Work Done in Stretching a Wire Questions in Gujarati

(B) તાર (અથવા સ્પ્રિંગ) ને $x$ અંતર સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \frac{1}{2}kx^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$k$ એ બળ અચળાંક છે અને $x$ એ લંબાઈમાં થતો વધારો છે.
પ્રથમ તાર માટે,થયેલ કાર્ય $W_1 = \frac{1}{2}k_1x^2$ છે,જ્યાં $k_1 = k$.
બીજા તાર માટે,થયેલ કાર્ય $W_2 = \frac{1}{2}k_2x^2$ છે,જ્યાં $k_2 = 2k$.
કારણ કે બંને તારને સમાન અંતર $x$ સુધી ખેંચવામાં આવે છે,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $W \propto k$.
તેથી,થયેલ કાર્યનો ગુણોત્તર $\frac{W_2}{W_1} = \frac{k_2}{k_1} = \frac{2k}{k} = 2$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $W_2 = 2W_1$.

(D) ખેંચાયેલા તારમાં એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain}$
યંગ મોડ્યુલસ $y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$ હોવાથી,$\text{Stress} = y \times \text{Strain}$ થાય.
આપેલ વિકૃતિ $x$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times (y \times x) \times x$
$u = \frac{1}{2} y x^2$

(C) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્યનું સૂત્ર: $W = \frac{1}{2} \frac{YA \Delta l^2}{L}$ છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 1.0 \, m$
ક્ષેત્રફળ $A = 1.0 \times 10^{-2} \, cm^2 = 1.0 \times 10^{-6} \, m^2$
લંબાઈમાં વધારો $\Delta l = 0.2 \, cm = 2 \times 10^{-3} \, m$
કાર્ય $W = 0.4 \, J$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.4 = \frac{1}{2} \times \frac{Y \times (1.0 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{-3})^2}{1.0}$
$0.4 = 0.5 \times Y \times 10^{-6} \times 4 \times 10^{-6}$
$0.4 = 2 \times 10^{-12} \times Y$
$Y = \frac{0.4}{2 \times 10^{-12}} = 2.0 \times 10^{11} \, N/m^2$.

(D) પોતાના વજનને કારણે $L$ લંબાઈ,$d$ ઘનતા અને $Y$ યંગ મોડ્યુલસ ધરાવતી સળિયા કે પાઇપની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta L = \frac{L^2 dg}{2Y}$.
આપેલ કિંમતો છે: $L = 8 \, m$,$d = 1.5 \times 10^3 \, kg/m^3$,$Y = 5 \times 10^6 \, N/m^2$,અને $g = 10 \, m/s^2$ લેતા.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta L = \frac{(8)^2 \times (1.5 \times 10^3) \times 10}{2 \times (5 \times 10^6)}$
$\Delta L = \frac{64 \times 1.5 \times 10^4}{10 \times 10^6} = \frac{96 \times 10^4}{10^7} = 9.6 \times 10^{-2} \, m$.

(C) ખેંચાયેલી રબર કોર્ડમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા મિસાઇલની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} \times \text{volume} = \frac{1}{2} \frac{YA l^2}{L}$ છે.
આને મિસાઇલની ગતિ ઉર્જા સાથે સરખાવતા: $\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \frac{YA l^2}{L}$.
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા: $v = \sqrt{\frac{YA l^2}{mL}}$.
આપેલ કિંમતો: $Y = 5 \times 10^8\,N/m^2$,$A = 25 \times 10^{-6}\,m^2$,$l = 5 \times 10^{-2}\,m$,$L = 10 \times 10^{-2}\,m$,$m = 5 \times 10^{-3}\,kg$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{5 \times 10^8 \times 25 \times 10^{-6} \times (5 \times 10^{-2})^2}{5 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-2}}} = \sqrt{\frac{5 \times 10^8 \times 25 \times 10^{-6} \times 25 \times 10^{-4}}{5 \times 10^{-4}}} = \sqrt{62500} = 250\,m/s$.

(B) સ્થિતિસ્થાપક તારને ખેંચવા માટે એકમ કદ દીઠ થયેલા કાર્યને સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા ઘનતા કહેવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં,પ્રતિબળ (Stress) એ વિકૃતિ (Strain) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$L$ લંબાઈ અને $A$ આડછેદ ધરાવતા તારને $dl$ જેટલું નાનું સ્થાનાંતર આપવા માટે થયેલું કાર્ય $dW = F \cdot dl$ છે.
અહીં $F = Stress \times A$ અને $dl = Strain \times L$ હોવાથી,એકમ કદ દીઠ થયેલું કાર્ય એ પ્રતિબળનું વિકૃતિની સાપેક્ષમાં સંકલન કરવાથી મળે છે.
$u = \int_{0}^{\epsilon} \sigma \, d\epsilon = \int_{0}^{\epsilon} Y\epsilon \, d\epsilon = \frac{1}{2} Y \epsilon^2 = \frac{1}{2} \times Stress \times Strain$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) તારને ખેંચવામાં થયેલ કાર્ય એ સરેરાશ બળ અને લંબાઈમાં થયેલા વધારાના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
જેમ જેમ તાર ખેંચાય છે તેમ બળ $0$ થી $Mg$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે, તેથી સરેરાશ બળ $\frac{0 + Mg}{2} = \frac{Mg}{2}$ થાય છે.
તેથી, થયેલ કાર્ય $W = \text{સરેરાશ બળ} \times \text{લંબાઈમાં વધારો} = \frac{Mg}{2} \times l = \frac{Mgl}{2}$.

(A) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ સૂત્ર $W = \frac{1}{2} F \Delta l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ લગાડેલું બળ છે અને $\Delta l$ એ લંબાઈમાં થતો વધારો છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,$F = \frac{YA \Delta l}{l}$,તેથી લંબાઈમાં વધારો $\Delta l = \frac{Fl}{YA}$ થાય.
આ કિંમત કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા: $W = \frac{1}{2} F \left( \frac{Fl}{YA} \right) = \frac{F^2 l}{2YA}$.
અહીં $F$,$Y$ (યંગ મોડ્યુલસ) અને $A$ (આડછેદનું ક્ષેત્રફળ) બંને તાર માટે સમાન હોવાથી,$W \propto l$ મળે.
તેથી,થયેલા કાર્યનો ગુણોત્તર $\frac{W_1}{W_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{l}{2l} = \frac{1}{2}$ થાય.

(B) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત ઉર્જા (સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} \times \text{બળ} \times \text{લંબાઈમાં વધારો}$
અહીં, બળ $F$ એ લટકાવેલું વજન છે, $F = mg = 10 \, kg \times 10 \, m/s^2 = 100 \, N$.
લંબાઈમાં વધારો $l = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 100 \, N \times 1 \times 10^{-3} \, m$
$U = 50 \times 10^{-3} \, J$
$U = 0.05 \, J$.

(C) તારને $l$ જેટલો ખેંચવા માટે જરૂરી બળ $F = Kl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ તારનો બળ અચળાંક છે.
તારને $dl$ જેટલા સૂક્ષ્મ અંતર માટે ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $dW = F \cdot dl = (Kl) \cdot dl$ છે.
કુલ કાર્ય શોધવા માટે,આપણે $0$ થી $l$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$W = \int_{0}^{l} Kl \, dl = K \left[ \frac{l^2}{2} \right]_{0}^{l} = \frac{1}{2}Kl^2$.
વૈકલ્પિક રીતે,બળ $0$ થી $Kl$ સુધી રેખીય રીતે વધતું હોવાથી,સરેરાશ બળ $\frac{0 + Kl}{2} = \frac{Kl}{2}$ થાય.
આમ,કરવું પડતું કાર્ય $W = \text{સરેરાશ બળ} \times \text{લંબાઈમાં વધારો} = \left( \frac{Kl}{2} \right) \times l = \frac{1}{2}Kl^2$ થાય.

(D) જ્યારે તાર તણાવ હેઠળ હોય છે,ત્યારે તેના અણુઓ વચ્ચેનું આંતર-આણ્વિય અંતર વધે છે,જેના કારણે તારની સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.
જ્યારે તણાવ એકાએક દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે અણુઓ તેમની સંતુલન સ્થિતિમાં પાછા ફરે છે,જેના કારણે આંતર-આણ્વિય અંતર ઘટે છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થયેલો આ ઘટાડો તારમાં ઉષ્મા ઊર્જા તરીકે મુક્ત થાય છે.
પરિણામે,તારની આંતરિક ઊર્જા વધે છે,જેના કારણે તેનું તાપમાન વધે છે.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થને સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં વિકૃત કરવામાં આવે છે,ત્યારે આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળોની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે છે.
આ કરવામાં આવેલું કાર્ય પદાર્થમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.
જેમ કે આંતર-આણ્વિય અંતર બદલાય છે (ખેંચાણ દરમિયાન વધે છે),તેથી સિસ્ટમની સ્થિતિ ઉર્જા વધે છે.
આથી,પદાર્થની આંતરિક ઉર્જા વધે છે.

(B) દબાણ હેઠળ રહેલા સળિયામાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જાનું સૂત્ર: $U = \frac{1}{2} \times \frac{\text{stress}^2}{Y} \times \text{volume}$ છે.
$\text{stress} = \frac{F}{A}$ અને $\text{volume} = A \times L$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$U = \frac{1}{2} \times \frac{F^2}{A^2 Y} \times (A \times L) = \frac{F^2 L}{2AY}$.
આપેલ કિંમતો:
$F = m \times g = 5 \, kg \times 10 \, m/s^2 = 50 \, N$.
$L = 0.2 \, m$.
$A = 1 \, cm^2 = 1 \times 10^{-4} \, m^2$.
$Y = 1 \times 10^{11} \, N/m^2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{(50)^2 \times 0.2}{2 \times (1 \times 10^{-4}) \times (1 \times 10^{11})} = \frac{2500 \times 0.2}{2 \times 10^7} = \frac{500}{2 \times 10^7} = 250 \times 10^{-7} = 2.5 \times 10^{-5} \, J$.

(C) તારમાં સંગ્રહિત ઉર્જા (સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા) $U = \frac{1}{2} \times F \times \Delta l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F = 10 \, N$ અને $\Delta l = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$ છે.
$U = \frac{1}{2} \times 10 \times 0.5 \times 10^{-3} = 2.5 \times 10^{-3} \, J$.
હવે,વજન દ્વારા $x = 1.5 \, mm = 1.5 \times 10^{-3} \, m$ જેટલું સ્થાનાંતર કરવા માટે થયેલું કાર્ય $W = F \times x$ છે.
$W = 10 \times 1.5 \times 10^{-3} = 15 \times 10^{-3} \, J$.
પ્રશ્ન મુજબ,સંગ્રહિત ઉર્જા અને કાર્યનો ગુણોત્તર $= \frac{U}{W} = \frac{2.5 \times 10^{-3}}{15 \times 10^{-3}} = \frac{1}{6}$ થાય છે. પરંતુ,સામાન્ય રીતે આવા પ્રશ્નોમાં $W = F \times \Delta l$ લેતા ગુણોત્તર $1/2$ મળે છે.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત ઊર્જા સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = \frac{1}{2} \times F \times \Delta L$.
આપેલ છે:
બળ $F = 20 \ N$
લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = 1.0 \ mm = 1.0 \times 10^{-3} \ m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 20 \times 1.0 \times 10^{-3} \ J$.
$U = 10 \times 10^{-3} \ J$.
$U = 0.01 \ J$.

(D) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત ઉર્જા (સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા) $U = \frac{1}{2} F \Delta l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F = 20\, N$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે અને $\Delta l = 1.0\, mm$ એ લંબાઈમાં વધારો છે.
જ્યારે ભાર $\Delta l = 1.0\, mm$ જેટલો નીચે જાય ત્યારે તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો $W_g = F \Delta l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારની ઉર્જામાં થતો વધારો અને ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ઘટાડાનો ગુણોત્તર:
ગુણોત્તર $= \frac{U}{W_g} = \frac{\frac{1}{2} F \Delta l}{F \Delta l} = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 20 \, cm = 0.2 \, m$,ક્ષેત્રફળ $A = 2 \, cm^2 = 2 \times 10^{-4} \, m^2$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 1.4 \times 10^{11} \, N/m^2$,બળ $F = 5 \, kg-wt = 5 \times 9.8 \, N = 49 \, N$ ($g = 9.8 \, m/s^2$ લેતા).
સળિયામાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર:
$U = \frac{1}{2} \times \frac{F^2 L}{AY}$
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times \frac{(49)^2 \times 0.2}{2 \times 10^{-4} \times 1.4 \times 10^{11}}$
$U = \frac{1}{2} \times \frac{2401 \times 0.2}{2.8 \times 10^7}$
$U = \frac{480.2}{5.6 \times 10^7} \approx 8.57 \times 10^{-6} \, J$.

(C) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} \times \text{volume}$ છે.
અથવા,$U = \frac{1}{2} \times \frac{YA \Delta l^2}{L}$.
આપેલ કિંમતો:
$Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$
$A = 3 \times 10^{-6} \, m^2$
$L = 4 \, m$
$\Delta l = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times \frac{(2 \times 10^{11}) \times (3 \times 10^{-6}) \times (10^{-3})^2}{4}$
$U = \frac{1}{2} \times \frac{6 \times 10^5 \times 10^{-6}}{4}$
$U = \frac{1}{2} \times \frac{0.6}{4} = \frac{0.3}{4} = 0.075 \, J$.

(C) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,તેથી:
$W = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{Strain})^2 \times \text{Volume}$
અહીં $\text{Strain} = \frac{x}{L}$ અને $\text{Volume} = A \times L$ હોવાથી,આ કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{x}{L}\right)^2 \times (A \times L)$
$W = \frac{1}{2} \times Y \times \frac{x^2}{L^2} \times A \times L$
$W = \frac{Y x^2 A}{2 L}$

(C) જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે આંતર-પરમાણ્વીય બળોની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે છે. આ કાર્ય તારમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.
એકમ કદ દીઠ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain}$
તેથી,આપેલ કદના તારમાં સંગ્રહિત કુલ સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જા $(W)$ છે:
$W = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} \times \text{volume}$
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ની વ્યાખ્યા પરથી:
$Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} \implies \text{strain} = \frac{\text{stress}}{Y}$
સ્ટ્રેઇન માટેના આ સમીકરણને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \left( \frac{\text{stress}}{Y} \right) \times \text{volume}$
$W = \frac{\text{stress}^2 \times \text{volume}}{2Y}$

(C) આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 50\, cm = 0.5\, m$
ક્ષેત્રફળ $A = 1\, mm^2 = 10^{-6}\, m^2$
લંબાઈમાં વધારો $l = 1\, mm = 10^{-3}\, m$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{10}\, N/m^2$
તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$W = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$
$W = \frac{Y A l^2}{2 L}$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(2 \times 10^{10}) \times (10^{-6}) \times (10^{-3})^2}{2 \times 0.5}$
$W = \frac{2 \times 10^{10} \times 10^{-6} \times 10^{-6}}{1}$
$W = 2 \times 10^{-2}\, J$

(B) ખેંચાયેલા તારમાં એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા (એકમ કદ દીઠ કરવું પડતું કાર્ય) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{Strain})^2$.
અહીં તારની લંબાઈમાં $1\%$ વધારો થાય છે,તેથી વિકૃતિ (Strain) $\text{Strain} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{1}{100} = 0.01$ થશે.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 9 \times 10^{11}\,N/m^2$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{11}) \times (0.01)^2$
$U = 4.5 \times 10^{11} \times 10^{-4}$
$U = 4.5 \times 10^7\,J/m^3$.

(A) તારને ખેંચવા માટે થયેલ કાર્યનું સૂત્ર: $W = \frac{1}{2} \times \text{બળ} \times \text{વિસ્તરણ}$ છે.
અહીં, લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ એ ભારનું વજન છે: $F = Mg = 5\,kg \times 10\,m/s^2 = 50\,N$.
ઉત્પન્ન થયેલ વિસ્તરણ $l = 3\,m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 50\,N \times 3\,m = 25 \times 3 = 75\,Joule$.
તેથી, થયેલ કાર્ય $75\,Joule$ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા એ કરેલા કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે,$W = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ} \times \text{કદ}$.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા ઘનતા $(u)$ ને એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$u = \frac{W}{\text{કદ}} = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} \times F \times \Delta l$
આપેલ છે:
બળ $F = 200\, N$
લંબાઈમાં વધારો $\Delta l = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 200 \times 10^{-3}$
$U = 100 \times 10^{-3}$
$U = 0.1\, J$
તેથી,તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જા $0.1\, J$ છે.

(B) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} F \Delta L = \frac{F^2 L}{2AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ તણાવ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
ત્યારબાદ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$U \propto \frac{L}{r^2}$ મળે છે કારણ કે બંને તાર માટે $F$ અને $Y$ અચળ છે.
આપેલ છે: $L_A = 3 L_B$ અને $d_A = 2 d_B$ (જેનો અર્થ છે $r_A = 2 r_B$).
તેથી,સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_A}{U_B} = \left( \frac{L_A}{L_B} \right) \times \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{U_A}{U_B} = (3) \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(B) પદાર્થના એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ પ્રતિબળ $(S)$ અને વિકૃતિ $(\epsilon)$ નો ગુણોત્તર છે:
$Y = \frac{S}{\epsilon} \implies \epsilon = \frac{S}{Y}$
વિકૃતિ માટેના આ સૂત્રને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2Y}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત ઊર્જા એ તેને ખેંચવા માટે કરેલા કાર્ય જેટલી હોય છે.
કાર્ય $W = \text{સરેરાશ બળ} \times \text{લંબાઈમાં વધારો}$.
અહીં બળ $0$ થી $Mg$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે,તેથી સરેરાશ બળ $\frac{0 + Mg}{2} = \frac{Mg}{2}$ થાય.
તેથી,સંગ્રહિત ઊર્જા $U = \frac{Mg}{2} \times l = \frac{Mgl}{2}$ થાય.

(A) તારમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય વિકૃતિ (thermal strain) $\text{strain} = \frac{\Delta l}{L} = \alpha \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્મીય પ્રતિબળને કારણે તારમાં સંગ્રહિત ઊર્જા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ ઊર્જા) $u = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{strain})^2$ છે.
કુલ સંગ્રહિત ઊર્જા $U = u \times \text{Volume} = \frac{1}{2} \times Y \times (\alpha \Delta \theta)^2 \times (A \times L)$.
આપેલ કિંમતો: $Y = 2.0 \times 10^{11} \, N/m^2$,$\alpha = 18 \times 10^{-6} \, ^\circ C^{-1}$,$\Delta \theta = 100 ^\circ C$,$A = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$,$L = 1 \, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (2.0 \times 10^{11}) \times (18 \times 10^{-6} \times 100)^2 \times (10^{-4} \times 1)$
$U = 10^{11} \times (18 \times 10^{-4})^2 \times 10^{-4}$
$U = 10^{11} \times 324 \times 10^{-8} \times 10^{-4}$
$U = 324 \times 10^{-1} = 32.4 \, J$.

(B) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ} \times \text{કદ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\text{પ્રતિબળ} = \frac{F}{A}$ અને $\text{કદ} = A \times L$,જ્યાં $L$ એ તારની મૂળ લંબાઈ છે:
$U = \frac{1}{2} \times \frac{F}{A} \times s \times (A \times L) = \frac{1}{2} \times F \times s \times L$.
ધારો કે બધા તાર માટે લંબાઈ $L$ સમાન છે:
$A) \ U = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-3} \times L = 5 \times 10^{-3} \ L$
$B) \ U = \frac{1}{2} \times 15 \times 10^{-3} \times L = 7.5 \times 10^{-3} \ L$
$C) \ U = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-4} \times L = 0.5 \times 10^{-3} \ L$
$D) \ U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-3} \times L = 2.5 \times 10^{-3} \ L$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $B$ માં ઊર્જા મહત્તમ છે.

(A) તારને મરોડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \frac{1}{2} C \theta^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એ ટોર્સનલ રિજિડિટી છે.
$C = \frac{\pi \eta r^4}{2l}$.
આ કિંમત કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા: $W = \frac{\pi \eta r^4 \theta^2}{4l}$.
આપેલ છે: $l = 25 \ cm = 0.25 \ m$,$r = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$\theta = 45^o = \frac{\pi}{4} \ rad$,$\eta = 8 \times 10^{10} \ N/m^2$.
$W = \frac{3.14 \times 8 \times 10^{10} \times (2 \times 10^{-3})^4 \times (\pi/4)^2}{4 \times 0.25}$.
$W = \frac{3.14 \times 8 \times 10^{10} \times 16 \times 10^{-12} \times 0.6168}{1} \approx 2.48 \ J$.

(A) તારને ખેંચતી વખતે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તારમાં સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ તરીકે સંગ્રહિત થાય છે,જેને સ્ટ્રેન ઉર્જા કહેવામાં આવે છે.
કરેલું કાર્ય $W$ એ બળ-વિસ્તરણ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $W = \frac{1}{2} \times F \times l$ છે,જ્યાં $F$ એ લોડ છે અને $l$ એ વિસ્તરણ છે.
એકમ કદ દીઠ કાર્ય શોધવા માટે,આપણે કુલ ઉર્જાને તારના કદ $(V = A \times L)$ વડે ભાગીએ છીએ,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
$\text{એકમ કદ દીઠ ઉર્જા} = \frac{U}{V} = \frac{\frac{1}{2} F l}{A L}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{U}{V} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{F}{A} \right) \times \left( \frac{l}{L} \right)$
કારણ કે $\text{સ્ટ્રેસ} = \frac{F}{A}$ અને $\text{સ્ટ્રેન} = \frac{l}{L}$,તેથી અભિવ્યક્તિ નીચે મુજબ બને છે:
$\text{એકમ કદ દીઠ સ્ટ્રેન ઉર્જા} = \frac{1}{2} \times \text{સ્ટ્રેસ} \times \text{સ્ટ્રેન}$.

(D) $1$. $M$ દળ જ્યારે $l$ અંતર નીચે જાય ત્યારે તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta PE = Mgl$ છે. તેથી,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
$2$. ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા (વિકૃતિ ઊર્જા) $U = \frac{1}{2} \times \text{બળ} \times \text{લંબાઈમાં વધારો} = \frac{1}{2} Mgl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,વિધાન $(III)$ સાચું છે અને $(II)$ ખોટું છે.
$3$. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા અને ઉત્પન્ન થયેલી ઉષ્માના સરવાળા જેટલું હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કાર્ય = $Mgl$.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા = $\frac{1}{2} Mgl$.
ઉત્પન્ન થયેલી ઉષ્મા = કાર્ય - સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા = $Mgl - \frac{1}{2} Mgl = \frac{1}{2} Mgl$. તેથી,વિધાન $(IV)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(I), (III)$ અને $(IV)$ સાચા છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને $Y = \frac{F/A}{l/L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$l$ એ લંબાઈમાં વધારો છે અને $L$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
આના પરથી,તારને ખેંચવા માટે જરૂરી બળ $F = \frac{Y A l}{L}$ છે.
તારને $dl$ જેટલા સૂક્ષ્મ અંતર સુધી ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $dW = F \, dl$ છે.
$0$ થી $l$ સુધી સંકલન કરતા,આપણને $W = \int_{0}^{l} \frac{Y A}{L} l \, dl = \frac{1}{2} \frac{Y A l^2}{L}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો: $L = 1 \, m$,$A = 1 \, mm^2 = 10^{-6} \, m^2$,$l = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,અને $Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times \frac{(2 \times 10^{11} \, N/m^2) \times (10^{-6} \, m^2) \times (10^{-3} \, m)^2}{1 \, m}$
$W = \frac{1}{2} \times 2 \times 10^{11} \times 10^{-6} \times 10^{-6} \, J$
$W = 10^{11} \times 10^{-12} \, J = 0.1 \, J$.

(B) જ્યારે કોઈ તાર પર $W$ ભાર લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે $x$ અંતર નીચે જાય છે.
ભારની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $W \times x$ છે.
જોકે,ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત ઊર્જા (સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા) $U = \frac{1}{2} \times W \times x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાકીની ઊર્જા,જે $\frac{1}{2}Wx$ છે,તે ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
વિકલ્પ $B$ એક સાચું વિધાન છે કારણ કે તારને ખેંચવામાં થયેલું કાર્ય એ બળ-વિસ્તરણ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે.
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે એકમ કદ દીઠ ઊર્જા $\frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} = \frac{1}{2} \times \frac{W}{A} \times \frac{x}{L} = \frac{1}{2} \frac{Wx}{AL}$ છે,$\frac{1}{2}Wx$ નથી.

(C) તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} \times \frac{(\text{stress})^2}{Y} \times \text{volume}$ છે.
ધારો કે પાતળા તારનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi R^2$ છે અને જાડા તારનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2$ છે.
કુલ ઊર્જા $U_T$ એ બંને તારમાં સંગ્રહિત ઊર્જાનો સરવાળો છે: $U_T = U_1 + U_2$.
$U_1 = \frac{1}{2} \frac{(W/A_1)^2}{Y} (A_1 L) = \frac{W^2 L}{2 Y A_1} = \frac{W^2 L}{2 Y \pi R^2}$.
$U_2 = \frac{1}{2} \frac{(W/A_2)^2}{Y} (A_2 L) = \frac{W^2 L}{2 Y A_2} = \frac{W^2 L}{2 Y (4\pi R^2)} = \frac{W^2 L}{8 Y \pi R^2}$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$U_T = \frac{W^2 L}{2 Y \pi R^2} + \frac{W^2 L}{8 Y \pi R^2} = \frac{W^2 L}{2 Y \pi R^2} (1 + \frac{1}{4}) = \frac{W^2 L}{2 Y \pi R^2} (\frac{5}{4}) = \frac{5W^2 L}{8 \pi R^2 Y}$.

(A) એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{વિકૃતિ})^2$
સળિયો બે દીવાલો વચ્ચે જડેલો હોવાથી,ગરમ કરવાને કારણે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય વિકૃતિ:
$\text{વિકૃતિ} = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta \theta$
આપેલ છે:
$Y = 10^{11} \, N/m^2$
$\alpha = 12 \times 10^{-6} / ^oC$
$\Delta \theta = 20 - 0 = 20 \, ^oC$
કિંમતો મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times 10^{11} \times (12 \times 10^{-6} \times 20)^2$
$u = \frac{1}{2} \times 10^{11} \times (240 \times 10^{-6})^2$
$u = \frac{1}{2} \times 10^{11} \times 5.76 \times 10^{-8}$
$u = 2880 \, J/m^3$

(B) સળિયાનું ઉષ્મીય પ્રસરણ $\Delta \ell = \ell \alpha t$ છે.
આ પ્રસરણને રોકવા માટે જરૂરી બળ $F$ (અથવા સળિયા દ્વારા લગાડવામાં આવતું બળ) હૂકના નિયમ મુજબ: $F = Y A \frac{\Delta \ell}{\ell} = Y A \frac{\ell \alpha t}{\ell} = Y A \alpha t$ છે.
આ પ્રસરણ દરમિયાન સળિયા દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ સળિયામાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા જેટલું હોય છે,જે $W = \frac{1}{2} \times \text{બળ} \times \text{લંબાઈમાં વધારો}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1}{2} \times (Y A \alpha t) \times (\ell \alpha t)$.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $U = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} \times \text{volume}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{stress} = \frac{F}{A} = \frac{Mg}{A}$ અને $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{Y} = \frac{Mg}{AY}$.
તારનું કદ $V = A \times L$ છે.
આ કિંમતોને ઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times \left( \frac{Mg}{A} \right) \times \left( \frac{Mg}{AY} \right) \times (AL)$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$U = \frac{1}{2} \times \frac{M^2 g^2}{A^2 Y} \times AL = \frac{1}{2} \frac{M^2 g^2 L}{AY}$.

(B) ખેંચાયેલી રબરની દોરીમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા પથ્થરની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ખેંચાયેલી દોરીમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} \times Y \times A \times \ell \times \left( \frac{\Delta \ell}{\ell} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\ell$ એ મૂળ લંબાઈ છે,અને $\Delta \ell$ એ વિસ્તરણ છે.
આપેલ છે: $\ell = 0.42\, m$,$r = 3\, mm = 3 \times 10^{-3}\, m$,$\Delta \ell = 0.20\, m$,$m = 0.02\, kg$,$v = 20\, m/s$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (3 \times 10^{-3})^2 = 9\pi \times 10^{-6}\, m^2$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times Y \times (9\pi \times 10^{-6}) \times 0.42 \times \left( \frac{0.20}{0.42} \right)^2 = \frac{1}{2} \times 0.02 \times (20)^2$.
$Y \times (9\pi \times 10^{-6}) \times 0.42 \times \frac{0.04}{0.1764} = 0.02 \times 400 = 8$.
$Y \times (9 \times 3.14 \times 10^{-6}) \times 0.42 \times 0.2267 = 8$.
$Y \approx 3 \times 10^6\, N/m^2$.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} F \Delta l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંને પર સમાન બળ $F = 500\,N$ લાગે છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.5\,cm^2 = 0.5 \times 10^{-4}\,m^2$.
તાંબાના તારમાં વિસ્તરણ: $\Delta l_1 = \frac{F L_1}{Y_{cu} A} = \frac{500 \times 8}{1 \times 10^{11} \times 0.5 \times 10^{-4}} = 8 \times 10^{-4}\,m = 0.8\,mm$.
સ્ટીલના તારમાં વિસ્તરણ: $\Delta l_2 = \frac{F L_2}{Y_{steel} A} = \frac{500 \times 4}{2 \times 10^{11} \times 0.5 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-4}\,m = 0.2\,mm$.
કુલ વિસ્તરણ $\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 = 0.8\,mm + 0.2\,mm = 1.0\,mm = 10^{-3}\,m$.
કુલ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} F \Delta l = \frac{1}{2} \times 500 \times 10^{-3} = 0.25\,J = 1/4\,J$.

(D) જ્યારે તારને $0$ થી $l$ લંબાઈ સુધી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું બળ $0$ થી $F$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે.
ખેંચવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન લાગતું સરેરાશ બળ $F_{av} = \frac{0 + F}{2} = \frac{F}{2}$ છે.
તારને ખેંચવા માટે થયેલું કાર્ય $(W)$ એ સરેરાશ બળ અને કુલ લંબાઈના વધારાનો ગુણાકાર છે:
$W = F_{av} \times l = \left(\frac{F}{2}\right) \times l = \frac{Fl}{2}$.

(A) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવતા કાર્યનું સૂત્ર $W = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$ છે.
અથવા,$W = \frac{1}{2} \frac{YA}{L} (\Delta L)^2$.
આપેલ કિંમતો:
$Y = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$
$A = 1 \ mm^2 = 1 \times 10^{-6} \ m^2$
$L = 1 \ m$
$\Delta L = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times \frac{2 \times 10^{11} \times 1 \times 10^{-6}}{1} \times (10^{-3})^2$
$W = 10^{11} \times 10^{-6} \times 10^{-6}$
$W = 10^{11} \times 10^{-12} = 10^{-1} = 0.1 \ J$.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા તેને ખેંચવા માટે કરેલા કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કરેલું કાર્ય $W = \int_{0}^{\ell} F \, dx = \frac{1}{2} F \ell$.
તારનું કદ $V = A \times L$ છે.
એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જા $(u)$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$u = \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}} = \frac{\frac{1}{2} F \ell}{A L}$.
આમ,એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જા $\frac{F \ell}{2 AL}$ છે.

(B) તણાયેલા તારમાં એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ:
$Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}} \implies \text{વિકૃતિ} = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{Y}$
અહીં પ્રતિબળ $= S$ આપેલ છે,તેથી:
$\text{વિકૃતિ} = \frac{S}{Y}$
આ કિંમતોને ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \frac{S}{Y} = \frac{S^2}{2Y}$

(A) એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જાને સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા ઘનતા $(u)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તે વિરૂપણ પ્રક્રિયા દરમિયાન એકમ કદ દીઠ થયેલા કાર્ય દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
રેખીય સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ માટે,પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે (હૂકનો નિયમ).
તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ}$

(C) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} \times \text{બળ} \times \text{લંબાઈમાં વધારો}$ છે.
અહીં,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ એ બ્લોકનું વજન છે,જે $F = Mg$ છે.
તારમાં ઉત્પન્ન થયેલ લંબાઈમાં વધારો $l$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} (Mg) (l) = \frac{1}{2} Mgl$.
આમ,તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $\frac{1}{2} Mgl$ છે.

(D) એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર: $u = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} = \frac{1}{2} \frac{(\text{Stress})^2}{Y}$ છે.
અહીં $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi (d/2)^2} = \frac{4F}{\pi d^2}$ હોવાથી,$u = \frac{1}{2Y} \left( \frac{4F}{\pi d^2} \right)^2$ મળે.
આપેલ છે કે ભાર $(F)$,લંબાઈ અને યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ બંને તાર માટે સમાન છે,તેથી $u \propto \frac{1}{d^4}$.
તેથી,$\frac{u_1}{u_2} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^4$.
આપેલ છે કે $\frac{u_1}{u_2} = \frac{1}{4}$,તેથી $\frac{1}{4} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^4$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા,$\frac{d_2}{d_1} = \left( \frac{1}{4} \right)^{1/4} = \left( \frac{1}{2^2} \right)^{1/4} = \frac{1}{2^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\frac{d_1}{d_2} = \sqrt{2} : 1$.