दस छोटे विमान $150 \ km/h$ की गति से कुल अंधेरे में $20 \times 20 \times 1.5 \ km^3$ आयतन वाले हवाई क्षेत्र में उड़ रहे हैं। आप उन विमानों में से एक में हैं, जो इस स्थान के भीतर यादृच्छिक रूप से उड़ रहे हैं और अन्य विमान कहाँ हैं, यह जानने का कोई तरीका नहीं है। औसतन, आपके विमान के साथ निकट टक्कर के बीच कितना समय व्यतीत होगा? इस अनुमानित गणना के लिए मान लें कि विमान के चारों ओर के सुरक्षा क्षेत्र को $10 \ m$ त्रिज्या के गोले द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

(D) हम विमानों की गति को गैस के अणुओं की यादृच्छिक गति के रूप में मॉडल कर सकते हैं।
$(i)$ निकट टक्कर के समय, दो विमानों के केंद्रों के बीच की दूरी $d = 2 \times 10 \ m = 20 \ m = 0.02 \ km$ है।
$(ii)$ दिए गए आयतन में विमानों का संख्या घनत्व $n = \frac{N}{V} = \frac{10}{20 \times 20 \times 1.5} = \frac{10}{600} = 0.0167 \ km^{-3}$ है।
$(iii)$ दो क्रमिक निकट टक्करों के बीच का समय अंतराल माध्य मुक्त समय द्वारा दिया जाता है, $t = \frac{\bar{l}}{v}$, जहाँ $\bar{l} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}$ माध्य मुक्त पथ है।
अतः, $t = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2 v}$।
मान रखने पर:
$t = \frac{1}{1.414 \times 3.14 \times 0.0167 \times (0.02)^2 \times 150}$
$t = \frac{1}{1.414 \times 3.14 \times 0.0167 \times 0.0004 \times 150}$
$t = \frac{1}{0.00444} \approx 225 \ \text{घंटे}$।