Addition and Subtraction of Vectors Questions in Hindi

(A) माना प्रारंभिक सदिश $\overrightarrow{A_{1}} = \overrightarrow{A}$ है।
चूंकि दिशा उलट दी गई है,इसलिए अंतिम सदिश $\overrightarrow{A_{2}} = -\overrightarrow{A}$ होगा।
$(i)$ सदिश में परिवर्तन इस प्रकार है:
$\Delta \overrightarrow{A} = \overrightarrow{A_{2}} - \overrightarrow{A_{1}}$
$\Delta \overrightarrow{A} = -\overrightarrow{A} - \overrightarrow{A} = -2\overrightarrow{A}$.
$(ii)$ सदिश में परिवर्तन का परिमाण:
$|\Delta \overrightarrow{A}| = |-2\overrightarrow{A}| = 2|\overrightarrow{A}| = 2A$.

(A) सदिश योग के बहुभुज नियम के अनुसार,यदि कई सदिशों को एक बंद बहुभुज की भुजाओं द्वारा एक ही क्रम में दर्शाया जाता है,तो उनका परिणामी सदिश शून्य होता है।
दिए गए चित्र में,पाँच सदिश $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D},$ और $\vec{E}$ को चक्रीय क्रम में व्यवस्थित किया गया है जो एक बंद नियमित पंचकोण बनाते हैं।
इसलिए,परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D} + \vec{E} = 0$.
परिणामी सदिश का परिमाण $0$ है।

(C) परिणामी बल $\overrightarrow{F}$ कण पर कार्य करने वाले सभी व्यक्तिगत बलों का सदिश योग है।
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} + \overrightarrow{F_4}$
$\overrightarrow{F} = (3\hat{i} - \hat{j} + 9\hat{k}) + (2\hat{i} - 2\hat{j} + 16\hat{k}) + (9\hat{i} + \hat{j} + 18\hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j} - 18\hat{k})$
घटकों को जोड़ने पर:
$x$-घटक: $3 + 2 + 9 + 1 = 15$
$y$-घटक: $-1 - 2 + 1 + 2 = 0$
$z$-घटक: $9 + 16 + 18 - 18 = 25$
अतः,$\overrightarrow{F} = 15\hat{i} + 0\hat{j} + 25\hat{k}$।
चूंकि $y$-घटक $0$ है,इसलिए कण उस तल में गति करेगा जहाँ $y = 0$ है,जो कि $xz$-तल है।

(A-II, B-III, C-I, D-IV) सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,जहाँ परिणामी सदिश वह है जो अन्य दो सदिशों को शीर्ष-से-पूंछ जोड़कर त्रिभुज को बंद करता है।
$(a) \vec a + \vec b = \vec c$ के लिए,सदिशों $\vec a$ और $\vec b$ को शीर्ष-से-पूंछ जोड़ा जाना चाहिए,और $\vec c$ परिणामी सदिश है। चित्र $(ii)$ में,$\vec a$ $+X$ दिशा में है,$\vec b$ $+Y$ दिशा में है,और $\vec c$ परिणामी सदिश है। अतः,$(a) \rightarrow (ii)$.
$(b) \vec a - \vec c = \vec b$ के लिए,हम $\vec a = \vec b + \vec c$ लिख सकते हैं। चित्र $(iii)$ में,$\vec c$ $+X$ दिशा में है,$\vec a$ $+Y$ दिशा में है,और $\vec b$ $\vec c$ के शीर्ष को $\vec a$ के शीर्ष से जोड़ता है। अतः,$\vec c + \vec b = \vec a$,जिसका अर्थ है कि $\vec a - \vec c = \vec b$। अतः,$(b) \rightarrow (iii)$.
$(c) \vec b - \vec a = \vec c$ के लिए,हम $\vec b = \vec a + \vec c$ लिख सकते हैं। चित्र $(i)$ में,$\vec a$ $+Y$ दिशा में है,$\vec c$ $+X$ दिशा में है,और $\vec b$ परिणामी सदिश है। अतः,$(c) \rightarrow (i)$.
$(d) \vec a + \vec b + \vec c = 0$ के लिए,सदिशों को एक बंद लूप बनाना चाहिए। चित्र $(iv)$ में,$\vec a$ $-X$ दिशा में है,$\vec b$ $-Y$ दिशा में है,और $\vec c$ लूप को बंद करने वाला सदिश है। अतः,$(d) \rightarrow (iv)$.

(B) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का परिणामी $R$,$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ उनके बीच का कोण है।
परिणामी को अधिकतम होने के लिए,$\cos \theta$ को अधिकतम होना चाहिए,अर्थात $\cos \theta = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = 0^o$। अतः,$(1-c)$।
परिणामी को न्यूनतम होने के लिए,$\cos \theta$ को न्यूनतम होना चाहिए,अर्थात $\cos \theta = -1$,जिसका अर्थ है $\theta = 180^o$। अतः,$(2-a)$।
इसलिए,सही मिलान $(1-c), (2-a)$ है।

(D) दो सदिशों के योग का परिमाण $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,दो सदिशों के अंतर का परिमाण $|\vec{A}-\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$,इसलिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}-\vec{B}|^2$ प्राप्त होता है।
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से समान पदों $|\vec{A}|^2$ और $|\vec{B}|^2$ को हटाने पर,$2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = -2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$4|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि सदिश शून्य नहीं हैं,$|\vec{A}| \neq 0$ और $|\vec{B}| \neq 0$,इसलिए $\cos \theta = 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$।

(C) दी गई आकृति से,$\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
$\overrightarrow{A}$ और $(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B})$ के बीच का कोण $\beta$ ज्ञात करने के लिए,हम सदिश घटाव $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + (-\overrightarrow{B})$ पर विचार करते हैं।
$\overrightarrow{A}$ और $(-\overrightarrow{B})$ के बीच का कोण $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
परिणामी सदिश का $\overrightarrow{A}$ के साथ कोण $\beta$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\tan \beta = \frac{|-\overrightarrow{B}| \sin(120^{\circ})}{A + |-\overrightarrow{B}| \cos(120^{\circ})}$
चूंकि $|-\overrightarrow{B}| = B$,इसलिए:
$\tan \beta = \frac{B \sin(120^{\circ})}{A + B \cos(120^{\circ})}$
$\sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$\tan \beta = \frac{B(\sqrt{3}/2)}{A + B(-1/2)} = \frac{\sqrt{3}B}{2A - B}$
अतः,$\beta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}B}{2A - B}\right)$.

(B) माना $\overrightarrow{A} = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{Q}$ और $\overrightarrow{B} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{Q}$ है। चूँकि $\overrightarrow{P} \perp \overrightarrow{Q}$ है,इसलिए परिमाण $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}| = \sqrt{P^{2} + Q^{2}}$ होंगे।
परिणामी का परिमाण $R = \sqrt{|\overrightarrow{A}|^{2} + |\overrightarrow{B}|^{2} + 2|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}| \cos \theta} = \sqrt{2(P^{2} + Q^{2}) + 2(P^{2} + Q^{2}) \cos \theta} = \sqrt{2(P^{2} + Q^{2})(1 + \cos \theta)}$ है।
$\theta_{1}$ के लिए,$R_{1} = \sqrt{3(P^{2} + Q^{2})} \implies 2(1 + \cos \theta_{1}) = 3 \implies \cos \theta_{1} = 0.5 \implies \theta_{1} = 60^{\circ}$ है।
$\theta_{2}$ के लिए,$R_{2} = \sqrt{2(P^{2} + Q^{2})} \implies 2(1 + \cos \theta_{2}) = 2 \implies \cos \theta_{2} = 0 \implies \theta_{2} = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $60^{\circ} < 90^{\circ}$ है,इसलिए $\theta_{1} < \theta_{2}$ सही है। अतः,दोनों कथन सही हैं।

(A) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,यदि दो सदिशों को एक त्रिभुज की दो भुजाओं द्वारा क्रम में दर्शाया जाता है,तो उनका योग तीसरी भुजा द्वारा विपरीत क्रम में दर्शाया जाता है।
$(a)$ $\vec{C} - \vec{A} - \vec{B} = 0 \implies \vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$। यह आरेख (iv) के अनुरूप है जहाँ $\vec{A}$ और $\vec{B}$ क्रम में हैं और $\vec{C}$ विपरीत क्रम में परिणामी सदिश है।
$(b)$ $\vec{A} - \vec{C} - \vec{B} = 0 \implies \vec{A} = \vec{B} + \vec{C}$। यह आरेख $(i)$ के अनुरूप है जहाँ $\vec{B}$ और $\vec{C}$ क्रम में हैं और $\vec{A}$ परिणामी सदिश है।
$(c)$ $\vec{B} - \vec{A} - \vec{C} = 0 \implies \vec{B} = \vec{A} + \vec{C}$। यह आरेख (ii) के अनुरूप है जहाँ $\vec{A}$ और $\vec{C}$ क्रम में हैं और $\vec{B}$ परिणामी सदिश है।
$(d)$ $\vec{A} + \vec{B} = -\vec{C} \implies \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$। यह आरेख (iii) के अनुरूप है जहाँ सभी सदिश एक चक्रीय क्रम में हैं।
अतः,सही मिलान $(a) \rightarrow (iv), (b) \rightarrow (i), (c) \rightarrow (iii), (d) \rightarrow (ii)$ है।

(B) दो इकाई सदिशों $\hat{A}$ और $\hat{B}$ के लिए जिनके बीच का कोण $\theta$ है:
$|\hat{A}+\hat{B}| = \sqrt{|\hat{A}|^2 + |\hat{B}|^2 + 2|\hat{A}||\hat{B}| \cos \theta} = \sqrt{1+1+2 \cos \theta} = \sqrt{2(1+\cos \theta)} = \sqrt{2(2 \cos^2 \frac{\theta}{2})} = 2 \cos \frac{\theta}{2}$.
$|\hat{A}-\hat{B}| = \sqrt{|\hat{A}|^2 + |\hat{B}|^2 - 2|\hat{A}||\hat{B}| \cos \theta} = \sqrt{1+1-2 \cos \theta} = \sqrt{2(1-\cos \theta)} = \sqrt{2(2 \sin^2 \frac{\theta}{2})} = 2 \sin \frac{\theta}{2}$.
दोनों परिमाणों को विभाजित करने पर:
$\frac{|\hat{A}-\hat{B}|}{|\hat{A}+\hat{B}|} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2}}{2 \cos \frac{\theta}{2}} = \tan \frac{\theta}{2}$.
अतः,$|\hat{A}-\hat{B}| = |\hat{A}+\hat{B}| \tan \frac{\theta}{2}$.

(C) माना सदिशों $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के परिमाण $A = B = a$ हैं।
योग का परिमाण $|\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \theta} = 2a \cos(\theta/2)$ द्वारा दिया जाता है।
अंतर का परिमाण $|\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2 \cos \theta} = 2a \sin(\theta/2)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$|\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}| = 2|\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}|$.
मान रखने पर,$2a \cos(\theta/2) = 2(2a \sin(\theta/2))$.
इससे,$\cos(\theta/2) = 2 \sin(\theta/2)$,अर्थात $\tan(\theta/2) = 1/2$.
सर्वसमिका $\cos \theta = \frac{1 - \tan^2(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\cos \theta = \frac{1 - (1/2)^2}{1 + (1/2)^2} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(3/5)$।

(B) दिया गया सदिश समीकरण: $\vec{P} + \vec{Q} = \vec{0}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हम समीकरण के दोनों पक्षों से $\vec{Q}$ घटाते हैं।
इससे हमें प्राप्त होता है: $\vec{P} = -\vec{Q}$।
इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{P}$,सदिश $\vec{Q}$ के परिमाण में समान है लेकिन दिशा में विपरीत है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\vec{P}+\vec{Q} = \vec{P}-\vec{Q}$.
समीकरण के दोनों पक्षों से $\vec{P}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{Q} = -\vec{Q}$.
दोनों पक्षों में $\vec{Q}$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2\vec{Q} = \vec{0}$.
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{Q} = \vec{0}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) विस्थापन सदिश $\vec{d}$,अंतिम स्थिति सदिश $\vec{r}_f$ और प्रारंभिक स्थिति सदिश $\vec{r}_i$ के बीच का अंतर है।
दिया गया है $\vec{r}_i = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$ और $\vec{r}_f = 5 \hat{i} + 1 \hat{j}$।
$\vec{d} = \vec{r}_f - \vec{r}_i = (5 \hat{i} + 1 \hat{j}) - (2 \hat{i} + 4 \hat{j})$।
$\vec{d} = (5 - 2) \hat{i} + (1 - 4) \hat{j} = 3 \hat{i} - 3 \hat{j}$।
विस्थापन का परिमाण $|\vec{d}| = \sqrt{(3)^2 + (-3)^2}$ है।
$|\vec{d}| = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ इकाई।
अतः,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(B) माना दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं। परिणामी सदिश $\vec{R}$,$\vec{A}$ के लंबवत है।
दिया गया है कि $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $150^{\circ}$ है।
सदिश त्रिभुज की ज्यामिति से,$\vec{R}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
$\vec{A}$,$\vec{B}$ और $\vec{R}$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\tan 30^{\circ} = \frac{R}{A} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{A} \Rightarrow A = 10\sqrt{3}$.
साथ ही,$\sin 30^{\circ} = \frac{R}{B} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{10}{B} \Rightarrow B = 20$.
यहाँ सदिशों के परिमाण $A = 10\sqrt{3} \approx 17.32$ और $B = 20$ हैं। अतः छोटा सदिश $\vec{A}$ है जिसका परिमाण $10\sqrt{3}$ है।

(C) दो सदिशों $A$ और $B$ के बीच $\theta$ कोण होने पर उनका परिणामी बल $R$ ज्ञात करने का सूत्र: $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ है।
दिया गया है: $A = 8 \, N$,$B = 15 \, N$,और $R = 17 \, N$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$17^2 = 8^2 + 15^2 + 2(8)(15) \cos \theta$
$289 = 64 + 225 + 240 \cos \theta$
$289 = 289 + 240 \cos \theta$
दोनों पक्षों से $289$ घटाने पर:
$0 = 240 \cos \theta$
$\cos \theta = 0$
अतः,$\theta = 90^{\circ}$ होगा।

(A) दो सदिशों $A$ और $B$ का परिणामी बल $R$,$|A - B| \leq R \leq |A + B|$ की सीमा में होता है।
यहाँ $A = 10 \,N$ और $B = 6 \,N$ दिया गया है।
न्यूनतम परिणामी बल $|10 - 6| = 4 \,N$ है।
अधिकतम परिणामी बल $|10 + 6| = 16 \,N$ है।
अतः,परिणामी बल $4 \,N$ और $16 \,N$ के बीच (सहित) होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $15 \,N$ ही $[4 \,N, 16 \,N]$ की सीमा में आता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए कि दो इकाई सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं,जहाँ $|\vec{A}| = 1$ और $|\vec{B}| = 1$ है।
दिया गया है कि उनका योग $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ भी एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\vec{R}| = 1$ है।
परिणामी सदिश का परिमाण $|\vec{R}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \theta = 1^2$.
$2 + 2 \cos \theta = 1 \Rightarrow 2 \cos \theta = -1 \Rightarrow \cos \theta = -1/2$.
अतः,कोण $\theta = 120^{\circ}$ है।
अब,उनके अंतर का परिमाण $|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta}$ है।
मान रखने पर: $|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{1^2 + 1^2 - 2(1)(1) \cos 120^{\circ}}$.
चूंकि $\cos 120^{\circ} = -1/2$,इसलिए $|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{1 + 1 - 2(-1/2)} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$ है।
अतः,अंतर का परिमाण $\sqrt{3}$ और कोण $120^{\circ}$ है।

(D) मान लीजिए कि दो बल $\vec{F}_1$ और $\vec{F}_2$ हैं,जहाँ $|\vec{F}_1| = A$ और $|\vec{F}_2| = \frac{A}{2}$ है।
चूंकि बल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
परिणामी बल $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ का परिमाण इस प्रकार दिया जाता है:
$|\vec{F}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos 90^{\circ}}$
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ है,इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$|\vec{F}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{F}| = \sqrt{A^2 + \left(\frac{A}{2}\right)^2} = \sqrt{A^2 + \frac{A^2}{4}}$
$|\vec{F}| = \sqrt{\frac{4A^2 + A^2}{4}} = \sqrt{\frac{5A^2}{4}}$
$|\vec{F}| = \frac{\sqrt{5}A}{2}$

(B) दिया गया है कि $\vec{B} - \overrightarrow{A} = 2\hat{j}$।
समीकरण में $\overrightarrow{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ का मान रखने पर:
$\vec{B} - (2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) = 2\hat{j}$
$\vec{B} = 2\hat{j} + (2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k})$
$\vec{B} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$
सदिश $\vec{B}$ का परिमाण $|\vec{B}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{B}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 2^2}$
$|\vec{B}| = \sqrt{4 + 25 + 4}$
$|\vec{B}| = \sqrt{33}$

(D) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $\vec{V}_i = V(-\hat{j})$ (दक्षिण की ओर) है।
मान लीजिए अंतिम वेग $\vec{V}_f = V(\hat{i})$ (पूर्व की ओर) है।
वेग में परिवर्तन $\Delta\vec{V} = \vec{V}_f - \vec{V}_i$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\Delta\vec{V} = V\hat{i} - (-V\hat{j}) = V\hat{i} + V\hat{j}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बल $\vec{F} = m\vec{a} = m\frac{\Delta\vec{V}}{\Delta t}$ होता है,इसलिए बल की दिशा वेग में परिवर्तन $\Delta\vec{V}$ की दिशा के समान होती है।
सदिश $V\hat{i} + V\hat{j}$ उत्तर-पूर्व दिशा की ओर इंगित करता है।
अतः,बल उत्तर-पूर्व दिशा में कार्य करता है।

(C) दो सदिशों के योग का परिमाण $|\vec{A}+\vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A = B = R$ दिया गया है,इसलिए:
$|\vec{A}+\vec{B}| = \sqrt{R^2 + R^2 + 2R^2 \cos \theta} = \sqrt{2R^2(1 + \cos \theta)}$.
सर्वसमिका $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{A}+\vec{B}| = \sqrt{2R^2 \cdot 2 \cos^2(\theta/2)} = \sqrt{4R^2 \cos^2(\theta/2)} = 2R \cos(\theta/2)$.
इसी प्रकार,दो सदिशों के अंतर के लिए:
$|\vec{A}-\vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta} = \sqrt{2R^2(1 - \cos \theta)}$.
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{A}-\vec{B}| = \sqrt{2R^2 \cdot 2 \sin^2(\theta/2)} = 2R \sin(\theta/2)$.
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही है।

(A) माना छोटे बल का परिमाण $|\vec{F}_1| = F$ है।
तब बड़े बल का परिमाण $|\vec{F}_2| = 3F$ है।
परिणामी बल $\vec{F}_R$ का परिमाण बड़े बल के बराबर है,इसलिए $|\vec{F}_R| = 3F$ है।
परिणामी परिमाण का सूत्र $F_R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ दोनों बलों के बीच का कोण है।
मान रखने पर: $(3F)^2 = F^2 + (3F)^2 + 2(F)(3F) \cos \theta$.
$9F^2 = F^2 + 9F^2 + 6F^2 \cos \theta$.
$9F^2 = 10F^2 + 6F^2 \cos \theta$.
$-F^2 = 6F^2 \cos \theta$.
$\cos \theta = -\frac{1}{6}$.
इसे $\cos \theta = \frac{1}{n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = -6$ प्राप्त होता है।
अतः,$|n| = |-6| = 6$।

(A) मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{A} = (2 \vec{Q} + 2 \vec{P})$ और $\vec{B} = (2 \vec{Q} - 2 \vec{P})$ हैं।
परिणामी सदिश $\vec{R}$ इन दो सदिशों का योग है:
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (2 \vec{Q} + 2 \vec{P}) + (2 \vec{Q} - 2 \vec{P})$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\vec{R} = 2 \vec{Q} + 2 \vec{Q} + 2 \vec{P} - 2 \vec{P} = 4 \vec{Q}$.
चूंकि परिणामी सदिश $\vec{R} = 4 \vec{Q}$,सदिश $\vec{Q}$ का एक धनात्मक स्थिरांक $(4)$ के साथ गुणनफल है,इसलिए सदिश $\vec{R}$ उसी दिशा में है जिस दिशा में $\vec{Q}$ है।
अतः,सदिश $\vec{Q}$ और परिणामी सदिश $\vec{R}$ के बीच का कोण $0^{\circ}$ है।

(C) माना परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ है।
दिया गया है कि $\vec{R} \perp \vec{A}$,इसलिए $\vec{R}$ और $\vec{A}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
ज्यामितीय रूप से,यदि $\vec{R}$,$\vec{A}$ के लंबवत है,तो $\vec{B}$ का $\vec{A}$ के लंबवत घटक परिणामी सदिश $\vec{R}$ के परिमाण के बराबर होगा।
चित्र से,$\cos \theta = \frac{R}{B} = \frac{B/2}{B} = \frac{1}{2}$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{B}$ और लंबवत दिशा के बीच का कोण है।
अतः,$\theta = 60^{\circ}$।
इसलिए,$\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कुल कोण $90^{\circ} + 60^{\circ} = 150^{\circ}$ है।

(B) दिया गया है $\vec{A} = a \hat{i}$ और $\vec{B} = a \cos \omega t \hat{i} + a \sin \omega t \hat{j}$।
$\vec{A} + \vec{B} = a(1 + \cos \omega t) \hat{i} + a \sin \omega t \hat{j}$।
$|\vec{A} + \vec{B}|^2 = a^2(1 + \cos \omega t)^2 + a^2 \sin^2 \omega t = a^2(1 + 2 \cos \omega t + \cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t) = a^2(2 + 2 \cos \omega t) = 4a^2 \cos^2(\omega t / 2)$।
अतः,$|\vec{A} + \vec{B}| = 2a \cos(\omega t / 2)$।
इसी प्रकार,$\vec{A} - \vec{B} = a(1 - \cos \omega t) \hat{i} - a \sin \omega t \hat{j}$।
$|\vec{A} - \vec{B}|^2 = a^2(1 - \cos \omega t)^2 + a^2 \sin^2 \omega t = a^2(1 - 2 \cos \omega t + \cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t) = a^2(2 - 2 \cos \omega t) = 4a^2 \sin^2(\omega t / 2)$।
अतः,$|\vec{A} - \vec{B}| = 2a \sin(\omega t / 2)$।
दिया गया है $|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{3}|\vec{A} - \vec{B}|$,इसलिए $2a \cos(\omega t / 2) = \sqrt{3} \cdot 2a \sin(\omega t / 2)$।
$\tan(\omega t / 2) = 1 / \sqrt{3}$।
$\omega t / 2 = \pi / 6 \implies \omega t = \pi / 3$।
चूंकि $\omega = \pi / 6 \text{ rad s}^{-1}$,हमें प्राप्त होता है $(\pi / 6) \cdot t = \pi / 3$।
अतः,$t = 2 \text{ s}$।

(A) चित्र से,सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
मान लीजिए $\vec{A} = 3\vec{a}$ और $\vec{B} = 2\vec{b}$ है।
तब $|\vec{A}| = 3|\vec{a}| = 3(2) = 6$ और $|\vec{B}| = 2|\vec{b}| = 2(3) = 6$ होगा।
परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ का परिमाण इस प्रकार दिया जाता है:
$|\vec{R}| = \sqrt{|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta}$
$|\vec{R}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + 2(6)(6) \cos(120^{\circ})}$
चूंकि $\cos(120^{\circ}) = -1/2$ है:
$|\vec{R}| = \sqrt{36 + 36 + 72(-1/2)}$
$|\vec{R}| = \sqrt{72 - 36} = \sqrt{36} = 6$.

(A) सबसे पहले,सदिशों का योग $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ज्ञात करें।
$\vec{R} = (4\hat{i} - \hat{j}) + (-3\hat{i} + 2\hat{j}) + (-\hat{k})$
$\vec{R} = (4 - 3)\hat{i} + (-1 + 2)\hat{j} - \hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
इसके बाद,परिणामी सदिश $\vec{R}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{R}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
$\vec{R}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u}$,$\hat{u} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\hat{u} = \frac{\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$.

(B) मान लीजिए कि सदिशों $\overrightarrow{P}$ और $\overrightarrow{Q}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
सदिश योग के नियम के अनुसार,परिणामी $R_{1}$ का परिमाण इस प्रकार है:
$R_{1}^{2} = P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos \theta$ --- $(1)$
जब $\overrightarrow{Q}$ की दिशा उलट दी जाती है,तो नया सदिश $-\overrightarrow{Q}$ प्राप्त होता है। $\overrightarrow{P}$ और $-\overrightarrow{Q}$ के बीच का कोण $(\pi - \theta)$ हो जाता है।
नए परिणामी $R_{2}$ का परिमाण इस प्रकार है:
$R_{2}^{2} = P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos(\pi - \theta)$
चूंकि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए:
$R_{2}^{2} = P^{2} + Q^{2} - 2PQ \cos \theta$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$R_{1}^{2} + R_{2}^{2} = (P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos \theta) + (P^{2} + Q^{2} - 2PQ \cos \theta)$
$R_{1}^{2} + R_{2}^{2} = 2(P^{2} + Q^{2})$

(C) दिया गया है कि तीनों सदिशों का परिमाण समान है,$A = B = C$।
प्रथम स्थिति में,$\vec{A}$ और $\vec{C}$ के बीच का कोण $\alpha$ दिया गया है। चूंकि प्रथम स्थिति के लिए कोई विशिष्ट शर्त नहीं दी गई है,हम मानते हैं कि सदिश इस प्रकार व्यवस्थित हैं कि वे एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
दूसरी स्थिति में,$\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$ है। इसका अर्थ है कि जब सदिशों को एक-दूसरे के पीछे रखा जाता है,तो वे एक बंद समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
समबाहु त्रिभुज के आंतरिक कोण $60^{\circ}$ होते हैं।
हालाँकि,दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{C}$ के बीच का कोण उनकी पूंछों के बीच का कोण होता है।
यदि $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$ है,तो $\vec{A} + \vec{C} = -\vec{B}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{A} + \vec{C}|^2 = |-\vec{B}|^2$।
$A^2 + C^2 + 2AC \cos(\beta) = B^2$।
चूंकि $A = B = C$ है,इसलिए $A^2 + A^2 + 2A^2 \cos(\beta) = A^2$।
$2A^2 + 2A^2 \cos(\beta) = A^2$।
$2A^2 \cos(\beta) = -A^2$।
$\cos(\beta) = -1/2$।
अतः,$\beta = 120^{\circ}$।
प्रारंभिक स्थिति $\alpha$ सदिशों के बीच के कोण को दर्शाती है,जिसे सामान्यतः $60^{\circ}$ माना जाता है।
अतः,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{60^{\circ}}{120^{\circ}} = \frac{1}{2}$।

(A) माना सदिशों के परिमाण $A$ और $B$ हैं। दिया गया है कि $A + B = 8$,इसलिए $B = 8 - A$ है।
माना परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ है,जिसका परिमाण $R = 4$ है।
चूंकि परिणामी सदिश $\vec{R}$,$\vec{A}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{A}$ और $\vec{R}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर,हमें संबंध $B^2 = A^2 + R^2$ प्राप्त होता है।
$B = 8 - A$ और $R = 4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(8 - A)^2 = A^2 + 4^2$
$64 - 16A + A^2 = A^2 + 16$
$64 - 16 = 16A$
$48 = 16A$
$A = 3$।
अतः $B = 8 - 3 = 5$।
इस प्रकार,सदिशों के परिमाण $3$ और $5$ हैं।

(B) समान परिमाण $A$ वाले दो सदिशों के बीच $\theta$ कोण होने पर उनके परिणामी सदिश $R$ का परिमाण ज्ञात करने का सूत्र: $R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta}$ है।
यहाँ $R = \frac{2A}{3}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{2A}{3} = \sqrt{2A^2 + 2A^2 \cos \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{4A^2}{9} = 2A^2(1 + \cos \theta)$.
दोनों पक्षों को $2A^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{9} = 1 + \cos \theta$.
$\cos \theta$ के लिए हल करने पर:
$\cos \theta = \frac{2}{9} - 1 = \frac{2-9}{9} = -\frac{7}{9}$.
अतः,कोण $\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{7}{9}\right)$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि दिए गए सदिश $\vec{B} = (\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+2 \hat{k})$ और $\vec{C} = (-2 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-\hat{k})$ हैं।
इन सदिशों का योग $\vec{B} + \vec{C} = (1-2)\hat{\imath} + (-2+1)\hat{\jmath} + (2-1)\hat{k} = -\hat{\imath} - \hat{\jmath} + \hat{k}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) = \hat{\jmath}$ ($y$-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश)।
योग का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{A} + (-\hat{\imath} - \hat{\jmath} + \hat{k}) = \hat{\jmath}$।
$\vec{A}$ के लिए हल करने पर: $\vec{A} = \hat{\jmath} - (-\hat{\imath} - \hat{\jmath} + \hat{k}) = \hat{\jmath} + \hat{\imath} + \hat{\jmath} - \hat{k} = \hat{\imath} + 2\hat{\jmath} - \hat{k}$।
$\vec{A}$ का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ है।

(A) मान लीजिए कि दो बल $\vec{F_1}$ और $\vec{F_2}$ हैं,जहाँ $|\vec{F_1}| = |\vec{F_2}| = R$ है। परिणामी बल का परिमाण $|\vec{R_{res}}| = \sqrt{R^2 + R^2 + 2R^2 \cos \theta}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $|\vec{R_{res}}| = \frac{R}{2}$,इसलिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(\frac{R}{2}\right)^2 = R^2 + R^2 + 2R^2 \cos \theta$.
$\frac{R^2}{4} = 2R^2 + 2R^2 \cos \theta$.
$R^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{4} = 2 + 2 \cos \theta$.
$\frac{1}{4} - 2 = 2 \cos \theta$.
$-\frac{7}{4} = 2 \cos \theta$.
$\cos \theta = -\frac{7}{8}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(-\frac{7}{8}\right)$.

(A) माना प्रत्येक सदिश का परिमाण $A$ है। परिणामी सदिश $R$ भी $A$ के बराबर है।
दो सदिशों के परिणामी का सूत्र उपयोग करने पर: $R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2AA \cos \theta}$.
चूंकि $R = A$ दिया गया है,इसलिए $A = \sqrt{2A^2 + 2A^2 \cos \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $A^2 = 2A^2 + 2A^2 \cos \theta$.
$A^2$ से भाग देने पर: $1 = 2 + 2 \cos \theta$.
$2 \cos \theta = 1 - 2 = -1$.
$\cos \theta = -1/2$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(-0.5) = 120^{\circ}$.

(C) मान लीजिए सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं। परिणामी सदिश $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ है।
$\vec{C}$ का स्वयं के साथ डॉट गुणनफल लेने पर,हमें $C^2 = A^2 + B^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B}$ प्राप्त होता है।
जब $\vec{B}$ का परिमाण दोगुना किया जाता है,तो नया परिणामी सदिश $\vec{C}' = \vec{A} + 2\vec{B}$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि $\vec{C}'$,$\vec{A}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{A} \cdot \vec{C}' = 0$ होगा।
$\vec{A} \cdot (\vec{A} + 2\vec{B}) = 0 \implies A^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$।
इसका अर्थ है कि $2\vec{A} \cdot \vec{B} = -A^2$।
इस मान को $C^2$ के समीकरण में रखने पर:
$C^2 = A^2 + B^2 - A^2 = B^2$।
अतः,$\vec{C}$ का परिमाण $B$ है।

(B) दिया गया है कि सदिश $\vec{P}$ के घटक $P_x = 1$ और $P_y = 3$ हैं। अतः,$\vec{P} = 1\hat{i} + 3\hat{j}$ है।
माना परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ है। $\vec{R}$ के घटक $R_x = 5$ और $R_y = 6$ दिए गए हैं। अतः,$\vec{R} = 5\hat{i} + 6\hat{j}$ है।
हम जानते हैं कि $\vec{Q} = \vec{R} - \vec{P}$ होता है।
मान रखने पर: $\vec{Q} = (5\hat{i} + 6\hat{j}) - (1\hat{i} + 3\hat{j}) = (5-1)\hat{i} + (6-3)\hat{j} = 4\hat{i} + 3\hat{j}$।
$\vec{Q}$ का परिमाण $|\vec{Q}| = \sqrt{Q_x^2 + Q_y^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) मान लीजिए कि सदिशों $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
सदिश योग के नियम के अनुसार,परिणामी $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ है।
परिमाण का वर्ग $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$ है ... $(1)$
जब $\vec{Q}$ की दिशा उलट दी जाती है,तो नया सदिश $-\vec{Q}$ हो जाता है। नया परिणामी $\vec{S} = \vec{P} - \vec{Q}$ है।
परिमाण का वर्ग $S^2 = P^2 + Q^2 - 2PQ \cos \theta$ है ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$R^2 + S^2 = (P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta) + (P^2 + Q^2 - 2PQ \cos \theta)$
$R^2 + S^2 = 2(P^2 + Q^2)$
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं,जिनके परिमाण क्रमशः $A$ और $B$ हैं।
उनके योग का परिमाण इस प्रकार दिया गया है:
$|\vec{A}+\vec{B}| = \sqrt{A^{2}+B^{2}+2AB \cos \theta}$,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
उनके अंतर का परिमाण इस प्रकार दिया गया है:
$|\vec{A}-\vec{B}| = \sqrt{A^{2}+B^{2}-2AB \cos \theta}$.
दिया गया है कि $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$A^{2}+B^{2}+2AB \cos \theta = A^{2}+B^{2}-2AB \cos \theta$.
दोनों पक्षों से $A^{2}+B^{2}$ घटाने पर:
$2AB \cos \theta = -2AB \cos \theta$.
$4AB \cos \theta = 0$.
चूँकि $A$ और $B$ सदिशों के परिमाण हैं,$A \neq 0$ और $B \neq 0$,इसलिए $\cos \theta = 0$.
इसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$।

(D) प्रश्न के अनुसार,सदिश $P$ और $Q$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$P = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$
$Q = -6 \hat{i}$
अब,सदिश $(Q - P)$ की गणना करें:
$Q - P = (-6 \hat{i}) - (2 \hat{i} + 4 \hat{j})$
$Q - P = -6 \hat{i} - 2 \hat{i} - 4 \hat{j}$
$Q - P = -8 \hat{i} - 4 \hat{j}$
$-4$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$Q - P = -4(2 \hat{i} + \hat{j})$

(C) माना $\vec{P} = \vec{A} + \vec{B}$ और $\vec{Q} = \vec{A} - \vec{B}$ है।
परिणामी सदिश का परिमाण $|\vec{R}|^2 = |\vec{P}|^2 + |\vec{Q}|^2 + 2|\vec{P}||\vec{Q}| \cos \phi$ होता है।
दिया गया है कि $|\vec{R}|^2 = A^2 + B^2$ है।
सदिश योग के नियम का उपयोग करते हुए:
$A^2+B^2 = (A+B)^2 + (A-B)^2 + 2(A+B)(A-B) \cos \theta$.
$A^2+B^2 = 2(A^2+B^2) + 2(A^2-B^2) \cos \theta$.
अतः,$\cos \theta = \frac{-(A^2+B^2)}{2(A^2-B^2)}$.
इसलिए,$\theta = \cos ^{-1}\left[\frac{-(A^2+B^2)}{2(A^2-B^2)}\right]$.

(B) सबसे पहले,सदिशों के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें:
$A^2 = |\vec{A}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$
$B^2 = |\vec{B}|^2 = 1^2 + (-3)^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
$C^2 = |\vec{C}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-4)^2 = 4 + 1 + 16 = 21$
यहाँ हम देखते हैं कि $B^2 = A^2 + C^2$ $(35 = 14 + 21)$,जो समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अब,सदिश योग संबंध की जाँच करें:
$\vec{B} + \vec{C} = (1+2)\hat{i} + (-3+1)\hat{j} + (5-4)\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} = \vec{A}$
अतः,$\vec{A} = \vec{B} + \vec{C}$ और $B^2 = A^2 + C^2$ सही शर्त है।

(A) परिणामी सदिश $\vec{R}$,सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के योग द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (-2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 2 \hat{j} - 4 \hat{k})$
$\vec{R} = (-2 + 1) \hat{i} + (3 + 2) \hat{j} + (1 - 4) \hat{k} = -\hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$
अब,परिणामी सदिश $\vec{R}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{R}| = \sqrt{(-1)^2 + (5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}$
$\vec{R}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{R} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\hat{R} = \frac{-\hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}}{\sqrt{35}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta$ है। परिणामी $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ है।
जब $\vec{B}$ का परिमाण दोगुना किया जाता है,तो नया परिणामी $\vec{C}' = \vec{A} + 2\vec{B}$ हो जाता है।
दिया गया है कि $\vec{C}'$,$\vec{A}$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा: $\vec{A} \cdot (\vec{A} + 2\vec{B}) = 0$.
$A^2 + 2(\vec{A} \cdot \vec{B}) = 0 \implies A^2 + 2AB \cos \theta = 0$.
अतः,$2AB \cos \theta = -A^2$.
मूल परिणामी $\vec{C}$ का परिमाण $C^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण में $2AB \cos \theta = -A^2$ रखने पर:
$C^2 = A^2 + B^2 - A^2 = B^2$.
इसलिए,$\vec{C}$ का परिमाण $B$ है।

(A) सबसे पहले,सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का योग ज्ञात करें:
$\vec{A}+\vec{B} = (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}) + (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$
$\vec{A}+\vec{B} = (2+3) \hat{i} + (-3+1) \hat{j} + (1-2) \hat{k}$
$\vec{A}+\vec{B} = 5 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$
अब,$(\vec{A}+\vec{B})$ का $\vec{C}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) ज्ञात करें:
$(\vec{A}+\vec{B}) \cdot \vec{C} = (5 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$
गुणधर्म $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ और अन्य पदों का मान $0$ होता है,इसका उपयोग करते हुए:
$(\vec{A}+\vec{B}) \cdot \vec{C} = (5)(3) + (-2)(2) + (-1)(1)$
$(\vec{A}+\vec{B}) \cdot \vec{C} = 15 - 4 - 1 = 10$
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(D) मान लीजिए कि $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
चूंकि परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$,$\vec{P}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{R}$ और $\vec{P}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
परिणामी सदिश की दिशा के लिए सूत्र $\tan \alpha = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$ है,जहाँ $\alpha$,$\vec{R}$ और $\vec{P}$ के बीच का कोण है।
चूंकि $\alpha = 90^{\circ}$ है,$\tan 90^{\circ}$ अपरिभाषित है,जिसका अर्थ है कि हर (denominator) शून्य होना चाहिए:
$P + Q \cos \theta = 0 \Rightarrow \cos \theta = -\frac{P}{Q} \dots (1)$
दिया गया है कि $|\vec{P}| = |\vec{R}|$,इसलिए हम परिमाण सूत्र $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$ का उपयोग करते हैं।
$R = P$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$
$0 = Q^2 + 2PQ \cos \theta$
$Q^2 = -2PQ \cos \theta$
$\cos \theta = -\frac{Q}{2P} \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से:
$-\frac{P}{Q} = -\frac{Q}{2P} \Rightarrow Q^2 = 2P^2 \Rightarrow Q = \sqrt{2}P$.
$Q = \sqrt{2}P$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\cos \theta = -\frac{P}{\sqrt{2}P} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\theta = 135^{\circ} = \frac{3 \pi}{4}$ रेडियन।