एक क्रिकेट फील्डर क्रिकेट की गेंद को $v_{0}$ की गति से फेंक सकता है। यदि वह $u$ गति से दौड़ते हुए क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर गेंद फेंकता है,तो ज्ञात कीजिए:
$(a)$ प्रेक्षक द्वारा देखी गई हवा में गेंद के प्रक्षेपण का क्षैतिज के साथ प्रभावी कोण।
$(b)$ उड़ान का समय (Time of flight)।
$(c)$ प्रक्षेपण बिंदु से वह दूरी (क्षैतिज परास) जहाँ गेंद गिरेगी।
$(d)$ वह कोण $\theta$ ज्ञात कीजिए जिस पर उसे गेंद फेंकनी चाहिए ताकि $(c)$ में प्राप्त क्षैतिज परास अधिकतम हो।
$(e)$ यदि $u > v_{0}$,$u = v_{0}$,और $u < v_{0}$ हो,तो अधिकतम परास के लिए $\theta$ कैसे बदलता है?
$(f)$ $(e)$ में प्राप्त $\theta$ की तुलना $u = 0$ (अर्थात $45^{\circ}$) के लिए कोण से कैसे की जाती है?

(D) मान लीजिए फील्डर का वेग $\vec{u} = u\hat{i}$ है और फील्डर के सापेक्ष गेंद का वेग $\vec{v}_{rel} = v_{0}\cos\theta\hat{i} + v_{0}\sin\theta\hat{j}$ है।
$(a)$ जमीन के सापेक्ष गेंद का वेग $\vec{v} = (u + v_{0}\cos\theta)\hat{i} + (v_{0}\sin\theta)\hat{j}$ है। प्रभावी कोण $\alpha$ को $\tan\alpha = \frac{v_{0}\sin\theta}{u + v_{0}\cos\theta}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{v_{0}\sin\theta}{u + v_{0}\cos\theta}\right)$।
$(b)$ वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_{y} = v_{0}\sin\theta$ है। उड़ान का समय $T = \frac{2v_{y}}{g} = \frac{2v_{0}\sin\theta}{g}$ है।
$(c)$ क्षैतिज परास $R = v_{x}T = (u + v_{0}\cos\theta)\left(\frac{2v_{0}\sin\theta}{g}\right) = \frac{2uv_{0}\sin\theta + v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}$ है।
$(d)$ $R$ को अधिकतम करने के लिए,$\frac{dR}{d\theta} = 0$ रखें: $\frac{d}{d\theta}\left[\frac{2uv_{0}\sin\theta + v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}\right] = 0 \Rightarrow 2uv_{0}\cos\theta + 2v_{0}^{2}\cos(2\theta) = 0 \Rightarrow v_{0}\cos(2\theta) = -u\cos\theta$।
$(e)$ $v_{0}(2\cos^{2}\theta - 1) = -u\cos\theta$ को हल करने पर,हमें $2v_{0}\cos^{2}\theta + u\cos\theta - v_{0} = 0$ प्राप्त होता है। $\cos\theta$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $\cos\theta = \frac{-u + \sqrt{u^{2} + 8v_{0}^{2}}}{4v_{0}}$। जैसे-जैसे $u$ बढ़ता है,$\cos\theta$ घटता है,जिसका अर्थ है कि $\theta$ बढ़ता है।
$(f)$ $u=0$ के लिए,$\theta = 45^{\circ}$। यदि $u > 0$ है,तो अतिरिक्त क्षैतिज वेग $u$ की भरपाई करने के लिए $\theta < 45^{\circ}$ होना चाहिए।