पृथ्वी की सतह के निकट एक पृथ्वी उपग्रह का परिक्रमण काल $83$ मिनट है। पृथ्वी की सतह से तीन पृथ्वी त्रिज्याओं की दूरी पर कक्षा में स्थित दूसरे उपग्रह का परिक्रमण काल .......... $\min$ होगा।

एक वस्तु को पृथ्वी की सतह से $3R$ की ऊँचाई से $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{GM}{R}}$ की गति से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है (जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या और $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है)। तो वस्तु:

एक पिंड $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में एक केंद्रीय बल के प्रभाव में गति करता है। केंद्रीय बल के कारण विभव $V(r) = kr$ ($k$ एक धनात्मक स्थिरांक है) द्वारा दिया गया है। पिंड का परिक्रमण काल किसके समानुपाती है?

दो उपग्रह $A$ और $B$ एक ग्रह के चारों ओर क्रमशः $4R$ और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कक्षाओं में चक्कर लगाते हैं। यदि उपग्रह $A$ की चाल $3v$ है,तो उपग्रह $B$ की चाल क्या होगी?

एक ग्रह सूर्य के चारों ओर एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा कर रहा है। सूर्य से इसकी निकटतम दूरी $r_{min}$ है और सूर्य से इसकी अधिकतम दूरी $r_{max}$ है। यदि सूर्य के निकटतम होने पर ग्रह का कोणीय वेग $\omega$ है,तो सूर्य से अधिकतम दूरी पर स्थित बिंदु पर इसका कोणीय वेग क्या होगा?

यदि एक उपग्रह को पृथ्वी के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ में हर $6 \text{ घंटे}$ में परिक्रमा करनी है, तो उपग्रह को पृथ्वी की सतह से कितनी दूरी पर रखा जाना चाहिए ($\text{ km}$ में)? (पृथ्वी की त्रिज्या $R_e = 6400 \text{ km}$)
(मान लीजिए $\frac{GM}{4\pi^2} = 8 \times 10^{12} \text{ m}^3\text{s}^{-2}$, जहाँ $G$ और $M$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक और पृथ्वी का द्रव्यमान हैं, और $10^{1/3} = 2.1$)