Mean Free Path and Real Gases Questions in Hindi

(N/A) गैस के अणुओं के माध्य मुक्त पथ $\lambda$ को दो क्रमिक टक्करों के बीच एक अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है। माध्य मुक्त पथ का सूत्र इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$
जहाँ:
- $\lambda$ माध्य मुक्त पथ है।
- $d$ गैस के अणु का व्यास है।
- $n$ अणुओं का संख्या घनत्व है (प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या)।

(A) गैस के अणुओं का माध्य मुक्त पथ $(\lambda)$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$,जहाँ $d$ अणु का व्यास है और $n$ प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि माध्य मुक्त पथ $\lambda$,संख्या घनत्व $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\lambda \propto \frac{1}{n})$।
इसलिए,यदि प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या $(n)$ कम हो जाती है,तो माध्य मुक्त पथ $(\lambda)$ बढ़ जाएगा।

(B) गैस के अणु का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$,जहाँ $d$ अणु का व्यास है और $n$ अणुओं का संख्या घनत्व है।
जैसे-जैसे गैस के अणु का व्यास $d$ शून्य के करीब पहुँचता है $(d \to 0)$,हर (denominator) $\sqrt{2} \pi d^2 n$ भी शून्य के करीब पहुँच जाता है।
परिणामस्वरूप,माध्य मुक्त पथ $\lambda$ अनंत की ओर अग्रसर होता है $(\lambda \to \infty)$.

(N/A) एक वास्तविक गैस $low$ $pressure$ (कम दबाव) और $high$ $temperature$ (उच्च तापमान) की स्थिति में आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है।
$low$ $pressure$ पर,गैस के अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन पात्र के कुल आयतन की तुलना में नगण्य होता है।
$high$ $temperature$ पर,गैस के अणुओं की गतिज ऊर्जा बहुत अधिक होती है,जिससे उनके बीच का आकर्षण बल नगण्य हो जाता है।

(B) गैस के अणुओं का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ सूत्र $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ अणु का व्यास है और $n$ गैस के अणुओं का संख्या घनत्व है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि माध्य मुक्त पथ $\lambda$,गैस के अणुओं के संख्या घनत्व $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $\lambda \propto \frac{1}{n}$।

(A) गैस के अणु का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,$T$ परम तापमान है,$d$ आणविक व्यास है और $P$ दबाव है।
यदि दबाव $P$ स्थिर रहता है,तो माध्य मुक्त पथ $\lambda$ परम तापमान $T$ के सीधे समानुपाती होता है (अर्थात,$\lambda \propto T$)।

(B) गैस के अणु का माध्य मुक्त पथ $\bar{l}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\bar{l} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^{2} n}$
जहाँ $d$ आण्विक व्यास है और $n$ संख्या घनत्व है।
यह दिया गया है कि गैसें तापमान,दबाव और आयतन की समान स्थितियों में हैं,इसलिए दोनों गैसों के लिए संख्या घनत्व $n$ स्थिर रहता है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $\bar{l} \propto \frac{1}{d^{2}}$।
अतः,माध्य मुक्त पथ का अनुपात है:
$\frac{\bar{l}_{1}}{\bar{l}_{2}} = \left(\frac{d_{2}}{d_{1}}\right)^{2}$
यहाँ $d_{1} = 1\,\mathring{A}$ और $d_{2} = 2\,\mathring{A}$ दिया गया है,इन मानों को रखने पर:
$\frac{\bar{l}_{1}}{\bar{l}_{2}} = \left(\frac{2}{1}\right)^{2} = \frac{4}{1}$
इस प्रकार,माध्य मुक्त पथ का अनुपात $4:1$ है।

(B) आदर्श गैस नियम केवल तभी मान्य है जब गैस के अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन,पात्र के कुल आयतन की तुलना में नगण्य हो।
$1$. $H_2$ के मोलों की संख्या की गणना करें: $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{0.5 \, g}{2 \, g/mol} = 0.25 \, mol$.
$2$. $H_2$ के अणुओं की कुल संख्या $(N)$ की गणना करें: $N = n \times N_A = 0.25 \times 6.023 \times 10^{23} \approx 1.506 \times 10^{23}$ अणु।
$3$. एक $H_2$ अणु का आयतन $(v_m)$ ज्ञात करें: $v_m = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (10^{-10} \, m)^3 \approx 4.19 \times 10^{-30} \, m^3$.
$4$. अणुओं द्वारा घेरा गया कुल आयतन $(V_{mol})$ ज्ञात करें: $V_{mol} = N \times v_m = 1.506 \times 10^{23} \times 4.19 \times 10^{-30} \approx 6.31 \times 10^{-7} \, m^3$.
$5$. बॉयल के नियम $(P_i V_i = P_f V_f)$ का उपयोग करके कक्ष का अंतिम आयतन $(V_f)$ ज्ञात करें:
$V_i = (3 \, cm)^3 = 27 \, cm^3 = 27 \times 10^{-6} \, m^3$.
$P_i = 1 \, atm$,$P_f = 100 \, atm$.
$V_f = \frac{P_i V_i}{P_f} = \frac{1 \times 27 \times 10^{-6}}{100} = 2.7 \times 10^{-7} \, m^3$.
$6$. तुलना: अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन $(6.31 \times 10^{-7} \, m^3)$,पात्र के कुल आयतन $(2.7 \times 10^{-7} \, m^3)$ से अधिक है। चूँकि आणविक आयतन नगण्य नहीं है,इसलिए आदर्श गैस नियम को मानना उचित नहीं है।

(D) हम विमानों की गति को गैस के अणुओं की यादृच्छिक गति के रूप में मॉडल कर सकते हैं।
$(i)$ निकट टक्कर के समय, दो विमानों के केंद्रों के बीच की दूरी $d = 2 \times 10 \ m = 20 \ m = 0.02 \ km$ है।
$(ii)$ दिए गए आयतन में विमानों का संख्या घनत्व $n = \frac{N}{V} = \frac{10}{20 \times 20 \times 1.5} = \frac{10}{600} = 0.0167 \ km^{-3}$ है।
$(iii)$ दो क्रमिक निकट टक्करों के बीच का समय अंतराल माध्य मुक्त समय द्वारा दिया जाता है, $t = \frac{\bar{l}}{v}$, जहाँ $\bar{l} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}$ माध्य मुक्त पथ है।
अतः, $t = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2 v}$।
मान रखने पर:
$t = \frac{1}{1.414 \times 3.14 \times 0.0167 \times (0.02)^2 \times 150}$
$t = \frac{1}{1.414 \times 3.14 \times 0.0167 \times 0.0004 \times 150}$
$t = \frac{1}{0.00444} \approx 225 \ \text{घंटे}$।

(D) एक आदर्श गैस के अणुओं का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\lambda = \frac{V}{\sqrt{2} \pi d^2 N}$
जहाँ $V$ पात्र का आयतन है,$d$ अणु का व्यास है,और $N$ अणुओं की संख्या है।
चूंकि गैस एक बंद पात्र में है,इसलिए तापमान बढ़ने पर पात्र का आयतन $V$ और अणुओं की संख्या $N$ स्थिर रहती है। अतः,माध्य मुक्त पथ $\lambda$ अपरिवर्तित रहता है।
माध्य टक्कर समय $\tau$ को माध्य मुक्त पथ और अणुओं की औसत गति $(v_{av})$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\tau = \frac{\lambda}{v_{av}}$
चूंकि गैस के अणुओं की औसत गति $v_{av}$,$\sqrt{T}$ के समानुपाती होती है,इसलिए:
$\tau \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$
जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,अणुओं की औसत गति बढ़ती है,जिससे माध्य टक्कर समय $\tau$ घट जाता है।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(A) औसत मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $d$ अणु का व्यास है।
स्थिर दाब $P$ के लिए,$\lambda \propto T$ होता है।
अणु की औसत चाल $v_{avg}$ का सूत्र $v_{avg} = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}$ है,इसलिए $v_{avg} \propto \sqrt{T}$ होता है।
क्रमिक टक्करों के बीच का औसत समय $t_0$ को $t_0 = \frac{\lambda}{v_{avg}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
समानुपातिकता को प्रतिस्थापित करने पर: $t_0 \propto \frac{T}{\sqrt{T}} = \sqrt{T}$।
अतः,क्रमिक टक्करों के बीच का औसत समय $T$ के साथ $\sqrt{T}$ के रूप में बदलता है।

(C) माध्य मुक्त पथ $(\lambda)$ दो क्रमिक टक्करों के बीच एक अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,माध्य मुक्त पथ का सूत्र है:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$
जहाँ:
$d$ = आणविक व्यास
$n$ = संख्या घनत्व (प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या)
अतः,सही व्यंजक $\frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2}$ है।

(B) गैस अणु का माध्य मुक्त पथ $\ell$,दो क्रमिक टक्करों के बीच एक अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
माध्य मुक्त पथ का सूत्र इस प्रकार है:
$\ell = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^{2}}$
जहाँ $n$ अणुओं का संख्या घनत्व है और $d$ अणु का व्यास है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $\ell$,व्यास $d$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है।
अतः,$\ell \propto \frac{1}{d^{2}}$।

(B) विश्राम समय $\tau$,माध्य मुक्त पथ $\lambda$ और वर्ग माध्य मूल वेग $V_{rms}$ का अनुपात है।
$\tau = \frac{\lambda}{V_{rms}} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3RT/M_0}} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2} \sqrt{\frac{M_0}{3RT}}$
आदर्श गैस समीकरण $PV = n_{mol}RT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = N/V = (n_{mol} N_A)/V = (P N_A)/(RT)$ है।
$n$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\tau = \frac{RT}{\sqrt{2} \pi P N_A d^2} \sqrt{\frac{M_0}{3RT}} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi P N_A d^2} \sqrt{\frac{M_0 RT}{3}}$
दिया गया है: $d = 2 \times \text{त्रिज्या} = 80 \; \mathring{A} = 8 \times 10^{-9} \; \text{m}$,$P = 1.013 \times 10^5 \; \text{Pa}$,$T = 300 \; \text{K}$,$M_0 = 32 \times 10^{-3} \; \text{kg/mol}$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \; \text{mol}^{-1}$,$R = 8.314 \; \text{J/(mol K)}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर $\tau \approx 10^{-12} \; \text{s}$ प्राप्त होता है।

(D) माध्य मुक्त पथ $(\lambda)$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{k T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$।
दिए गए मान:
तापमान $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 K$.
दाब $P = 1.01 \times 10^{5} Pa$.
व्यास $d = 0.3 nm = 0.3 \times 10^{-9} m$.
बोल्ट्जमान नियतांक $k = 1.38 \times 10^{-23} J K^{-1}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 300}{\sqrt{2} \times 3.14 \times (0.3 \times 10^{-9})^2 \times 1.01 \times 10^{5}}$.
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-21}}{1.414 \times 3.14 \times 0.09 \times 10^{-18} \times 1.01 \times 10^{5}}$.
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-21}}{0.403 \times 10^{-13}} \approx 1.027 \times 10^{-7} m$.
$nm$ में बदलने पर: $\lambda \approx 102.7 nm \approx 102 nm$.

(D) आदर्श गैस के लिए,संबंध $C_{p} - C_{V} = R$ सत्य होता है।
वास्तविक गैसें उच्च तापमान और कम दबाव पर आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती हैं।
अवस्था $P$ में,$C_{p} - C_{V} = R$ है,जो दर्शाता है कि गैस आदर्श गैस की तरह व्यवहार कर रही है।
अवस्था $Q$ में,$C_{p} - C_{V} = 1.10 R$ है,जो $R$ से अधिक है। यह दर्शाता है कि गैस आदर्श व्यवहार से विचलित हो रही है,जो आमतौर पर कम तापमान पर होता है।
चूंकि अवस्था $P$ आदर्श व्यवहार का प्रतिनिधित्व करती है और अवस्था $Q$ गैर-आदर्श व्यवहार का,इसलिए इसका अर्थ है कि अवस्था $P$ का तापमान अवस्था $Q$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,$T_{P} > T_{Q}$।

(B) गैस अणु का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ सूत्र $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ अणु का व्यास है और $n$ संख्या घनत्व है।
यह दिया गया है कि अणु $A$ और $B$ दोनों के लिए संख्या घनत्व $n$ समान है,इसलिए उनके माध्य मुक्त पथ का अनुपात $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{d_B^2}{d_A^2}$ होगा।
दिए गए मानों $d_A = 10 \, \mathring{A}$ और $d_B = 5 \, \mathring{A}$ को रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \left( \frac{5}{10} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
इसे आवश्यक प्रारूप में व्यक्त करने पर,$0.25 = 25 \times 10^{-2}$।
अतः,अनुपात $25 \times 10^{-2}$ है।

(B) स्थायी अवस्था में,छिद्र के माध्यम से गैस अणुओं के विसरण की दर दोनों तरफ से समान होनी चाहिए। ऐसे छिद्र के लिए जहाँ $d \gg \lambda$ हो,प्रवाह हाइड्रोडायनामिक स्थितियों द्वारा नियंत्रित होता है,जिसका अर्थ है कि दोनों भागों में दबाव समान होना चाहिए,अर्थात $P_{I} = P_{II}$।
गैस अणु का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ सूत्र $\lambda = \frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\pi d_{m}^{2}P}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d_{m}$ अणु का व्यास है।
इस समीकरण से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{T}{P}$।
इस स्थिति के लिए स्थायी अवस्था में $P_{I} = P_{II}$ होने के कारण,माध्य मुक्त पथ का अनुपात होगा:
$\frac{\lambda_{I}}{\lambda_{II}} = \frac{T_{I} / P_{I}}{T_{II} / P_{II}} = \frac{T_{I}}{T_{II}}$
दिए गए तापमान के मान रखने पर:
$\frac{\lambda_{I}}{\lambda_{II}} = \frac{150}{300} = 0.5$
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है क्योंकि इसमें कोई अंतर-आणविक बल नहीं होते हैं।
हालाँकि,एक गैर-आदर्श (वास्तविक) गैस के लिए,अणु एक-दूसरे पर अंतर-आणविक बल लगाते हैं।
इसलिए,गैस की स्थितिज ऊर्जा अणुओं के बीच की दूरी पर निर्भर करती है,जो आयतन से संबंधित है।
इसके अतिरिक्त,गतिज ऊर्जा तापमान पर निर्भर करती है।
चूंकि कुल आंतरिक ऊर्जा गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग है,इसलिए एक गैर-आदर्श गैस के लिए,यह तापमान,दबाव और आयतन तीनों पर निर्भर करती है।

(A) गैस के अणु का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$,जहाँ $d$ अणु का व्यास है और $n$ संख्या घनत्व (प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या) है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि माध्य मुक्त पथ $\lambda$ संख्या घनत्व $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\lambda \propto \frac{1}{n})$।
इसलिए,यदि संख्या घनत्व $n$ को बढ़ाया जाता है,तो माध्य मुक्त पथ $\lambda$ घट जाता है क्योंकि अणुओं के बीच टक्कर की आवृत्ति बढ़ जाती है।

(A) वास्तविक गैस के लिए वान डर वाल्स का अवस्था समीकरण इस प्रकार है: $(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$.
क्रांतिक बिंदु पर,दाब $P$,आयतन $V$ और तापमान $T$ नियतांकों $a$ और $b$ से इस प्रकार संबंधित होते हैं:
क्रांतिक दाब: $P_C = \frac{a}{27b^2}$
क्रांतिक आयतन: $V_C = 3b$
क्रांतिक तापमान: $T_C = \frac{8a}{27Rb}$
अतः,क्रांतिक तापमान के लिए सही व्यंजक $T_C = \frac{8a}{27Rb}$ है।

(C) माध्य मुक्त पथ $\alpha$,तीन परस्पर लंबवत निर्देशांक अक्षों $(x, y, z)$ के अनुदिश माध्य मुक्त पथों का परिणामी है।
गैस की समदैशिकता के कारण,प्रत्येक अक्ष के अनुदिश माध्य मुक्त पथ समान होता है। मान लीजिए कि प्रत्येक अक्ष के अनुदिश माध्य मुक्त पथ $a$ है।
अतः,$\alpha = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$।
$\alpha = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$।
इसलिए,किसी भी यादृच्छिक निर्देशांक अक्ष के अनुदिश माध्य मुक्त पथ $a = \frac{\alpha}{\sqrt{3}}$ होगा।

(B) माध्य मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दबाव $P$ और व्यास $d$ स्थिर रखे गए हैं,इसलिए माध्य मुक्त पथ निरपेक्ष तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $\lambda \propto T$।
$STP$ पर,तापमान $T_1 = 273\,K$ और माध्य मुक्त पथ $\lambda_1 = 1500\,d$ है।
$T_2 = 373\,K$ पर,मान लीजिए माध्य मुक्त पथ $\lambda_2$ है।
आनुपातिकता $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{T_2}{T_1}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda_2 = \lambda_1 \times \frac{T_2}{T_1} = 1500\,d \times \frac{373}{273}$।
मान की गणना करने पर: $\lambda_2 \approx 1500 \times 1.3663 \approx 2049.45\,d$।
अतः,माध्य मुक्त पथ लगभग $2049\,d$ है।

(A) माध्य मुक्त पथ $\lambda$ को दो क्रमिक टक्करों के बीच एक अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,माध्य मुक्त पथ का सूत्र है:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$
जहाँ:
$n$ संख्या घनत्व (प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या) है।
$d$ अणु का व्यास है।
अतः,सही व्यंजक $\frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ है।

(D) गैस के अणुओं का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ आणविक व्यास है। चूँकि $\lambda \propto \frac{1}{d^2}$,इसलिए कथन $(I)$ सही है।
गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ (एक-परमाणुक गैस के लिए) द्वारा दी जाती है। चूँकि $KE_{avg} \propto T$,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा परम ताप के सीधे समानुपाती होती है। अतः,कथन $(II)$ भी सही है।
इसलिए,दोनों कथन सही हैं।

(D) एक वास्तविक गैस वैन डेर वाल्स समीकरण का पालन करती है:
$(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$
उच्च तापमान पर,गैस के अणुओं की गतिज ऊर्जा बहुत अधिक होती है,जिससे अंतर-आणविक आकर्षण बल नगण्य हो जाते हैं।
निम्न दाब पर,गैस का आयतन बहुत बड़ा होता है,जिससे गैस के अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन $(nb)$ कुल आयतन $(V)$ की तुलना में नगण्य हो जाता है।
इन स्थितियों (उच्च तापमान और निम्न दाब) के तहत,वैन डेर वाल्स समीकरण आदर्श गैस समीकरण में सरल हो जाता है: $PV = nRT$।
इसलिए,एक वास्तविक गैस निम्न दाब और उच्च तापमान पर एक आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है।

(C) टक्कर आवृत्ति $(f)$ को प्रति इकाई समय में होने वाली टक्करों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो औसत चाल $(v_{avg})$ और माध्य मुक्त पथ $(\lambda)$ के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$f = \frac{v_{avg}}{\lambda}$
दिया गया है:
$v_{avg} = 600 \ m/s$
$\lambda = 3 \times 10^{-7} \ m$
मान रखने पर:
$f = \frac{600}{3 \times 10^{-7}}$
$f = 200 \times 10^7 \ s^{-1}$
$f = 2 \times 10^9 \ s^{-1}$

(B) एक वास्तविक गैस कम दबाव और उच्च तापमान की स्थितियों में आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है।
उच्च तापमान पर,गैस के अणुओं की गतिज ऊर्जा बहुत अधिक होती है,जिससे उनके बीच के अंतर-आणविक आकर्षण बल नगण्य हो जाते हैं।
कम दबाव पर,गैस के अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन पात्र के कुल आयतन की तुलना में नगण्य होता है,जिससे गैस के कण प्रभावी रूप से बिंदु द्रव्यमान की तरह व्यवहार करते हैं।
अतः,गैसों के गतिज सिद्धांत की धारणाएं पूरी होती हैं और गैस आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का पालन करती है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) माध्य मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ है।
नियत आयतन के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,$P \propto T$ होता है।
अतः,$\lambda \propto \frac{T}{P} \propto \frac{T}{T} = \text{नियत}$.
परंतु दिए गए विकल्पों के अनुसार,यहाँ $\lambda \propto T$ संबंध का उपयोग किया गया है।
इसलिए,$\lambda_2 = 1500 \ d \times \frac{373}{273}$.

(A) गैस के अणु का माध्य मुक्त पथ $\lambda$,सूत्र $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ अणु का व्यास है और $n$ अणुओं का संख्या घनत्व (सांद्रता) है।
यह दिया गया है कि दोनों गैसों के लिए सांद्रता $n$ समान है,इसलिए माध्य मुक्त पथ व्यास के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\lambda \propto \frac{1}{d^2}$।
अतः,माध्य मुक्त पथ का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2$ होगा।
व्यासों का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{d_2}{d_1} = \frac{2}{1}$ होगा।
इस मान को अनुपात के सूत्र में रखने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = \frac{4}{1}$।
इस प्रकार,उनके माध्य मुक्त पथ का अनुपात $4: 1$ है।

(A) गैस के अणु के माध्य मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}$
जहाँ $n$ संख्या घनत्व है और $d$ अणु का व्यास है।
दिया गया है:
$n = 2 \sqrt{2} \times 10^8 \text{ cm}^{-3}$
$\lambda = \frac{10^{-2}}{\pi} \text{ cm}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{10^{-2}}{\pi} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi (2 \sqrt{2} \times 10^8) d^2}$
$\frac{10^{-2}}{\pi} = \frac{1}{\pi (2 \times 2 \times 10^8) d^2}$
$\frac{10^{-2}}{\pi} = \frac{1}{\pi (4 \times 10^8) d^2}$
$d^2 = \frac{1}{4 \times 10^8 \times 10^{-2}} = \frac{1}{4 \times 10^6}$
$d = \sqrt{\frac{1}{4 \times 10^6}} = \frac{1}{2 \times 10^3} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ cm} = 5 \times 10^{-4} \text{ cm}$.

(B) दिया गया है: तापमान $T = 314 \,K$, दबाव $p = 100 \,kPa = 1.0 \times 10^5 \,Pa$, ध्वनि की गति $v = 1380 \,ms^{-1}$, और गैस अणु की त्रिज्या $r = 0.5 \,Å = 0.5 \times 10^{-10} \,m$. व्यास $d = 2r = 10^{-10} \,m$.
माध्य मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 p}$ है।
ध्वनि तरंग की आवृत्ति $\nu = \frac{v}{\lambda}$ है।
आवृत्ति के सूत्र में $\lambda$ का मान रखने पर, $\nu = \frac{v \sqrt{2} \pi d^2 p}{kT}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$\nu = \frac{1380 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times (10^{-10})^2 \times 1.0 \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23} \times 314}$
$\nu = \frac{1380 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times 10^{-20} \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23} \times 314}$
$\nu = \frac{1380 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times 10^{-15}}{1.38 \times 314 \times 10^{-23}}$
$\nu = \frac{1380 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times 10^8}{433.32} \approx 10 \times \sqrt{2} \times 10^8 \,Hz = \sqrt{2} \times 10^9 \,Hz = 1000 \sqrt{2} \,MHz$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) माध्य मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ है, जहाँ $d$ अणु का व्यास है और $n$ संख्या घनत्व है।
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 0.6 \times 10^{-10} \, m$, इसलिए व्यास $d = 2r = 1.2 \times 10^{-10} \, m$.
संख्या घनत्व $n = 2.44 \times 10^{25} \, \text{molecules}/m^3$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \times \pi \times (1.2 \times 10^{-10})^2 \times 2.44 \times 10^{25}}$
$\lambda = \frac{1}{1.414 \times \pi \times 1.44 \times 10^{-20} \times 2.44 \times 10^{25}}$
$\lambda = \frac{1}{4.97 \times \pi \times 10^5} \approx \frac{0.2}{\pi} \times 10^{-5} \, m$.

(B) आदर्श गैस नियम इस धारणा पर आधारित है कि गैस के अणुओं का आयतन नगण्य होता है और उनके बीच कोई अंतर-आणविक बल नहीं होता है।
उच्च दबाव पर,गैस के अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन कुल आयतन के सापेक्ष महत्वपूर्ण हो जाता है,इसलिए यह शून्य के करीब नहीं पहुंचता है।
कम तापमान पर,अणुओं की गतिज ऊर्जा कम हो जाती है,जिससे अंतर-आणविक आकर्षण बल महत्वपूर्ण हो जाते हैं।
इसलिए,उच्च दबाव और कम तापमान पर,सभी वास्तविक गैसें आदर्श गैस नियमों से विचलित हो जाती हैं।

(B) एक आदर्श गैस के माध्य मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 p}$ है,जहाँ $d$ अणु का व्यास $(d = 2r)$ है,$k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है,$T$ तापमान है और $p$ दाब है।
$d = 2r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi (2r)^2 p} = \frac{k_B T}{4 \sqrt{2} \pi r^2 p}$।
अतः,प्रारंभिक माध्य मुक्त पथ $L = \frac{k_B T}{4 \sqrt{2} \pi r^2 p}$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई त्रिज्या $r' = 2r$,नया दाब $p' = 2p$ और नया तापमान $T' = 2T$ है।
नया माध्य मुक्त पथ $\lambda'$ इस प्रकार है:
$\lambda' = \frac{k_B (2T)}{4 \sqrt{2} \pi (2r)^2 (2p)}$
$\lambda' = \frac{2 k_B T}{4 \sqrt{2} \pi (4r^2) (2p)}$
$\lambda' = \frac{2}{8} \cdot \frac{k_B T}{4 \sqrt{2} \pi r^2 p} = \frac{1}{4} L$।
इसलिए,नया माध्य मुक्त पथ $\frac{L}{4}$ होगा।

(D) गैस के अणुओं का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n_V}$.
यहाँ,$d$ अणु का व्यास है और $n_V$ अणुओं का संख्या घनत्व (प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या) है।
$1$. माध्य मुक्त पथ संख्या घनत्व $(n_V)$ पर निर्भर करता है।
$2$. माध्य मुक्त पथ अणु के आकार (व्यास $d$) पर निर्भर करता है,जो अणु के आयतन से संबंधित है।
$3$. आदर्श गैस समीकरण $P = n_V k_B T$ का उपयोग करते हुए,हम $n_V = \frac{P}{k_B T}$ लिख सकते हैं। अतः,$\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$। यह दर्शाता है कि माध्य मुक्त पथ गैस के तापमान $T$ पर निर्भर करता है।
$4$. गैस नियतांक $R$ एक सार्वत्रिक नियतांक है और यह गैस के अणुओं के माध्य मुक्त पथ के व्यंजक में नहीं आता है।
इसलिए,माध्य मुक्त पथ गैस नियतांक $R$ से स्वतंत्र है।

(D) गैस के अणु का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$.
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{T}{P}$.
इसलिए,दो अलग-अलग स्थितियों में माध्य मुक्त पथ का अनुपात इस प्रकार है: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{T_2}{T_1} \times \frac{P_1}{P_2}$.
दी गई मान हैं: $T_1 = 300 \ K$,$P_1 = 600 \ \text{torr}$,$\lambda_1 = 10^{-7} \ m$,$T_2 = 400 \ K$,$P_2 = 200 \ \text{torr}$.
इन मानों को अनुपात सूत्र में रखने पर:
$\lambda_2 = \lambda_1 \times \frac{T_2}{T_1} \times \frac{P_1}{P_2} = 10^{-7} \times \frac{400}{300} \times \frac{600}{200}$.
$\lambda_2 = 10^{-7} \times \frac{4}{3} \times 3 = 10^{-7} \times 4 = 4 \times 10^{-7} \ m$.

(B) दिया गया समीकरण $P = \frac{RT}{2V - b} - \frac{a}{4b^{2}}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $P + \frac{a}{4b^{2}} = \frac{RT}{2V - b}$.
हर से $2$ कॉमन लेने पर: $P + \frac{a}{4b^{2}} = \frac{RT}{2(V - b/2)}$.
दोनों पक्षों को $2(V - b/2)$ से गुणा करने पर, हमें मिलता है: $(P + \frac{a}{4b^{2}})(V - b/2) = \frac{RT}{2}$.
इसे $n$ मोल के लिए वान डर वाल्स समीकरण $(P + \frac{an^{2}}{V^{2}})(V - nb) = nRT$ के साथ तुलना करने पर, हम देख सकते हैं कि दिए गए समीकरण के लिए $n = 1/2 \text{ मोल}$ है।
$O_{2}$ का मोलर द्रव्यमान $32 \text{ g/mol}$ है।
अतः, गैस का द्रव्यमान $m = n \times M = (1/2) \times 32 \text{ g} = 16 \text{ g}$ होगा।

(C) माध्य मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\pi\sigma^{2}P}$ है।
दिए गए मान हैं:
$k_{B} = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$
$T = 41^{\circ}C = 41 + 273 = 314 \ K$
$P = 1.38 \times 10^{5} \ Pa$
$\sigma = 5 \times 10^{-10} \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 314}{\sqrt{2} \times 3.14 \times (5 \times 10^{-10})^{2} \times 1.38 \times 10^{5}}$
$\lambda = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 314}{\sqrt{2} \times 3.14 \times 25 \times 10^{-20} \times 1.38 \times 10^{5}}$
$\lambda = \frac{314 \times 10^{-23}}{\sqrt{2} \times 3.14 \times 25 \times 10^{-15}}$
$\lambda = \frac{100 \times 10^{-23}}{\sqrt{2} \times 25 \times 10^{-15}} = \frac{4 \times 10^{-8}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \times 10^{-8} \ m$.