Molar Specific Heat of gas and relation between them (Mayer's formula) Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે વાયુની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $\frac{5}{2} R$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f$ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) ધરાવતા વાયુ માટે:
$C_V = \frac{fR}{2}$ અને $C_P = \left(1 + \frac{f}{2}\right) R$.
કિસ્સો $1$: જો આપેલી વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V$ હોય,તો $\frac{fR}{2} = \frac{5}{2} R$,જેનો અર્થ છે કે $f = 5$. $f = 5$ ધરાવતો વાયુ દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ છે.
કિસ્સો $2$: જો આપેલી વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P$ હોય,તો $\left(1 + \frac{f}{2}\right) R = \frac{5}{2} R$. આનું સાદું રૂપ આપતા $1 + \frac{f}{2} = 2.5$,તેથી $\frac{f}{2} = 1.5$,જેનો અર્થ છે કે $f = 3$. $f = 3$ ધરાવતો વાયુ એકપરમાણ્વીય વાયુ છે.
પ્રશ્નમાં સ્પષ્ટતા નથી કે આ મૂલ્ય $C_P$ છે કે $C_V$,તેથી વાયુ એકપરમાણ્વીય અથવા દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય હોઈ શકે છે.

(C) એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે. વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma_1 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે જે દ્રઢ રોટેટર તરીકે વર્તે છે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે. વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma_2 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\gamma_1}{\gamma_2} = \frac{5/3}{7/5} = \frac{5}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{25}{21}$ થાય.

(D) દ્વિપરમાણ્વીય વાયુના અણુઓ પાસે $3$ સ્થાનાંતરિત (translational) મુક્તિના અંશો અને $2$ ભ્રમણીય (rotational) મુક્તિના અંશો હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે અણુ પાસે એક વધારાનો કંપનનો પ્રકાર (vibrational mode) છે.
દરેક કંપનનો પ્રકાર $2$ મુક્તિના અંશોમાં ફાળો આપે છે (એક ગતિ ઉર્જા માટે અને એક સ્થિતિ ઉર્જા માટે).
તેથી, કુલ મુક્તિના અંશો $f = 3$ (translational) $+ 2$ (rotational) $+ 2$ (vibrational) $= 7$ થાય.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર $C_V = \frac{fR}{2}$ છે.
$f = 7$ મૂકતા, આપણને $C_V = \frac{7R}{2}$ મળે છે.

(B) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ ને $1 + \frac{2}{f}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ વાયુના અણુની મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) છે.
આદર્શ વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f$ માત્ર વાયુની પરમાણ્વિકતા (એકપરમાણ્વિક,દ્વિપરમાણ્વિક અથવા બહુપરમાણ્વિક) પર આધાર રાખે છે,તાપમાન $T$ પર નહીં.
તેથી,$\gamma$ એ તાપમાન $T$ થી સ્વતંત્ર છે,જેને $\gamma \propto T^0$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(C) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)_{\text{mono}} = \frac{3}{2}R$ છે.
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)_{\text{dia}} = \frac{5}{2}R$ છે.
અચળ કદે આ વાયુઓની વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{(C_v)_{\text{mono}}}{(C_v)_{\text{dia}}} = \frac{\frac{3}{2}R}{\frac{5}{2}R} = \frac{3}{5}$.

(A) એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે:
$C_{v} = \frac{3}{2}R$,$C_{p} = \frac{5}{2}R$.
આથી,$C_{p} - C_{v} = R$,$C_{p} + C_{v} = 4R$,$C_{p}/C_{v} = 5/3 \approx 1.67$,અને $C_{p} \cdot C_{v} = 3.75 R^2$.
દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે:
$C_{v} = \frac{5}{2}R$,$C_{p} = \frac{7}{2}R$.
આથી,$C_{p} - C_{v} = R$,$C_{p} + C_{v} = 6R$,$C_{p}/C_{v} = 7/5 = 1.4$,અને $C_{p} \cdot C_{v} = 8.75 R^2$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$1$. $C_{p} - C_{v} = R$ બંને માટે સમાન છે,તેથી $(A)$ ખોટું છે.
$2$. $C_{p} + C_{v}$ એ $6R$ (દ્વિપરમાણ્વીય) > $4R$ (એકપરમાણ્વીય) છે,તેથી $(B)$ સાચું છે.
$3$. $C_{p}/C_{v}$ એ $1.4$ (દ્વિપરમાણ્વીય) < $1.67$ (એકપરમાણ્વીય) છે,તેથી $(C)$ ખોટું છે.
$4$. $C_{p} \cdot C_{v}$ એ $8.75 R^2$ (દ્વિપરમાણ્વીય) > $3.75 R^2$ (એકપરમાણ્વીય) છે,તેથી $(D)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(B)$ અને $(D)$ છે.

$(A)$ વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશ (degree of freedom) છે।
ત્રિ-પરમાણ્વીય દ્રઢ વાયુ માટે, $f = 6$, તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{6} = \frac{4}{3}$. $(A-III)$
દ્વિ-પરમાણ્વીય અદ્રઢ વાયુ માટે, $f = 7$, તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$. $(B-IV)$
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, $f = 3$, તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. $(C-I)$
દ્વિ-પરમાણ્વીય દ્રઢ વાયુ માટે, $f = 5$, તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$. $(D-II)$
આમ, સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,મેયરનો સંબંધ $C_P - C_V = R$ છે.
બંને બાજુને $C_V$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{C_P}{C_V} - 1 = \frac{R}{C_V}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{9}{7}$.
$\gamma$ નું મૂલ્ય સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{R}{C_V} = \gamma - 1$ મળે છે.
$\frac{R}{C_V} = \frac{9}{7} - 1 = \frac{9-7}{7} = \frac{2}{7}$.
દશાંશ મૂલ્યની ગણતરી કરતા,$\frac{2}{7} \approx 0.2857$.
આમ,મૂલ્ય આશરે $0.28$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે મેયરનો સંબંધ આ મુજબ છે: $C_{p} - C_{V} = R$.
વળી,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}}$,જેનો અર્થ છે કે $C_{V} = \frac{C_{p}}{\gamma}$.
મેયરના સંબંધમાં $C_{V}$ ની કિંમત મૂકતા:
$C_{p} - \frac{C_{p}}{\gamma} = R$
$C_{p} \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right) = R$
$C_{p} \left(\frac{\gamma - 1}{\gamma}\right) = R$
તેથી,$C_{p} = \frac{R \gamma}{\gamma - 1}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,મેયરનો સંબંધ $C_{p} - C_{v} = R$ છે.
આપેલ છે કે $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$,તેથી આપણે $C_{v} = \frac{C_{p}}{\gamma}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને મેયરના સંબંધમાં મૂકતા:
$C_{p} - \frac{C_{p}}{\gamma} = R$
$C_{p} \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right) = R$
$C_{p} \left(\frac{\gamma - 1}{\gamma}\right) = R$
તેથી,$C_{p} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v} = \frac{n R}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મેયરના સંબંધ $C_{p} - C_{v} = R$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $C_{p} = C_{v} + R$.
$C_{v}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $C_{p} = \frac{n R}{2} + R = R \left( \frac{n}{2} + 1 \right)$.
હવે,ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\gamma = \frac{R \left( \frac{n}{2} + 1 \right)}{\frac{n R}{2}} = \frac{\frac{n+2}{2}}{\frac{n}{2}} = \frac{n+2}{n} = 1 + \frac{2}{n}$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C_p - C_v = R$
સમીકરણની બંને બાજુઓને $C_v$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{C_p}{C_v} - 1 = \frac{R}{C_v}$
કારણ કે $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\gamma - 1 = \frac{R}{C_v}$
$C_v$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$

(C) એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે. વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma_1 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ થાય.
દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે. વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma_2 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\gamma_2}{\gamma_1} = \frac{7/5}{5/3} = \frac{7}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{21}{25}$ થાય.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે $(C_p)$ અને અચળ કદે $(C_v)$ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_p - C_v = R$
આપણને વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $C_p = \gamma C_v$
આ કિંમતને મેયરના સંબંધમાં મૂકતા: $\gamma C_v - C_v = R$
$C_v$ સામાન્ય લેતા: $C_v(\gamma - 1) = R$
તેથી,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$

(D) આપેલ છે: $C_P = \frac{7}{2} R$,અને આપણે જાણીએ છીએ કે $C_P - C_V = R$.
તેથી,$C_V = C_P - R = \frac{7}{2} R - R = \frac{5}{2} R$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ નીચે મુજબ મળે છે: $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = \frac{7}{5} = 1.4$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ હોય છે,તેથી $C_V = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ અને $C_P = C_V + R = \frac{7}{2} R$.
આમ,આ વાયુ દ્વિપરમાણ્વીય અણુઓનો બનેલો છે.

(A) અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા,$C_{V}$,નું સૂત્ર $C_{V} = f \times \frac{R}{2}$ છે,જ્યાં $f$ એ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમની સંખ્યા છે.
અહીં $f = 6$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$C_{V} = 6 \times \frac{R}{2} = 3R$.
આ સમીકરણને $R$ માટે ગોઠવતા:
$R = \frac{C_{V}}{3}$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_{P})$ અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_{V})$ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_{P} - C_{V} = R$.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $C_{P} = C_{V} + R$. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ માં આપેલ સમીકરણ $C_{V} = C_{P} + R$ ખોટું છે.
ચાલો અન્ય વિકલ્પો ચકાસીએ:
$(B)$ $R = C_{P} - C_{V}$. કારણ કે $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$,તેથી $C_{P} = \gamma C_{V}$. આ કિંમત મૂકતા,$R = \gamma C_{V} - C_{V} = C_{V}(\gamma - 1)$. આ સાચું છે.
$(C)$ $\frac{C_{V}}{C_{P}} = \frac{1}{\gamma}$. કારણ કે $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$,તેથી આ સાચું છે.
$(D)$ $R = C_{P} - C_{V} = C_{P} - \frac{C_{P}}{\gamma} = C_{P}(1 - \frac{1}{\gamma}) = C_{P}(\frac{\gamma - 1}{\gamma})$. આ સાચું છે.

(D) અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v} = \frac{n R}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{p} = C_{v} + R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_{v}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $C_{p} = \frac{n R}{2} + R = R \left(1 + \frac{n}{2}\right)$.
ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\gamma = \frac{R \left(1 + \frac{n}{2}\right)}{\frac{n R}{2}} = \frac{\frac{2+n}{2}}{\frac{n}{2}} = \frac{2+n}{n} = 1 + \frac{2}{n}$.

(B) આપેલ છે કે,$\frac{R}{C_{V}} = 0.4$.
મેયરના સંબંધ મુજબ,$C_{P} - C_{V} = R$,તેથી $C_{P} = C_{V} + R$.
$R = 0.4 C_{V}$ મૂકતા,આપણને $C_{P} = C_{V} + 0.4 C_{V} = 1.4 C_{V}$ મળે છે.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ ને $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$\gamma = \frac{1.4 C_{V}}{C_{V}} = 1.4$.
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$ થાય છે.
આમ,વાયુ દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય અણુઓનો બનેલો છે.

(C) આપેલ છે: $\frac{R}{C_{v}} = 0.67$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વાયુ અચળાંક $R = C_{p} - C_{v}$ થાય.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{C_{p} - C_{v}}{C_{v}} = 0.67$.
$\frac{C_{p}}{C_{v}} - 1 = 0.67$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$ હોવાથી,$\gamma - 1 = 0.67$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = 1.67$.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f = 3$ છે,તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = 1 + 0.666... \approx 1.67$.
તેથી,આ વાયુ એક-પરમાણ્વીય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \left(1 + \frac{f}{2}\right)R$ છે અને અચળ કદે $C_v = \frac{f}{2}R$ છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{2}{f} = \gamma - 1$,અથવા $\frac{f}{2} = \frac{1}{\gamma - 1}$.
આ કિંમતને $C_p$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$C_p = \left(1 + \frac{1}{\gamma - 1}\right)R$
$C_p = \left(\frac{\gamma - 1 + 1}{\gamma - 1}\right)R$
$C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે મેયરના સંબંધ મુજબ,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો તફાવત સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$ જેટલો હોય છે:
$C_P - C_V = R$
આપણને મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ તરીકે પણ આપવામાં આવ્યો છે,જેનો અર્થ છે કે $C_P = \gamma C_V$.
મેયરના સંબંધમાં $C_P$ ની કિંમત મૂકતા:
$\gamma C_V - C_V = R$
$C_V(\gamma - 1) = R$
તેથી,$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$.

(C) દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય અણુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = C_V + R = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$ છે.
આપણને સંબંધ $R = n C_P$ આપેલ છે.
$C_P$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R = n (\frac{7}{2} R)$ મળે છે.
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા,$1 = n (\frac{7}{2})$ મળે છે.
તેથી,$n = \frac{2}{7} \approx 0.2857$ થાય.

(B) અચળ દબાણે આપવામાં આવતી ઉષ્મા ઊર્જા $Q$ નું સૂત્ર $Q = n C_p \Delta T$ છે.
સૌ પ્રથમ,નાઈટ્રોજન $(N_2)$ ના મોલની સંખ્યા $n$ શોધો:
$n = \frac{\text{દળ}}{\text{આણ્વીય દળ}} = \frac{14 \ g}{28 \ g/mol} = 0.5 \ mol$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 48^{\circ} C$ અને અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{7}{2} R$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$Q = 0.5 \times \left(\frac{7}{2} R\right) \times 48$.
$Q = 0.5 \times 3.5 R \times 48$.
$Q = 1.75 R \times 48 = 84 R$.
તેથી,આપવામાં આવતી ઉષ્મા ઊર્જા $84 R$ છે.

(B) વાયુની આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્મા ઉર્જાનો અંશ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ અને કુલ આપેલી ઉષ્મા $(\Delta Q)$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$
આદર્શ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7}{5}$ છે.
તેથી,આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉર્જાનો અંશ:
$\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{1}{7/5} = \frac{5}{7}$ છે.

(C) એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે અચળ દબાણે થયેલ કાર્ય $W = p \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $W = nR \Delta T$ મળે છે.
અચળ કદ પર,આપેલી ઉષ્મા એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે,જે $Q = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
આ કિંમતને ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $Q = n \left( \frac{3}{2} R \right) \Delta T$ મળે છે.
કારણ કે $W = nR \Delta T$ છે,તેથી આપણે $nR \Delta T$ ની જગ્યાએ $W$ મૂકી શકીએ છીએ.
તેથી,$Q = \frac{3}{2} W$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
અચળ દબાણે થયેલું કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = n R \Delta T$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\Delta W : \Delta U : \Delta Q = n R \Delta T : n C_v \Delta T : n C_p \Delta T = R : C_v : C_p$ થાય.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
આમ,$C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$.
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$C_p = C_v + R = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$.
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $R : \frac{5}{2} R : \frac{7}{2} R = 1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2 : 5 : 7$ ગુણોત્તર મળે છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ વચ્ચેનો સંબંધ $C_p - C_v = R$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
અહીં $C_p$ અને $C_v$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા (એકમ દળ દીઠ) તરીકે આપેલ હોવાથી,આપણે $C_p - C_v = \frac{R}{M}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $M$ એ વાયુનું આણ્વીય દળ છે.
તેથી,$R = M(C_p - C_v)$.
આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ એ મોલની સંખ્યા છે.
સમીકરણમાં $n$ અને $R$ ની કિંમત મૂકતા: $PV = \frac{m}{M} \cdot M(C_p - C_v) \cdot T$.
સાદું રૂપ આપતા,$PV = m(C_p - C_v)T$ મળે છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $P = \frac{m}{V}(C_p - C_v)T$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$\rho = \frac{P}{(C_p - C_v)T}$.

(D) એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ $C_p = \frac{5}{2}R$ અને $C_v = \frac{3}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે થયેલ કાર્ય $W = nR \Delta T$ છે.
અચળ કદ પર આપેલી ઉષ્મા $Q_v = nC_v \Delta T = n \left( \frac{3}{2}R \right) \Delta T$ છે.
$nR \Delta T = W$ ને $Q_v$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $Q_v = \frac{3}{2} W$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણ $(C_p)$ અને અચળ કદ $(C_v)$ પરની વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_p - C_v = R$.
આપેલ છે કે વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ છે,તેથી આપણે લખી શકીએ $C_p = \gamma C_v$.
આ કિંમતને મેયરના સંબંધમાં મૂકતા: $\gamma C_v - C_v = R$.
$C_v$ ને સામાન્ય લેતા: $C_v(\gamma - 1) = R$.
તેથી,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$.

(A) મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $(\gamma = C_p / C_V)$ સૂત્ર $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ વાયુના અણુની મુક્તિની માત્રા (degree of freedom) છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ એ ઓરડાના તાપમાને દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f = 5$ છે ($3$ સ્થાનાંતરિત અને $2$ ભ્રમણીય).
સૂત્રમાં $f$ ની કિંમત મૂકતા:
$\gamma = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$.

(B) અચળ દબાણે,જરૂરી ઉષ્મા $Q_p = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 2 \ moles$,$\Delta T = 35^{\circ} C - 25^{\circ} C = 10 \ K$,અને $Q_p = 310 \ J$ છે.
$310 = 2 \times C_p \times 10 \Rightarrow C_p = \frac{310}{20} = 15.5 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
સંબંધ $C_p - C_V = R$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $R \approx 8.3 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$:
$C_V = C_p - R = 15.5 - 8.3 = 7.2 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
અચળ કદે,જરૂરી ઉષ્મા $Q_V = n C_V \Delta T$ છે.
$Q_V = 2 \times 7.2 \times 10 = 144 \ J$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે મેયરના સંબંધ મુજબ:
$C_{p} - C_{V} = R$ $(i)$
જ્યાં $C_{p}$ એ અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $C_{V}$ એ અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર:
$\gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}}$
આનો અર્થ એ છે કે $C_{p} = \gamma C_{V}$ (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\gamma C_{V} - C_{V} = R$
$C_{V}(\gamma - 1) = R$
તેથી,$C_{V} = \frac{R}{\gamma - 1}$

(A) આપણને ગુણોત્તર $\frac{R}{C_v} = 0.67$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મેયરનો સંબંધ $C_p - C_v = R$ છે,જેને $\frac{C_p}{C_v} - 1 = \frac{R}{C_v}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે.
તેથી,$\gamma - 1 = 0.67$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = 1.67$.
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,$\gamma = \frac{5}{3} \approx 1.67$ થાય છે.
દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,$\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ થાય છે.
બહુપરમાણ્વિક વાયુ માટે,$\gamma < 1.4$ હોય છે.
અહીં $\gamma = 1.67$ હોવાથી,વાયુ એકપરમાણ્વિક છે.

(B) દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ છે.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C_{v_1} = \frac{f_1 R}{2} = \frac{5 R}{2}$ છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C_{p_1} = C_{v_1} + R = \frac{5 R}{2} + R = \frac{7 R}{2} = C$ છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$ છે.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C_{v_2} = \frac{f_2 R}{2} = \frac{3 R}{2}$ છે.
હવે,ગુણોત્તર લેતા $\frac{C}{C_{v_2}} = \frac{\frac{7 R}{2}}{\frac{3 R}{2}} = \frac{7}{3}$ મળે છે.
તેથી,$C_{v_2} = \frac{3 C}{7}$ થાય.

(A) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે: $f=3$,તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. આમ,$A-II$.
દ્વિપરમાણ્વીય (દ્રઢ) વાયુ માટે: $f=5$,તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$. આમ,$B-III$.
દ્વિપરમાણ્વીય (અદ્રઢ) વાયુ માટે: $f=7$,તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$. આમ,$C-IV$.
બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે: $\gamma$ માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $\frac{4+f}{3+f}$ છે. આમ,$D-I$.
તેથી,સાચી જોડ $A-II, B-III, C-IV, D-I$ છે.

(B) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
$\therefore (C_{p})_1 = (1 + \frac{f}{2}) R = (1 + \frac{3}{2}) R = \frac{5 R}{2}$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે.
$\therefore (C_{p})_2 = (1 + \frac{f}{2}) R = (1 + \frac{5}{2}) R = \frac{7 R}{2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{(C_{p})_1}{(C_{p})_2} = \frac{5 R / 2}{7 R / 2} = 5 : 7$ છે.

(C) એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C_P = \frac{5}{2} R$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$C_V = \frac{x}{100} \times C_P$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{3}{2} R = \frac{x}{100} \times \frac{5}{2} R$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2} R$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે $3 = \frac{x}{100} \times 5$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $x = \frac{3 \times 100}{5} = 60$.

(C) નોન-રિજિડ દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે,મુક્તિના અંશો $(f)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
સ્થાનાંતરિત મુક્તિના અંશો $= 3$
ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો $= 2$
કંપનશીલ મુક્તિના અંશો $= 2$ (એક ગતિ ઊર્જા માટે અને એક સ્થિતિ ઊર્જા માટે).
કુલ મુક્તિના અંશો $(f) = 3 + 2 + 2 = 7$.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f = 7$ મૂકતા,આપણને $\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{C_p}{C_v} = \frac{9}{7}$,જેનો અર્થ છે કે $7 C_p = 9 C_v$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $49 C_p^2 = 81 C_v^2$ મળે છે.

(C) અચળ દબાણે આપવામાં આવતી ઉષ્મા $dQ_p = n C_p \Delta T$ છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $dU = n C_v \Delta T$ છે.
આંતરિક ઊર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્મા ઊર્જાનો અંશ ગુણોત્તર $\frac{dU}{dQ_p} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_v + R = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$ છે.
તેથી,જરૂરી અંશ $\frac{C_v}{C_p} = \frac{\frac{5}{2} R}{\frac{7}{2} R} = \frac{5}{7}$ છે.

(C) મેયરના સૂત્ર પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $C_p - C_V = R$,જેનો અર્થ છે કે $C_p = C_V + R$.
અચળ કદ પર,ઉષ્મા ધારિતા $C_V$ ને તાપમાનની સાપેક્ષમાં આંતરિક ઉર્જાના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$C_V = \frac{d U}{d T}$.
મેયરના સૂત્રમાં $C_V$ માટે આ પદ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$C_p = \frac{d U}{d T} + R$.

(C) ત્રિ-પરમાણ્વીય અ-રેખીય વાયુ માટે મુક્તિના અંશો (degree of freedom) $f = 6$ છે.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{f R}{2} = \frac{6 R}{2} = 3 R$ થાય.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_V + R = 3 R + R = 4 R$ થાય.
એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા અને આઇસોથર્મલ સ્થિતિસ્થાપકતાનો ગુણોત્તર એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ જેટલો હોય છે.
$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{4 R}{3 R} = \frac{4}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 3$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)$,સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$,અને એડિયાબેટિક ગુણોત્તર $(\gamma)$ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_p - C_v = R$.
$C_v$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\frac{C_p}{C_v} - 1 = \frac{R}{C_v}$.
કારણ કે $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$,તેથી $\gamma - 1 = \frac{R}{C_v}$.
આપેલ છે કે $\frac{R}{C_v} = 0.4$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\gamma - 1 = 0.4$,જે $\gamma = 1.4$ આપે છે.
$\gamma = 1.4$ ની કિંમત દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે હોય છે.

(D) આપેલ છે,અચળ દબાણે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = 620 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ અને અચળ કદે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = 420 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$.
વાયુનું મોલર દળ $M$ એ વાયુ અચળાંક $R$ સાથે $M(C_p - C_v) = R$ સંબંધ ધરાવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $M(620 - 420) = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
$M(200) = 8.314 \implies M = \frac{8.314}{200} = 0.04157 \ kg \ mol^{-1}$.
$STP$ પર,દબાણ $P = 1.013 \times 10^5 \ Pa$ અને તાપમાન $T = 273.15 \ K$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ નો ઉપયોગ કરતા,ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$ મળે છે.
$\rho = \frac{(1.013 \times 10^5) \times 0.04157}{8.314 \times 273.15} \approx 1.855 \ kg \ m^{-3}$.
નજીકની કિંમત લેતા,$\rho \approx 1.86 \ kg \ m^{-3}$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) હિલિયમ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે. આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_p)$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_p - C_V = R$.
આપેલ છે: $C_V = 12.6 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ અને $R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $C_p = C_V + R$.
$C_p = 12.6 + 8.314 = 20.914 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
આ કિંમતને નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $C_p \approx 21 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ મળે છે.

(C) એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$ છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_v + R = \frac{5}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T = 40 \ J$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\Delta U}{Q} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{3/2 R}{5/2 R} = \frac{3}{5}$ મળે.
તેથી,$\Delta U = \frac{3}{5} \times Q = \frac{3}{5} \times 40 \ J = 24 \ J$ થાય.

(A) $STP$ પર, આદર્શ વાયુનું મોલર કદ $22.4 \text{ litres/mol}$ છે.
હિલિયમ વાયુના મોલની સંખ્યા, $n = \frac{67.2 \text{ L}}{22.4 \text{ L/mol}} = 3 \text{ mol}$.
હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે, તેથી અચળ કદે તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
અચળ કદે તાપમાનમાં $dT = 20^{\circ} C$ (અથવા $20 \text{ K}$) નો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
$dQ = n C_v dT$
$dQ = 3 \times \left( \frac{3}{2} \times 8.314 \text{ J/mol K} \right) \times 20 \text{ K}$
$dQ = 3 \times 1.5 \times 8.314 \times 20 = 748.26 \text{ J} \approx 748 \text{ J}$.