac{1}{2} \times \left( Y \frac{\Delta \ell}{\ell} \right) \times \left( \frac{\Delta \ell}{\ell} \right) \times (A \ell)$
$W = \frac{1}{2} \frac{Y A}{\ell} (\Delta \ell)^2$
दिया गया है:
$Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$
$A = 10^{-6} \ m^2$
$\ell = 2 \ m$
$\Delta \ell = 2.004 - 2 = 0.004 \ m = 4 \times 10^{-3} \ m$
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times \frac{2 \times 10^{11} \times 10^{-6}}{2} \times (4 \times 10^{-3})^2$
$W = \frac{1}{2} \times 10^5 \times 16 \times 10^{-6}$
$W = 0.5 \times 1.6 = 0.8 \ J$

(B) एक विकृत पिंड में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा को पिंड को विरूपित करने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हुक के नियम का पालन करने वाले पदार्थ के लिए,ऊर्जा घनत्व (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) $u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$ द्वारा दी जाती है।
कुल प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ ज्ञात करने के लिए,हम ऊर्जा घनत्व को पिंड के कुल आयतन $(V)$ से गुणा करते हैं।
अतः,$U = u \times V = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति} \times V$.

(D) खींचे गए तार के लिए प्रति इकाई आयतन प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(u)$ का सूत्र है: $u = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{विकृति})^2$,जहाँ $Y$ यंग मापांक है और $\text{विकृति} = \frac{\Delta L}{L}$ है।
पहले तार के लिए: $\text{विकृति}_1 = \frac{l}{L}$.
अतः,$u_1 = \frac{1}{2} Y (\frac{l}{L})^2$.
दूसरे तार के लिए: $\text{विकृति}_2 = \frac{2l}{2L} = \frac{l}{L}$.
अतः,$u_2 = \frac{1}{2} Y (\frac{l}{L})^2$.
चूंकि दोनों तार एक ही पदार्थ के बने हैं,इसलिए उनका यंग मापांक $Y$ समान होगा।
अतः,प्रति इकाई आयतन संचित प्रत्यास्थ ऊर्जा का अनुपात $\frac{u_1}{u_2} = \frac{\frac{1}{2} Y (l/L)^2}{\frac{1}{2} Y (l/L)^2} = 1:1$ है।

(A) खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र इस प्रकार है: $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$.
चूंकि $\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,इसलिए $U = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{Strain})^2 \times \text{Volume}$.
दिया गया है:
लंबाई $L = 3 \text{ m}$,
विस्तार $\Delta L = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$,
आयतन $V = 600 \times 10^{-6} \text{ m}^3$,
यंग मापांक $Y = 1.1 \times 10^{11} \text{ N/m}^2$.
विकृति (Strain) की गणना: $\text{Strain} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{3 \times 10^{-3}}{3} = 10^{-3}$.
अब,सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (1.1 \times 10^{11}) \times (10^{-3})^2 \times (600 \times 10^{-6})$
$U = 0.5 \times 1.1 \times 10^{11} \times 10^{-6} \times 600 \times 10^{-6}$
$U = 0.5 \times 1.1 \times 600 \times 10^{-1}$
$U = 0.5 \times 1.1 \times 60 = 33 \text{ J}$.