Newton’s Law of Gravitation Questions in Gujarati

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ એક સાર્વત્રિક બળ છે. ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,બ્રહ્માંડનો દરેક પદાર્થ બીજા દરેક પદાર્થને એક બળ સાથે આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળો બ્રહ્માંડની તમામ વસ્તુઓ વચ્ચે કાર્ય કરે છે.

(A) આપેલ છે:
દરેક ગેલેક્સીનું દળ,$m = 8 \times 10^{11} \text{ સૌર દળ} = 8 \times 10^{11} \times 2.0 \times 10^{30} \text{ kg} = 16 \times 10^{41} \text{ kg}$.
ગેલેક્સીઓ વચ્ચેનું અંતર,$d = 2 \times 10^6 \text{ પ્રકાશવર્ષ} = 2 \times 10^6 \times 10^{16} \text{ m} = 2 \times 10^{22} \text{ m}$.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,$F = \frac{G m^2}{d^2}$.
ગેલેક્સીનો પ્રવેગ,$a = \frac{F}{m} = \frac{G m}{d^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{10^{-10} \times (16 \times 10^{41})}{(2 \times 10^{22})^2} = \frac{16 \times 10^{31}}{4 \times 10^{44}} = 4 \times 10^{-13} \text{ m/s}^2$.

(A) સીમિત દળ ધરાવતા તટસ્થ કણ દ્વારા અનુભવાતું લાંબા અંતરનું બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
આ બ્રહ્માંડમાં દરેક પદાર્થ બીજા પદાર્થને એવા બળથી આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકાર ($m_1$ અને $m_2$) ના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતર $(r)$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આ બળનું સૂત્ર $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અનંત અંતર સુધી કાર્ય કરે છે અને તે માત્ર દળ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે તટસ્થ કણો પર લાંબા અંતરે કાર્ય કરતું એકમાત્ર મૂળભૂત બળ છે.

(C) પ્રકૃતિમાં રહેલા ચાર મૂળભૂત બળો,તેમની સાપેક્ષ શક્તિના ઘટતા ક્રમમાં નીચે મુજબ છે:
$1$. પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ $(S)$: સૌથી પ્રબળ બળ,જે ન્યુક્લિયોન્સ વચ્ચે કાર્ય કરે છે.
$2$. વિદ્યુતચુંબકીય બળ $(E)$: વીજભારિત કણો વચ્ચે કાર્ય કરે છે.
$3$. નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ $(W)$: રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રક્રિયાઓ માટે જવાબદાર છે.
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(G)$: સૌથી નિર્બળ બળ,જે તમામ દ્રવ્યમાન ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચે કાર્ય કરે છે.
તેમની સાપેક્ષ તીવ્રતાની સરખામણી કરતા,આપણને $S > E > W > G$ મળે છે.
તેથી,સાચું વિધાન $S > E > W > G$ છે.

(C) ધારો કે સળિયો $x$-અક્ષ પર છે,જેનો નજીકનો છેડો બિંદુવત દળ '$m$' થી '$r$' અંતરે અને દૂરનો છેડો '$r+L$' અંતરે છે.
સળિયા પર '$x$' અંતરે '$dx$' લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટકનું દળ $dm = \lambda dx = \frac{M}{L} dx$ છે.
આ ઘટક દ્વારા બિંદુવત દળ '$m$' પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ '$dF$' નીચે મુજબ છે:
$dF = \frac{G m dm}{x^2} = \frac{G m (M/L) dx}{x^2} = \frac{G M m}{L} \frac{dx}{x^2}$.
કુલ બળ '$F$' શોધવા માટે,આપણે '$dF$' નું $x = r$ થી $x = r + L$ સુધી સંકલન કરીશું:
$F = \int_{r}^{r+L} \frac{G M m}{L} \frac{dx}{x^2} = \frac{G M m}{L} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{r}^{r+L}$.
$F = \frac{G M m}{L} \left( -\frac{1}{r+L} - (-\frac{1}{r}) \right) = \frac{G M m}{L} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+L} \right)$.
$F = \frac{G M m}{L} \left( \frac{r+L-r}{r(r+L)} \right) = \frac{G M m}{L} \left( \frac{L}{r(r+L)} \right) = \frac{G M m}{r(r+L)}$.

(C) $r$ અંતરે રહેલા $m_{1}$ અને $m_{2}$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$m_{1}$ દળ પર લાગતું બળ $F = m_{1} a_{1}$ છે,જ્યાં $a_{1}$ એ $m_{1}$ નો પ્રવેગ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$m_{1} a_{1} = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
$a_{1} = \frac{G m_{2}}{r^{2}}$
અહીં $G$ અને $r$ અચળ હોવાથી,$a_{1} \propto m_{2}$ મળે છે.
તે જ રીતે,$m_{2}$ દળ માટે,$a_{2} = \frac{G m_{1}}{r^{2}}$,જે સૂચવે છે કે $a_{2} \propto m_{1}$.

(A) $r$ અંતરે રહેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m_1 = m$ અને $m_2 = (M - m)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$F = \frac{G m(M - m)}{r^2} = \frac{G}{r^2} (Mm - m^2)$ મળે છે.
બળ મહત્તમ હોવા માટે,$F$ નું $m$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\frac{dF}{dm} = 0$.
$\frac{d}{dm} [\frac{G}{r^2} (Mm - m^2)] = 0$.
$\frac{G}{r^2} (M - 2m) = 0$.
અહીં $\frac{G}{r^2} \neq 0$ હોવાથી,$M - 2m = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $m = \frac{M}{2}$.
આમ,બીજા ટુકડાનું દળ $(M - m) = M - \frac{M}{2} = \frac{M}{2}$ થાય છે.
દળનો ગુણોત્તર $\frac{m}{M-m} = \frac{M/2}{M/2} = \frac{1}{1}$ મળે છે.