Work Done in Stretching a Wire Questions in Gujarati

જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તારના કણો વચ્ચે કાર્યરત આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળોની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે છે. આ કરવામાં આવેલું કાર્ય તારમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
ધારો કે $L$ લંબાઈ અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો એક તાર છે. ધારો કે તાર પર વિરૂપક બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,જેના પરિણામે લંબાઈમાં $l$ જેટલો વધારો થાય છે.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{FL}{Al}$ પરથી,આપણને $F = \frac{YAl}{L}$ મળે છે.
લંબાઈમાં વધારાના નાના ફેરફાર $dl$ માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય $dW = F dl = \frac{YAl}{L} dl$ છે.
લંબાઈને $0$ થી $l$ સુધી વધારવા માટે કરવામાં આવેલું કુલ કાર્ય $W$ શોધવા માટે,આપણે સંકલન કરીએ છીએ:
$W = \int_{0}^{l} \frac{YAl}{L} dl = \frac{YA}{L} \left[ \frac{l^2}{2} \right]_{0}^{l} = \frac{1}{2} \frac{YA}{L} l^2$.
આને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$W = \frac{1}{2} \times \left( \frac{Yl}{L} \right) \times (l) \times A = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$.
આમ,સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$ છે.

(N/A) સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા એટલે પદાર્થની તેની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં વિરૂપણ (આકાર કે કદમાં ફેરફાર) થવાને કારણે તેમાં સંગ્રહિત ઊર્જા. જ્યારે સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ પર વિરૂપક બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે. આ કાર્ય પદાર્થમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
ધારો કે $L$ લંબાઈ,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $Y$ યંગ મોડ્યુલસ ધરાવતા તારને $F$ બળ વડે ખેંચતા તેમાં $\Delta L$ જેટલો વધારો થાય છે.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $(U)$ માટેના વિવિધ સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$1$. બળ અને લંબાઈમાં વધારાના સ્વરૂપમાં: $U = \frac{1}{2} F \Delta L$
$2$. પ્રતિબળ અને વિકૃતિના સ્વરૂપમાં: $U = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} \times \text{volume}$
$3$. યંગ મોડ્યુલસના સ્વરૂપમાં: $U = \frac{1}{2} Y \times (\text{strain})^2 \times \text{volume}$
$4$. ઊર્જા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ ઊર્જા): $u = \frac{U}{V} = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} = \frac{1}{2} \frac{(\text{stress})^2}{Y}$

(N/A) સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જા ઘનતા એટલે પદાર્થને વિરૂપિત કરવામાં આવે ત્યારે તેના એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા.
સૂત્ર: $u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{strain})^2$,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
પારિમાણિક સૂત્ર: ઉર્જા ઘનતા એટલે $\frac{\text{Energy}}{\text{Volume}}$,તેથી તેના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2}] / [L^3] = [M L^{-1} T^{-2}]$ છે.

(B) સ્પ્રિંગને ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \frac{1}{2} k (\Delta l)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $\Delta l$ એ વિસ્તરણ છે.
સ્પ્રિંગો સમાન હોવાથી,તેમના પરિમાણો ($l$ અને $A$) સમાન છે. સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{YA}{l}$ છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
તેથી,$W = \frac{1}{2} \left( \frac{YA}{l} \right) (\Delta l)^2$.
જો સ્પ્રિંગો પર સમાન બળ $F$ લગાડવામાં આવે,તો $\Delta l = \frac{Fl}{AY} \propto \frac{1}{Y}$.
કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = \frac{1}{2} F \Delta l \propto \Delta l \propto \frac{1}{Y}$.
કારણ કે સ્ટીલનો યંગ મોડ્યુલસ $(Y_{\text{steel}})$ તાંબાના યંગ મોડ્યુલસ $(Y_{\text{copper}})$ કરતા વધારે છે,તેથી $W_{\text{steel}} < W_{\text{copper}}$.
આમ,તાંબાની સ્પ્રિંગ પર વધુ કાર્ય કરવું પડશે.

(D) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $2L$,દળ $M$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{2L}$ છે.
ભ્રમણના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ લંબાઈનો એક ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટકનું દળ $dm = \mu dr$ છે.
આ ઘટક માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $dF = (dm) r \omega^2 = \mu \omega^2 r dr$ છે.
આ બળ ઘટક પરના તણાવ $T(r)$ ના તફાવત દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $dT = -dF = -\mu \omega^2 r dr$.
$r$ થી $L$ સુધી સંકલન કરતા (જ્યાં છેડે $r=L$ પર તણાવ શૂન્ય છે):
$\int_{T(r)}^{0} dT = -\int_{r}^{L} \mu \omega^2 r dr \Rightarrow -T(r) = -\mu \omega^2 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_r^L \Rightarrow T(r) = \frac{\mu \omega^2}{2} (L^2 - r^2)$.
$dr$ લંબાઈના ઘટકમાં થતો વધારો $d(\Delta L) = \frac{T(r) dr}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયાના એક અડધા ભાગ ( $0$ થી $L$ સુધી) માટે કુલ વધારો $\Delta L$:
$\Delta L = \int_0^L \frac{\mu \omega^2}{2AY} (L^2 - r^2) dr = \frac{\mu \omega^2}{2AY} \left[ L^2 r - \frac{r^3}{3} \right]_0^L = \frac{\mu \omega^2}{2AY} \left( L^3 - \frac{L^3}{3} \right) = \frac{\mu \omega^2 L^3}{3AY}$.
$\mu = \frac{M}{2L}$ મૂકતા,એક અડધા ભાગ માટે વધારો $\frac{M \omega^2 L^2}{6AY}$ મળે છે.
સળિયાના બે અડધા ભાગ હોવાથી,કુલ વધારો $2 \times \frac{M \omega^2 L^2}{6AY} = \frac{M \omega^2 L^2}{3AY}$ થાય.

(D) લંબાઈ $L$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$,અને યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ધરાવતા સળિયામાં તેના પોતાના વજન $W$ ને કારણે થતો વધારો $\Delta \ell$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta \ell = \frac{WL}{2AY}$
આપેલ કિંમતો:
વજન $W = 10 \, \text{N}$
લંબાઈ $L = 20 \, \text{cm} = 0.2 \, \text{m}$
ક્ષેત્રફળ $A = 100 \, \text{cm}^2 = 100 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 = 10^{-2} \, \text{m}^2$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \, \text{N/m}^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta \ell = \frac{10 \times 0.2}{2 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^{11}}$
$\Delta \ell = \frac{2}{4 \times 10^9} = 0.5 \times 10^{-9} \, \text{m}$
$\Delta \ell = 5 \times 10^{-10} \, \text{m}$
આમ,લંબાઈમાં થતો વધારો $5 \times 10^{-10} \, \text{m}$ છે. $\times 10^{-10} \, \text{m}$ માં તેનું મૂલ્ય $5$ છે.

(D) ખેંચાયેલા રબરમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{YA}{L}$ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 20 \, g = 0.02 \, kg$
લંબાઈ $L = 0.1 \, m$
ક્ષેત્રફળ $A = 10^{-6} \, m^2$
વિસ્તરણ $x = 0.04 \, m$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 0.5 \times 10^9 \, N/m^2$
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા પથ્થરની ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} \left( \frac{YA}{L} \right) x^2 = \frac{1}{2} mv^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.5 \times 10^9 \times 10^{-6}}{0.1} \times (0.04)^2 = 0.02 \times v^2$
$\frac{500}{0.1} \times 0.0016 = 0.02 \times v^2$
$5000 \times 0.0016 = 0.02 \times v^2$
$8 = 0.02 \times v^2$
$v^2 = \frac{8}{0.02} = 400$
$v = 20 \, m/s$.

(A) જ્યારે તાર ખેંચાય છે,ત્યારે બ્લોકની ગતિઊર્જા ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,જ્યાં $\text{Strain} = \frac{\Delta l}{L}$.
તેથી,$U = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{\Delta l}{L}\right)^2 \times (A \times L) = \frac{1}{2} \frac{Y A}{L} (\Delta l)^2$.
બ્લોકની પ્રારંભિક ગતિઊર્જાને તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \frac{Y A}{L} (\Delta l)^2$.
$\Delta l$ માટે ઉકેલતા:
$(\Delta l)^2 = \frac{m v^2 L}{A Y}$.
$\Delta l = v \sqrt{\frac{m L}{A Y}}$.
આમ,તાર ખેંચાયા પછી બ્લોક દ્વારા કાપવામાં આવેલું મહત્તમ અંતર $v \sqrt{\frac{m L}{A Y}}$ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} \times F \times \Delta L$
જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડેલું બળ છે અને $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો વધારો છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 10 \,kg$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$
બળ $F = m \times g = 10 \times 10 = 100 \,N$
લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = 10 \,mm = 10 \times 10^{-3} \,m = 0.01 \,m$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 100 \times 0.01$
$U = 50 \times 0.01$
$U = 0.5 \,J$
આમ,તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $0.5 \,J$ છે.

(A) સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં,પદાર્થ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે આંતરિક ઘર્ષણ અથવા કાયમી વિકૃતિને કારણે ઉર્જાનો કોઈ વ્યય થતો નથી.
પુનઃસ્થાપક બળ $(W_{restoring})$ દ્વારા થયેલું કાર્ય અને બાહ્ય બળ $(W_{external})$ દ્વારા થયેલા કાર્ય વચ્ચેનો સંબંધ $W_{external} = -W_{restoring}$ છે.
દોરી સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં હોવાથી,સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત ઉર્જા સંપૂર્ણપણે પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય તેવી હોય છે,અને ખેંચવાની કે છોડવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન કોઈ ઉષ્મા ઉત્પન્ન થતી નથી.
જો કે,જો પ્રશ્ન વિકૃતિ પ્રક્રિયા સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા સૂચવે છે,તો બાહ્ય બળ દ્વારા થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય $|W_{external}| = |-(-10 \, J)| = 10 \, J$ થાય છે.
આદર્શ સ્થિતિસ્થાપક પ્રક્રિયામાં,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $0 \, J$ હોય છે. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,પ્રશ્ન બાહ્ય બળ દ્વારા થયેલા કાર્યના મૂલ્યનો ઉલ્લેખ કરે છે,જે $10 \, J$ છે.

(C) સળિયાને ખેંચવામાં કરવામાં આવેલું કાર્ય તેમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા જેટલું હોય છે.
કાર્ય $(W)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = \frac{1}{2} \times \text{બળ} \times \text{લંબાઈમાં વધારો}$
હૂકના નિયમ મુજબ,$L$ લંબાઈ અને $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સળિયામાં $y$ જેટલો વધારો કરવા માટે જરૂરી બળ $(F)$:
$F = \frac{Y A y}{L}$
આ કિંમત કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times \left( \frac{Y A y}{L} \right) \times y$
$W = \frac{1}{2} \frac{Y A}{L} y^2$
અહીં $Y$,$A$ અને $L$ અચળ હોવાથી:
$W \propto y^2$
તેથી,કરવામાં આવેલું કાર્ય $y^2$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) ખેંચાયેલા તારમાં એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે:
$Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}} \implies \text{વિકૃતિ} = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{Y}$
વિકૃતિ માટેના આ પદને ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2Y}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} \times F \times x$
જ્યાં:
$F = 200 \,N$ (લાગુ પાડેલ બળ)
$x = 1 \,mm = 1 \times 10^{-3} \,m$ (લંબાઈમાં વધારો)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 200 \times (1 \times 10^{-3})$
$U = 100 \times 0.001$
$U = 0.1 \,J$
આમ,તાર દ્વારા મેળવેલી સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $0.1 \,J$ છે.

(B) એકમ કદ દીઠ થયેલું કાર્ય (ઉર્જા ઘનતા) $u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$u = \frac{1}{2} Y (\text{વિકૃતિ})^2$
અહીં,$Y = 8 \times 10^{10} \, N/m^2$ અને વિકૃતિ $= 2\% = 0.02$ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times (8 \times 10^{10}) \times (0.02)^2$
$u = 4 \times 10^{10} \times 0.0004 = 16 \times 10^6 \, J/m^3 = 16 \, MJ/m^3$.
પરંતુ વિકલ્પો મુજબ,જો $1/2$ અવયવ ગણવામાં ન આવે તો જવાબ $32 \, MJ/m^3$ મળે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $32$ છે.

(B) સળિયાના નીચેના છેડાથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટકની નીચેના સળિયાના ભાગનું વજન $W(x) = (\lambda x)g$ છે.
આ વજન $dx$ ઘટક પર તણાવ બળ $F = \lambda x g$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$dx$ ઘટકમાં થતું વિસ્તરણ $d(\Delta L) = \frac{F dx}{A Y} = \frac{(\lambda x g) dx}{A Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ વિસ્તરણ $\Delta L$ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = L$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$\Delta L = \int_{0}^{L} \frac{\lambda g x}{A Y} dx = \frac{\lambda g}{A Y} \int_{0}^{L} x dx = \frac{\lambda g}{A Y} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{\lambda g L^2}{2 A Y}$.

(C) ધારો કે તારમાં થતું વિસ્તરણ $\Delta l$ છે. દળ $m$ ની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = mg \Delta l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે આ ઘટાડો $x$ છે,તેથી $x = mg \Delta l$.
ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા $U_e = \frac{1}{2} \times \text{બળ} \times \text{વિસ્તરણ} = \frac{1}{2} (mg) \Delta l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જાના સમીકરણમાં $mg \Delta l = x$ મૂકતા,આપણને $U_e = \frac{1}{2} x$ મળે છે.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા તારમાં સંગ્રહિત થાય છે અને તેને પાછી મેળવી શકાય છે,તેથી ગુમાવેલી ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાંથી માત્ર $\frac{x}{2}$ જેટલી ઊર્જા પાછી મેળવી શકાય છે.

(B) દોરડાના મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ ધ્યાનમાં લો.
આ ખંડની નીચેના દોરડાના ભાગનું વજન $F = (A x \rho) g$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ $dx$ ખંડમાં થતો વધારો $d(\Delta L) = \frac{F dx}{AY} = \frac{(A x \rho g) dx}{AY} = \frac{\rho g}{Y} x dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ લંબાઈમાં વધારો $\Delta L$ શોધવા માટે,આપણે આ સમીકરણનું $x = 0$ થી $x = L$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$\Delta L = \int_{0}^{L} \frac{\rho g}{Y} x dx = \frac{\rho g}{Y} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{1}{2} \frac{\rho g L^2}{Y}$.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત એકમ કદ દીઠ ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{યંગ મોડ્યુલસ} \times (\text{વિકૃતિ})^2$
આપેલ છે:
$Y = 7.0 \times 10^{10} \ N/m^2$
$\text{વિકૃતિ} = 0.04 \% = \frac{0.04}{100} = 4 \times 10^{-4}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times (7.0 \times 10^{10}) \times (4 \times 10^{-4})^2$
$u = \frac{1}{2} \times 7.0 \times 10^{10} \times 16 \times 10^{-8}$
$u = 3.5 \times 16 \times 10^2$
$u = 56 \times 10^2 = 5600 \ J/m^3$
આમ,એકમ કદ દીઠ ઉર્જા $5600 \ J/m^3$ છે.

(C) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} \times \text{volume}$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$U = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{strain})^2 \times \text{Volume}$,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$\text{strain} = \frac{\Delta L}{L}$,અને $\text{Volume} = A \times L$.
આપેલ છે: $L = 20 \, m$,$\Delta L = 2 \, cm = 0.02 \, m$,$U = 80 \, J$,$Y = 2.0 \times 10^{11} \, N/m^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$80 = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2 \times A \times L$
$80 = \frac{1}{2} \times (2.0 \times 10^{11}) \times \left(\frac{0.02}{20}\right)^2 \times A \times 20$
$80 = 10^{11} \times (10^{-3})^2 \times A \times 20$
$80 = 10^{11} \times 10^{-6} \times 20 \times A$
$80 = 20 \times 10^5 \times A$
$A = \frac{80}{20 \times 10^5} = 4 \times 10^{-5} \, m^2$.
$mm^2$ માં રૂપાંતર કરતા:
$A = 4 \times 10^{-5} \times (10^3 \, mm)^2 = 4 \times 10^{-5} \times 10^6 \, mm^2 = 40 \, mm^2$.

(A) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્યનું સૂત્ર: $w = \frac{1}{2} \frac{AY}{L} (\Delta \ell)^2$ છે.
અહીં,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે અને $\Delta \ell$ એ લંબાઈમાં થતો વધારો છે.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,અચળ વિસ્તરણ $\Delta \ell$ અને સમાન દ્રવ્ય $Y$ માટે આપણે લખી શકીએ કે $w \propto \frac{r^2}{L}$.
આપેલ છે કે $w_1 = 2 \ J$,$r_2 = 2r_1$,અને $L_2 = L_1/2$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{w_2}{w_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \times \left( \frac{L_1}{L_2} \right) = (2)^2 \times \left( \frac{L_1}{L_1/2} \right) = 4 \times 2 = 8$.
તેથી,$w_2 = 8 \times w_1 = 8 \times 2 \ J = 16 \ J$.

(A) જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે આંતર-પરમાણ્વીય બળોની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે છે. આ કાર્ય તારમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જાના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.
એકમ કદ દીઠ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ}$
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ:
$Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}$
$\Rightarrow \text{પ્રતિબળ} = Y \times \text{વિકૃતિ}$
અહીં રેખીય વિકૃતિ $X$ આપેલી છે:
$U = \frac{1}{2} \times (Y \times X) \times X$
$U = 0.5 Y X^{2}$

(C) એકમ કદ દીઠ ઉર્જા ઘનતા $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,$\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,તેથી $U = \frac{(\text{Stress})^2}{2Y}$.
ત્યારબાદ,$\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi d^2 / 4}$,તેથી $\text{Stress} \propto \frac{1}{d^2}$.
આથી,$U \propto \frac{1}{d^4}$.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $\frac{d_A}{d_B} = \frac{1}{3}$ આપેલ છે,તેથી ઉર્જા ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{U_A}{U_B} = \left(\frac{d_B}{d_A}\right)^4$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{U_A}{U_B} = \left(\frac{3}{1}\right)^4 = 81:1$.

(D) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{Y A}{L}$ એ તારનો બળ અચળાંક છે.
અહીં,$Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$A = \pi R^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $L$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
પ્રથમ તાર માટે: $W_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{Y \pi R^2}{L} \right) x^2 = 2 \ J$ (જ્યાં $x = 1 \ mm$).
બીજા તાર માટે: $L' = \frac{L}{2}$ અને $R' = 2R$.
નવો બળ અચળાંક $k' = \frac{Y \pi (2R)^2}{L/2} = \frac{Y \pi (4R^2)}{L/2} = 8 \left( \frac{Y \pi R^2}{L} \right) = 8k$ થાય.
બીજા તાર માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W_2 = \frac{1}{2} k' x^2 = \frac{1}{2} (8k) x^2 = 8 \left( \frac{1}{2} k x^2 \right) = 8 W_1$ છે.
$W_1 = 2 \ J$ મૂકતા,આપણને $W_2 = 8 \times 2 \ J = 16 \ J$ મળે છે.

(A) પ્રતિબળ $(S)$ અને યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ધરાવતા પદાર્થમાં એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ}$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}$ હોવાથી,$\text{વિકૃતિ} = \frac{S}{Y}$ થાય.
ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં વિકૃતિની કિંમત મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2Y}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારની ઉર્જા ઘનતા $(u)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $u = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{વિકૃતિ})^{2}$.
આપેલ છે:
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ = $1.6 \times 10^{12} \,N/m^{2}$.
વિકૃતિ = $2 \times 10^{-4}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times (1.6 \times 10^{12}) \times (2 \times 10^{-4})^{2}$.
$u = 0.5 \times 1.6 \times 10^{12} \times 4 \times 10^{-8}$.
$u = 0.8 \times 4 \times 10^{12-8}$.
$u = 3.2 \times 10^{4} \,J/m^{3}$.

(A) જો $L$ લંબાઈના તારને $x$ જેટલો ખેંચવા માટે $F$ બળ લગાડવામાં આવે,તો યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{F/A}{x/L} = \frac{FL}{Ax}$
આના પરથી,તારને ખેંચવા માટે જરૂરી બળ $F$:
$F = \frac{YA}{L} x$
તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષે બળનું સંકલન છે:
$W = \int_{0}^{x} F \, dx = \int_{0}^{x} \frac{YA}{L} x \, dx$
$W = \frac{YA}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{YAx^2}{2L}$

(B) ખેંચાયેલા તારમાં એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ}$
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ:
$Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}} \implies \text{વિકૃતિ} = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{Y}$
વિકૃતિની કિંમત ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \left( \frac{\text{પ્રતિબળ}}{Y} \right)$
અહીં પ્રતિબળ $S$ આપેલ છે:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right) = \frac{1}{2} \frac{S^{2}}{Y}$

(C) તાર અથવા સળિયાને ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય એ પદાર્થમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
થયેલું કાર્ય $(W)$ = $\frac{1}{2} \times \text{સ્ટ્રેસ} \times \text{સ્ટ્રેન} \times \text{કદ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ = $\frac{\text{સ્ટ્રેસ}}{\text{સ્ટ્રેન}}$,તેથી $\text{સ્ટ્રેસ} = Y \times \text{સ્ટ્રેન}$.
આ કિંમતને કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{સ્ટ્રેન})^2 \times \text{કદ}$.
અહીં,$\text{સ્ટ્રેન} = \frac{\ell}{L}$ અને $\text{કદ} = A \times L$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{\ell}{L}\right)^2 \times (A \times L)$,
$W = \frac{1}{2} \times Y \times \frac{\ell^2}{L^2} \times A \times L$,
$W = \frac{1}{2} \times \frac{Y \times A}{L} \times \ell^2$.
આપેલ સળિયા માટે $Y$,$A$ અને $L$ અચળ હોવાથી,$W \propto \ell^2$ થાય છે.

(D) એકમ કદ દીઠ વિકૃતિ ઉર્જા $u$ નું સૂત્ર $u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain}$ છે.
કારણ કે $\text{stress} = \frac{F}{A}$ અને $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{Y}$,તેથી $u = \frac{1}{2} \times \frac{\text{stress}^2}{Y} = \frac{1}{2} \times \frac{F^2}{A^2 Y}$ થાય.
આપેલ છે કે તારની લંબાઈ અને દ્રવ્ય સમાન છે ($Y$ અચળ છે) અને સમાન બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,તેથી ઉર્જા ઘનતા $u$ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળના વર્ગ $A^2$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$A \propto d^2$ (જ્યાં $d$ વ્યાસ છે),તેથી $u \propto \frac{1}{(d^2)^2} = \frac{1}{d^4}$ થાય.
તેથી,નાના વ્યાસવાળા તાર $(d_S)$ અને મોટા વ્યાસવાળા તાર $(d_L)$ માટે એકમ કદ દીઠ વિકૃતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{u_S}{u_L} = \left( \frac{d_L}{d_S} \right)^4$ થશે.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_S : d_L = 1 : 3$ આપેલ હોવાથી,$\frac{u_S}{u_L} = \left( \frac{3}{1} \right)^4 = 81 : 1$ મળે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, પથ્થરની ગતિઊર્જા $(KE)$ = રબર બેન્ડની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $(U)$.
રબર બેન્ડ માટે:
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ $= 5 \times 10^8 \, N/m^2$
પ્રારંભિક લંબાઈ $(L)$ $= 2 \times 10^{-2} \, m$
લંબાઈમાં ફેરફાર $(\Delta L)$ $= 2 \times 10^{-2} \, m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ $= 5 \times 10^{-6} \, m^2$
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $(U)$ $= \frac{1}{2} \times Y \times (\text{વિકૃતિ})^2 \times \text{કદ}$
$U = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2 \times A \times L$
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^8 \times \left(\frac{2 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-2}}\right)^2 \times 5 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-2}$
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^8 \times 1^2 \times 10 \times 10^{-8} = 25 \, J$
આ ઊર્જા $m = 20 \, g = 20 \times 10^{-3} \, kg$ દળના પથ્થરને આપવામાં આવે છે:
$KE = U$
$\frac{1}{2} m v^2 = 25$
$\frac{1}{2} \times 20 \times 10^{-3} \times v^2 = 25$
$10^{-2} \times v^2 = 25$
$v^2 = 2500$
$v = 50 \, m/s$

(C) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત એકમ કદ દીઠ સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિઊર્જા $(u)$ એ એકમ કદ દીઠ થયેલા કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ}$
હૂકના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}$,જેનો અર્થ છે કે $\text{વિકૃતિ} = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{Y}$.
ઊર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં વિકૃતિની કિંમત મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2 Y}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર: $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$U = \frac{1}{2} \times Y \times A \times \frac{(\Delta L)^2}{L}$,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta L$ એ લંબાઈમાં વધારો છે,અને $L$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
આપેલ છે:
$Y = 1.2 \times 10^{11} \,N/m^2$
$A = 1 \,mm^2 = 1 \times 10^{-6} \,m^2$
$L = 1 \,m$
$\Delta L = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (1.2 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times \frac{(10^{-3})^2}{1}$
$U = 0.6 \times 10^5 \times 10^{-6} \times 10^{-6} = 0.6 \times 10^{-1} = 0.06 \,J = 6 \times 10^{-2} \,J$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \frac{1}{2} kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{YA}{L}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $W = \frac{1}{2} \left( \frac{YA}{L} \right) x^2$ મળે છે.
બંને તાર માટે દ્રવ્ય $(Y)$ અને વિસ્તરણ $(x)$ સમાન હોવાથી,$W \propto \frac{A}{L}$ થાય.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,$W \propto \frac{r^2}{L}$ થાય.
ધારો કે $r_1 = r$ અને $L_1 = L$. તો $r_2 = 2r$ અને $L_2 = \frac{L}{2}$ થાય.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \left( \frac{L_1}{L_2} \right) = (2)^2 \left( \frac{L}{L/2} \right) = 4 \times 2 = 8$.
તેથી,$W_2 = 8 \times W_1 = 8 \times 2 \ J = 16 \ J$.

(A) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય એ તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} F x$,જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $x$ એ વિસ્તરણ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક ભાર $F_1 = 5 \ kg \ wt = 5 \times 10 \ N = 50 \ N$,વિસ્તરણ $x_1 = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$.
અંતિમ ભાર $F_2 = 8 \ kg \ wt = 8 \times 10 \ N = 80 \ N$,વિસ્તરણ $x_2 = 1.8 \ mm = 1.8 \times 10^{-3} \ m$.
થયેલું કાર્ય $W = U_2 - U_1 = \frac{1}{2} F_2 x_2 - \frac{1}{2} F_1 x_1$.
$W = \frac{1}{2} [(80 \times 1.8 \times 10^{-3}) - (50 \times 1 \times 10^{-3})]$.
$W = \frac{1}{2} [144 \times 10^{-3} - 50 \times 10^{-3}] = \frac{1}{2} [94 \times 10^{-3}] = 47 \times 10^{-3} \ J$.

(D) આપેલ છે કે, ભારનું વજન, $F = 10 \,kg-wt = 10 \times 10 \,N = 100 \,N$.
તારમાં થતું વિસ્તરણ, $\Delta l = 1.5 \,mm = 1.5 \times 10^{-3} \,m$.
ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} \times \text{બળ} \times \text{વિસ્તરણ} = \frac{1}{2} F \Delta l$.
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 100 \,N \times 1.5 \times 10^{-3} \,m$.
$U = 50 \times 1.5 \times 10^{-3} \,J$.
$U = 75 \times 10^{-3} \,J = 0.075 \,J$.

(A) તણાયેલા તારમાં સંગ્રહિત ઉર્જા એ તારની લંબાઈ વધારવા માટે ભાર દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય જેટલી હોય છે.
$\therefore$ ઉર્જા,$U = \text{કરેલું કાર્ય}$
$= \text{સરેરાશ બળ (ભાર)} \times \text{તારમાં લંબાઈનો વધારો}$
$= \left( \frac{0 + F}{2} \right) \times \Delta L$
$= \frac{1}{2} \times F \times \Delta L$
$= \frac{1}{2} \times \text{ભાર} \times \text{લંબાઈમાં વધારો}$

(A) એકમ કદ દીઠ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} = \frac{1}{2} \times \frac{F}{A} \times \frac{F}{AY} = \frac{F^2}{2A^2Y}$
અહીં બળ $(F)$,યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ અને લંબાઈ $(l)$ બંને તાર માટે સમાન છે,તેથી:
$u \propto \frac{1}{A^2} \propto \frac{1}{d^4}$
આપેલ વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_1 : d_2 = 1:2$ છે,તેથી એકમ કદ દીઠ ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{u_1}{u_2} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^4 = \left( \frac{2}{1} \right)^4 = \frac{16}{1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $16:1$ થશે.

(A) એકમ કદ દીઠ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} = \frac{1}{2} \sigma \epsilon$
હૂકના નિયમ મુજબ,સ્ટ્રેસ $(\sigma)$ એ યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ અને વિકૃતિ $(\epsilon)$ સાથે આ રીતે સંબંધિત છે:
$\sigma = Y \epsilon$
ઉર્જાના સમીકરણમાં $\sigma$ ની કિંમત મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times (Y \epsilon) \times \epsilon$
$u = \frac{Y \epsilon^2}{2}$

(D) ખેંચાયેલા તારમાં ઉર્જા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ કાર્ય) નું સૂત્ર: $u = \frac{1}{2} Y \varepsilon^2$ છે, જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $\varepsilon$ એ વિકૃતિ છે.
કુલ કાર્ય $W = u \times V = \frac{1}{2} Y \varepsilon^2 V$.
આપેલ છે: $W = 16 \times 10^2 \,J$, $V = 2 \,cm^3 = 2 \times 10^{-6} \,m^3$, $Y = 4 \times 10^{12} \,N/m^2$.
વિકૃતિ $\varepsilon$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\varepsilon = \sqrt{\frac{2W}{YV}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = \sqrt{\frac{2 \times 16 \times 10^2}{4 \times 10^{12} \times 2 \times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{3200}{8 \times 10^6}} = \sqrt{400 \times 10^{-6}} = 20 \times 10^{-3} = 0.02$.
આમ, ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ $0.02$ છે.

(C) ખેંચાયેલા સળિયામાં એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર: $u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{stress} = \frac{F}{A}$ અને $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{Y} = \frac{F}{AY}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા, $u = \frac{1}{2} \times \frac{F}{A} \times \frac{F}{AY} = \frac{F^2}{2A^2Y}$ મળે છે.
આપેલ છે: $F = 9 \times 10^4 \,N$, $A = 3 \,cm^2 = 3 \times 10^{-4} \,m^2$, અને $Y = 2 \times 10^{11} \,Nm^{-2}$.
સ્ટ્રેસની ગણતરી: $\sigma = \frac{9 \times 10^4}{3 \times 10^{-4}} = 3 \times 10^8 \,Nm^{-2}$.
હવે, $u = \frac{1}{2} \times \sigma \times \frac{\sigma}{Y} = \frac{\sigma^2}{2Y}$.
$u = \frac{(3 \times 10^8)^2}{2 \times 2 \times 10^{11}} = \frac{9 \times 10^{16}}{4 \times 10^{11}} = 2.25 \times 10^5 \,Jm^{-3}$.

(A) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$.
આપેલ છે: વિકૃતિ $(\epsilon) = 10^{-3}$,યંગ મોડ્યુલસ $(Y) = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$,દળ $(m) = 2.96 \ kg$,ઘનતા $(\rho) = 7.4 \ g \ cm^{-3} = 7400 \ kg \ m^{-3}$.
સૌ પ્રથમ,તારનું કદ $(V)$ શોધો: $V = \frac{m}{\rho} = \frac{2.96}{7400} = 4 \times 10^{-4} \ m^3$.
ત્યારબાદ,પ્રતિબળ શોધો: $\text{Stress} = Y \times \epsilon = (2 \times 10^{11}) \times (10^{-3}) = 2 \times 10^8 \ Nm^{-2}$.
હવે,કાર્યની ગણતરી કરો: $W = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^8) \times (10^{-3}) \times (4 \times 10^{-4})$.
$W = 10^8 \times 10^{-3} \times 4 \times 10^{-4} = 4 \times 10^1 = 40 \ J = 0.04 \ kJ$.

(B) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$
$W = \frac{1}{2} \times \left( Y \frac{\Delta \ell}{\ell} \right) \times \left( \frac{\Delta \ell}{\ell} \right) \times (A \ell)$
$W = \frac{1}{2} \frac{Y A}{\ell} (\Delta \ell)^2$
આપેલ છે:
$Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$
$A = 10^{-6} \ m^2$
$\ell = 2 \ m$
$\Delta \ell = 2.004 - 2 = 0.004 \ m = 4 \times 10^{-3} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times \frac{2 \times 10^{11} \times 10^{-6}}{2} \times (4 \times 10^{-3})^2$
$W = \frac{1}{2} \times 10^5 \times 16 \times 10^{-6}$
$W = 0.5 \times 1.6 = 0.8 \ J$

(B) વિકૃતિ પામેલા પદાર્થમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા એ પદાર્થને વિકૃત કરવા માટે કરેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
હુકના નિયમનું પાલન કરતા પદાર્થ માટે,ઊર્જા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ ઊર્જા) $u = \frac{1}{2} \times \text{સ્ટ્રેસ} \times \text{સ્ટ્રેન}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $(U)$ શોધવા માટે,આપણે ઊર્જા ઘનતાને પદાર્થના કુલ કદ $(V)$ સાથે ગુણીએ છીએ.
તેથી,$U = u \times V = \frac{1}{2} \times \text{સ્ટ્રેસ} \times \text{સ્ટ્રેન} \times V$.

(D) ખેંચાયેલા તાર માટે એકમ કદ દીઠ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર: $u = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{વિકૃતિ})^2$ છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $\text{વિકૃતિ} = \frac{\Delta L}{L}$ છે.
પ્રથમ તાર માટે: $\text{વિકૃતિ}_1 = \frac{l}{L}$.
તેથી,$u_1 = \frac{1}{2} Y (\frac{l}{L})^2$.
બીજા તાર માટે: $\text{વિકૃતિ}_2 = \frac{2l}{2L} = \frac{l}{L}$.
તેથી,$u_2 = \frac{1}{2} Y (\frac{l}{L})^2$.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,તેમનો યંગ મોડ્યુલસ $Y$ સમાન રહેશે.
તેથી,એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{u_1}{u_2} = \frac{\frac{1}{2} Y (l/L)^2}{\frac{1}{2} Y (l/L)^2} = 1:1$ થાય.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$.
કારણ કે $\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,તેથી $U = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{Strain})^2 \times \text{Volume}$.
આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 3 \text{ m}$,
લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$,
કદ $V = 600 \times 10^{-6} \text{ m}^3$,
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 1.1 \times 10^{11} \text{ N/m}^2$.
વિકૃતિ (Strain) ની ગણતરી: $\text{Strain} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{3 \times 10^{-3}}{3} = 10^{-3}$.
હવે,સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (1.1 \times 10^{11}) \times (10^{-3})^2 \times (600 \times 10^{-6})$
$U = 0.5 \times 1.1 \times 10^{11} \times 10^{-6} \times 600 \times 10^{-6}$
$U = 0.5 \times 1.1 \times 600 \times 10^{-1}$
$U = 0.5 \times 1.1 \times 60 = 33 \text{ J}$.