Addition and Subtraction of Vectors Questions in Hindi

(D) दो सदिशों $A$ और $B$ का परिणामी $R$,$|A-B| \leq R \leq |A+B|$ की सीमा में होता है।
विकल्प $A$ के लिए: $|1-2| \leq R \leq |1+2| \implies 1 \leq R \leq 3$. चूँकि $3$ सीमा में है,परिणामी $3$ हो सकता है।
विकल्प $B$ के लिए: $|2-5| \leq R \leq |2+5| \implies 3 \leq R \leq 7$. चूँकि $3$ सीमा में है,परिणामी $3$ हो सकता है।
विकल्प $C$ के लिए: $|3-6| \leq R \leq |3+6| \implies 3 \leq R \leq 9$. चूँकि $3$ सीमा में है,परिणामी $3$ हो सकता है।
विकल्प $D$ के लिए: $|4-8| \leq R \leq |4+8| \implies 4 \leq R \leq 12$. सीमा $[4, 12]$ है। चूँकि $3$ इस सीमा में नहीं है,इसलिए परिणामी कभी भी $3$ इकाई नहीं हो सकता।

(D) मान लीजिए कि दो बल $F_1$ और $F_2$ हैं। उनके बीच का कोण $\theta = 120^{\circ}$ है।
मान लीजिए कि परिणामी बल $R = 10 \,kg$-wt, बल $F_1$ के लंबवत है।
परिणामी बल द्वारा $F_1$ के साथ बनाए गए कोण $\alpha$ के लिए सूत्र:
$\tan \alpha = \frac{F_2 \sin \theta}{F_1 + F_2 \cos \theta}$
चूंकि परिणामी बल $F_1$ के लंबवत है, $\alpha = 90^{\circ}$, इसलिए $\tan 90^{\circ} = \infty$.
इसका अर्थ है कि हर (denominator) शून्य होना चाहिए: $F_1 + F_2 \cos 120^{\circ} = 0$.
$F_1 + F_2 (-0.5) = 0 \implies F_1 = 0.5 F_2 \implies F_2 = 2 F_1$.
परिणामी बल का परिमाण $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos 120^{\circ}$ द्वारा दिया जाता है।
$10^2 = F_1^2 + (2 F_1)^2 + 2 F_1 (2 F_1) (-0.5)$.
$100 = F_1^2 + 4 F_1^2 - 2 F_1^2 = 3 F_1^2$.
$F_1^2 = \frac{100}{3} \implies F_1 = \frac{10}{\sqrt{3}} \,kg$-wt.
अतः, परिणामी बल के लंबवत बल $\frac{10}{\sqrt{3}} \,kg$-wt है।

(D) दो सदिशों $A$ और $B$ का अधिकतम परिणामी परिमाण $R_{max} = A + B$ द्वारा दिया जाता है।
दो सदिशों $A$ और $B$ का न्यूनतम परिणामी परिमाण $R_{min} = A - B$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$R_{max} = n \cdot R_{min}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $A + B = n(A - B)$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $A + B = nA - nB$.
$A$ और $B$ के पदों को व्यवस्थित करने पर: $A - nA = -nB - B$.
$A(1 - n) = -B(n + 1)$.
दोनों पक्षों को $B(1 - n)$ से विभाजित करने पर: $\frac{A}{B} = \frac{-(n + 1)}{1 - n}$.
अंश और हर को $-1$ से गुणा करने पर: $\frac{A}{B} = \frac{n + 1}{n - 1}$.

(B) मान लीजिए कि तीन सदिश $\vec{A}$,$\vec{B}$,और $\vec{C}$ हैं। प्रत्येक सदिश का परिमाण $A = B = C = 3 \sqrt{1.5} = 3 \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।
चूंकि किन्हीं दो सदिशों के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ $(60^\circ)$ है,हम उन्हें $3D$ निर्देशांक प्रणाली में रख सकते हैं।
मान लीजिए $\vec{A} = A \hat{i}$.
$\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $60^\circ$ है,इसलिए $\vec{B} = A(\cos 60^\circ \hat{i} + \sin 60^\circ \hat{j}) = A(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j})$.
तीसरे सदिश $\vec{C}$ के लिए,यह $\vec{A}$ और $\vec{B}$ दोनों के साथ $60^\circ$ का कोण बनाता है। परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}$ है।
परिमाण का वर्ग $R^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2(AB \cos 60^\circ + BC \cos 60^\circ + CA \cos 60^\circ)$ होगा।
$R^2 = 3A^2 + 2(3 \cdot A^2 \cdot \frac{1}{2}) = 3A^2 + 3A^2 = 6A^2$.
यहाँ $A = 3 \sqrt{1.5} = 3 \sqrt{\frac{3}{2}}$ है,इसलिए $A^2 = 9 \cdot \frac{3}{2} = 13.5$.
$R^2 = 6 \times 13.5 = 81$.
अतः,$R = \sqrt{81} = 9$ इकाई।

(B) मान लीजिए कि दो सदिश $\overrightarrow{A} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ और $\overrightarrow{B} = 2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 4 \hat{k}$ हैं।
परिणामी सदिश $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = (2+2) \hat{i} + (3-7) \hat{j} + (4-4) \hat{k} = 4 \hat{i} - 4 \hat{j} + 0 \hat{k}$ है।
परिणामी सदिश का परिमाण $R = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2 + (0)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ है।
परिणामी सदिश द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{R_x}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R_x = 4$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इसलिए,$\theta = 45^{\circ}$ है।

(C) माना कि दो बल $F_1 = 5x$ और $F_2 = 3x$ हैं।
दिया गया है कि परिणामी बल $R = 35 \ N$ और कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
दो सदिशों के परिणामी बल का सूत्र $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ है।
मान रखने पर: $35 = \sqrt{(5x)^2 + (3x)^2 + 2(5x)(3x) \cos 60^{\circ}}$.
चूंकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$,इसलिए $35 = \sqrt{25x^2 + 9x^2 + 30x^2(0.5)}$.
$35 = \sqrt{25x^2 + 9x^2 + 15x^2} = \sqrt{49x^2} = 7x$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = 35 / 7 = 5$.
अतः,$F_1 = 5 \times 5 = 25 \ N$ और $F_2 = 3 \times 5 = 15 \ N$.

(A) माना दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं,जहाँ $|\vec{A}|$ छोटा परिमाण है।
दिया गया है: $|\vec{A}| + |\vec{B}| = 18$ और $|\vec{R}| = 12$.
माना $|\vec{A}| = x$,तो $|\vec{B}| = 18 - x$.
चूँकि परिणामी सदिश $\vec{R}$,छोटे सदिश $\vec{A}$ के साथ $90^{\circ}$ पर है,इसलिए संबंध है: $|\vec{R}|^2 + |\vec{A}|^2 = |\vec{B}|^2$.
मान रखने पर: $12^2 + x^2 = (18 - x)^2$.
$144 + x^2 = 324 + x^2 - 36x$.
$36x = 324 - 144$.
$36x = 180$.
$x = 5$.
अतः,$|\vec{A}| = 5$ और $|\vec{B}| = 18 - 5 = 13$.

(B) सदिशों के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
परिणामी सदिश और $\vec{a}$ के बीच का कोण $\phi = 45^{\circ}$ है।
सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,परिणामी सदिश $\vec{a}$ के साथ जो कोण $\phi$ बनाता है,वह इस प्रकार है:
$\tan(\phi) = \frac{|\vec{b}| \sin(\theta)}{|\vec{a}| + |\vec{b}| \cos(\theta)}$
दिए गए मान $|\vec{b}| = 2$,$\theta = 60^{\circ}$,और $\phi = 45^{\circ}$ रखने पर:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{2 \sin(60^{\circ})}{|\vec{a}| + 2 \cos(60^{\circ})}$
चूंकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,$\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,और $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ है:
$1 = \frac{2 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})}{|\vec{a}| + 2 \times (\frac{1}{2})}$
$1 = \frac{\sqrt{3}}{|\vec{a}| + 1}$
$|\vec{a}| + 1 = \sqrt{3}$
$|\vec{a}| = \sqrt{3} - 1$ इकाई।

(D) माना सदिश $P = P \hat{i}$ है।
चूंकि सदिश $Q$ का परिमाण $10 \ m$ है,तो $Q = 10 \cos \theta \hat{i} + 10 \sin \theta \hat{j}$ लें।
परिणामी सदिश $R = P + Q = (P + 10 \cos \theta) \hat{i} + (10 \sin \theta) \hat{j}$ है।
यह दिया गया है कि परिणामी सदिश $Y$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए इसका $X$-घटक शून्य होना चाहिए:
$P + 10 \cos \theta = 0 \Rightarrow 10 \cos \theta = -P$.
परिणामी सदिश का परिमाण $R = 10 \sin \theta$ है।
हमें $R = 2P$ दिया गया है,इसलिए $10 \sin \theta = 2P \Rightarrow 5 \sin \theta = P$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$(P/5)^2 + (-P/10)^2 = 1$.
$P^2/25 + P^2/100 = 1$.
$(4P^2 + P^2) / 100 = 1 \Rightarrow 5P^2 = 100$.
$P^2 = 20 \Rightarrow P = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \ m$.

(D) माना प्रारंभिक वेग $\vec{v}_i$ है और अंतिम वेग $\vec{v}_f$ है। इनके परिमाण $|\vec{v}_i| = \sqrt{5} \ m/s$ और $|\vec{v}_f| = 2\sqrt{5} \ m/s$ दिए गए हैं।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = |\vec{v}_f - \vec{v}_i| = 5 \ m/s$ है।
सदिश घटाव के नियम का उपयोग करते हुए,वेग में परिवर्तन का परिमाण इस प्रकार है:
$|\Delta \vec{v}|^2 = |\vec{v}_f|^2 + |\vec{v}_i|^2 - 2|\vec{v}_f||\vec{v}_i| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ वेग $\vec{v}_i$ और $\vec{v}_f$ के बीच का कोण है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$5^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2(2\sqrt{5})(\sqrt{5}) \cos \theta$
$25 = 20 + 5 - 2(2 \times 5) \cos \theta$
$25 = 25 - 20 \cos \theta$
$0 = -20 \cos \theta$
$\cos \theta = 0$
$\theta = 90^{\circ}$.
अतः,प्रारंभिक और अंतिम वेग के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(C) मान लीजिए कि सदिश रूप में दो बल $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं।
उनका सदिश योग $(\vec{A} + \vec{B})$ है और उनका सदिश अंतर $(\vec{A} - \vec{B})$ है।
चूंकि सदिश योग और सदिश अंतर एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = 0$
डॉट गुणनफल का विस्तार करने पर:
$\vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B} = 0$
चूंकि डॉट गुणनफल क्रमविनिमेय होता है,$\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$,इसलिए पद कट जाते हैं:
$|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2 = 0$
$|\vec{A}|^2 = |\vec{B}|^2$
$|\vec{A}| = |\vec{B}|$
अतः,दोनों बलों का परिमाण समान है।

(B) दी गई आकृति में सदिश योग के नियम (त्रिभुज नियम) के आधार पर:
$\triangle PQR$ में,सदिश $B$ और $E$ क्रम में हैं,और $A$ त्रिभुज को बंद करने वाला परिणामी सदिश है। अतः,$A = B + E$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $E = A - B$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $-E = -(A - B) = -A + B$।
$\triangle PSR$ में,सदिश $A$ और $D$ क्रम में हैं,और $C$ परिणामी सदिश है। अतः,$C = A + D$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $A = C - D$ प्राप्त होता है,जिसे $A = -D + C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इन परिणामों की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $(b)$ सही है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$A_1+A_2=5 A_3$ ---$(i)$
$A_1-A_2=3 A_3$ ---(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2 A_1 = 8 A_3 \Rightarrow A_1 = 4 A_3$
चूँकि $A_3 = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$,इसलिए $A_1 = 4(2 \hat{i} + 4 \hat{j}) = 8 \hat{i} + 16 \hat{j}$.
समीकरण $(i)$ में से (ii) को घटाने पर:
$2 A_2 = 2 A_3 \Rightarrow A_2 = A_3 = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$.
अब,परिमाणों का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{|A_1|}{|A_2|} = \frac{|8 \hat{i} + 16 \hat{j}|}{|2 \hat{i} + 4 \hat{j}|} = \frac{\sqrt{8^2 + 16^2}}{\sqrt{2^2 + 4^2}}$
$= \frac{\sqrt{64 + 256}}{\sqrt{4 + 16}} = \frac{\sqrt{320}}{\sqrt{20}} = \sqrt{\frac{320}{20}} = \sqrt{16} = 4$.

(A) दिए गए सदिश $r_1 = 2 \hat{x}$ और $r_2 = 2 \hat{y}$ हैं।
उनका योग $r_1 + r_2 = 2 \hat{x} + 2 \hat{y}$ है।
किसी सदिश $A = a \hat{x} + b \hat{y}$ का परिमाण $|A| = \sqrt{a^2 + b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$|r_1 + r_2| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$।
$\sqrt{8}$ को सरल करने पर,हमें $\sqrt{4 \times 2} = 2 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि दो बल $F_1$ और $F_2$ हैं, जहाँ $F_1$ छोटा बल है।
दिया गया है: $F_1 + F_2 = 25$ (समीकरण $1$)
परिणामी $R$, $F_1$ के लंबवत है। परिणामी का परिमाण $R = 10 \,N$ है।
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए, चूँकि $R \perp F_1$, $F_1$, $R$ और $F_2$ (कर्ण के रूप में) एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $F_2^2 = F_1^2 + R^2$
$F_2^2 - F_1^2 = 10^2 = 100$
$(F_2 - F_1)(F_2 + F_1) = 100$
समीकरण में $F_1 + F_2 = 25$ रखने पर:
$(F_2 - F_1)(25) = 100$
$F_2 - F_1 = 4$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:
$2F_2 = 29 \implies F_2 = 14.5 \,N$
समीकरण $1$ से $2$ को घटाने पर:
$2F_1 = 21 \implies F_1 = 10.5 \,N$
अतः, दो बल $14.5 \,N$ और $10.5 \,N$ हैं।

(A) माना कि दो बल $F_1$ और $F_2$ हैं, जहाँ $F_1$ छोटा बल है। माना $F_1 = x$.
दिया गया है कि परिमाणों का योग $16 \,N$ है, इसलिए $F_2 = 16 - x$.
परिणामी बल $R = 8 \,N$ छोटे बल $F_1$ के लंबवत है।
सदिश त्रिभुज या परिणामी बल के गुणधर्म का उपयोग करने पर, हमें संबंध प्राप्त होता है: $F_2^2 = F_1^2 + R^2$.
मान रखने पर: $(16 - x)^2 = x^2 + 8^2$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $256 + x^2 - 32x = x^2 + 64$.
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $256 - 32x = 64$.
$x$ के लिए हल करने पर: $32x = 256 - 64 = 192$.
$x = \frac{192}{32} = 6 \,N$.
अतः, छोटा बल $F_1 = 6 \,N$ और बड़ा बल $F_2 = 16 - 6 = 10 \,N$ है।
इस प्रकार, बल $6 \,N$ और $10 \,N$ हैं।

(B) मान लीजिए कि दोनों सदिशों के परिमाण $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}| = a$ हैं।
परिणामी सदिश $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$,सदिश $\overrightarrow{A}$ के साथ $\alpha$ कोण बनाता है,जो इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$
चूंकि $A = B = a$,इसलिए:
$\tan \alpha = \frac{a \sin \theta}{a + a \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$ और $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\tan \alpha = \frac{2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})}{2 \cos^2(\frac{\theta}{2})} = \tan(\frac{\theta}{2})$
अतः,$\alpha = \frac{\theta}{2}$.
यह दर्शाता है कि परिणामी सदिश समान परिमाण वाले दो सदिशों के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है।

(C) मान लीजिए मूल बिंदु $O(0,0)$ है।
$1$. व्यक्ति $30 \,m$ उत्तर की ओर चलता है: स्थिति $(0, 30)$ हो जाती है।
$2$. फिर $20 \,m$ पूर्व की ओर चलता है: स्थिति $(20, 30)$ हो जाती है।
$3$. अंत में $30 \sqrt{2} \,m$ दक्षिण-पश्चिम दिशा में चलता है। दक्षिण-पश्चिम दिशा दक्षिण और पश्चिम अक्षों के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है। इस विस्थापन के घटक हैं:
$\Delta x = -30 \sqrt{2} \cos(45^{\circ}) = -30 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -30 \,m$
$\Delta y = -30 \sqrt{2} \sin(45^{\circ}) = -30 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -30 \,m$
नई स्थिति = $(20 - 30, 30 - 30) = (-10, 0)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से $(-10, 0)$ तक का विस्थापन पश्चिम दिशा में $10 \,m$ है।