Resolution of a Vector into Rectangular Components Questions in Gujarati

(B) પ્રારંભિક સદિશ $\vec{A} = 4\hat{i} + 10\hat{j}$ છે.
સદિશનું માન $|\vec{A}| = \sqrt{(4)^2 + (10)^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} \,m$ છે.
જ્યારે સદિશને ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું માન અચળ રહે છે.
ધારો કે નવો સદિશ $\vec{A}' = 8\hat{i} + n\hat{j}$ છે, જ્યાં $x$-ઘટક બમણો $(4 \times 2 = 8)$ થાય છે.
માન સમાન હોવાથી, $|\vec{A}'| = |\vec{A}|$.
$\sqrt{8^2 + n^2} = \sqrt{116}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $64 + n^2 = 116$ મળે છે.
$n^2 = 116 - 64 = 52$.
$n = \sqrt{52} \approx 7.21 \,m$.
આમ, નવો $y$-ઘટક આશરે $7.2 \,m$ છે.

(C) ધારો કે $\overrightarrow{B} = \hat{i} - \hat{j}$.
સદિશ $\overrightarrow{A}$ નો $\overrightarrow{B}$ ની દિશામાં ઘટક શોધવા માટે,આપણે $\overrightarrow{A}$ નો $\overrightarrow{B}$ ની દિશાના એકમ સદિશ પરનો અદિશ પ્રક્ષેપ ગણીએ છીએ.
$\overrightarrow{B}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{b} = \frac{\overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{B}|} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$ છે.
$\overrightarrow{A}$ નો $\overrightarrow{B}$ ની દિશામાં ઘટક $\overrightarrow{A} \cdot \hat{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{A} \cdot \hat{b} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \cdot \left( \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right)$.
$= \frac{a_x(1) + a_y(-1) + a_z(0)}{\sqrt{2}} = \frac{a_x - a_y}{\sqrt{2}}$.

(A) સદિશ $\overrightarrow{p}$ નું માન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|\overrightarrow{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2}$.
આપેલ છે કે, $|\overrightarrow{p}| = 25 \text{ units}$ અને $p_y = 7 \text{ units}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $25 = \sqrt{p_x^2 + 7^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25^2 = p_x^2 + 7^2$.
$625 = p_x^2 + 49$.
$p_x^2 = 625 - 49 = 576$.
વર્ગમૂળ લેતા: $p_x = \sqrt{576} = 24 \text{ units}$.
તેથી, $x$-ઘટક $24 \text{ units}$ છે.

(A) ધારો કે સદિશ $\vec{A}$ નું મૂલ્ય $A$ છે.
આપેલ છે કે સદિશ $\vec{A}$ નો $y$-ઘટક $A_y = 3.0 \ m$ છે.
ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ એ ધન $y$-અક્ષથી ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં માપવામાં આવે છે.
સદિશના ઘટકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$y$-ઘટક $A_y = A \cos(\theta)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3.0 = A \cos(30^{\circ})$.
કારણ કે $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $3.0 = A \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$A$ માટે ઉકેલતા: $A = \frac{3.0 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \ m$.

$(A) \text{ પરિણામી બળ શોધવા માટે, આપણે દરેક બળને તેના } X \text{ અને } Y \text{ ઘટકોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ。}$
$X\text{-ઘટકો:}$
$\Sigma F_x = 19 + 15 \cos 60^{\circ} - 16 \cos 45^{\circ} - 11 \cos 30^{\circ}$
$\Sigma F_x = 19 + 15(0.5) - 16(0.707) - 11(0.866)$
$\Sigma F_x = 19 + 7.5 - 11.312 - 9.526 = 5.662 \,N$
$\text{Y-ઘટકો:}$
$\Sigma F_y = 15 \sin 60^{\circ} + 16 \sin 45^{\circ} - 11 \sin 30^{\circ} - 22$
$\Sigma F_y = 15(0.866) + 16(0.707) - 11(0.5) - 22$
$\Sigma F_y = 12.99 + 11.312 - 5.5 - 22 = -3.198 \,N$
$\text{પરિણામી બળ } R = \sqrt{(\Sigma F_x)^2 + (\Sigma F_y)^2} = \sqrt{(5.662)^2 + (-3.198)^2} \approx \sqrt{32.06 + 10.23} \approx \sqrt{42.29} \approx 6.5 \,N$.
$\text{દિશા } \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\Sigma F_y}{\Sigma F_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-3.198}{5.662}\right) \approx \tan^{-1}(-0.565) \approx -29.5^{\circ} \approx 330.5^{\circ}$.
$\text{આમ, પરિણામી બળ આશરે } 6.5 \,N \text{ અને } 330^{\circ} \text{ ના ખૂણે છે。}$

(D) વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને $X$ અને $Y$ અક્ષ પરના લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
આપેલ મૂલ્ય $v = 10 \ m/s$ અને ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$v_x = v \cos \theta = 10 \cos 60^{\circ} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \ m/s$
$v_y = v \sin \theta = 10 \sin 60^{\circ} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \ m/s$
આમ,વેગ સદિશ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = 5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$ થાય.