Thermal Resistance and it's Combination Questions in Hindi

(C) माना जंक्शन का तापमान $\theta$ है। चूंकि छड़ें समान पदार्थ,अनुप्रस्थ काट और लंबाई की हैं,इसलिए उनका ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ समान है।
छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{\Delta T}{R}$ द्वारा दी जाती है।
जंक्शन पर,ऊष्मा प्रवाह दरों का योग शून्य होना चाहिए (स्थिर अवस्था):
$\frac{90 - \theta}{R} + \frac{60 - \theta}{R} + \frac{30 - \theta}{R} + \frac{0 - \theta}{R} = 0$
$R$ से गुणा करने पर:
$(90 - \theta) + (60 - \theta) + (30 - \theta) + (0 - \theta) = 0$
$180 - 4\theta = 0$
$4\theta = 180$
$\theta = 45^{\circ}C$.

(C) व्यवस्था $(a)$ के लिए,छड़ें श्रेणीक्रम में हैं। मान लीजिए प्रत्येक छड़ की लंबाई $L$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{KA}$ है।
श्रेणीक्रम में प्रभावी प्रतिरोध $R_{\text{eff}, a} = R_{Al} + R_{Cu} + R_{Al} = \frac{L}{A} \left( \frac{1}{K_{Al}} + \frac{1}{K_{Cu}} + \frac{1}{K_{Al}} \right) = \frac{L}{A} \left( \frac{2}{200} + \frac{1}{400} \right) = \frac{L}{A} \left( \frac{4+1}{400} \right) = \frac{5L}{400A} = \frac{L}{80A}$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H_1 = \frac{\Delta T}{R_{\text{eff}, a}} = \frac{\Delta T}{L/(80A)} = 80 \frac{A \Delta T}{L} = 40 \, W$,इसलिए $\frac{A \Delta T}{L} = 0.5$ प्राप्त होता है।
व्यवस्था $(b)$ के लिए,छड़ें समानांतर क्रम में हैं। प्रभावी प्रतिरोध $\frac{1}{R_{\text{eff}, b}} = \frac{1}{R_{Al}} + \frac{1}{R_{Cu}} + \frac{1}{R_{Al}} = \frac{A}{L} (K_{Al} + K_{Cu} + K_{Al}) = \frac{A}{L} (200 + 400 + 200) = \frac{800A}{L}$ है।
अतः,$R_{\text{eff}, b} = \frac{L}{800A}$।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H_2 = \frac{\Delta T}{R_{\text{eff}, b}} = \frac{\Delta T}{L/(800A)} = 800 \frac{A \Delta T}{L} = 800 \times 0.5 = 400 \, W$।

(B) माना जंक्शन $O$ का तापमान $\theta$ है।
स्थिर अवस्था ऊष्मा प्रवाह के सिद्धांत के अनुसार,जंक्शन में प्रवेश करने वाली ऊष्मा धाराओं का योग जंक्शन से बाहर निकलने वाली ऊष्मा धाराओं के योग के बराबर होना चाहिए।
ऊष्मा धारा $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ है।
मान लीजिए कि ऊष्मा $30^{\circ} C$ वाले सिरे से जंक्शन की ओर बहती है और फिर $20^{\circ} C$ और $10^{\circ} C$ वाले सिरों की ओर बाहर निकलती है:
$\frac{KA}{30}(30 - \theta) = \frac{KA}{20}(\theta - 20) + \frac{KA}{10}(\theta - 10)$
दोनों पक्षों को $KA$ से विभाजित करने पर:
$\frac{30 - \theta}{30} = \frac{\theta - 20}{20} + \frac{\theta - 10}{10}$
सरल बनाने के लिए $60$ से गुणा करने पर:
$2(30 - \theta) = 3(\theta - 20) + 6(\theta - 10)$
$60 - 2\theta = 3\theta - 60 + 6\theta - 60$
$60 - 2\theta = 9\theta - 120$
$180 = 11\theta$
$\theta = \frac{180}{11} \approx 16.36^{\circ} C$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $16.4^{\circ} C$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि वर्ग के चार कोने $A, B, C,$ और $D$ चक्रीय क्रम में हैं। मान लीजिए $A$ और $C$ पर तापमान $T_A = 40^{\circ} C$ और $T_C = 10^{\circ} C$ है।
चूंकि चारों छड़ें समान हैं,प्रत्येक छड़ एक ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{kA}$ के रूप में कार्य करती है।
चारों छड़ों की व्यवस्था एक व्हीटस्टोन ब्रिज सर्किट की तरह है जहाँ ऊष्मा $A$ से $C$ तक दो समानांतर पथों के माध्यम से प्रवाहित होती है: $A \rightarrow B \rightarrow C$ और $A \rightarrow D \rightarrow C$।
सर्किट की समरूपता और छड़ों की समान प्रकृति के कारण,$B$ और $D$ पर तापमान समान होना चाहिए।
चूंकि $T_B = T_D$,इसलिए अन्य दो कोनों $B$ और $D$ के बीच तापमान का अंतर $T_B - T_D = 0^{\circ} C$ होगा।

(C) स्लैब का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{kA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ लंबाई है,$k$ ऊष्मीय चालकता है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है। मान लीजिए $b$ स्लैब की चौड़ाई है।
$R_A = \frac{L}{2K(4Lb)} = \frac{R_0}{8}$,$R_B = \frac{4R_0}{3}$,$R_C = \frac{R_0}{2}$,$R_D = \frac{4R_0}{5}$,$R_E = \frac{R_0}{24}$
$(i)$ चूंकि स्लैब $A$ और $E$,$B, C, D$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रृंखला में हैं,इसलिए कुल ऊष्मा प्रवाह $Q$,$A$ और $E$ दोनों से होकर गुजरता है। अतः,$A$ और $E$ से होकर बहने वाली ऊष्मा समान है। कथन $(A)$ सही है।
$(ii)$ स्लैब के आर-पार तापमान का अंतर $\Delta T = Q \cdot R$ है। चूंकि $R_E$ सबसे कम प्रतिरोध है,इसलिए $E$ के आर-पार तापमान का अंतर सबसे कम है। कथन $(C)$ सही है।
$(iii)$ समानांतर अनुभाग के लिए,ऊष्मा प्रवाह $Q$,$i_B, i_C, i_D$ में विभाजित हो जाता है। समानांतर होने के कारण,विभवांतर $\Delta T_{BCD}$ सभी के लिए समान है। इसलिए $i = \frac{\Delta T}{R}$।
$i_C = \frac{2\Delta T}{R_0}$,$i_B = \frac{3\Delta T}{4R_0}$,$i_D = \frac{5\Delta T}{4R_0}$।
$i_B + i_D = \frac{3\Delta T}{4R_0} + \frac{5\Delta T}{4R_0} = \frac{2\Delta T}{R_0} = i_C$। कथन $(D)$ सही है।
इसलिए,$(A, C, D)$ सही हैं।

(A) मान लीजिए प्रत्येक ब्लॉक की लंबाई $L$ है,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है,और $k$ चालकता वाले ब्लॉक का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{kA}$ है। तब $2k$ चालकता वाले ब्लॉक का प्रतिरोध $R' = \frac{L}{2kA} = \frac{R}{2}$ होगा।
कॉन्फ़िगरेशन $I$ (श्रेणी): ब्लॉक श्रेणी में हैं। समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq,I} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
ऊष्मा प्रवाह $H_I = \frac{\Delta T}{R_{eq,I}} = \frac{2\Delta T}{3R}$ है।
कॉन्फ़िगरेशन $II$ (समांतर): ब्लॉक समांतर में हैं। समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $\frac{1}{R_{eq,II}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R/2} = \frac{1}{R} + \frac{2}{R} = \frac{3}{R}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$R_{eq,II} = \frac{R}{3}$ है।
ऊष्मा प्रवाह $H_{II} = \frac{\Delta T}{R_{eq,II}} = \frac{3\Delta T}{R}$ है।
चूंकि स्थानांतरित ऊष्मा की मात्रा $Q$ समान है,$Q = H_I t_I = H_{II} t_{II}$।
$t_{II} = t_I \times \frac{H_I}{H_{II}} = 9 \times \frac{2\Delta T / 3R}{3\Delta T / R} = 9 \times \frac{2}{9} = 2.0 \ s$।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक चालक की लंबाई $L$ है और $1^{\text{st}}$ तथा $2^{\text{nd}}$ चालकों के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। तब $3^{\text{rd}}$ चालक का क्षेत्रफल $2A$ होगा।
ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{kA}$ द्वारा दिया जाता है।
$R_1 = \frac{L}{k_1 A} = \frac{L}{60A}$,$R_2 = \frac{L}{k_2 A} = \frac{L}{120A}$,$R_3 = \frac{L}{k_3 (2A)} = \frac{L}{135 \times 2A} = \frac{L}{270A}$.
चालक $1$ और $2$ समानांतर में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{12}$ है:
$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{60A}{L} + \frac{120A}{L} = \frac{180A}{L} \implies R_{12} = \frac{L}{180A}$.
स्थिर अवस्था में,संयोजन से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा $H$ स्थिर रहती है:
$H = \frac{100 - \theta}{R_{12}} = \frac{\theta - 0}{R_3}$
$\frac{100 - \theta}{L / 180A} = \frac{\theta}{L / 270A}$
$180(100 - \theta) = 270\theta$
$2(100 - \theta) = 3\theta$
$200 - 2\theta = 3\theta$
$5\theta = 200 \implies \theta = 40^{\circ}C$.

(C) एक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है और $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
श्रेणीक्रम में जुड़ी दो छड़ों के लिए,स्थिर अवस्था में ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt}$ समान होती है:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R} = \frac{400 - T}{R_A} = \frac{T - 200}{R_B}$
$\frac{400 - T}{T - 200} = \frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{L_A}{L_B} \right) \left( \frac{K_B}{K_A} \right) \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2$
दिया गया है $\frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{2}$,$\frac{K_A}{K_B} = \frac{1}{2} \implies \frac{K_B}{K_A} = 2$,और $\frac{r_A}{r_B} = 2 \implies \frac{r_B}{r_A} = \frac{1}{2}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{1}{2} \right) \times (2) \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
अब,$\frac{400 - T}{T - 200} = \frac{1}{4}$
$4(400 - T) = T - 200$
$1600 - 4T = T - 200$
$5T = 1800$
$T = 360 \ K$

(B) कुल ऊष्मा प्रवाह $I = 150 \ J/s$ जंक्शन में प्रवेश करता है। यह पथ दो समानांतर शाखाओं में विभाजित हो जाता है: सीधा पथ और मुड़ा हुआ पथ।
मान लीजिए कि सीधे पथ की लंबाई $L_2 = 60 \ cm$ है और मुड़े हुए पथ की लंबाई $L_1 = 30 + 60 + 30 = 120 \ cm$ है।
चूंकि ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{kA}$ होता है,और यह मानते हुए कि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और ऊष्मीय चालकता $k$ समान हैं,तो $R \propto L$ होगा।
अतः,$R_2 \propto 60$ और $R_1 \propto 120$ है।
मुड़े हुए पथ से गुजरने वाली ऊष्मा धारा $I_1$ ऊष्मीय परिपथों के लिए करंट डिवाइडर नियम द्वारा इस प्रकार दी जाती है:
$I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 150 \times \frac{60}{120 + 60} = 150 \times \frac{60}{180} = 150 \times \frac{1}{3} = 50 \ J/s$.

(D) इस प्रणाली को एक समतुल्य थर्मल सर्किट के रूप में मॉडल किया जा सकता है। प्रत्येक छड़ का थर्मल प्रतिरोध $R$ है।
बिंदुओं $B$ और $C$ के बीच,दो समानांतर पथ हैं,जिनमें से प्रत्येक दो श्रेणीबद्ध छड़ों से बना है। प्रत्येक पथ का प्रतिरोध $R + R = 2R$ है।
इन दो समानांतर पथों का समतुल्य प्रतिरोध $R_{BC}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{BC}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{2}{2R} = \frac{1}{R}$,इसलिए $R_{BC} = R$।
$A$ से $D$ तक सर्किट का कुल थर्मल प्रतिरोध $R_{AD} = R_{AB} + R_{BC} + R_{CD} = R + R + R = 3R$ है।
सर्किट से बहने वाली स्थिर ऊष्मा धारा $H = \frac{\Delta T}{R_{total}} = \frac{100 - 10}{3R} = \frac{90}{3R} = \frac{30}{R}$ है।
जंक्शन $C$ पर तापमान छड़ $CD$ से गुजरने वाली ऊष्मा धारा का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
$H = \frac{T_C - 10}{R}$
$\frac{30}{R} = \frac{T_C - 10}{R}$
$30 = T_C - 10$
$T_C = 40^{\circ} C$।

(B) माना प्रत्येक छड़ की लंबाई $\ell$,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$,और ऊष्मीय चालकता $K$ है। स्थानांतरित ऊष्मा $Q = \frac{KA \Delta T}{L_{eq}} \times t$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $1$: श्रेणी संयोजन (सिरे से सिरा).
तुल्य लंबाई $L_{eq} = \ell + \ell = 2\ell$ है। तुल्य क्षेत्रफल $A$ है।
$Q = \frac{KA \Delta T}{2\ell} \times 12 \quad \dots (1)$
स्थिति $2$: समांतर संयोजन (लंबाई के अनुदिश).
तुल्य लंबाई $L_{eq} = \ell$ है। तुल्य क्षेत्रफल $A_{eq} = A + A = 2A$ है।
$Q = \frac{K(2A) \Delta T}{\ell} \times t \quad \dots (2)$
चूंकि दोनों स्थितियों में ऊष्मा $Q$ और तापांतर $\Delta T$ समान हैं,इसलिए हम $(1)$ और $(2)$ की तुलना करते हैं:
$\frac{KA \Delta T}{2\ell} \times 12 = \frac{2KA \Delta T}{\ell} \times t$
$\frac{12}{2} = 2t$
$6 = 2t$
$t = 3 \ s$.

(B) माना स्थानांतरित ऊष्मा $Q$ है।
जब छड़ें सिरे से सिरा जोड़कर रखी जाती हैं,तो तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = R + R = 2R$ होता है,जहाँ $R = \frac{l}{KA}$ है।
ऊष्मा स्थानांतरण की दर $\frac{Q}{t_1} = \frac{\Delta \theta}{R_{eq}} = \frac{\Delta \theta}{2 \frac{l}{KA}} = \frac{KA \Delta \theta}{2l}$ है।
दिया गया है $t_1 = 12 \ s$,इसलिए $Q = \frac{KA \Delta \theta}{2l} \times 12 \dots (i)$।
जब छड़ें लंबाई के अनुदिश (समानांतर) जोड़ी जाती हैं,तो तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R'_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है,जहाँ $R = \frac{l}{KA}$ है।
ऊष्मा स्थानांतरण की दर $\frac{Q}{t_2} = \frac{\Delta \theta}{R'_{eq}} = \frac{\Delta \theta}{R/2} = \frac{2KA \Delta \theta}{l}$ है।
अतः,$Q = \frac{2KA \Delta \theta}{l} \times t_2 \dots (ii)$।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{2KA \Delta \theta}{l} \times t_2 = \frac{KA \Delta \theta}{2l} \times 12$
$2 t_2 = \frac{12}{2}$
$4 t_2 = 12$
$t_2 = 3 \ s$।

(D) स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी सामग्रियों के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होती है।
पहली सामग्री के लिए: $H = \frac{KA(T_2 - T)}{x}$,जहाँ $T$ इंटरफ़ेस का तापमान है।
दूसरी सामग्री के लिए: $H = \frac{(2K)A(T - T_1)}{4x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{KA(T_2 - T)}{x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$।
$2(T_2 - T) = T - T_1 \implies 2T_2 - 2T = T - T_1 \implies 3T = 2T_2 + T_1 \implies T = \frac{2T_2 + T_1}{3}$।
$T$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $H = \frac{KA}{x} (T_2 - \frac{2T_2 + T_1}{3}) = \frac{KA}{x} (\frac{3T_2 - 2T_2 - T_1}{3}) = \frac{KA(T_2 - T_1)}{3x}$।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $\left[\frac{A(T_2 - T_1)K}{x}\right] f$ से करने पर,हमें $f = 1/3$ प्राप्त होता है।

(A) छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \frac{l}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान है,$A_A = A_B = A$।
ऊष्मीय चालकता का अनुपात $\frac{K_A}{K_B} = \frac{3}{2}$ दिया गया है।
चूंकि ऊष्मीय प्रतिरोध समान हैं,इसलिए $R_A = R_B$।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{l_A}{K_A A} = \frac{l_B}{K_B A}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$\frac{l_A}{l_B} = \frac{K_A}{K_B}$ प्राप्त होता है।
दिए गए अनुपात का मान रखने पर,$\frac{l_A}{l_B} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) पहली स्लैब से गुजरने वाली ऊष्मा धारा $\dot{Q}_1 = \frac{K_1 A (T_1 - T)}{d_1}$ द्वारा दी जाती है।
दूसरी स्लैब के लिए,ऊष्मा धारा $\dot{Q}_2 = \frac{K_2 A (T - T_2)}{d_2}$ है।
चूंकि स्लैब श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं,दोनों से समान ऊष्मा धारा प्रवाहित होती है,इसलिए $\dot{Q}_1 = \dot{Q}_2$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{K_1 A (T_1 - T)}{d_1} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{d_2}$.
दोनों पक्षों से $A$ को हटाने पर: $\frac{K_1 (T_1 - T)}{d_1} = \frac{K_2 (T - T_2)}{d_2}$.
वज्र गुणन करने पर: $K_1 d_2 (T_1 - T) = K_2 d_1 (T - T_2)$.
विस्तार करने पर: $K_1 d_2 T_1 - K_1 d_2 T = K_2 d_1 T - K_2 d_1 T_2$.
$T$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $K_1 d_2 T_1 + K_2 d_1 T_2 = T (K_1 d_2 + K_2 d_1)$.
अतः,$T = \frac{K_1 T_1 d_2 + K_2 T_2 d_1}{K_1 d_2 + K_2 d_1}$.

(B) माना प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है। जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{s} = R + R = 2R$ होता है।
श्रेणीक्रम में स्थानांतरित ऊष्मा $Q = \frac{\Delta T}{R_{s}} \times t_{s} = \frac{\Delta T}{2R} \times 8 = \frac{4 \Delta T}{R}$ है।
जब समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{p} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है।
समानांतर क्रम में स्थानांतरित ऊष्मा $Q = \frac{\Delta T}{R_{p}} \times t_{p} = \frac{\Delta T}{R/2} \times t_{p} = \frac{2 \Delta T}{R} \times t_{p}$ है।
चूंकि दोनों स्थितियों में स्थानांतरित ऊष्मा $Q$ समान है,इसलिए हम समीकरणों की तुलना करते हैं:
$\frac{4 \Delta T}{R} = \frac{2 \Delta T}{R} \times t_{p}$.
$t_{p}$ के लिए हल करने पर,हमें $t_{p} = \frac{4}{2} = 2 \ s$ प्राप्त होता है।

(B) ऊष्मीय प्रतिरोध $(R_{th})$ को तापमान अंतर $(\Delta T)$ और ऊष्मा प्रवाह की दर ($H$ या ऊष्मीय धारा) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $R_{th} = \frac{\Delta T}{H}$
दिया गया है:
तापमान अंतर $\Delta T = 28^{\circ} C$
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = 1400 \ cal s^{-1}$
गणना:
$R_{th} = \frac{28}{1400} \ ^{\circ} C s cal^{-1}$
$R_{th} = 0.02 \ ^{\circ} C s cal^{-1}$
अतः, ऊष्मीय प्रतिरोध $0.02 \ ^{\circ} C s cal^{-1}$ है।

(A) दिया गया है:
ऊष्मा के प्रवाह की दर (conduction rate) $P_{\text{cond}} = 1600 \text{ cal/s}$.
तापमान का अंतर $\Delta T = 40^{\circ} C$.
ऊष्मीय प्रतिरोध $R_T$ का सूत्र तापमान के अंतर और ऊष्मा प्रवाह की दर के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$R_T = \frac{\Delta T}{P_{\text{cond}}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$R_T = \frac{40}{1600}$
$R_T = \frac{1}{40} = 0.025^{\circ} C s/cal$.
अतः,ऊष्मीय प्रतिरोध $0.025^{\circ} C s/cal$ है।

(D) स्लैब का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$,$R = \frac{L}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ मोटाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है,और $A$ क्षेत्रफल है।
पहली सामग्री के लिए: $R_1 = \frac{x}{KA}$.
दूसरी सामग्री के लिए: $R_2 = \frac{4x}{(2K)A} = \frac{2x}{KA}$.
चूंकि स्लैब श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{x}{KA} + \frac{2x}{KA} = \frac{3x}{KA}$.
ऊष्मा स्थानांतरण की दर $\frac{dQ}{dt}$ है:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{T_2 - T_1}{R_{eq}} = \frac{T_2 - T_1}{\frac{3x}{KA}} = \frac{KA(T_2 - T_1)}{3x}$.
दिए गए व्यंजक $\left[\frac{A(T_2 - T_1)K}{x}\right] \cdot f$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f = \frac{1}{3}$.

(A) माना कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है और जंक्शन का तापमान $T_X$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जंक्शन में प्रवेश करने वाली कुल ऊष्मा,जंक्शन से बाहर निकलने वाली कुल ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए।
यहाँ,$90^{\circ} C$ पर स्थित दो छड़ों से ऊष्मा जंक्शन $X$ की ओर प्रवाहित होती है,और फिर जंक्शन $X$ से $0^{\circ} C$ पर स्थित छड़ की ओर प्रवाहित होती है।
माना $H_1$ और $H_2$ उन दो छड़ों से ऊष्मा धाराएँ हैं जो $90^{\circ} C$ पर हैं,और $H$ वह ऊष्मा धारा है जो $0^{\circ} C$ सिरे की ओर प्रवाहित हो रही है।
$H = H_1 + H_2$
ऊष्मा धारा के सूत्र $H = \frac{\Delta T}{R}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$\frac{T_X - 0}{R} = \frac{90 - T_X}{R} + \frac{90 - T_X}{R}$
चूंकि छड़ें समान हैं,इसलिए ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ सभी के लिए समान है।
$T_X = (90 - T_X) + (90 - T_X)$
$T_X = 180 - 2T_X$
$3T_X = 180$
$T_X = 60^{\circ} C$
अतः,जंक्शन $X$ पर तापमान $60^{\circ} C$ है।

(B) चालक का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{th} = \frac{L}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है। चूँकि चालक समान हैं,इसलिए $L$ और $A$ सभी के लिए समान हैं।
मान लीजिए $R_0 = \frac{L}{KA}$। तब ऊष्मीय प्रतिरोध हैं:
$R_A = \frac{L}{KA} = R_0$
$R_B = \frac{L}{(2K)A} = \frac{R_0}{2}$
$R_C = \frac{L}{(K/2)A} = 2R_0$
स्थिर अवस्था में,श्रेणी संयोजन से गुजरने वाली ऊष्मा धारा $H$ स्थिर रहती है:
$H = \frac{\Delta T}{R_{total}} = \frac{100 - 0}{R_A + R_B + R_C} = \frac{100}{R_0 + \frac{R_0}{2} + 2R_0} = \frac{100}{3.5 R_0} = \frac{200}{7 R_0}$
मान लीजिए $A$ और $B$ के जंक्शन का तापमान $T'$ है। $A$ से गुजरने वाली ऊष्मा धारा है:
$H = \frac{100 - T'}{R_A} = \frac{100 - T'}{R_0}$
$H$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{100 - T'}{R_0} = \frac{200}{7 R_0}$
$100 - T' = \frac{200}{7}$
$T' = 100 - 28.57 = 71.43^{\circ} C$
अतः,तापमान लगभग $71^{\circ} C$ है।

(A) दिया गया है कि छड़ें समान हैं,इसलिए प्रत्येक छड़ की लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_{area}$ मान लें।
मान लीजिए $K_{A}, K_{B}, K_{C}$ क्रमशः छड़ों $A, B, C$ की ऊष्मीय चालकताएँ हैं।
प्रश्न के अनुसार:
$K_{B} = \frac{1}{2} K_{A}$
$K_{B} = 3 K_{C} \implies K_{C} = \frac{K_{B}}{3} = \frac{K_{A}}{6}$
चूंकि छड़ें श्रेणी क्रम में जुड़ी हुई हैं,इसलिए तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होगा:
$R_{eq} = R_{A} + R_{B} + R_{C}$
$\frac{3l}{K_{eq} A_{area}} = \frac{l}{K_{A} A_{area}} + \frac{l}{K_{B} A_{area}} + \frac{l}{K_{C} A_{area}}$
$\frac{3}{K_{eq}} = \frac{1}{K_{A}} + \frac{1}{K_{A}/2} + \frac{1}{K_{A}/6}$
$\frac{3}{K_{eq}} = \frac{1}{K_{A}} + \frac{2}{K_{A}} + \frac{6}{K_{A}}$
$\frac{3}{K_{eq}} = \frac{9}{K_{A}}$
$K_{eq} = \frac{3 K_{A}}{9} = \frac{1}{3} K_{A}$

(C) स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी दोनों परतों से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होती है।
मान लीजिए कि प्रत्येक परत की मोटाई $l$ है और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है।
मान लीजिए कि परत $A$ और $B$ की ऊष्मीय चालकता क्रमशः $K_A$ और $K_B$ है।
दिया गया है: $K_A = 2K_B$.
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{K A \Delta T}{l}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $H$ दोनों परतों के लिए स्थिर है:
$H = \frac{K_A A \Delta T_A}{l} = \frac{K_B A \Delta T_B}{l}$
जहाँ $\Delta T_A$ और $\Delta T_B$ क्रमशः परत $A$ और $B$ के आर-पार तापमान का अंतर हैं।
दोनों पक्षों से $A$ और $l$ को हटाने पर:
$K_A \Delta T_A = K_B \Delta T_B$
$K_A = 2K_B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2K_B \Delta T_A = K_B \Delta T_B \Rightarrow \Delta T_B = 2 \Delta T_A$
दीवार के आर-पार कुल तापमान का अंतर $\Delta T_A + \Delta T_B = 24^{\circ} C$ है।
समीकरण में $\Delta T_B = 2 \Delta T_A$ रखने पर:
$\Delta T_A + 2 \Delta T_A = 24^{\circ} C$
$3 \Delta T_A = 24^{\circ} C \Rightarrow \Delta T_A = 8^{\circ} C$.
अतः,परत $B$ के आर-पार तापमान का अंतर है:
$\Delta T_B = 2 \times 8^{\circ} C = 16^{\circ} C$.

(D) यह प्रणाली श्रृंखला में तीन परतों से बनी है: कांच, हवा और कांच। समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R = \frac{l}{kA}$ है।
दिया गया है: $l_1 = l_3 = 1 \,cm = 0.01 \,m$, $l_2 = 5 \,cm = 0.05 \,m$, $A = 2.6 \,m^2$, $k_{glass} = 0.8 \,Wm^{-1} K^{-1}$, $k_{air} = 0.08 \,Wm^{-1} K^{-1}$।
$R_1 = R_3 = \frac{0.01}{0.8 \times 2.6} = \frac{0.01}{2.08} \approx 0.0048 \,K/W$।
$R_2 = \frac{0.05}{0.08 \times 2.6} = \frac{0.05}{0.208} \approx 0.2404 \,K/W$।
$R_{eq} = 2 \times \left(\frac{0.01}{2.08}\right) + \frac{0.05}{0.208} = \frac{0.02}{2.08} + \frac{0.5}{2.08} = \frac{0.52}{2.08} = 0.25 \,K/W$।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{\Delta T}{R_{eq}} = \frac{18 - (-2)}{0.25} = \frac{20}{0.25} = 80 \,W$।

(B) मान लीजिए जंक्शन $B$ पर तापमान $T_B$ है। छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{kA}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि सभी छड़ें समान पदार्थ $(k)$ और समान अनुप्रस्थ काट $(A)$ की हैं,इसलिए ऊष्मीय प्रतिरोध लंबाई $(L)$ के समानुपाती है $(R \propto L)$।
मान लीजिए $R_{AB}, R_{BC}, R_{BD}$ क्रमशः छड़ $AB, BC, BD$ के प्रतिरोध हैं।
यह दिया गया है कि $AB$ में कोई ऊष्मा प्रवाह नहीं है,इसलिए $B$ पर तापमान $A$ पर तापमान के बराबर होना चाहिए। अतः,$T_B = T_A = 20^{\circ} C$।
चूंकि $AB$ में कोई ऊष्मा प्रवाह नहीं है,इसलिए $D$ से $B$ तक प्रवाहित होने वाली सभी ऊष्मा को $B$ से $C$ तक प्रवाहित होना चाहिए। अतः,ऊष्मा धारा $H_{DB} = H_{BC}$।
सूत्र $H = \frac{\Delta T}{R}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{T_D - T_B}{R_{BD}} = \frac{T_B - T_C}{R_{BC}}$।
मान रखने पर: $\frac{90 - 20}{R_{BD}} = \frac{20 - 0}{R_{BC}}$।
$\frac{70}{R_{BD}} = \frac{20}{R_{BC}}$।
$\frac{R_{BD}}{R_{BC}} = \frac{70}{20} = \frac{7}{2}$।
चूंकि $R \propto L$,इसलिए $\frac{L_{BD}}{L_{BC}} = \frac{7}{2}$।

(C) माना तांबे और लोहे के जंक्शन का तापमान $\theta$ है।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं और सतहें ऊष्मीय रूप से कुचालक हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होगी।
माना $K_1 = 386.4 \ W/m-K$ (तांबा),$l_1 = 0.75 \ m$,$T_1 = 100^{\circ} C$.
माना $K_2 = 48.46 \ W/m-K$ (लोहा),$l_2 = 1.25 \ m$,$T_2 = 0^{\circ} C$.
दोनों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{l}$ द्वारा दी जाती है।
ऊष्मा प्रवाह दरों को बराबर करने पर: $\frac{K_1 A (T_1 - \theta)}{l_1} = \frac{K_2 A (\theta - T_2)}{l_2}$.
$\frac{386.4 (100 - \theta)}{0.75} = \frac{48.46 (\theta - 0)}{1.25}$.
$515.2 (100 - \theta) = 38.768 \theta$.
$51520 - 515.2 \theta = 38.768 \theta$.
$553.968 \theta = 51520$.
$\theta = \frac{51520}{553.968} \approx 93^{\circ} C$.

(C) स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी दोनों स्लैब से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होती है।
$H = \frac{k_1 A (\Delta T_A)}{L} = \frac{k_2 A (\Delta T_B)}{L}$
चूंकि दोनों स्लैब के लिए मोटाई $(L)$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ समान है,इसलिए हमारे पास है:
$k_1 (\Delta T_A) = k_2 (\Delta T_B)$
दिया गया है $k_1 = \frac{k_2}{2}$,जिसे हम $k_2 = 2k_1$ लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$k_1 (\Delta T_A) = 2k_1 (\Delta T_B)$
$\Delta T_A = 2 \Delta T_B$
हम जानते हैं कि कुल तापमान अंतर $\Delta T_A + \Delta T_B = 12^{\circ} C$ है।
$\Delta T_A = 2 \Delta T_B$ को कुल तापमान समीकरण में रखने पर:
$2 \Delta T_B + \Delta T_B = 12^{\circ} C$
$3 \Delta T_B = 12^{\circ} C \implies \Delta T_B = 4^{\circ} C$
अतः,स्लैब $A$ के आर-पार तापमान अंतर है:
$\Delta T_A = 12^{\circ} C - 4^{\circ} C = 8^{\circ} C$।

(A) मान लीजिए कि स्लैब $B$ की मोटाई $d$ है और इसकी ऊष्मीय चालकता $K$ है। तो,स्लैब $A$ के लिए,मोटाई $2d$ और ऊष्मीय चालकता $2K$ है।
मान लीजिए कि संपर्क सतह पर तापमान $T$ है।
चूंकि स्लैब श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए दोनों स्लैब से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ समान होगी:
$H = \frac{K_A A (T_1 - T)}{d_A} = \frac{K_B A (T - T_2)}{d_B}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2K \cdot A (100 - T)}{2d} = \frac{K \cdot A (T - 25)}{d}$
$(100 - T) = (T - 25)$
$2T = 125$
$T = 62.5^{\circ} C$

(B) मान लीजिए जंक्शन $B$ पर तापमान $\theta$ है।
चूंकि छड़ें $BC$ और $BD$ अपने बाहरी सिरों पर समान तापमान $(80^{\circ} C)$ से जुड़ी हैं,इसलिए वे समानांतर ऊष्मीय प्रतिरोध के रूप में कार्य करती हैं।
मान लीजिए प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है।
छड़ों $BC$ और $BD$ के समानांतर संयोजन का समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होगा।
स्थिर अवस्था में,छड़ $AB$ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा,छड़ों $BC$ और $BD$ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धाराओं के योग के बराबर होनी चाहिए।
ऊष्मा धारा के सूत्र $\frac{Q}{t} = \frac{\Delta T}{R}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\theta - 20}{R} = \frac{80 - \theta}{R/2}$
$\theta - 20 = 2(80 - \theta)$
$\theta - 20 = 160 - 2\theta$
$3\theta = 180$
$\theta = 60^{\circ} C$
अतः,जंक्शन $B$ पर तापमान $60^{\circ} C$ है।

(A) जब दो छड़ें श्रेणी क्रम में जुड़ी होती हैं,तो कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत ऊष्मीय प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ के योग के बराबर होता है।
छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{l}{kA}$ द्वारा दिया जाता है।
श्रेणी क्रम में जुड़ी दो छड़ों के लिए: $R_{eq} = R_1 + R_2$.
$\frac{l_1+l_2}{k A} = \frac{l_1}{k_1 A} + \frac{l_2}{k_2 A}$.
दोनों पक्षों से क्षेत्रफल $A$ को हटाने पर:
$\frac{l_1+l_2}{k} = \frac{l_1}{k_1} + \frac{l_2}{k_2}$.
$\frac{l_1+l_2}{k} = \frac{k_2 l_1 + k_1 l_2}{k_1 k_2}$.
अतः,$k = \frac{(l_1+l_2) k_1 k_2}{k_2 l_1 + k_1 l_2}$.

(A) समान लंबाई $\ell$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ वाली दो छड़ों को श्रेणीक्रम में जोड़ने पर,तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत ऊष्मीय प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ के योग के बराबर होता है।
$R_{eq} = R_1 + R_2$
चूंकि $R = \frac{\ell}{KA}$,इसलिए:
$\frac{2\ell}{K_{eff} A} = \frac{\ell}{K_1 A} + \frac{\ell}{K_2 A}$
दोनों पक्षों से $\frac{\ell}{A}$ को हटाने पर:
$\frac{2}{K_{eff}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
यहाँ $K_1 = 3$ और $K_2 = 4$ दिया गया है:
$\frac{2}{K_{eff}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$
$K_{eff} = \frac{24}{7} \approx 3.43$ इकाई।

(A) मान लीजिए छड़ $x$ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{\ell}{k_x A}$ है। चूंकि $x$ की ऊष्मीय चालकता $y$ की तुलना में $3$ गुना है $(k_x = 3k_y)$,इसलिए छड़ $y$ का ऊष्मीय प्रतिरोध $3R$ होगा।
चित्र से,$B$ और $E$ के बीच का नेटवर्क दो समानांतर शाखाओं से बना है: एक शाखा में छड़ें $y$ और $y$ हैं (कुल प्रतिरोध $3R + 3R = 6R$) और दूसरी शाखा में छड़ें $x$ और $x$ हैं (कुल प्रतिरोध $R + R = 2R$)।
$B$ और $E$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{BE}$ के लिए $\frac{1}{R_{BE}} = \frac{1}{6R} + \frac{1}{2R} = \frac{1+3}{6R} = \frac{4}{6R} = \frac{2}{3R}$,अतः $R_{BE} = 1.5R$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{AB} + R_{BE} + R_{EF} = R + 1.5R + 3R = 5.5R = \frac{11R}{2}$ है।
कुल ऊष्मीय धारा $H = \frac{100 - 40}{5.5R} = \frac{60}{5.5R} = \frac{120}{11R}$.
अब,$T_B = 100 - H \cdot R = 100 - \frac{120}{11R} \cdot R = 100 - 10.91 \approx 89.09^{\circ}C$.
और $T_E = 40 + H \cdot (3R) = 40 + \frac{120}{11R} \cdot 3R = 40 + 32.73 \approx 72.73^{\circ}C$.
इस प्रकार,$T_B \approx 89^{\circ}C$ और $T_E \approx 73^{\circ}C$।