Newton’s Law of Gravitation Questions in Gujarati

(B) ના,પદાર્થનું જડત્વીય દ્રવ્યમાન અને ગુરુત્વીય દ્રવ્યમાન એકબીજાને સમાન છે. સામાન્ય સાપેક્ષતાવાદના 'Equivalence Principle' (તુલ્યતાના સિદ્ધાંત) મુજબ,જડત્વીય દ્રવ્યમાન (જે પ્રવેગ સામે અવરોધ નક્કી કરે છે) અને ગુરુત્વીય દ્રવ્યમાન (જે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં લાગતું બળ નક્કી કરે છે) તમામ પદાર્થો માટે સમાન હોય છે.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ નું મૂલ્ય પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરી શકાય છે,જે સૌપ્રથમ $1798$ માં કેવેન્ડિશ દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. વપરાયેલ સાધન આકૃતિમાં યોજનાબદ્ધ રીતે દર્શાવેલ છે.
સળિયા $AB$ ના છેડે બે નાના સીસાના ગોળાઓ જોડાયેલા છે. આ સળિયાને એક મજબૂત આધાર પરથી પાતળા તાર વડે લટકાવવામાં આવે છે.
બે મોટા સીસાના ગોળાઓને નાના ગોળાઓની નજીક પરંતુ વિરુદ્ધ બાજુઓ પર લાવવામાં આવે છે. મોટા ગોળાઓ નજીકના નાના ગોળાઓને સમાન અને વિરુદ્ધ બળો દ્વારા આકર્ષે છે. સળિયા પર કોઈ ચોખ્ખું બળ લાગતું નથી,પરંતુ $F \times L$ જેટલું ટોર્ક લાગે છે,જ્યાં $F$ એ મોટા ગોળા અને નાના ગોળા વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ છે અને $L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે. પરિણામે,સળિયો તાર $OM$ ની આસપાસ ફરે છે. તાર ત્યાં સુધી વળાય છે જ્યાં સુધી તારનું પુનઃસ્થાપક ટોર્ક ગુરુત્વાકર્ષણ ટોર્ક જેટલું ન થાય.
આ સંતુલન સ્થિતિમાં,વળાંકનો ખૂણો $\theta$ માપવામાં આવે છે. જો $k$ એ તારનો ટોર્શન અચળાંક હોય,તો પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = k\theta$ છે.
દરેક નાના ગોળા પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{GMm}{d^2}$ છે,જ્યાં $M$ એ મોટા ગોળાનું દળ છે,$m$ એ નાના ગોળાનું દળ છે અને $d$ એ તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ ટોર્ક $\tau_g = F \times L = \frac{GMm}{d^2} L$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,$\tau_g = \tau$,તેથી $\frac{GMm}{d^2} L = k\theta$.
આમ,$G = \frac{k\theta d^2}{MLm}$.

(A) $M$ અને $m$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચે $r$ અંતરે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ $F = G \frac{Mm}{r^2}$ છે.
જેમ અંતર $r$ અનંત તરફ જાય છે $(r \to \infty)$,તેમ છેદ $r^2$ અનંત મોટો બને છે.
તેથી,બળ $F = G \frac{Mm}{r^2}$ શૂન્ય તરફ જાય છે.
આમ,પૃથ્વીથી અનંત અંતરે પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે.

(N/A) ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,બે દળ વચ્ચે લાગતું બળ $F = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આપણે $m_{1} = 1 \ kg$,$m_{2} = 1 \ kg$ અને $r = 1 \ m$ લઈએ,તો $F = G$ મળે છે.
આથી,એકમ દળના બે પદાર્થોને એકબીજાથી એકમ અંતરે રાખતા તેમની વચ્ચે લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક કહેવામાં આવે છે.

(A) $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે.
તેનું મૂલ્ય બ્રહ્માંડમાં કોઈપણ સ્થળે અને કોઈપણ સમયે સમાન જ રહે છે.
તેથી,ચંદ્ર પર પણ $G$ નું મૂલ્ય $6.67 \times 10^{-11} \ Nm^2/kg^2$ જ રહેશે.

(B) બે પદાર્થો વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ માત્ર પદાર્થોના દળ અને તેમની વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે.
તે પદાર્થો કયા માધ્યમમાં રાખેલા છે તેના પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,હવા અને પાણીમાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સમાન રહે છે.
આમ,હવામાં લાગતા બળ અને પાણીમાં લાગતા બળનો ગુણોત્તર $1:1$ થાય છે.

(N/A) દરેક ગોળાનું દળ $m$ એ ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $r$ ના પદમાં $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
સ્પર્શતા બે ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = r + r = 2r$ થાય છે.
ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{d^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$F = \frac{G (\frac{4}{3} \pi r^3 \rho) (\frac{4}{3} \pi r^3 \rho)}{(2r)^2}$.
$F = \frac{G \cdot \frac{16}{9} \pi^2 r^6 \rho^2}{4r^2}$.
$F = (\frac{4}{9} \pi^2 \rho^2 G) r^4$.
અહીં $\frac{4}{9} \pi^2 \rho^2 G$ એ અચળાંક હોવાથી,$F \propto r^4$ સાબિત થાય છે.

(B) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,બે પદાર્થો વચ્ચેનું બળ $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બળ બંને પદાર્થોના દળના ગુણાકાર $(m_1 m_2)$ પર આધાર રાખે છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પૃથ્વી ચંદ્ર પર જેટલું બળ લગાડે છે,તેટલું જ બળ ચંદ્ર પૃથ્વી પર લગાડે છે.
તેથી,ચંદ્ર દ્વારા પૃથ્વી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણબળ એ પૃથ્વી દ્વારા ચંદ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણબળ જેટલું જ હોય છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,અથવા $a = F/m$.
પૃથ્વી દ્વારા સફરજન પર અને સફરજન દ્વારા પૃથ્વી પર લાગતું બળ $F$ સમાન મૂલ્યનું હોવાથી,ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ પદાર્થના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
પૃથ્વીનું દળ $(M)$ સફરજનના દળ $(m)$ ની સરખામણીમાં અત્યંત વિશાળ છે.
તેથી,પૃથ્વીનો પ્રવેગ $(a_E = F/M)$ એટલો સૂક્ષ્મ છે કે તે વ્યવહારિક રીતે શોધી શકાતો નથી,જ્યારે સફરજનનો પ્રવેગ $(a_a = F/m)$ નોંધપાત્ર હોય છે,જેના કારણે તે પૃથ્વી તરફ પડે છે.

(C) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,બળ $F$ નું સૂત્ર $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G$ અત્યંત નાનો $(6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2/kg^2)$ હોવાથી,નાના દળ $m_1$ અને $m_2$ ધરાવતા બે સામાન્ય પદાર્થો વચ્ચેનું બળ $F$ નહિવત હોય છે.
આ બળ ખૂબ જ નબળું હોવાથી,તે ઘર્ષણ કે હવાના અવરોધ જેવા અન્ય બળોને દૂર કરવા માટે પૂરતું નથી,અને તે એકબીજા તરફ નોંધપાત્ર પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે સક્ષમ નથી.

(A) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચે $r$ અંતરે લાગતું બળ $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $F \propto \frac{1}{r^2}$.
ધારો કે પ્રારંભિક બળ $F_1 = 1 \ N$ છે જ્યારે અંતર $r_1 = r$ છે.
જ્યારે અંતર બમણું કરવામાં આવે છે,ત્યારે $r_2 = 2r$ થાય છે.
નવું બળ $F_2$ ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે: $\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{F_2}{1} = \left(\frac{r}{2r}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
તેથી,$F_2 = \frac{1}{4} \ N = 0.25 \ N$.

(A) બે પદાર્થો વચ્ચે લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું સૂત્ર $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ છે.
આપેલ છે: $m_1 = 1\,kg$,$m_2 = 1\,kg$,$r = 10\,cm = 0.1\,m = 10^{-1}\,m$,અને $G = 6.67 \times 10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (1) \times (1)}{(10^{-1})^2}$
$F = \frac{6.67 \times 10^{-11}}{10^{-2}}$
$F = 6.67 \times 10^{-9}\,N$.

(B) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું બળ $F = \frac{G M m}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ સૂર્યનું દળ છે,$m$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $r$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
ધારો કે $m_e$ અને $m_p$ એ પૃથ્વી અને પ્લુટોના દળ છે,અને $r_e$ અને $r_p$ એ સૂર્યથી તેમના અંતર છે.
આપેલ છે કે $m_e = m_p$ અને $r_p = 40 r_e$.
પૃથ્વી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_e = \frac{G M m_e}{r_e^2}$ છે.
પ્લુટો પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_p = \frac{G M m_p}{r_p^2}$ છે.
બળોનો ગુણોત્તર $\frac{F_e}{F_p} = \frac{G M m_e / r_e^2}{G M m_p / r_p^2} = \frac{r_p^2}{r_e^2}$ છે.
$r_p = 40 r_e$ મૂકતા,આપણને $\frac{F_e}{F_p} = \frac{(40 r_e)^2}{r_e^2} = 40^2 = 1600$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $1600: 1$ છે.

(A) વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ મુજબ,$A$ અને $B$ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચે મુજબ છે:
$F = G \frac{m_A m_B}{r^2}$
પદાર્થ $A$ નો પ્રવેગ $a_A = \frac{F}{m_A} = \frac{G m_B}{r^2}$ ... $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે,જ્યાં બળ અંતરની ચતુર્ધાતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$F' = G \frac{m_A m_B}{r^4}$
પદાર્થ $A$ નો નવો પ્રવેગ $a_A' = \frac{F'}{m_A} = \frac{G m_B}{r^4}$
સમીકરણ $(1)$ ની કિંમત નવા પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_A' = \frac{1}{r^2} \left( \frac{G m_B}{r^2} \right) = \frac{a_A}{r^2}$
તેથી,પદાર્થ $A$ નો પ્રવેગ $\frac{a_A}{r^2}$ થશે.

(C) બે બિંદુવત દળ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$.
આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ માત્ર દળ $(m_1, m_2)$ અને તેમની વચ્ચેના અંતર $(r)$ પર આધાર રાખે છે.
તે દળોની વચ્ચે રહેલા માધ્યમ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જ્યારે દળોને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર અચળ રાખવામાં આવે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(N/A) ના,આપણે કોઈ પદાર્થને ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવથી સુરક્ષિત કરી શકતા નથી.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ એક પાયાની આંતરક્રિયા છે જે બ્રહ્માંડના કોઈપણ બે દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચે લાગે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રોથી વિપરીત,જેને વાહકની અંદર વિદ્યુતભાર મૂકીને સુરક્ષિત કરી શકાય છે (જ્યાં વિદ્યુતભારના પુનઃવિતરણને કારણે આંતરિક ક્ષેત્ર શૂન્ય થઈ જાય છે),ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રોને સુરક્ષિત કરી શકાતા નથી.
'ગુરુત્વાકર્ષણ અવાહક' જેવી કોઈ વસ્તુ નથી અથવા એવો કોઈ પદાર્થ નથી જે ગુરુત્વાકર્ષણ ફ્લક્સને રોકી શકે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ફક્ત બે પદાર્થોના દળ અને તેમની વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે,જે ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$.
તેથી,કોઈ પદાર્થને પોલા ગોળાની અંદર મૂકવાથી બાહ્ય દ્રવ્ય દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દૂર થતું નથી.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણ માટેના શેલ પ્રમેય મુજબ:
$1$. જ્યારે બિંદુવત દળ $m$ પોલા ગોળાકાર કવચની બહાર હોય $(r \geq R)$,ત્યારે કવચ એવું વર્તે છે કે જાણે તેનું સમગ્ર દળ $M$ તેના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત હોય. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{GMm}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. જ્યારે બિંદુવત દળ $m$ પોલા ગોળાકાર કવચની અંદર હોય $(r < R)$,ત્યારે કવચ દ્વારા બિંદુવત દળ પર લાગતું ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે,કારણ કે કવચના વિવિધ ભાગો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. તેથી,$F = 0$.
$F$ વિરુદ્ધ $r$ નો આલેખ $0 \leq r < R$ માટે શૂન્ય છે અને $r \geq R$ માટે વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ $(F \propto 1/r^2)$ ને અનુસરે છે.

(N/A) ધારો કે નિયમિત ષટ્કોણના શિરોબિંદુઓ ક્રમશઃ $A, B, C, D, E, F$ છે. શિરોબિંદુ $A$ પર રહેલા દળનો વિચાર કરો. અન્ય પાંચ દળોને કારણે તેના પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. $B$ પરના દળને કારણે બળ: $F_1 = \frac{Gm^2}{l^2}$,$\vec{AB}$ ની દિશામાં.
$2$. $F$ પરના દળને કારણે બળ: $F_5 = \frac{Gm^2}{l^2}$,$\vec{AF}$ ની દિશામાં.
$3$. $C$ પરના દળને કારણે બળ: $F_2 = \frac{Gm^2}{(AC)^2} = \frac{Gm^2}{3l^2}$,$\vec{AC}$ ની દિશામાં.
$4$. $E$ પરના દળને કારણે બળ: $F_4 = \frac{Gm^2}{(AE)^2} = \frac{Gm^2}{3l^2}$,$\vec{AE}$ ની દિશામાં.
$5$. $D$ પરના દળને કારણે બળ: $F_3 = \frac{Gm^2}{(AD)^2} = \frac{Gm^2}{4l^2}$,$\vec{AD}$ ની દિશામાં.
સંમિતિને કારણે,વિકર્ણ $AD$ ને લંબ $F_1$ અને $F_5$ ના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. $AD$ ની દિશામાં તેમના ઘટકોનો સરવાળો $F_1 \cos 30^{\circ} + F_5 \cos 30^{\circ} = 2 \cdot \frac{Gm^2}{l^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}Gm^2}{l^2}$ થાય.
તે જ રીતે,$AD$ ને લંબ $F_2$ અને $F_4$ ના ઘટકો નાબૂદ થાય છે. $AD$ ની દિશામાં તેમના ઘટકો $F_2 \cos 30^{\circ} + F_4 \cos 30^{\circ} = 2 \cdot \frac{Gm^2}{3l^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{Gm^2}{\sqrt{3}l^2}$ થાય.
બળ $F_3$ પહેલેથી જ $AD$ ની દિશામાં છે.
કુલ બળ $F_{net} = \frac{\sqrt{3}Gm^2}{l^2} + \frac{Gm^2}{\sqrt{3}l^2} + \frac{Gm^2}{4l^2} = \frac{Gm^2}{l^2} (\frac{16+\sqrt{3}}{4\sqrt{3}})$.

(C) ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના બે પદાર્થો વચ્ચેનું પ્રારંભિક બળ $F = \frac{Gm^2}{r^2}$ છે.
જ્યારે એક પદાર્થનું એક-તૃતીયાંશ દળ બીજા પદાર્થમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે,ત્યારે નવા દળ $m_1 = m - \frac{1}{3}m = \frac{2}{3}m$ અને $m_2 = m + \frac{1}{3}m = \frac{4}{3}m$ બને છે.
નવું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F^{\prime} = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવા દળોની કિંમત મૂકતા: $F^{\prime} = \frac{G (\frac{2}{3}m) (\frac{4}{3}m)}{r^2} = \frac{8}{9} \frac{Gm^2}{r^2}$.
કારણ કે $F = \frac{Gm^2}{r^2}$,તેથી આપણને $F^{\prime} = \frac{8}{9}F$ મળે છે.

(C) શરૂઆતનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{GMm}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે દળ ત્રણ ગણું $(M' = 3M, m' = 3m)$ અને અંતર બમણું $(R' = 2R)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે:
$F' = \frac{G(3M)(3m)}{(2R)^2} = \frac{9GMm}{4R^2} = 2.25F$.
બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F' - F = 2.25F - F = 1.25F$ છે.
ટકાવારીમાં વધારો $\frac{\Delta F}{F} \times 100\% = 1.25 \times 100\% = 125\%$ થાય.

(C) ધારો કે $3x$ દળ ધરાવતા પદાર્થમાંથી $2x$ દળ ધરાવતા પદાર્થમાં $y$ જેટલું દળ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતર પછી,નવા દળ $(3x - y)$ અને $(2x + y)$ થશે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F' = \frac{G(3x - y)(2x + y)}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $F'$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dF'}{dy} = \frac{G}{r^2} \frac{d}{dy} [6x^2 + 3xy - 2xy - y^2] = 0$.
$\frac{G}{r^2} [3x - 2x - 2y] = 0$.
$x - 2y = 0$.
$y = \frac{x}{2}$.
આમ,સ્થાનાંતરિત કરવાનું દળ $\frac{x}{2}$ છે.

(A) $M$ દળ ધરાવતા આંતરિક સમાન ગોળાને કારણે બિંદુવત દળ $m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ $F_1 = \frac{G M m}{x^2}$ છે,જે કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
$M$ દળ અને $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બાહ્ય ગોળીય કવચને કારણે બિંદુવત દળ $m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય છે. આનું કારણ એ છે કે,શેલ પ્રમેય (shell theorem) મુજબ,સમાન ગોળીય કવચની અંદર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર દરેક જગ્યાએ શૂન્ય હોય છે,કારણ કે કવચના વિવિધ ભાગો દ્વારા બિંદુવત દળ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળો એકબીજાને સંપૂર્ણપણે નાબૂદ કરે છે.
તેથી,કણ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_{net} = F_1 + 0 = \frac{G M m}{x^2}$ છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક,જેને $G$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે.
તે પદાર્થોના કદ,તેમના ગુરુત્વીય દળ,તેમની વચ્ચેના અંતર અથવા તેઓ જે માધ્યમમાં રાખેલા છે તેનાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,તે વિકલ્પ $A$,$B$ અથવા $C$ માં જણાવેલ કોઈપણ પરિબળ પર આધાર રાખતું નથી.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણની ઘટના એ વિશ્વના કોઈપણ બે પદાર્થો વચ્ચે લાગતું સાર્વત્રિક આકર્ષણ બળ છે,પછી ભલે તેમનો આકાર,કદ કે દળ ગમે તે હોય.
જોકે ન્યુટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ ખાસ કરીને બિંદુવત દળો માટે તારવવામાં આવ્યો છે,પરંતુ તેને કોઈપણ અનિયમિત આકારના પદાર્થો માટે પણ લાગુ પાડી શકાય છે. આ માટે પદાર્થને નાના-નાના બિંદુવત દળોના સમૂહ તરીકે ગણીને દરેક સૂક્ષ્મ ઘટક પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળોનું સંકલન કરવામાં આવે છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ એ કોઈપણ અનિયમિત આકારના દળો વચ્ચેની આંતરક્રિયાની ઘટના છે.

(C) ધારો કે ત્રીજા બિંદુવત દળ $m_0$ ને $m$ દળથી $r$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. તો તેનું $4m$ દળથી અંતર $(d-r)$ થશે.
$m$ દળને કારણે $m_0$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_1 = \frac{G m m_0}{r^2}$ છે.
$4m$ દળને કારણે $m_0$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_2 = \frac{G (4m) m_0}{(d-r)^2}$ છે.
$m_0$ પર લાગતું પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય થવા માટે,આ બળોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$F_1 = F_2$
$\frac{G m m_0}{r^2} = \frac{4 G m m_0}{(d-r)^2}$
$\frac{1}{r^2} = \frac{4}{(d-r)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{r} = \frac{2}{d-r}$
$d - r = 2r$
$d = 3r$
$r = \frac{d}{3}$
તેથી,$m$ દળથી તે બિંદુનું અંતર $\frac{d}{3}$ છે.

(B) ધારો કે $F_1, F_2, F_4, F_8, \dots$ એ $x = 1, 2, 4, 8, \dots$ પર રહેલા દળ $m$ દ્વારા ઉગમબિંદુ પરના દળ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળો છે.
ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ મુજબ,બળો નીચે મુજબ છે:
$F_1 = \frac{G m^2}{1^2} = G m^2$
$F_2 = \frac{G m^2}{2^2} = \frac{G m^2}{4}$
$F_4 = \frac{G m^2}{4^2} = \frac{G m^2}{16}$
$F_8 = \frac{G m^2}{8^2} = \frac{G m^2}{64}$
કુલ બળ $F_{total}$ એ આ બળોનો સરવાળો છે:
$F_{total} = G m^2 \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots \right)$
કૌંસમાં રહેલું પદ એ અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી ($G$.$P$.) છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$F_{total} = G m^2 \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} G m^2$.

(D) કણ $B$ દ્વારા કણ $A$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m^2}{L^2}$ છે,જે $B$ ની દિશામાં લાગે છે.
તે જ રીતે,કણ $C$ દ્વારા કણ $A$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m^2}{L^2}$ છે,જે $C$ ની દિશામાં લાગે છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી આ બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
કણ $A$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}}$ સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F^2 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{2 F^2 + 2 F^2 (0.5)} = \sqrt{3 F^2} = \sqrt{3} F$
$F = \frac{G m^2}{L^2}$ મૂકતા,આપણને $F_{\text{net}} = \sqrt{3} \frac{G m^2}{L^2}$ મળે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણ $A$ નો પ્રવેગ $a = \frac{F_{\text{net}}}{m}$ છે.
$a = \frac{\sqrt{3} G m^2}{L^2 m} = \sqrt{3} \frac{G m}{L^2}$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સંરક્ષી બળ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,બે બિંદુઓ વચ્ચે પદાર્થને ખસેડવા માટે સંરક્ષી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધારિત નથી.
તે ફક્ત પદાર્થના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર જ આધાર રાખે છે.
ત્રણેય માર્ગો બિંદુ $A$ થી શરૂ થાય છે અને બિંદુ $B$ પર સમાપ્ત થાય છે,તેથી દરેક માર્ગ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$W_1 = W_2 = W_3$.

(C) બે કણો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
બે કણો વચ્ચેનું અંતર $r = 2a$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m m}{(2a)^2} = \frac{G m^2}{4a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m$ દળ ધરાવતા કણ માટે $a$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m \omega^2 a$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{G m^2}{4a^2} = m \omega^2 a$.
$\omega^2 = \frac{G m}{4 a^3}$.
તેથી,કોણીય ઝડપ $\omega = \sqrt{\frac{G m}{4 a^3}}$ થશે.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. એક ખૂણા પર રહેલા દળનો વિચાર કરો. તે અન્ય ત્રણ દળો દ્વારા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અનુભવે છે.
બે દળો $a$ અંતરે (પાસેના ખૂણાઓ) છે,અને એક દળ $\sqrt{2}a$ અંતરે (સામેના ખૂણા) છે.
બે નજીકના દળો દ્વારા લાગતા બળો $F = \frac{Gm^2}{a^2}$ છે,જે $90^\circ$ ના ખૂણે લાગે છે. તેમનું પરિણામી બળ $\sqrt{F^2 + F^2} = \sqrt{2}F = \sqrt{2} \frac{Gm^2}{a^2}$ છે.
સામેના દળ દ્વારા લાગતું બળ $F' = \frac{Gm^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{Gm^2}{2a^2}$ છે.
આ બંને બળો ચોરસના વિકર્ણની દિશામાં લાગે છે,તેથી કુલ બળ:
$F_{\text{net}} = \sqrt{2} \frac{Gm^2}{a^2} + \frac{Gm^2}{2a^2} = \frac{Gm^2}{a^2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{Gm^2}{a^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{2} \right)$.
આપેલ છે કે $F_{\text{net}} = \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{32} \right) \frac{Gm^2}{L^2}$,તેથી આપણે બંને પદોને સરખાવીએ:
$\frac{Gm^2}{a^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{2} \right) = \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{32} \right) \frac{Gm^2}{L^2}$.
$\frac{1}{2a^2} = \frac{1}{32L^2} \implies a^2 = 16L^2 \implies a = 4L$.

(D) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P, Q,$ અને $R$ છે. $m_2$ દળને $S$ બિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે,જે બાજુ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$Q$ અને $R$ પરના દળો દ્વારા $S$ પરના $m_2$ દળ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ છે કારણ કે $S$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,આ બંને બળો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$m_2$ પર લાગતું પરિણામી બળ ફક્ત શિરોબિંદુ $P$ પર રહેલા $m_1$ દળને કારણે છે.
$\triangle PQS$ માં,બાજુ $PQ = \frac{L}{3}$ અને $\angle PQS = 60^{\circ}$ છે. અંતર $h$ (શિરોબિંદુ $P$ થી $QR$ પરનો વેધ) $h = PQ \sin 60^{\circ} = \frac{L}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{L\sqrt{3}}{6}$ દ્વારા મળે છે.
$P$ પરના $m_1$ ને કારણે $m_2$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$:
$F = \frac{G m_1 m_2}{h^2} = \frac{G m_1 m_2}{(\frac{L\sqrt{3}}{6})^2} = \frac{G m_1 m_2}{\frac{3L^2}{36}} = \frac{G m_1 m_2}{\frac{L^2}{12}} = \frac{12 G m_1 m_2}{L^2}$.

(B) $M$ દળ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે ગોળાઓ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{GM^2}{d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાઓ સંપર્કમાં હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 2R$ છે.
તેથી,$F = \frac{GM^2}{(2R)^2} = \frac{GM^2}{4R^2}$.
દરેક ગોળાનું દળ $M = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા મળે છે.
$M$ ની કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{G}{4R^2} \left( \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \right)^2$
$F = \frac{G}{4R^2} \cdot \rho^2 \cdot \frac{16}{9} \pi^2 R^6$
$F = \frac{4}{9} G \pi^2 R^4 \rho^2$
તેથી,$F \propto R^4 \rho^2$.

(B) બે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m^2}{d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાઓ સંપર્કમાં હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = R + R = 2R$ થાય.
ઘનતા $\rho$ ધરાવતા દરેક ગોળાનું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ થાય.
આ કિંમતોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)^2}{(2R)^2}$
$F = \frac{G \times \frac{16}{9} \pi^2 R^6 \rho^2}{4 R^2}$
$F = \frac{4}{9} G \pi^2 \rho^2 R^4$
અહીં $G$,$\pi$,અને $\rho$ અચળાંક હોવાથી,$F \propto R^4$ મળે.
તેથી,$x = 4$.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ છે. ધારો કે $m_{2}$ દળને બાજુ $BC$ ના મધ્યબિંદુ $D$ પર મૂકવામાં આવ્યું છે.
$B$ અને $C$ પર રહેલા $m_{1}$ દળને કારણે $m_{2}$ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળો સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ દિશાના હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
બિંદુ $D$ નું શિરોબિંદુ $A$ થી અંતર એ સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABD$ માં,કર્ણ $AB = \frac{L}{3}$ અને $\angle BAD = 30^{\circ}$ છે.
તેથી,$h = AB \cos 30^{\circ} = \frac{L}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{L}{2\sqrt{3}}$.
$m_{2}$ પર લાગતું કુલ બળ એ $A$ પર રહેલા $m_{1}$ દળને કારણે લાગતું બળ છે:
$F = G \frac{m_{1} m_{2}}{h^{2}} = G \frac{m_{1} m_{2}}{\left(\frac{L}{2\sqrt{3}}\right)^{2}} = G \frac{m_{1} m_{2}}{\frac{L^{2}}{12}} = \frac{12 G m_{1} m_{2}}{L^{2}}$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G M m}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{F}{m} = \frac{G M}{r^2}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{G}{g}$ ને આ રીતે દર્શાવી શકાય:
$\frac{G}{g} = \frac{G}{\frac{G M}{r^2}} = \frac{r^2}{M}$.
$r$ નો એકમ $m$ (મીટર) છે અને $M$ નો એકમ $kg$ (કિલોગ્રામ) છે.
આમ,$\frac{G}{g}$ નો $SI$ એકમ $\frac{m^2}{kg}$ છે.

(B) બે દળ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $m_A = m_B = 8 \,kg$, $m_G = 2 \,kg$, અને $AG = BG = 1 \,m$.
$A$ પરના દળ દ્વારા $G$ પરના દળ પર લાગતું બળ $F_A = \frac{G \times 8 \times 2}{1^2} = 16G$ છે.
$B$ પરના દળ દ્વારા $G$ પરના દળ પર લાગતું બળ $F_B = \frac{G \times 8 \times 2}{1^2} = 16G$ છે.
$F_A$ અને $F_B$ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે.
પરિણામી બળ $F_{AB} = \sqrt{F_A^2 + F_B^2 + 2 F_A F_B \cos 120^{\circ}}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $F_A = F_B = 16G$, તેથી $F_{AB} = \sqrt{(16G)^2 + (16G)^2 + 2(16G)(16G)(-0.5)} = 16G$.
આ પરિણામી બળ $F_{AB}$ એ $GC$ રેખાની દિશામાં $C$ તરફ લાગે છે.
$2 \,kg$ ના પદાર્થ પરનું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય કરવા માટે, $4 \,kg$ દળ ધરાવતા ચોથા પદાર્થને $GC$ રેખા પર $G$ થી $x$ અંતરે એવી રીતે મૂકવો જોઈએ કે જેથી તેના દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_C$ એ $F_{AB}$ ને સંતુલિત કરે.
$F_C = \frac{G \times 4 \times 2}{x^2} = 16G$.
$\frac{8G}{x^2} = 16G \Rightarrow x^2 = \frac{8}{16} = 0.5$.
$x = \frac{1}{\sqrt{2}} \,m$.
આમ, ચોથા પદાર્થને $CG$ રેખા પરના બિંદુ $P$ પર એવી રીતે મૂકવો જોઈએ કે જેથી $PG = \frac{1}{\sqrt{2}} \,m$ થાય.

(B) દળ એ દ્રવ્યનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે અને તે ગુરુત્વાકર્ષણ અથવા સ્થાન જેવી બાહ્ય પરિસ્થિતિઓ પર આધાર રાખતું નથી.
તે પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યના જથ્થાનું માપ છે.
દળ એ આંતરિક ગુણધર્મ હોવાથી,પદાર્થને ગમે ત્યાં રાખવામાં આવે તો પણ તે અચળ રહે છે.
તેથી,જો પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું દળ $M$ હોય,તો ચંદ્રની સપાટી પર પણ તેનું દળ $M$ જ રહેશે.

(A) મૂળભૂત બળોની સાપેક્ષ પ્રબળતાની સરખામણી $10^{-15} \ m$ ના અંતરે રહેલા બે પ્રોટોન વચ્ચેની આંતરક્રિયાને ધ્યાનમાં લઈને કરવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F_G)$ એ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ $(F_S)$ ની સાપેક્ષમાં આશરે $10^{-36} \ N$ થી $10^{-39} \ N$ જેટલું હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળનો ગુણોત્તર આશરે $10^{-39}$ છે.
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ કરતાં $10^{-39}$ ગણું છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા નક્કર ગોળાનું દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગોળાઓ સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,તેમની ઘનતા $\rho$ અચળ છે.
તેથી,$M \propto R^3$.
સંપર્કમાં રહેલા બે ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = R + R = 2R$ છે.
બે ગોળાઓ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ $F = \frac{G M_1 M_2}{d^2}$ છે.
$M_1 = M_2 = M$ અને $d = 2R$ મૂકતા,આપણને $F = \frac{G M^2}{(2R)^2} = \frac{G M^2}{4R^2}$ મળે છે.
કારણ કે $M \propto R^3$,તેથી $M^2 \propto (R^3)^2 = R^6$.
આને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F \propto \frac{R^6}{R^2} = R^4$.
તેથી,$F \propto R^4$.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમનું અદિશ સ્વરૂપ $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ છે.
આને સદિશ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે મૂલ્યને બળની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{r}$ વડે ગુણીએ છીએ: $\overrightarrow{F} = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{r}$.
એકમ સદિશની વ્યાખ્યા $\hat{r} = \frac{\overrightarrow{r}}{r}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$\overrightarrow{F} = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \left( \frac{\overrightarrow{r}}{r} \right)$.
તેથી,સદિશ સ્વરૂપ $\overrightarrow{F} = G \frac{m_1 m_2}{r^3} \overrightarrow{r}$ મળે છે.

(D) $\text{આપેલ છે: દરેક પથ્થરનું દળ, } m_1 = m_2 = 2 \,kg$.
$\text{અંતર, } r = 1 \,m$.
$\text{સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક, } G = 6.67 \times 10^{-11} \,N \cdot m^2/kg^2$.
$\text{ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ, બળ } F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$.
$\text{કિંમતો મૂકતા: } F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2 \times 2}{1^2}$.
$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 4$.
$F = 26.68 \times 10^{-11} \,N = 2.668 \times 10^{-10} \,N$.
$\text{નજીકની કિંમત લેતા, } F \approx 2.67 \times 10^{-10} \,N$.

(D) ધારો કે એક એકમ દળ $m$ પૃથ્વીથી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યું છે,જ્યાં ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય છે.
આ બિંદુએ,પૃથ્વી દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને ચંદ્ર દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ મૂલ્યમાં સમાન હોવા જોઈએ.
$\frac{G m M_e}{x^2} = \frac{G m M_m}{(D-x)^2}$ ... $(i)$
જ્યાં $M_e$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $M_m$ એ ચંદ્રનું દળ છે.
આપેલ છે કે $M_e = 81 M_m$.
સમીકરણ $(i)$ માં આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{G m (81 M_m)}{x^2} = \frac{G m M_m}{(D-x)^2}$
$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(D-x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{9}{x} = \frac{1}{D-x}$
$9(D - x) = x$
$9D - 9x = x$
$9D = 10x$
$x = \frac{9D}{10}$
આમ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $\frac{9D}{10}$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય થશે.

(A) બે દળ $m_1$ અને $m_2$ વચ્ચે $r$ અંતરે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m_1 = xM$ અને $m_2 = (1-x)M$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $F = \frac{G}{r^2} (xM)(1-x)M = \frac{GM^2}{r^2} (x - x^2)$.
$F$ મહત્તમ થાય તે માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\frac{dF}{dx} = 0$.
$\frac{d}{dx} [\frac{GM^2}{r^2} (x - x^2)] = 0$.
$\frac{GM^2}{r^2}$ અચળ હોવાથી,$\frac{d}{dx} (x - x^2) = 0$.
$1 - 2x = 0$.
તેથી,$x = 1/2$.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. કોઈપણ એક પદાર્થ (ધારો કે પદાર્થ $4$) પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ અન્ય ત્રણ પદાર્થો $(1, 2, 3)$ દ્વારા લાગતા બળોનો સદિશ સરવાળો છે.
ધારો કે $\vec{F}_{14}$,$\vec{F}_{34}$ અને $\vec{F}_{24}$ એ અનુક્રમે પદાર્થ $1, 3$ અને $2$ દ્વારા પદાર્થ $4$ પર લાગતા બળો છે.
તેમના મૂલ્યો $F_{14} = \frac{Gm^2}{a^2}$,$F_{34} = \frac{Gm^2}{a^2}$ અને $F_{24} = \frac{Gm^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{Gm^2}{2a^2}$ છે.
$\vec{F}_{14}$ અને $\vec{F}_{34}$ નું પરિણામી બળ $F_{13} = \sqrt{F_{14}^2 + F_{34}^2} = \sqrt{\left(\frac{Gm^2}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{Gm^2}{a^2}\right)^2} = \sqrt{2} \frac{Gm^2}{a^2}$ છે.
આ પરિણામી બળ $F_{13}$ વિકર્ણની દિશામાં,$\vec{F}_{24}$ ની દિશામાં જ લાગે છે.
તેથી,કુલ બળ $F_{net} = F_{13} + F_{24} = \sqrt{2} \frac{Gm^2}{a^2} + \frac{Gm^2}{2a^2} = \frac{Gm^2}{a^2} \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{Gm^2}{a^2} \left(\frac{2\sqrt{2} + 1}{2}\right)$ છે.
આપેલ છે કે $F_{net} = \left(\frac{2\sqrt{2} + 1}{32}\right) \frac{Gm^2}{L^2}$,તેથી બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{Gm^2}{a^2} \left(\frac{2\sqrt{2} + 1}{2}\right) = \left(\frac{2\sqrt{2} + 1}{32}\right) \frac{Gm^2}{L^2}$.
$\frac{1}{2a^2} = \frac{1}{32L^2} \Rightarrow a^2 = 16L^2 \Rightarrow a = 4L$.

(C) અંતરે રહેલા $m_0$ અને $M-m_0$ દળો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{G m_0 (M - m_0)}{D^2}$
મહત્તમ બળ માટેની શરત શોધવા માટે,આપણે $F$ નું $m_0$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dF}{dm_0} = \frac{d}{dm_0} \left[ \frac{G}{D^2} (M m_0 - m_0^2) \right] = 0$
$\frac{G}{D^2} (M - 2m_0) = 0$
અહીં $\frac{G}{D^2} \neq 0$ હોવાથી:
$M - 2m_0 = 0$
$M = 2m_0$
$\frac{m_0}{M} = \frac{1}{2} = 0.5$

(C) શેલ પ્રમેય (Shell Theorem) મુજબ,સમાન પોલા ગોળાકાર કવચની અંદર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = 0$ હોય છે. તેથી,તેની અંદર મૂકવામાં આવેલા બિંદુવત દળ પર કોઈ ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગતું નથી. આમ,વિધાન $(I)$ ખોટું છે.
સમાન પોલા ગોળાકાર કવચની બહારના કોઈપણ બિંદુ માટે,કવચ એવી રીતે વર્તે છે કે જાણે તેનું સમગ્ર દળ તેના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત હોય. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ $F = G M m / r^2$ તરીકે ગણવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે. આમ,વિધાન $(II)$ સાચું છે.

(A) ન્યુટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ અનુસાર,બ્રહ્માંડનો દરેક પદાર્થ બીજા દરેક પદાર્થને એક એવા બળથી આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
કોઈપણ બે પદાર્થો વચ્ચે તેમના દળને કારણે લાગતા આ પરસ્પર આકર્ષણ બળને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કહેવામાં આવે છે.

(C) બે બિંદુવત દ્રવ્યમાન વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે,$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$.
$1$. તે એક સંરક્ષી બળ છે,જેનો અર્થ છે કે તેના દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય માર્ગ પર આધારિત નથી.
$2$. બે દ્રવ્યમાન વચ્ચે તે હંમેશા આકર્ષી બળ હોય છે.
$3$. તે એક કેન્દ્રીય બળ છે,કારણ કે તે બે પદાર્થોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર કાર્ય કરે છે.
$4$. તે બિન-સંપર્ક બળ (અથવા અંતર પર કાર્ય કરતું બળ) છે,જેનો અર્થ છે કે તેને પદાર્થો વચ્ચે ભૌતિક સંપર્કની જરૂર નથી.
તેથી,'કેન્દ્રીય બળ નથી' તે વિધાન ખોટું છે.

(C) પ્રકૃતિમાં રહેલા ચાર મૂળભૂત બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ,વિદ્યુતચુંબકીય,પ્રબળ ન્યુક્લિયર અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ) માંથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા આકર્ષી પ્રકારનું હોય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય બળો વીજભારના આધારે આકર્ષી અથવા અપાકર્ષી હોઈ શકે છે.
પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળો સામાન્ય રીતે ટૂંકા અંતરે આકર્ષી હોય છે જે ન્યુક્લિયસને જકડી રાખે છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળો હંમેશા આકર્ષી હોય છે તે વિધાન સાચું છે.