અ Gujarati
Thermal Expansion for Solid Questions in Gujarati
Class 11 Physics · 10-1.Thermometry, Thermal Expansion and Calorimetry · Thermal Expansion for Solid
231+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 231 questions in Gujarati
101
MediumMCQ
$L_0$ લંબાઈના નળાકાર ધાતુના સળિયાને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ નાની જગ્યા (gap) સાથે વીંટીના આકારમાં વાળવામાં આવે છે. આ તંત્રને ગરમ કરતા,
A
$x$ ઘટે છે,$r$ અને $d$ વધે છે
B
$x$ અને $r$ વધે છે,$d$ ઘટે છે
C
$x$,$r$ અને $d$ ત્રણેય વધે છે
D
નિષ્કર્ષ પર પહોંચવા માટે માહિતી અપૂરતી છે
Solution
(C) જ્યારે કોઈ આઈસોટ્રોપિક ઘન પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે તમામ પરિમાણોમાં ઉષ્મીય પ્રસરણ અનુભવે છે. આ પ્રસરણ ફોટોગ્રાફિક વિસ્તરણ જેવું જ છે,જેમાં પદાર્થનું દરેક રેખીય પરિમાણ વધે છે.
$1$. રેખીય પ્રસરણને કારણે વીંટીની ત્રિજ્યા $r$ વધે છે.
$2$. ગેપની પહોળાઈ $x$ પણ વધે છે કારણ કે વીંટીનો સમગ્ર પરિઘ વિસ્તરે છે,અને ગેપ પરિઘના એક ભાગ તરીકે વર્તે છે.
$3$. સળિયાની જાડાઈ $d$ પણ વધે છે કારણ કે પદાર્થ પોતે બધી દિશાઓમાં વિસ્તરે છે.
તેથી,$x$,$r$ અને $d$ ત્રણેય વધે છે.
$1$. રેખીય પ્રસરણને કારણે વીંટીની ત્રિજ્યા $r$ વધે છે.
$2$. ગેપની પહોળાઈ $x$ પણ વધે છે કારણ કે વીંટીનો સમગ્ર પરિઘ વિસ્તરે છે,અને ગેપ પરિઘના એક ભાગ તરીકે વર્તે છે.
$3$. સળિયાની જાડાઈ $d$ પણ વધે છે કારણ કે પદાર્થ પોતે બધી દિશાઓમાં વિસ્તરે છે.
તેથી,$x$,$r$ અને $d$ ત્રણેય વધે છે.
0 likes
View Solution102
DifficultMCQ
જ્યારે સળિયાનું તાપમાન $t$ થી વધીને $(t + \Delta t)$ થાય છે,ત્યારે તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ થી વધીને $(I + \Delta I)$ થાય છે. જો $\alpha$ એ સળિયાનો રેખીય પ્રસરણાંક હોય,તો $(\frac{\Delta I}{I})$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
A
$2\alpha \Delta t$
B
$\alpha \Delta t$
C
$\frac{\alpha \Delta t}{2}$
D
$\frac{\Delta t}{\alpha}$
Solution
(A) સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{12} ML^2$ --- $(i)$
જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણ દરમિયાન દળ $M$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે સમીકરણનું $L$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\Delta I = \frac{1}{12} M (2L \Delta L) = 2 (\frac{1}{12} ML^2) \frac{\Delta L}{L} = 2I \frac{\Delta L}{L}$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \frac{\Delta L}{L}$ --- $(iii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta t$ છે,જેનો અર્થ થાય છે:
$\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta t$
આ કિંમતને સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta t$
$I = \frac{1}{12} ML^2$ --- $(i)$
જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણ દરમિયાન દળ $M$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે સમીકરણનું $L$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\Delta I = \frac{1}{12} M (2L \Delta L) = 2 (\frac{1}{12} ML^2) \frac{\Delta L}{L} = 2I \frac{\Delta L}{L}$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \frac{\Delta L}{L}$ --- $(iii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta t$ છે,જેનો અર્થ થાય છે:
$\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta t$
આ કિંમતને સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta t$
0 likes
View Solution103
MediumMCQ
જો બાયમેટાલિક પટ્ટીને ગરમ કરવામાં આવે, તો તે
A
ઓછા રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી ધાતુ તરફ વળશે
B
વધારે રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી ધાતુ તરફ વળશે
C
જરાય વળશે નહીં
D
કોઈ નહીં
Solution
(A) બાયમેટાલિક પટ્ટી બે અલગ-અલગ રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક $(\alpha)$ ધરાવતી ધાતુની પટ્ટીઓથી બનેલી હોય છે જે એકબીજા સાથે જોડાયેલી હોય છે.
જ્યારે પટ્ટીને ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે જે ધાતુનો રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક $(\alpha)$ વધારે હોય છે તે ઓછો ગુણાંક ધરાવતી ધાતુ કરતા વધુ વિસ્તરણ પામે છે.
કારણ કે બંને ધાતુઓ એકબીજા સાથે જોડાયેલી હોવાથી, લંબાઈમાં તફાવતને સમાવવા માટે પટ્ટીએ વળવું પડે છે.
વધારે પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી બાજુ બહારની ચાપ બને છે અને ઓછો પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી બાજુ અંદરની ચાપ બને છે.
તેથી, પટ્ટી ઓછા રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી ધાતુ તરફ વળે છે.
જ્યારે પટ્ટીને ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે જે ધાતુનો રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક $(\alpha)$ વધારે હોય છે તે ઓછો ગુણાંક ધરાવતી ધાતુ કરતા વધુ વિસ્તરણ પામે છે.
કારણ કે બંને ધાતુઓ એકબીજા સાથે જોડાયેલી હોવાથી, લંબાઈમાં તફાવતને સમાવવા માટે પટ્ટીએ વળવું પડે છે.
વધારે પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી બાજુ બહારની ચાપ બને છે અને ઓછો પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી બાજુ અંદરની ચાપ બને છે.
તેથી, પટ્ટી ઓછા રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી ધાતુ તરફ વળે છે.
0 likes
View Solution104
MediumMCQ
એક બાયમેટાલિક પટ્ટી ધાતુઓ $X$ અને $Y$ ની બનેલી છે. તે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પાયા પર મજબૂતીથી જડેલી છે. ધાતુ $X$ નો રેખીય પ્રસરણાંક ધાતુ $Y$ કરતા વધારે છે. જ્યારે આ બાયમેટાલિક પટ્ટીને ઠંડા બાથમાં મૂકવામાં આવે ત્યારે:
A
તે જમણી તરફ વળશે
B
તે ડાબી તરફ વળશે
C
તે વળશે નહીં પણ સંકોચાશે
D
તે વળશે પણ નહીં અને સંકોચાશે પણ નહીં
Solution
(B) રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ નક્કી કરે છે કે તાપમાનમાં ફેરફાર સાથે પદાર્થની લંબાઈમાં કેટલો ફેરફાર થાય છે,જે $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધાતુ $X$ નો રેખીય પ્રસરણાંક ધાતુ $Y$ કરતા વધારે હોવાથી $(\alpha_X > \alpha_Y)$,જ્યારે તાપમાન ઘટે છે (ઠંડુ પાડવામાં આવે છે) ત્યારે ધાતુ $X$ એ ધાતુ $Y$ કરતા વધુ સંકોચાશે.
કારણ કે ધાતુ $X$ ડાબી બાજુએ છે અને તે ધાતુ $Y$ કરતા વધુ સંકોચાય છે,તેથી પટ્ટી જે બાજુ વધુ સંકોચાય છે તે તરફ વળશે.
તેથી,બાયમેટાલિક પટ્ટી ડાબી તરફ વળશે.
ધાતુ $X$ નો રેખીય પ્રસરણાંક ધાતુ $Y$ કરતા વધારે હોવાથી $(\alpha_X > \alpha_Y)$,જ્યારે તાપમાન ઘટે છે (ઠંડુ પાડવામાં આવે છે) ત્યારે ધાતુ $X$ એ ધાતુ $Y$ કરતા વધુ સંકોચાશે.
કારણ કે ધાતુ $X$ ડાબી બાજુએ છે અને તે ધાતુ $Y$ કરતા વધુ સંકોચાય છે,તેથી પટ્ટી જે બાજુ વધુ સંકોચાય છે તે તરફ વળશે.
તેથી,બાયમેટાલિક પટ્ટી ડાબી તરફ વળશે.
0 likes
View Solution105
MediumMCQ
એક સ્ફટિકનો એક દિશામાં રેખીય પ્રસરણાંક $13 \times 10^{-7} \ K^{-1}$ છે અને તેને લંબ દરેક દિશામાં $231 \times 10^{-7} \ K^{-1}$ છે. તો કદ પ્રસરણાંક કેટલો હશે?
A
$475 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
B
$244 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
C
$462 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
D
$257 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
Solution
(A) અસમદિગ્ધર્મી ઘન પદાર્થ માટે કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ એ ત્રણ પરસ્પર લંબ અક્ષો પરના રેખીય પ્રસરણાંકોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
આપેલ છે:
$\alpha_1 = 13 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\alpha_2 = 231 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\alpha_3 = 231 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
સૂત્ર:
$\gamma = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$
ગણતરી:
$\gamma = (13 + 231 + 231) \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\gamma = 475 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
આપેલ છે:
$\alpha_1 = 13 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\alpha_2 = 231 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\alpha_3 = 231 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
સૂત્ર:
$\gamma = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$
ગણતરી:
$\gamma = (13 + 231 + 231) \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\gamma = 475 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
0 likes
View Solution106
MediumMCQ
$88\; cm$ ની તાંબાની સળિયા અને અજ્ઞાત લંબાઈની એલ્યુમિનિયમની સળિયાની લંબાઈમાં થતો વધારો તાપમાનના વધારાથી સ્વતંત્ર છે. એલ્યુમિનિયમની સળિયાની લંબાઈ....$cm$ છે.
$(\alpha_{Cu} = 1.7 \times 10^{-5}\; K^{-1}$ અને $\alpha_{Al} = 2.2 \times 10^{-5}\; K^{-1})$
$(\alpha_{Cu} = 1.7 \times 10^{-5}\; K^{-1}$ અને $\alpha_{Al} = 2.2 \times 10^{-5}\; K^{-1})$
A
$6.8$
B
$113.9$
C
$88$
D
$68$
Solution
(D) પ્રશ્ન મુજબ બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો વધારો તાપમાનના વધારાથી સ્વતંત્ર છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાનમાં થતા કોઈપણ ફેરફાર $(\Delta T)$ માટે બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $(\Delta \ell)$ સમાન હોવો જોઈએ.
આપેલ છે:
$\ell_{Cu} = 88\; cm$
$\alpha_{Cu} = 1.7 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
$\alpha_{Al} = 2.2 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
ઉષ્મીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta \ell = \ell \alpha \Delta T$ છે.
કારણ કે $(\Delta \ell)_{Cu} = (\Delta \ell)_{Al}$,તેથી:
$\ell_{Cu} \alpha_{Cu} \Delta T = \ell_{Al} \alpha_{Al} \Delta T$
બંને બાજુથી $\Delta T$ દૂર કરતા:
$\ell_{Cu} \alpha_{Cu} = \ell_{Al} \alpha_{Al}$
કિંમતો મૂકતા:
$88 \times 1.7 \times 10^{-5} = \ell_{Al} \times 2.2 \times 10^{-5}$
$\ell_{Al}$ માટે ઉકેલતા:
$\ell_{Al} = \frac{88 \times 1.7}{2.2}$
$\ell_{Al} = 40 \times 1.7 = 68\; cm$.
આપેલ છે:
$\ell_{Cu} = 88\; cm$
$\alpha_{Cu} = 1.7 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
$\alpha_{Al} = 2.2 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
ઉષ્મીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta \ell = \ell \alpha \Delta T$ છે.
કારણ કે $(\Delta \ell)_{Cu} = (\Delta \ell)_{Al}$,તેથી:
$\ell_{Cu} \alpha_{Cu} \Delta T = \ell_{Al} \alpha_{Al} \Delta T$
બંને બાજુથી $\Delta T$ દૂર કરતા:
$\ell_{Cu} \alpha_{Cu} = \ell_{Al} \alpha_{Al}$
કિંમતો મૂકતા:
$88 \times 1.7 \times 10^{-5} = \ell_{Al} \times 2.2 \times 10^{-5}$
$\ell_{Al}$ માટે ઉકેલતા:
$\ell_{Al} = \frac{88 \times 1.7}{2.2}$
$\ell_{Al} = 40 \times 1.7 = 68\; cm$.
0 likes
View Solution107
MediumMCQ
એક નોન-આઈસોટ્રોપિક ઘન ધાતુના સમઘન માટે રેખીય પ્રસરણાંક નીચે મુજબ છે:
$x$-અક્ષ પર $5 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ અને $y$ તથા $z$-અક્ષ પર $5 \times 10^{-6} /^{\circ} C$. જો આ ઘન પદાર્થનો કદ પ્રસરણાંક $C \times 10^{-6} /^{\circ} C$ હોય,તો $C$ નું મૂલ્ય શોધો.
$x$-અક્ષ પર $5 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ અને $y$ તથા $z$-અક્ષ પર $5 \times 10^{-6} /^{\circ} C$. જો આ ઘન પદાર્થનો કદ પ્રસરણાંક $C \times 10^{-6} /^{\circ} C$ હોય,તો $C$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$55$
B
$63$
C
$67$
D
$60$
Solution
(D) નોન-આઈસોટ્રોપિક ઘન પદાર્થ માટે,કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ એ ત્રણ પરસ્પર લંબ અક્ષો પરના રેખીય પ્રસરણાંકનો સરવાળો છે:
$\gamma = \alpha_{x} + \alpha_{y} + \alpha_{z}$
આપેલ છે:
$\alpha_{x} = 5 \times 10^{-5} /^{\circ} C = 50 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\alpha_{y} = 5 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\alpha_{z} = 5 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\gamma = (50 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6}) /^{\circ} C$
$\gamma = (50 + 5 + 5) \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\gamma = 60 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
આને આપેલ સ્વરૂપ $C \times 10^{-6} /^{\circ} C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $C = 60$ મળે છે.
$\gamma = \alpha_{x} + \alpha_{y} + \alpha_{z}$
આપેલ છે:
$\alpha_{x} = 5 \times 10^{-5} /^{\circ} C = 50 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\alpha_{y} = 5 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\alpha_{z} = 5 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\gamma = (50 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6}) /^{\circ} C$
$\gamma = (50 + 5 + 5) \times 10^{-6} /^{\circ} C$
$\gamma = 60 \times 10^{-6} /^{\circ} C$
આને આપેલ સ્વરૂપ $C \times 10^{-6} /^{\circ} C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $C = 60$ મળે છે.
1 likes
View Solution108
Easy
સાબિત કરો કે ઘન પદાર્થની લંબચોરસ શીટનો ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક,$(\Delta A / A) / \Delta T,$ તેના રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha_{l}$ કરતા બમણો હોય છે.
Solution
(N/A) ધારો કે એક ઘન પદાર્થની લંબચોરસ શીટની લંબાઈ $a$ અને પહોળાઈ $b$ છે. જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય છે,ત્યારે લંબાઈ $a$ માં $\Delta a = \alpha_{l} a \Delta T$ જેટલો અને પહોળાઈ $b$ માં $\Delta b = \alpha_{l} b \Delta T$ જેટલો વધારો થાય છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $\Delta A$ એ આકૃતિમાં દર્શાવેલ ત્રણ છાયાંકિત ભાગોના સરવાળા જેટલો છે:
$\Delta A = \Delta A_{1} + \Delta A_{2} + \Delta A_{3}$
$\Delta A = a \Delta b + b \Delta a + (\Delta a)(\Delta b)$
$\Delta a$ અને $\Delta b$ ના મૂલ્યો મુકતા:
$\Delta A = a(\alpha_{l} b \Delta T) + b(\alpha_{l} a \Delta T) + (\alpha_{l} a \Delta T)(\alpha_{l} b \Delta T)$
$\Delta A = 2 \alpha_{l} ab \Delta T + \alpha_{l}^{2} ab (\Delta T)^{2}$
અહીં $A = ab$ હોવાથી:
$\Delta A = 2 \alpha_{l} A \Delta T + \alpha_{l}^{2} A (\Delta T)^{2}$
$\Delta A = \alpha_{l} A \Delta T (2 + \alpha_{l} \Delta T)$
$A \Delta T$ વડે ભાગતા:
$\frac{\Delta A}{A \Delta T} = \alpha_{l} (2 + \alpha_{l} \Delta T)$
$\alpha_{l}$ ખૂબ જ નાનું હોવાથી (સામાન્ય રીતે $\approx 10^{-5} \text{ K}^{-1}$),પદ $\alpha_{l} \Delta T$ એ $2$ ની સરખામણીમાં અવગણી શકાય તેવું છે. તેથી:
$\frac{\Delta A}{A \Delta T} \approx 2 \alpha_{l}$
ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $\Delta A$ એ આકૃતિમાં દર્શાવેલ ત્રણ છાયાંકિત ભાગોના સરવાળા જેટલો છે:
$\Delta A = \Delta A_{1} + \Delta A_{2} + \Delta A_{3}$
$\Delta A = a \Delta b + b \Delta a + (\Delta a)(\Delta b)$
$\Delta a$ અને $\Delta b$ ના મૂલ્યો મુકતા:
$\Delta A = a(\alpha_{l} b \Delta T) + b(\alpha_{l} a \Delta T) + (\alpha_{l} a \Delta T)(\alpha_{l} b \Delta T)$
$\Delta A = 2 \alpha_{l} ab \Delta T + \alpha_{l}^{2} ab (\Delta T)^{2}$
અહીં $A = ab$ હોવાથી:
$\Delta A = 2 \alpha_{l} A \Delta T + \alpha_{l}^{2} A (\Delta T)^{2}$
$\Delta A = \alpha_{l} A \Delta T (2 + \alpha_{l} \Delta T)$
$A \Delta T$ વડે ભાગતા:
$\frac{\Delta A}{A \Delta T} = \alpha_{l} (2 + \alpha_{l} \Delta T)$
$\alpha_{l}$ ખૂબ જ નાનું હોવાથી (સામાન્ય રીતે $\approx 10^{-5} \text{ K}^{-1}$),પદ $\alpha_{l} \Delta T$ એ $2$ ની સરખામણીમાં અવગણી શકાય તેવું છે. તેથી:
$\frac{\Delta A}{A \Delta T} \approx 2 \alpha_{l}$
0 likes
View Solution109
EasyMCQ
એક લુહાર ઘોડાગાડીના લાકડાના પૈડાની રીમ પર લોખંડની રીંગ બેસાડે છે. $27^{\circ}C$ તાપમાને રીમ અને લોખંડની રીંગનો વ્યાસ અનુક્રમે $5.243\; m$ અને $5.231\; m$ છે. રીંગને રીમ પર બરાબર બેસાડવા માટે તેને કેટલા તાપમાન ($^{\circ}C$ માં) સુધી ગરમ કરવી જોઈએ? (આપેલ છે: લોખંડનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.20 \times 10^{-5} K^{-1}$)
A
$186$
B
$218$
C
$293$
D
$312$
Solution
(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 27^{\circ}C$
લોખંડની રીંગની પ્રારંભિક લંબાઈ (વ્યાસ) $L_{T1} = 5.231\; m$
જરૂરી અંતિમ લંબાઈ (વ્યાસ) $L_{T2} = 5.243\; m$
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.20 \times 10^{-5} K^{-1}$
રેખીય પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$L_{T2} = L_{T1} [1 + \alpha(T_{2} - T_{1})]$
કિંમતો મૂકતા:
$5.243 = 5.231 [1 + 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)]$
$5.231$ વડે ભાગતા:
$1.002294 = 1 + 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)$
$0.002294 = 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)$
$T_{2} - 27 = \frac{0.002294}{1.20 \times 10^{-5}}$
$T_{2} - 27 \approx 191.17$
$T_{2} \approx 191.17 + 27 = 218.17^{\circ}C$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,તાપમાન $218^{\circ}C$ મળે છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 27^{\circ}C$
લોખંડની રીંગની પ્રારંભિક લંબાઈ (વ્યાસ) $L_{T1} = 5.231\; m$
જરૂરી અંતિમ લંબાઈ (વ્યાસ) $L_{T2} = 5.243\; m$
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.20 \times 10^{-5} K^{-1}$
રેખીય પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$L_{T2} = L_{T1} [1 + \alpha(T_{2} - T_{1})]$
કિંમતો મૂકતા:
$5.243 = 5.231 [1 + 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)]$
$5.231$ વડે ભાગતા:
$1.002294 = 1 + 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)$
$0.002294 = 1.20 \times 10^{-5} (T_{2} - 27)$
$T_{2} - 27 = \frac{0.002294}{1.20 \times 10^{-5}}$
$T_{2} - 27 \approx 191.17$
$T_{2} \approx 191.17 + 27 = 218.17^{\circ}C$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,તાપમાન $218^{\circ}C$ મળે છે.
0 likes
View Solution110
Medium
$1 \; m$ લાંબી સ્ટીલની પટ્ટી $27.0 \; ^{\circ}C$ તાપમાન માટે યોગ્ય રીતે અંકિત કરેલી છે. જ્યારે તાપમાન $45.0 \; ^{\circ}C$ હોય ત્યારે ગરમ દિવસે આ પટ્ટી દ્વારા માપવામાં આવેલ સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ $63.0 \; cm$ માલૂમ પડે છે. તે દિવસે સ્ટીલના સળિયાની વાસ્તવિક લંબાઈ કેટલી હશે? જ્યારે તાપમાન $27.0 \; ^{\circ}C$ હોય ત્યારે તે જ સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ કેટલી હશે? (સ્ટીલનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.20 \times 10^{-5} \; K^{-1}$)
Solution
(N/A) $T = 27.0 \; ^{\circ}C$ તાપમાને સ્ટીલની પટ્ટીની લંબાઈ $l = 100 \; cm$ છે.
$T_1 = 45.0 \; ^{\circ}C$ તાપમાને,ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે પટ્ટીની લંબાઈ $l'$ વધે છે:
$l' = l(1 + \alpha \Delta T) = 100 \times [1 + 1.20 \times 10^{-5} \times (45.0 - 27.0)]$
$l' = 100 \times [1 + 1.20 \times 10^{-5} \times 18] = 100 \times [1 + 0.000216] = 100.0216 \; cm$.
વિસ્તૃત પટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને સળિયાની માપેલ લંબાઈ $63.0 \; cm$ છે. $45.0 \; ^{\circ}C$ તાપમાને વાસ્તવિક લંબાઈ $l_2$ નીચે મુજબ છે:
$l_2 = \frac{l'}{l} \times 63.0 = \frac{100.0216}{100} \times 63.0 = 63.0136 \; cm$.
$27.0 \; ^{\circ}C$ તાપમાને લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે $l_2 = l_0(1 + \alpha \Delta T)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$63.0136 = l_0(1 + 1.20 \times 10^{-5} \times 18) = l_0(1.000216)$
$l_0 = \frac{63.0136}{1.000216} \approx 63.0 \; cm$.
$T_1 = 45.0 \; ^{\circ}C$ તાપમાને,ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે પટ્ટીની લંબાઈ $l'$ વધે છે:
$l' = l(1 + \alpha \Delta T) = 100 \times [1 + 1.20 \times 10^{-5} \times (45.0 - 27.0)]$
$l' = 100 \times [1 + 1.20 \times 10^{-5} \times 18] = 100 \times [1 + 0.000216] = 100.0216 \; cm$.
વિસ્તૃત પટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને સળિયાની માપેલ લંબાઈ $63.0 \; cm$ છે. $45.0 \; ^{\circ}C$ તાપમાને વાસ્તવિક લંબાઈ $l_2$ નીચે મુજબ છે:
$l_2 = \frac{l'}{l} \times 63.0 = \frac{100.0216}{100} \times 63.0 = 63.0136 \; cm$.
$27.0 \; ^{\circ}C$ તાપમાને લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે $l_2 = l_0(1 + \alpha \Delta T)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$63.0136 = l_0(1 + 1.20 \times 10^{-5} \times 18) = l_0(1.000216)$
$l_0 = \frac{63.0136}{1.000216} \approx 63.0 \; cm$.
0 likes
View Solution111
MediumMCQ
એક મોટું સ્ટીલનું પૈડું સમાન દ્રવ્યના શાફ્ટ પર બેસાડવાનું છે. $27^{\circ}C$ તાપમાને,શાફ્ટનો બહારનો વ્યાસ $8.70\;cm$ છે અને પૈડામાં રહેલા કેન્દ્રીય કાણાનો વ્યાસ $8.69\;cm$ છે. શાફ્ટને 'ડ્રાય આઈસ' (સૂકો બરફ) નો ઉપયોગ કરીને ઠંડુ કરવામાં આવે છે. શાફ્ટના કયા તાપમાને ($^{\circ}C$ માં) પૈડું શાફ્ટ પર સરકી જશે? સ્ટીલનો રેખીય પ્રસરણાંક જરૂરી તાપમાનના ગાળામાં અચળ ધારો: $\alpha_{steel} = 1.20 \times 10^{-5}\;K^{-1}$.
A
$42$
B
$-42$
C
$-69$
D
$69$
Solution
(C) શરૂઆતનું તાપમાન $T = 27^{\circ}C = 300\;K$.
શાફ્ટનો શરૂઆતનો વ્યાસ $d_1 = 8.70\;cm$.
પૈડાના કાણાનો વ્યાસ $d_2 = 8.69\;cm$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.20 \times 10^{-5}\;K^{-1}$.
જ્યારે શાફ્ટનો વ્યાસ કાણાના વ્યાસ જેટલો થાય ત્યારે પૈડું શાફ્ટ પર સરકી જશે,એટલે કે $d_2 = 8.69\;cm$.
વ્યાસમાં થતો ફેરફાર $\Delta d = d_2 - d_1 = 8.69 - 8.70 = -0.01\;cm$.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta d = d_1 \alpha \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\Delta T = T_f - T_i$:
$-0.01 = 8.70 \times (1.20 \times 10^{-5}) \times (T_f - 300)$.
$T_f - 300 = \frac{-0.01}{8.70 \times 1.20 \times 10^{-5}} = \frac{-0.01}{0.0001044} \approx -95.78\;K$.
$T_f = 300 - 95.78 = 204.22\;K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_f(^{\circ}C) = 204.22 - 273.15 \approx -68.93^{\circ}C$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,તાપમાન $-69^{\circ}C$ મળે છે.
શાફ્ટનો શરૂઆતનો વ્યાસ $d_1 = 8.70\;cm$.
પૈડાના કાણાનો વ્યાસ $d_2 = 8.69\;cm$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.20 \times 10^{-5}\;K^{-1}$.
જ્યારે શાફ્ટનો વ્યાસ કાણાના વ્યાસ જેટલો થાય ત્યારે પૈડું શાફ્ટ પર સરકી જશે,એટલે કે $d_2 = 8.69\;cm$.
વ્યાસમાં થતો ફેરફાર $\Delta d = d_2 - d_1 = 8.69 - 8.70 = -0.01\;cm$.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta d = d_1 \alpha \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\Delta T = T_f - T_i$:
$-0.01 = 8.70 \times (1.20 \times 10^{-5}) \times (T_f - 300)$.
$T_f - 300 = \frac{-0.01}{8.70 \times 1.20 \times 10^{-5}} = \frac{-0.01}{0.0001044} \approx -95.78\;K$.
$T_f = 300 - 95.78 = 204.22\;K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_f(^{\circ}C) = 204.22 - 273.15 \approx -68.93^{\circ}C$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,તાપમાન $-69^{\circ}C$ મળે છે.
0 likes
View Solution112
MediumMCQ
તાંબાની શીટમાં એક કાણું પાડવામાં આવે છે. $27.0 \; ^{\circ}C$ તાપમાને કાણાનો વ્યાસ $4.24 \; cm$ છે. જ્યારે શીટને $227 \; ^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે ત્યારે કાણાના વ્યાસમાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે? (તાંબાનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.70 \times 10^{-5} \; K^{-1}$)
A
$3.21 \times 10^{-3} \; cm$
B
$8.96 \times 10^{-1} \; cm$
C
$4.98 \times 10^{-2} \; cm$
D
$1.44 \times 10^{-2} \; cm$
Solution
(D) પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 27.0 \; ^{\circ}C$.
પ્રારંભિક વ્યાસ $d_{1} = 4.24 \; cm$.
અંતિમ તાપમાન $T_{2} = 227 \; ^{\circ}C$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_{2} - T_{1} = 227 - 27 = 200 \; K$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.70 \times 10^{-5} \; K^{-1}$.
પદાર્થમાં રહેલા કાણાનું ઉષ્મીય પ્રસરણ તે જ પદાર્થની નક્કર તકતીના પ્રસરણના નિયમ મુજબ થાય છે.
વ્યાસમાં થતો ફેરફાર $\Delta d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\Delta d = d_{1} \alpha \Delta T$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta d = 4.24 \times (1.70 \times 10^{-5}) \times 200$.
$\Delta d = 4.24 \times 3.40 \times 10^{-3}$.
$\Delta d = 14.416 \times 10^{-3} \; cm$.
$\Delta d = 1.4416 \times 10^{-2} \; cm \approx 1.44 \times 10^{-2} \; cm$.
પ્રારંભિક વ્યાસ $d_{1} = 4.24 \; cm$.
અંતિમ તાપમાન $T_{2} = 227 \; ^{\circ}C$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_{2} - T_{1} = 227 - 27 = 200 \; K$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.70 \times 10^{-5} \; K^{-1}$.
પદાર્થમાં રહેલા કાણાનું ઉષ્મીય પ્રસરણ તે જ પદાર્થની નક્કર તકતીના પ્રસરણના નિયમ મુજબ થાય છે.
વ્યાસમાં થતો ફેરફાર $\Delta d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\Delta d = d_{1} \alpha \Delta T$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta d = 4.24 \times (1.70 \times 10^{-5}) \times 200$.
$\Delta d = 4.24 \times 3.40 \times 10^{-3}$.
$\Delta d = 14.416 \times 10^{-3} \; cm$.
$\Delta d = 1.4416 \times 10^{-2} \; cm \approx 1.44 \times 10^{-2} \; cm$.
0 likes
View Solution113
Medium
$50\; cm$ લંબાઈ અને $3.0\; mm$ વ્યાસ ધરાવતા પિત્તળના સળિયાને તેટલી જ લંબાઈ અને વ્યાસ ધરાવતા સ્ટીલના સળિયા સાથે જોડવામાં આવે છે. જો મૂળ લંબાઈ $40.0\; ^{\circ}C$ તાપમાને હોય,તો $250\; ^{\circ}C$ તાપમાને સંયુક્ત સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે? શું જંકશન પર કોઈ 'થર્મલ સ્ટ્રેસ' (ઉષ્મીય પ્રતિબળ) ઉત્પન્ન થાય છે? સળિયાના છેડા મુક્ત રીતે વિસ્તરણ પામી શકે છે. (પિત્તળનો રેખીય પ્રસરણાંક $= 2.0 \times 10^{-5}\; K^{-1}$,સ્ટીલ $= 1.2 \times 10^{-5}\; K^{-1}$)
Solution
(N/A) પ્રારંભિક તાપમાન,$T_{1} = 40.0\; ^{\circ}C$
અંતિમ તાપમાન,$T_{2} = 250\; ^{\circ}C$
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta T = T_{2} - T_{1} = 210\; ^{\circ}C$
દરેક સળિયાની લંબાઈ,$l = 50\; cm$
પિત્તળનો રેખીય પ્રસરણાંક,$\alpha_{b} = 2.0 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
સ્ટીલનો રેખીય પ્રસરણાંક,$\alpha_{s} = 1.2 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
પિત્તળના સળિયાની લંબાઈમાં ફેરફાર,$\Delta l_{b} = l \alpha_{b} \Delta T = 50 \times (2.0 \times 10^{-5}) \times 210 = 0.21\; cm$
સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈમાં ફેરફાર,$\Delta l_{s} = l \alpha_{s} \Delta T = 50 \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 210 = 0.126\; cm$
સંયુક્ત સળિયાની લંબાઈમાં કુલ ફેરફાર,$\Delta l = \Delta l_{b} + \Delta l_{s} = 0.21 + 0.126 = 0.336\; cm$
સળિયાના છેડા મુક્ત રીતે વિસ્તરણ પામી શકે છે,તેથી વિસ્તરણ પર કોઈ અવરોધ નથી,અને તેથી જંકશન પર કોઈ 'થર્મલ સ્ટ્રેસ' ઉત્પન્ન થતો નથી.
અંતિમ તાપમાન,$T_{2} = 250\; ^{\circ}C$
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta T = T_{2} - T_{1} = 210\; ^{\circ}C$
દરેક સળિયાની લંબાઈ,$l = 50\; cm$
પિત્તળનો રેખીય પ્રસરણાંક,$\alpha_{b} = 2.0 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
સ્ટીલનો રેખીય પ્રસરણાંક,$\alpha_{s} = 1.2 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
પિત્તળના સળિયાની લંબાઈમાં ફેરફાર,$\Delta l_{b} = l \alpha_{b} \Delta T = 50 \times (2.0 \times 10^{-5}) \times 210 = 0.21\; cm$
સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈમાં ફેરફાર,$\Delta l_{s} = l \alpha_{s} \Delta T = 50 \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 210 = 0.126\; cm$
સંયુક્ત સળિયાની લંબાઈમાં કુલ ફેરફાર,$\Delta l = \Delta l_{b} + \Delta l_{s} = 0.21 + 0.126 = 0.336\; cm$
સળિયાના છેડા મુક્ત રીતે વિસ્તરણ પામી શકે છે,તેથી વિસ્તરણ પર કોઈ અવરોધ નથી,અને તેથી જંકશન પર કોઈ 'થર્મલ સ્ટ્રેસ' ઉત્પન્ન થતો નથી.
0 likes
View Solution114
Difficult
એક સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ બે કોપરના સળિયા $AB$ અને $BC$ તથા એક એલ્યુમિનિયમના સળિયા $AC$ દ્વારા બનેલો છે. આ તંત્રને એવી રીતે ગરમ કરવામાં આવે છે કે જેથી દરેક સળિયાનું તાપમાન $\Delta T$ જેટલું વધે છે. ખૂણા $\angle ABC$ માં થતો ફેરફાર શોધો. (કોપર માટે રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha_1$ અને એલ્યુમિનિયમ માટે $\alpha_2$ છે).
Solution
(N/A) ધારો કે બાજુઓની લંબાઈ $AB = l_1$,$BC = l_3$,અને $AC = l_2$ છે. શરૂઆતમાં,$l_1 = l_2 = l_3 = l$.
ખૂણા $\angle ABC = \theta$ માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = \frac{l_1^2 + l_3^2 - l_2^2}{2 l_1 l_3}$
$2 l_1 l_3 \cos \theta = l_1^2 + l_3^2 - l_2^2$
બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2(l_3 dl_1 + l_1 dl_3) \cos \theta - 2 l_1 l_3 \sin \theta d\theta = 2 l_1 dl_1 + 2 l_3 dl_3 - 2 l_2 dl_2$
અહીં $AB$ અને $BC$ કોપર $(\alpha_1)$ ના છે અને $AC$ એલ્યુમિનિયમ $(\alpha_2)$ નો છે:
$dl_1 = l_1 \alpha_1 \Delta T$,$dl_3 = l_3 \alpha_1 \Delta T$,$dl_2 = l_2 \alpha_2 \Delta T$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા અને $l_1 = l_2 = l_3 = l$ તથા $\theta = 60^\circ$ લેતા:
$2(l^2 \alpha_1 \Delta T + l^2 \alpha_1 \Delta T) \cos 60^\circ - 2 l^2 \sin 60^\circ d\theta = 2 l^2 \alpha_1 \Delta T + 2 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$4 l^2 \alpha_1 \Delta T (1/2) - 2 l^2 (\sqrt{3}/2) d\theta = 4 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$2 l^2 \alpha_1 \Delta T - \sqrt{3} l^2 d\theta = 4 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$-\sqrt{3} d\theta = 2 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$d\theta = \frac{2(\alpha_2 - \alpha_1) \Delta T}{\sqrt{3}}$
ખૂણા $\angle ABC = \theta$ માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = \frac{l_1^2 + l_3^2 - l_2^2}{2 l_1 l_3}$
$2 l_1 l_3 \cos \theta = l_1^2 + l_3^2 - l_2^2$
બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2(l_3 dl_1 + l_1 dl_3) \cos \theta - 2 l_1 l_3 \sin \theta d\theta = 2 l_1 dl_1 + 2 l_3 dl_3 - 2 l_2 dl_2$
અહીં $AB$ અને $BC$ કોપર $(\alpha_1)$ ના છે અને $AC$ એલ્યુમિનિયમ $(\alpha_2)$ નો છે:
$dl_1 = l_1 \alpha_1 \Delta T$,$dl_3 = l_3 \alpha_1 \Delta T$,$dl_2 = l_2 \alpha_2 \Delta T$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા અને $l_1 = l_2 = l_3 = l$ તથા $\theta = 60^\circ$ લેતા:
$2(l^2 \alpha_1 \Delta T + l^2 \alpha_1 \Delta T) \cos 60^\circ - 2 l^2 \sin 60^\circ d\theta = 2 l^2 \alpha_1 \Delta T + 2 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$4 l^2 \alpha_1 \Delta T (1/2) - 2 l^2 (\sqrt{3}/2) d\theta = 4 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$2 l^2 \alpha_1 \Delta T - \sqrt{3} l^2 d\theta = 4 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$-\sqrt{3} d\theta = 2 l^2 \alpha_1 \Delta T - 2 l^2 \alpha_2 \Delta T$
$d\theta = \frac{2(\alpha_2 - \alpha_1) \Delta T}{\sqrt{3}}$
0 likes
View Solution115
Medium
ઉષ્મીય પ્રસરણ એટલે શું? તેના પ્રકારો માત્ર લખો.
Solution
(N/A) ઉષ્મીય પ્રસરણ એ એવી ઘટના છે જેમાં તાપમાનમાં વધારો થવાને કારણે પદાર્થના પરિમાણોમાં વધારો થાય છે. જ્યારે કોઈ પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના કણો ગતિ ઊર્જા મેળવે છે અને વધુ જોરથી કંપન કરે છે,જેનાથી તેમની વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધે છે,જે પરિણામે સ્થૂળ પ્રસરણ તરફ દોરી જાય છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણના ત્રણ પ્રકારો છે:
$(a)$ રેખીય પ્રસરણ: ઘન પદાર્થની લંબાઈમાં થતા પ્રસરણને રેખીય પ્રસરણ કહે છે.
$(b)$ પૃષ્ઠ પ્રસરણ (ક્ષેત્રફળ પ્રસરણ): ઘન પદાર્થની સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતા પ્રસરણને પૃષ્ઠ પ્રસરણ કહે છે.
$(c)$ કદ પ્રસરણ: ઘન અથવા પ્રવાહી પદાર્થના કદમાં થતા પ્રસરણને કદ પ્રસરણ કહે છે.
આ નીચે મુજબ દર્શાવેલ છે:
$(a)$ રેખીય પ્રસરણ: $\frac{\Delta l}{l} = \alpha_l \Delta T$
$(b)$ પૃષ્ઠ પ્રસરણ: $\frac{\Delta A}{A} = 2\alpha_l \Delta T$
$(c)$ કદ પ્રસરણ: $\frac{\Delta V}{V} = 3\alpha_l \Delta T$
ઉષ્મીય પ્રસરણના ત્રણ પ્રકારો છે:
$(a)$ રેખીય પ્રસરણ: ઘન પદાર્થની લંબાઈમાં થતા પ્રસરણને રેખીય પ્રસરણ કહે છે.
$(b)$ પૃષ્ઠ પ્રસરણ (ક્ષેત્રફળ પ્રસરણ): ઘન પદાર્થની સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતા પ્રસરણને પૃષ્ઠ પ્રસરણ કહે છે.
$(c)$ કદ પ્રસરણ: ઘન અથવા પ્રવાહી પદાર્થના કદમાં થતા પ્રસરણને કદ પ્રસરણ કહે છે.
આ નીચે મુજબ દર્શાવેલ છે:
$(a)$ રેખીય પ્રસરણ: $\frac{\Delta l}{l} = \alpha_l \Delta T$
$(b)$ પૃષ્ઠ પ્રસરણ: $\frac{\Delta A}{A} = 2\alpha_l \Delta T$
$(c)$ કદ પ્રસરણ: $\frac{\Delta V}{V} = 3\alpha_l \Delta T$
0 likes
View Solution116
Medium
રેખીય પ્રસરણ સમજાવો. તેનો એકમ લખો.
Solution
જ્યારે પદાર્થનું તાપમાન વધારવામાં આવે ત્યારે તેની લંબાઈમાં થતા વધારાને રેખીય પ્રસરણ કહે છે.
લંબાઈમાં થતો વધારો $(\Delta l)$ એ મૂળ લંબાઈ $(l)$ અને તાપમાનના તફાવત $(\Delta T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\Delta l \propto l$ અને $\Delta l \propto \Delta T$
આ બંનેને જોડતા,$\Delta l \propto l \Delta T$ મળે છે.
$\frac{\Delta l}{l} = \alpha_{l} \Delta T$,જ્યાં $\alpha_{l}$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
તેથી,$\Delta l = \alpha_{l} l \Delta T$.
$\alpha_{l}$ એ પદાર્થનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે અને તે પદાર્થના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે.
$\alpha_{l}$ નો એકમ $(^{\circ}C)^{-1}$ અથવા $K^{-1}$ છે.
જો $T_{1}$ તાપમાને પ્રારંભિક લંબાઈ $l_{1}$ હોય અને $T_{2}$ તાપમાને અંતિમ લંબાઈ $l_{2}$ હોય,તો:
$l_{2} - l_{1} = \alpha_{l} l_{1} (T_{2} - T_{1})$
$l_{2} = l_{1} [1 + \alpha_{l} (T_{2} - T_{1})]$
લંબાઈમાં થતો વધારો $(\Delta l)$ એ મૂળ લંબાઈ $(l)$ અને તાપમાનના તફાવત $(\Delta T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\Delta l \propto l$ અને $\Delta l \propto \Delta T$
આ બંનેને જોડતા,$\Delta l \propto l \Delta T$ મળે છે.
$\frac{\Delta l}{l} = \alpha_{l} \Delta T$,જ્યાં $\alpha_{l}$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
તેથી,$\Delta l = \alpha_{l} l \Delta T$.
$\alpha_{l}$ એ પદાર્થનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે અને તે પદાર્થના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે.
$\alpha_{l}$ નો એકમ $(^{\circ}C)^{-1}$ અથવા $K^{-1}$ છે.
જો $T_{1}$ તાપમાને પ્રારંભિક લંબાઈ $l_{1}$ હોય અને $T_{2}$ તાપમાને અંતિમ લંબાઈ $l_{2}$ હોય,તો:
$l_{2} - l_{1} = \alpha_{l} l_{1} (T_{2} - T_{1})$
$l_{2} = l_{1} [1 + \alpha_{l} (T_{2} - T_{1})]$
0 likes
View Solution117
Medium
કદ પ્રસરણાંક $(\alpha_V)$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha_l)$ વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
Solution
(A) ધારો કે $l$ લંબાઈનો એક સમઘન છે. જ્યારે તેનું તાપમાન $\Delta T$ જેટલું વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તે તમામ પરિમાણોમાં સમાન રીતે વિસ્તરે છે.
કદના સૂત્ર પરથી,$V = l^3$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = (l + \Delta l)^3 - l^3$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\Delta V = l^3 + 3l^2 \Delta l + 3l(\Delta l)^2 + (\Delta l)^3 - l^3$ મળે.
$\Delta l$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$(\Delta l)^2$ અને $(\Delta l)^3$ ને અવગણી શકાય છે. તેથી,$\Delta V \approx 3l^2 \Delta l$ ... $(1)$.
રેખીય પ્રસરણની વ્યાખ્યા મુજબ,$\Delta l = \alpha_l l \Delta T$ ... $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા:
$\Delta V = 3l^2 (\alpha_l l \Delta T) = 3l^3 \alpha_l \Delta T$.
$V = l^3$ હોવાથી,$\Delta V = 3 V \alpha_l \Delta T$ ... $(3)$.
કદ પ્રસરણના સામાન્ય સમીકરણ $\Delta V = \alpha_V V \Delta T$ સાથે સમીકરણ $(3)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\alpha_V = 3 \alpha_l$.
કદના સૂત્ર પરથી,$V = l^3$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = (l + \Delta l)^3 - l^3$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\Delta V = l^3 + 3l^2 \Delta l + 3l(\Delta l)^2 + (\Delta l)^3 - l^3$ મળે.
$\Delta l$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$(\Delta l)^2$ અને $(\Delta l)^3$ ને અવગણી શકાય છે. તેથી,$\Delta V \approx 3l^2 \Delta l$ ... $(1)$.
રેખીય પ્રસરણની વ્યાખ્યા મુજબ,$\Delta l = \alpha_l l \Delta T$ ... $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા:
$\Delta V = 3l^2 (\alpha_l l \Delta T) = 3l^3 \alpha_l \Delta T$.
$V = l^3$ હોવાથી,$\Delta V = 3 V \alpha_l \Delta T$ ... $(3)$.
કદ પ્રસરણના સામાન્ય સમીકરણ $\Delta V = \alpha_V V \Delta T$ સાથે સમીકરણ $(3)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\alpha_V = 3 \alpha_l$.
0 likes
View Solution118
MediumMCQ
જો એક સળિયાને બંને છેડેથી મજબૂતીથી જકડી રાખવામાં આવે અને તેનું તાપમાન વધારવામાં આવે તો શું થશે?
A
સળિયો મુક્તપણે વિસ્તરણ પામશે.
B
સળિયામાં દબાણયુક્ત પ્રતિબળ (compressive stress) ઉત્પન્ન થશે અને તે વળી શકે છે.
C
સળિયામાં તણાવયુક્ત પ્રતિબળ (tensile stress) ઉત્પન્ન થશે.
D
કોઈપણ પ્રતિબળ વગર સળિયાની લંબાઈ અચળ રહેશે.
Solution
(B) જ્યારે કોઈ સળિયાને બંને છેડેથી મજબૂતીથી જકડી રાખવામાં આવે છે,ત્યારે ગરમ કરવા પર તે મુક્તપણે વિસ્તરણ પામી શકતો નથી.
જેમ તાપમાન વધે છે,સળિયો $\Delta l = l \alpha \Delta T$ જેટલું વિસ્તરણ કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે. ટેકાઓ મજબૂત હોવાથી,તેઓ સળિયા પર અંદરની તરફ બળ લગાડે છે,જે આ વિસ્તરણને અટકાવે છે.
આ અવરોધને કારણે દ્રવ્યમાં દબાણયુક્ત વિકૃતિ (compressive strain) અને પરિણામે ઉષ્મીય પ્રતિબળ (thermal stress) ઉત્પન્ન થાય છે. ઉષ્મીય પ્રતિબળ $\sigma = Y \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આંતરિક દબાણયુક્ત બળ સળિયા અથવા તેના ટેકાઓની મર્યાદા કરતા વધી જાય,તો સળિયો વળી શકે છે અથવા વાંકો વળી શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $40 \text{ cm}^2$ આડછેદ ધરાવતા સ્ટીલના સળિયાને જકડી રાખવામાં આવે,તો $10^{\circ}C$ તાપમાનના ફેરફારથી $1.2 \times 10^{-4}$ જેટલી દબાણયુક્ત વિકૃતિ ઉત્પન્ન થાય છે.
પરિણામી બળ $F = Y A \epsilon = (2 \times 10^{11} \text{ Pa}) \times (40 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times (1.2 \times 10^{-4}) = 96,000 \text{ N}$ થાય છે,જે ઘણી રચનાઓમાં વળાંક અથવા બકલિંગ પેદા કરવા માટે પૂરતું છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,સળિયો $\Delta l = l \alpha \Delta T$ જેટલું વિસ્તરણ કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે. ટેકાઓ મજબૂત હોવાથી,તેઓ સળિયા પર અંદરની તરફ બળ લગાડે છે,જે આ વિસ્તરણને અટકાવે છે.
આ અવરોધને કારણે દ્રવ્યમાં દબાણયુક્ત વિકૃતિ (compressive strain) અને પરિણામે ઉષ્મીય પ્રતિબળ (thermal stress) ઉત્પન્ન થાય છે. ઉષ્મીય પ્રતિબળ $\sigma = Y \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આંતરિક દબાણયુક્ત બળ સળિયા અથવા તેના ટેકાઓની મર્યાદા કરતા વધી જાય,તો સળિયો વળી શકે છે અથવા વાંકો વળી શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $40 \text{ cm}^2$ આડછેદ ધરાવતા સ્ટીલના સળિયાને જકડી રાખવામાં આવે,તો $10^{\circ}C$ તાપમાનના ફેરફારથી $1.2 \times 10^{-4}$ જેટલી દબાણયુક્ત વિકૃતિ ઉત્પન્ન થાય છે.
પરિણામી બળ $F = Y A \epsilon = (2 \times 10^{11} \text{ Pa}) \times (40 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times (1.2 \times 10^{-4}) = 96,000 \text{ N}$ થાય છે,જે ઘણી રચનાઓમાં વળાંક અથવા બકલિંગ પેદા કરવા માટે પૂરતું છે.
0 likes
View Solution119
Medium
ક્ષેત્રીય પ્રસરણ એટલે શું? ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંકની વ્યાખ્યા અને એકમ આપો.
Solution
(N/A) ક્ષેત્રીય પ્રસરણ (અથવા પૃષ્ઠીય પ્રસરણ) એટલે તાપમાનમાં વધારો થવાને કારણે ઘન પદાર્થના પૃષ્ઠફળમાં થતો વધારો.
ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંક $(\beta)$ ની વ્યાખ્યા: તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ ક્ષેત્રફળમાં થતા આંશિક ફેરફારને ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંક કહે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\beta = \frac{\Delta A}{A_0 \Delta T}$,જ્યાં $\Delta A$ એ ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર છે,$A_0$ એ પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ છે,અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં ફેરફાર છે.
એકમ: ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંકનો $SI$ એકમ $\text{K}^{-1}$ અથવા $^\circ\text{C}^{-1}$ છે.
ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંક $(\beta)$ ની વ્યાખ્યા: તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ ક્ષેત્રફળમાં થતા આંશિક ફેરફારને ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંક કહે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\beta = \frac{\Delta A}{A_0 \Delta T}$,જ્યાં $\Delta A$ એ ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર છે,$A_0$ એ પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ છે,અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં ફેરફાર છે.
એકમ: ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંકનો $SI$ એકમ $\text{K}^{-1}$ અથવા $^\circ\text{C}^{-1}$ છે.
0 likes
View Solution120
MediumMCQ
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha_l$ નું મૂલ્ય શેના પર આધાર રાખે છે? તેનો એકમ લખો.
A
Material of the rod,$K^{-1}$
B
Length of the rod,$K^{-1}$
C
Temperature change,$K$
D
Area of the rod,$m^2$
Solution
(A) રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha_l$ ને $\Delta L = L_0 \alpha_l \Delta T$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે,$L_0$ એ મૂળ લંબાઈ છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આના પરથી,$\alpha_l = \frac{\Delta L}{L_0 \Delta T}$.
$\alpha_l$ સંપૂર્ણપણે પદાર્થના પ્રકાર (દ્રવ્ય) પર આધાર રાખે છે.
તેનો $SI$ એકમ પ્રતિ કેલ્વિન $(K^{-1})$ અથવા પ્રતિ ડિગ્રી સેલ્સિયસ $(^{\circ}C^{-1})$ છે.
આના પરથી,$\alpha_l = \frac{\Delta L}{L_0 \Delta T}$.
$\alpha_l$ સંપૂર્ણપણે પદાર્થના પ્રકાર (દ્રવ્ય) પર આધાર રાખે છે.
તેનો $SI$ એકમ પ્રતિ કેલ્વિન $(K^{-1})$ અથવા પ્રતિ ડિગ્રી સેલ્સિયસ $(^{\circ}C^{-1})$ છે.
0 likes
View Solution121
Medium
રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha_l)$,ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક $(\alpha_A)$ અને કદ પ્રસરણાંક $(\alpha_V)$ વચ્ચેનો સંબંધ લખો.
Solution
(N/A) રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha_l)$ ને તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ લંબાઈમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક $(\alpha_A)$ ને તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ ક્ષેત્રફળમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે આશરે $2\alpha_l$ જેટલું હોય છે.
કદ પ્રસરણાંક $(\alpha_V)$ ને તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ કદમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે આશરે $3\alpha_l$ જેટલું હોય છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો સંબંધ આ ગુણોત્તર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $\alpha_l : \alpha_A : \alpha_V = 1 : 2 : 3$.
ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક $(\alpha_A)$ ને તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ ક્ષેત્રફળમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે આશરે $2\alpha_l$ જેટલું હોય છે.
કદ પ્રસરણાંક $(\alpha_V)$ ને તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ કદમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે આશરે $3\alpha_l$ જેટલું હોય છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો સંબંધ આ ગુણોત્તર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $\alpha_l : \alpha_A : \alpha_V = 1 : 2 : 3$.
0 likes
View Solution122
MediumMCQ
ઘન પદાર્થ માટે કદ પ્રસરણાંક $(\alpha_V)$ વિરુદ્ધ તાપમાન $(T)$ નો આલેખ દોરો.
A
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા.
B
તાપમાનની ધરીને સમાંતર આડી રેખા.
C
તાપમાન સાથે વધતો વક્ર.
D
તાપમાન સાથે ઘટતો વક્ર.
Solution
(C) ઘન પદાર્થ માટે કદ પ્રસરણાંક $(\alpha_V)$ ને તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ કદમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે,$\alpha_V = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$.
મોટાભાગના ઘન પદાર્થો માટે,$\alpha_V$ અચળ નથી પરંતુ તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
ખૂબ જ નીચા તાપમાને ($0 \ K$ ની નજીક),$\alpha_V$ ખૂબ નાનું હોય છે અને તાપમાન સાથે વધે છે.
જેમ જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ $\alpha_V$ વધે છે અને અંતે ઊંચા તાપમાને અચળ મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,$\alpha_V$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ એક વક્ર છે જે નીચા મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને વધે છે,અને અંતે ઊંચા તાપમાને લગભગ અચળ બની જાય છે.
મોટાભાગના ઘન પદાર્થો માટે,$\alpha_V$ અચળ નથી પરંતુ તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
ખૂબ જ નીચા તાપમાને ($0 \ K$ ની નજીક),$\alpha_V$ ખૂબ નાનું હોય છે અને તાપમાન સાથે વધે છે.
જેમ જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ $\alpha_V$ વધે છે અને અંતે ઊંચા તાપમાને અચળ મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,$\alpha_V$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ એક વક્ર છે જે નીચા મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને વધે છે,અને અંતે ઊંચા તાપમાને લગભગ અચળ બની જાય છે.
0 likes
View Solution123
Medium
રેખીય પ્રસરણાંક અને કદ પ્રસરણાંક વચ્ચેનો સંબંધ લખો.
Solution
(N/A) ધારો કે $T$ તાપમાને એક ઘન પદાર્થની બાજુની લંબાઈ $L$ છે. તેનું પ્રારંભિક કદ $V = L^3$ છે.
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય,ત્યારે નવી લંબાઈ $L' = L(1 + \alpha \Delta T)$ થાય છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
નવું કદ $V' = (L')^3 = [L(1 + \alpha \Delta T)]^3$ દ્વારા મળે છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x$ ખૂબ નાનું છે,આપણને $V' \approx L^3(1 + 3\alpha \Delta T) = V(1 + 3\alpha \Delta T)$ મળે છે.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ ને $V' = V(1 + \gamma \Delta T)$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\gamma = 3\alpha$ મળે છે.
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય,ત્યારે નવી લંબાઈ $L' = L(1 + \alpha \Delta T)$ થાય છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
નવું કદ $V' = (L')^3 = [L(1 + \alpha \Delta T)]^3$ દ્વારા મળે છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x$ ખૂબ નાનું છે,આપણને $V' \approx L^3(1 + 3\alpha \Delta T) = V(1 + 3\alpha \Delta T)$ મળે છે.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ ને $V' = V(1 + \gamma \Delta T)$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\gamma = 3\alpha$ મળે છે.
0 likes
View Solution124
EasyMCQ
તાપમાનમાં વધારો થવાથી ઘન પદાર્થોની ઘનતા શા માટે બદલાય છે?
A
દળ વધે છે,કદ અચળ રહે છે.
B
દળ અચળ રહે છે,ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે કદ વધે છે.
C
દળ ઘટે છે,કદ અચળ રહે છે.
D
દળ અચળ રહે છે,ઉષ્મીય સંકોચનને કારણે કદ ઘટે છે.
Solution
(B) પદાર્થની ઘનતા $\rho$ એ તેના દળ $m$ અને કદ $V$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{V}$ છે.
જ્યારે ઘન પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે તેના પરમાણુઓ વધુ કંપન કરે છે,જેના કારણે તેમની વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધે છે. આ ઘટનાને ઉષ્મીય પ્રસરણ કહેવામાં આવે છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણને પરિણામે,ઘન પદાર્થનું કદ $V$ વધે છે.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન પદાર્થનું દળ $m$ અચળ રહેતું હોવાથી,કદ $V$ માં થતો વધારો ઘનતા $\rho$ માં ઘટાડો કરે છે,કારણ કે $\rho$ એ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
જ્યારે ઘન પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે તેના પરમાણુઓ વધુ કંપન કરે છે,જેના કારણે તેમની વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધે છે. આ ઘટનાને ઉષ્મીય પ્રસરણ કહેવામાં આવે છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણને પરિણામે,ઘન પદાર્થનું કદ $V$ વધે છે.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન પદાર્થનું દળ $m$ અચળ રહેતું હોવાથી,કદ $V$ માં થતો વધારો ઘનતા $\rho$ માં ઘટાડો કરે છે,કારણ કે $\rho$ એ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
0 likes
View Solution125
MediumMCQ
રેખીય પ્રસરણાંકનું મૂલ્ય શેના પર આધાર રાખે છે?
A
માત્ર સળિયાના દ્રવ્ય પર.
B
માત્ર સળિયાની પ્રારંભિક લંબાઈ પર.
C
દ્રવ્યના પ્રકાર અને તાપમાનના ગાળા પર.
D
સળિયાના આકાર પર.
Solution
(C) રેખીય પ્રસરણાંક,જેને $\alpha$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એક એવો ગુણધર્મ છે જે દર્શાવે છે કે તાપમાન સાથે પદાર્થની લંબાઈમાં કેવી રીતે ફેરફાર થાય છે.
તે મુખ્યત્વે પદાર્થના પ્રકાર (પરમાણુ બંધારણ અને બંધન) અને તાપમાનના ગાળા પર આધાર રાખે છે જેમાં પ્રસરણ માપવામાં આવે છે.
જોકે તાપમાનમાં નાના ફેરફારો માટે તેને અચળ ગણવામાં આવે છે,પરંતુ તે તાપમાનનું વિધેય છે.
તે મુખ્યત્વે પદાર્થના પ્રકાર (પરમાણુ બંધારણ અને બંધન) અને તાપમાનના ગાળા પર આધાર રાખે છે જેમાં પ્રસરણ માપવામાં આવે છે.
જોકે તાપમાનમાં નાના ફેરફારો માટે તેને અચળ ગણવામાં આવે છે,પરંતુ તે તાપમાનનું વિધેય છે.
0 likes
View Solution126
Medium
એક વિદ્યાર્થી સળિયાની પ્રારંભિક લંબાઈ $l$,તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T$ અને લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta l$ નીચે મુજબ નોંધે છે:
જો પ્રથમ અવલોકન સાચું હોય,તો તમે અવલોકનો $(2)$,$(3)$ અને $(4)$ વિશે શું કહી શકો?
| ક્રમ | $l (m)$ | $\Delta T (^{\circ}C)$ | $\Delta l (m)$ |
|---|---|---|---|
| $(1)$ | $2$ | $10$ | $4 \times 10^{-4}$ |
| $(2)$ | $1$ | $10$ | $4 \times 10^{-4}$ |
| $(3)$ | $2$ | $20$ | $2 \times 10^{-4}$ |
| $(4)$ | $3$ | $10$ | $6 \times 10^{-4}$ |
જો પ્રથમ અવલોકન સાચું હોય,તો તમે અવલોકનો $(2)$,$(3)$ અને $(4)$ વિશે શું કહી શકો?
Solution
(N/A) રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta l = \alpha l \Delta T$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
પ્રથમ અવલોકન પરથી:
$\alpha = \frac{\Delta l}{l \Delta T} = \frac{4 \times 10^{-4}}{2 \times 10} = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$.
હવે,આપણે $\alpha = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$ નો ઉપયોગ કરીને અન્ય અવલોકનો તપાસીએ:
અવલોકન $(2)$ માટે:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 1 \times 10 = 2 \times 10^{-4} \, m$.
નોંધાયેલ મૂલ્ય $4 \times 10^{-4} \, m$ હોવાથી,અવલોકન $(2)$ ખોટું છે.
અવલોકન $(3)$ માટે:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 2 \times 20 = 8 \times 10^{-4} \, m$.
નોંધાયેલ મૂલ્ય $2 \times 10^{-4} \, m$ હોવાથી,અવલોકન $(3)$ ખોટું છે.
અવલોકન $(4)$ માટે:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 3 \times 10 = 6 \times 10^{-4} \, m$.
નોંધાયેલ મૂલ્ય $6 \times 10^{-4} \, m$ હોવાથી,અવલોકન $(4)$ સાચું છે.
પ્રથમ અવલોકન પરથી:
$\alpha = \frac{\Delta l}{l \Delta T} = \frac{4 \times 10^{-4}}{2 \times 10} = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$.
હવે,આપણે $\alpha = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$ નો ઉપયોગ કરીને અન્ય અવલોકનો તપાસીએ:
અવલોકન $(2)$ માટે:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 1 \times 10 = 2 \times 10^{-4} \, m$.
નોંધાયેલ મૂલ્ય $4 \times 10^{-4} \, m$ હોવાથી,અવલોકન $(2)$ ખોટું છે.
અવલોકન $(3)$ માટે:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 2 \times 20 = 8 \times 10^{-4} \, m$.
નોંધાયેલ મૂલ્ય $2 \times 10^{-4} \, m$ હોવાથી,અવલોકન $(3)$ ખોટું છે.
અવલોકન $(4)$ માટે:
$\Delta l = \alpha l \Delta T = (2 \times 10^{-5}) \times 3 \times 10 = 6 \times 10^{-4} \, m$.
નોંધાયેલ મૂલ્ય $6 \times 10^{-4} \, m$ હોવાથી,અવલોકન $(4)$ સાચું છે.
0 likes
View Solution127
Difficult
આપણે એક એવી માપપટ્ટી તૈયાર કરવા માંગીએ છીએ જેની લંબાઈ તાપમાન સાથે બદલાતી નથી. આ પ્રકારની એકમ માપપટ્ટી તૈયાર કરવાનું સૂચન છે જેની લંબાઈ,ધારો કે $10 \ cm$ રહે. આપણે પિત્તળ (brass) અને લોખંડ (iron) ની બનેલી દ્વિ-ધાતુ પટ્ટીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ,જેની લંબાઈ અલગ-અલગ હોય અને જેની લંબાઈ (બંને ઘટકોની) એવી રીતે બદલાય કે જેથી તેમની લંબાઈ વચ્ચેનો તફાવત અચળ રહે. જો $\alpha_{\text{iron}} = 1.2 \times 10^{-5} \ K^{-1}$ અને $\alpha_{\text{brass}} = 1.8 \times 10^{-5} \ K^{-1}$ હોય,તો દરેક પટ્ટીની લંબાઈ કેટલી હોવી જોઈએ?
Solution
(N/A) ધારો કે લોખંડની પટ્ટીની લંબાઈ $l_{\text{iron}}$ અને પિત્તળની પટ્ટીની લંબાઈ $l_{\text{brass}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કોઈપણ તાપમાન ફેરફાર $\Delta T$ માટે તેમની લંબાઈનો તફાવત $10 \ cm$ અચળ રહેવો જોઈએ.
તેથી,$l_{\text{iron}} - l_{\text{brass}} = 10 \ cm \ldots (1)$
જ્યારે તાપમાન $\Delta T$ જેટલું બદલાય છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l_{\text{iron}}' = l_{\text{iron}}(1 + \alpha_{\text{iron}} \Delta T)$ અને $l_{\text{brass}}' = l_{\text{brass}}(1 + \alpha_{\text{brass}} \Delta T)$ થાય છે.
તફાવત અચળ રહેવા માટે,$l_{\text{iron}}' - l_{\text{brass}}' = l_{\text{iron}} - l_{\text{brass}}$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $l_{\text{iron}} \alpha_{\text{iron}} \Delta T = l_{\text{brass}} \alpha_{\text{brass}} \Delta T$.
તેથી,$l_{\text{iron}} \alpha_{\text{iron}} = l_{\text{brass}} \alpha_{\text{brass}}$.
$\frac{l_{\text{iron}}}{l_{\text{brass}}} = \frac{\alpha_{\text{brass}}}{\alpha_{\text{iron}}} = \frac{1.8 \times 10^{-5}}{1.2 \times 10^{-5}} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$l_{\text{iron}} = 1.5 \ l_{\text{brass}}$.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$1.5 \ l_{\text{brass}} - l_{\text{brass}} = 10 \ cm$.
$0.5 \ l_{\text{brass}} = 10 \ cm \implies l_{\text{brass}} = 20 \ cm$.
ત્યારબાદ,$l_{\text{iron}} = 1.5 \times 20 \ cm = 30 \ cm$.
આમ,લોખંડની લંબાઈ $30 \ cm$ અને પિત્તળની લંબાઈ $20 \ cm$ હોવી જોઈએ.
પ્રશ્ન મુજબ,કોઈપણ તાપમાન ફેરફાર $\Delta T$ માટે તેમની લંબાઈનો તફાવત $10 \ cm$ અચળ રહેવો જોઈએ.
તેથી,$l_{\text{iron}} - l_{\text{brass}} = 10 \ cm \ldots (1)$
જ્યારે તાપમાન $\Delta T$ જેટલું બદલાય છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l_{\text{iron}}' = l_{\text{iron}}(1 + \alpha_{\text{iron}} \Delta T)$ અને $l_{\text{brass}}' = l_{\text{brass}}(1 + \alpha_{\text{brass}} \Delta T)$ થાય છે.
તફાવત અચળ રહેવા માટે,$l_{\text{iron}}' - l_{\text{brass}}' = l_{\text{iron}} - l_{\text{brass}}$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $l_{\text{iron}} \alpha_{\text{iron}} \Delta T = l_{\text{brass}} \alpha_{\text{brass}} \Delta T$.
તેથી,$l_{\text{iron}} \alpha_{\text{iron}} = l_{\text{brass}} \alpha_{\text{brass}}$.
$\frac{l_{\text{iron}}}{l_{\text{brass}}} = \frac{\alpha_{\text{brass}}}{\alpha_{\text{iron}}} = \frac{1.8 \times 10^{-5}}{1.2 \times 10^{-5}} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$l_{\text{iron}} = 1.5 \ l_{\text{brass}}$.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$1.5 \ l_{\text{brass}} - l_{\text{brass}} = 10 \ cm$.
$0.5 \ l_{\text{brass}} = 10 \ cm \implies l_{\text{brass}} = 20 \ cm$.
ત્યારબાદ,$l_{\text{iron}} = 1.5 \times 20 \ cm = 30 \ cm$.
આમ,લોખંડની લંબાઈ $30 \ cm$ અને પિત્તળની લંબાઈ $20 \ cm$ હોવી જોઈએ.
0 likes
View Solution128
Difficult
આપણે એક એવું પાત્ર બનાવવા માંગીએ છીએ જેનું કદ તાપમાન સાથે બદલાતું નથી. $100 \, cc$ નું કદ બનાવવા માટે આપણે પિત્તળ (brass) અને લોખંડ (iron) $\left( {{\gamma _{{\text{brass}}}} = 6 \times {{10}^{ - 5}}/K} \right.$ અને $\left. {{\gamma _{{\text{iron}}}} = 3.55 \times {{10}^{ - 5}}/K} \right)$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. તમે આ કેવી રીતે પ્રાપ્ત કરી શકો?
Solution
(N/A) ધારો કે $0^{\circ} C$ તાપમાને લોખંડ અને પિત્તળના કદ અનુક્રમે $V_{i,0}$ અને $V_{b,0}$ છે.
ધારો કે $\Delta T^{\circ} C$ તાપમાને લોખંડ અને પિત્તળના કદ અનુક્રમે $V_i$ અને $V_b$ છે.
ધારો કે $\gamma_i$ અને $\gamma_b$ એ અનુક્રમે લોખંડ અને પિત્તળના કદ પ્રસરણાંક છે.
પાત્રનું ચોખ્ખું કદ $V_c = V_i - V_b = 100 \, cc$ છે.
તાપમાન સાથે કદ અચળ રહે તે માટે,કદમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\Delta V_c = \Delta V_i - \Delta V_b = 0$
$V_{i,0} \gamma_i \Delta T - V_{b,0} \gamma_b \Delta T = 0$
$V_{i,0} \gamma_i = V_{b,0} \gamma_b$
$\frac{V_{i,0}}{V_{b,0}} = \frac{\gamma_b}{\gamma_i} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3.55 \times 10^{-5}} = \frac{6}{3.55} \approx 1.69$
આપેલ છે કે $V_{i,0} - V_{b,0} = 100 \, cc$,તેથી $V_{i,0} = \frac{6}{3.55} V_{b,0}$ મૂકતા:
$\left( \frac{6}{3.55} - 1 \right) V_{b,0} = 100$
$\left( \frac{6 - 3.55}{3.55} \right) V_{b,0} = 100$
$\frac{2.45}{3.55} V_{b,0} = 100$
$V_{b,0} = \frac{355}{2.45} \approx 144.9 \, cc$
$V_{i,0} = 100 + 144.9 = 244.9 \, cc$.
ધારો કે $\Delta T^{\circ} C$ તાપમાને લોખંડ અને પિત્તળના કદ અનુક્રમે $V_i$ અને $V_b$ છે.
ધારો કે $\gamma_i$ અને $\gamma_b$ એ અનુક્રમે લોખંડ અને પિત્તળના કદ પ્રસરણાંક છે.
પાત્રનું ચોખ્ખું કદ $V_c = V_i - V_b = 100 \, cc$ છે.
તાપમાન સાથે કદ અચળ રહે તે માટે,કદમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\Delta V_c = \Delta V_i - \Delta V_b = 0$
$V_{i,0} \gamma_i \Delta T - V_{b,0} \gamma_b \Delta T = 0$
$V_{i,0} \gamma_i = V_{b,0} \gamma_b$
$\frac{V_{i,0}}{V_{b,0}} = \frac{\gamma_b}{\gamma_i} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3.55 \times 10^{-5}} = \frac{6}{3.55} \approx 1.69$
આપેલ છે કે $V_{i,0} - V_{b,0} = 100 \, cc$,તેથી $V_{i,0} = \frac{6}{3.55} V_{b,0}$ મૂકતા:
$\left( \frac{6}{3.55} - 1 \right) V_{b,0} = 100$
$\left( \frac{6 - 3.55}{3.55} \right) V_{b,0} = 100$
$\frac{2.45}{3.55} V_{b,0} = 100$
$V_{b,0} = \frac{355}{2.45} \approx 144.9 \, cc$
$V_{i,0} = 100 + 144.9 = 244.9 \, cc$.
0 likes
View Solution129
Difficult
સ્ટીલનો બનેલો $10\,m$ લંબાઈનો રેલવે ટ્રેક તેના બે છેડાઓ પર આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ક્લેમ્પ કરેલો છે. ઉનાળાના એક દિવસે તાપમાનમાં $20\,^oC$ નો વધારો થવાને કારણે,તે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ વિકૃત થાય છે. જો $\alpha_{steel} = 1.2 \times 10^{-5} \,^oC^{-1}$ હોય,તો $x$ (કેન્દ્રનું સ્થાનાંતર) શોધો.
Solution
(N/A) આપેલ કાટકોણ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{L+\Delta L}{2}\right)^{2} = \left(\frac{L}{2}\right)^{2} + x^{2}$
$x = \sqrt{\left(\frac{L+\Delta L}{2}\right)^{2} - \left(\frac{L}{2}\right)^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{(L+\Delta L)^{2} - L^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{L^{2} + 2L\Delta L + (\Delta L)^{2} - L^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{2L\Delta L + (\Delta L)^{2}}$
અહીં $\Delta L$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$(\Delta L)^{2}$ ને અવગણી શકાય.
$x \approx \frac{1}{2} \sqrt{2L\Delta L}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta L = L \alpha \Delta T$,તેથી:
$x = \frac{1}{2} \sqrt{2L(L \alpha \Delta T)} = \frac{L}{2} \sqrt{2 \alpha \Delta T}$
કિંમતો મૂકતા $L = 10\,m$,$\alpha = 1.2 \times 10^{-5} \,^oC^{-1}$,અને $\Delta T = 20\,^oC$:
$x = \frac{10}{2} \sqrt{2 \times 1.2 \times 10^{-5} \times 20}$
$x = 5 \sqrt{48 \times 10^{-5}} = 5 \sqrt{4.8 \times 10^{-4}}$
$x = 5 \times 2.19 \times 10^{-2} \approx 0.1095\,m \approx 11\,cm$.
$\left(\frac{L+\Delta L}{2}\right)^{2} = \left(\frac{L}{2}\right)^{2} + x^{2}$
$x = \sqrt{\left(\frac{L+\Delta L}{2}\right)^{2} - \left(\frac{L}{2}\right)^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{(L+\Delta L)^{2} - L^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{L^{2} + 2L\Delta L + (\Delta L)^{2} - L^{2}}$
$x = \frac{1}{2} \sqrt{2L\Delta L + (\Delta L)^{2}}$
અહીં $\Delta L$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$(\Delta L)^{2}$ ને અવગણી શકાય.
$x \approx \frac{1}{2} \sqrt{2L\Delta L}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta L = L \alpha \Delta T$,તેથી:
$x = \frac{1}{2} \sqrt{2L(L \alpha \Delta T)} = \frac{L}{2} \sqrt{2 \alpha \Delta T}$
કિંમતો મૂકતા $L = 10\,m$,$\alpha = 1.2 \times 10^{-5} \,^oC^{-1}$,અને $\Delta T = 20\,^oC$:
$x = \frac{10}{2} \sqrt{2 \times 1.2 \times 10^{-5} \times 20}$
$x = 5 \sqrt{48 \times 10^{-5}} = 5 \sqrt{4.8 \times 10^{-4}}$
$x = 5 \times 2.19 \times 10^{-2} \approx 0.1095\,m \approx 11\,cm$.
0 likes
View Solution130
Medium
$0\,^{\circ}C$ તાપમાને $L_0$ લંબાઈ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ ધરાવતા એક પાતળા સળિયાના બે છેડાઓને અનુક્રમે $\theta_1$ અને $\theta_2$ તાપમાને રાખવામાં આવે છે. તેની નવી લંબાઈ શોધો.
Solution
(N/A) ઉષ્મીય સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયાની લંબાઈ સાથે તાપમાનનો ફેરફાર અચળ રહે છે. તાપમાન $\theta_1$ થી $\theta_2$ સુધી રેખીય રીતે બદલાય છે. સળિયાનું સરેરાશ તાપમાન $\theta_{avg} = \frac{\theta_1 + \theta_2}{2}$ થાય છે.
લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta T$ એ સંદર્ભ તાપમાન $(0\,^{\circ}C)$ થી તાપમાનમાં થયેલો ફેરફાર છે.
તેથી,નવી લંબાઈ $L$ નીચે મુજબ છે:
$L = L_0(1 + \alpha \theta_{avg})$
$L = L_0 \left( 1 + \alpha \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} \right) \right)$
લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta T$ એ સંદર્ભ તાપમાન $(0\,^{\circ}C)$ થી તાપમાનમાં થયેલો ફેરફાર છે.
તેથી,નવી લંબાઈ $L$ નીચે મુજબ છે:
$L = L_0(1 + \alpha \theta_{avg})$
$L = L_0 \left( 1 + \alpha \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} \right) \right)$
0 likes
View Solution131
DifficultMCQ
જ્યારે ધાતુના તારનું તાપમાન $0^{\circ} \,C$ થી વધારીને $10^{\circ} \,C$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની લંબાઈમાં $0.02 \%$ નો વધારો થાય છે. તેની દળ ઘનતામાં થતો પ્રતિશત ફેરફાર કેટલો હશે ($\%$ માં)?
A
$0.008$
B
$0.06$
C
$0.8$
D
$2.3$
Solution
(B) આપેલ છે કે લંબાઈમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta L}{L} = 0.02 \% = 2 \times 10^{-4}$ છે.
કારણ કે $\Delta L = L \alpha \Delta T$,તેથી $\alpha \Delta T = 2 \times 10^{-4}$ મળે.
તારનું કદ $V = A \times L$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{AL}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લોગરીધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta \rho}{\rho} = - (\frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta L}{L})$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{\Delta A}{A} = 2 \alpha \Delta T$ અને $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$,તેથી ઘનતામાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -(2 \alpha \Delta T + \alpha \Delta T) = -3 \alpha \Delta T$ થાય.
$\alpha \Delta T = 0.02 \%$ મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -3 \times 0.02 \% = -0.06 \%$ મળે છે.
આમ,પ્રતિશત ફેરફારનું મૂલ્ય $0.06 \%$ છે.
કારણ કે $\Delta L = L \alpha \Delta T$,તેથી $\alpha \Delta T = 2 \times 10^{-4}$ મળે.
તારનું કદ $V = A \times L$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{AL}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લોગરીધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta \rho}{\rho} = - (\frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta L}{L})$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{\Delta A}{A} = 2 \alpha \Delta T$ અને $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$,તેથી ઘનતામાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -(2 \alpha \Delta T + \alpha \Delta T) = -3 \alpha \Delta T$ થાય.
$\alpha \Delta T = 0.02 \%$ મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -3 \times 0.02 \% = -0.06 \%$ મળે છે.
આમ,પ્રતિશત ફેરફારનું મૂલ્ય $0.06 \%$ છે.
1 likes
View Solution132
DifficultMCQ
$L_{1}$ અને $L_{2}$ લંબાઈ ધરાવતા અને અનુક્રમે $\alpha_{1}$ અને $\alpha_{2}$ રેખીય પ્રસરણાંક ધરાવતા બે અલગ-અલગ તારને છેડેથી જોડવામાં આવે છે. તો રેખીય પ્રસરણનો અસરકારક તાપમાન ગુણાંક કેટલો થાય?
A
$4 \frac{\alpha_{1} \alpha_{2}}{\alpha_{1}+\alpha_{2}} \frac{L_{2} L_{1}}{(L_{2}+L_{1})^{2}}$
B
$2 \sqrt{\alpha_{1} \alpha_{2}}$
C
$\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2}$
D
$\frac{\alpha_{1} L_{1}+\alpha_{2} L_{2}}{L_{1}+L_{2}}$
Solution
(D) $T$ તાપમાને,કુલ લંબાઈ $L = L_{1} + L_{2}$ છે.
જ્યારે તાપમાન $T + \Delta T$ થાય છે,ત્યારે નવી લંબાઈઓ નીચે મુજબ છે:
$L_{1}' = L_{1}(1 + \alpha_{1} \Delta T)$
$L_{2}' = L_{2}(1 + \alpha_{2} \Delta T)$
કુલ નવી લંબાઈ $L_{eq}'$ એ વ્યક્તિગત નવી લંબાઈઓનો સરવાળો છે:
$L_{eq}' = L_{1}' + L_{2}' = L_{1}(1 + \alpha_{1} \Delta T) + L_{2}(1 + \alpha_{2} \Delta T)$
$L_{eq}' = L_{1} + L_{1} \alpha_{1} \Delta T + L_{2} + L_{2} \alpha_{2} \Delta T$
$L_{eq}' = (L_{1} + L_{2}) + (L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}) \Delta T$
અસરકારક ગુણાંક $\alpha_{avg}$ ધરાવતી સમતુલ્ય સિસ્ટમ માટે,નવી લંબાઈ:
$L_{eq}' = (L_{1} + L_{2})(1 + \alpha_{avg} \Delta T) = (L_{1} + L_{2}) + (L_{1} + L_{2}) \alpha_{avg} \Delta T$
$L_{eq}'$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$(L_{1} + L_{2}) \alpha_{avg} \Delta T = (L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}) \Delta T$
$\alpha_{avg} = \frac{L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}}{L_{1} + L_{2}}$
જ્યારે તાપમાન $T + \Delta T$ થાય છે,ત્યારે નવી લંબાઈઓ નીચે મુજબ છે:
$L_{1}' = L_{1}(1 + \alpha_{1} \Delta T)$
$L_{2}' = L_{2}(1 + \alpha_{2} \Delta T)$
કુલ નવી લંબાઈ $L_{eq}'$ એ વ્યક્તિગત નવી લંબાઈઓનો સરવાળો છે:
$L_{eq}' = L_{1}' + L_{2}' = L_{1}(1 + \alpha_{1} \Delta T) + L_{2}(1 + \alpha_{2} \Delta T)$
$L_{eq}' = L_{1} + L_{1} \alpha_{1} \Delta T + L_{2} + L_{2} \alpha_{2} \Delta T$
$L_{eq}' = (L_{1} + L_{2}) + (L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}) \Delta T$
અસરકારક ગુણાંક $\alpha_{avg}$ ધરાવતી સમતુલ્ય સિસ્ટમ માટે,નવી લંબાઈ:
$L_{eq}' = (L_{1} + L_{2})(1 + \alpha_{avg} \Delta T) = (L_{1} + L_{2}) + (L_{1} + L_{2}) \alpha_{avg} \Delta T$
$L_{eq}'$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$(L_{1} + L_{2}) \alpha_{avg} \Delta T = (L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}) \Delta T$
$\alpha_{avg} = \frac{L_{1} \alpha_{1} + L_{2} \alpha_{2}}{L_{1} + L_{2}}$
0 likes
View Solution133
MediumMCQ
પારાનો કાચના પાત્રમાં આભાસી પ્રસરણાંક $153 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ છે અને સ્ટીલના પાત્રમાં $144 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ છે. જો સ્ટીલ માટે $\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ હોય, તો કાચ માટે રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ કેટલો હશે?
A
$9 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
B
$6 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
C
$36 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
D
$27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
Solution
(A) પારાનો વાસ્તવિક કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_{\text{real}})$ પાત્ર ગમે તે હોય, અચળ રહે છે.
વાસ્તવિક પ્રસરણ, આભાસી પ્રસરણ અને પાત્રના પ્રસરણ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$
બંને કિસ્સામાં $\gamma_{\text{real}}$ સમાન હોવાથી:
$(\gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}})_{\text{glass}} = (\gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}})_{\text{steel}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘન પદાર્થ માટે કદ પ્રસરણાંક $\gamma_{\text{vessel}} = 3\alpha$ થાય.
સ્ટીલ માટે:
$\gamma_{\text{vessel, steel}} = 3 \times (12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C) = 36 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{\text{vessel, glass}} = 144 \times 10^{-6} + 36 \times 10^{-6}$
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{\text{vessel, glass}} = 180 \times 10^{-6}$
$\gamma_{\text{vessel, glass}} = (180 - 153) \times 10^{-6} = 27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
કારણ કે $\gamma_{\text{vessel, glass}} = 3\alpha_{\text{glass}}$:
$3\alpha_{\text{glass}} = 27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
$\alpha_{\text{glass}} = 9 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
વાસ્તવિક પ્રસરણ, આભાસી પ્રસરણ અને પાત્રના પ્રસરણ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$
બંને કિસ્સામાં $\gamma_{\text{real}}$ સમાન હોવાથી:
$(\gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}})_{\text{glass}} = (\gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}})_{\text{steel}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘન પદાર્થ માટે કદ પ્રસરણાંક $\gamma_{\text{vessel}} = 3\alpha$ થાય.
સ્ટીલ માટે:
$\gamma_{\text{vessel, steel}} = 3 \times (12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C) = 36 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{\text{vessel, glass}} = 144 \times 10^{-6} + 36 \times 10^{-6}$
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{\text{vessel, glass}} = 180 \times 10^{-6}$
$\gamma_{\text{vessel, glass}} = (180 - 153) \times 10^{-6} = 27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
કારણ કે $\gamma_{\text{vessel, glass}} = 3\alpha_{\text{glass}}$:
$3\alpha_{\text{glass}} = 27 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
$\alpha_{\text{glass}} = 9 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$
0 likes
View Solution134
MediumMCQ
$0^{\circ} C$ તાપમાને રહેલા $100 \; cm$ લંબાઈના સિલ્વરના સળિયાને $100^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે. તેની લંબાઈમાં $0.19 \; cm$ નો વધારો થાય છે. તો સિલ્વરના સળિયાનો કદ પ્રસરણાંક કેટલો હશે?
A
$5.7 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
B
$0.63 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
C
$1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
D
$16.1 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
Solution
(A) સૌ પ્રથમ,આપણે રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ ની ગણતરી કરીશું:
$\alpha = \frac{\Delta L}{L_{0} \Delta \theta}$
$\alpha = \frac{0.19 \; cm}{100 \; cm \times (100^{\circ} C - 0^{\circ} C)}$
$\alpha = \frac{0.19}{100 \times 100} = \frac{0.19}{10000} = 1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
કદ પ્રસરણાંક $(\gamma)$ અને રેખીય પ્રસરણાંક વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
$\gamma = 3 \times (1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C)$
$\gamma = 5.7 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
$\alpha = \frac{\Delta L}{L_{0} \Delta \theta}$
$\alpha = \frac{0.19 \; cm}{100 \; cm \times (100^{\circ} C - 0^{\circ} C)}$
$\alpha = \frac{0.19}{100 \times 100} = \frac{0.19}{10000} = 1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
કદ પ્રસરણાંક $(\gamma)$ અને રેખીય પ્રસરણાંક વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
$\gamma = 3 \times (1.9 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C)$
$\gamma = 5.7 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$
0 likes
View Solution135
DifficultMCQ
એક બાયમેટાલિક પટ્ટી ધાતુઓ $A$ અને $B$ ની બનેલી છે. તેને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મજબૂતીથી ગોઠવવામાં આવી છે. ધાતુ $A$ નો રેખીય પ્રસરણાંક ધાતુ $B$ કરતા વધારે છે. જ્યારે આ બાયમેટાલિક પટ્ટીને ઠંડા બાથમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે:
A
જમણી તરફ વળશે
B
વળશે નહીં પણ સંકોચાશે
C
ન તો વળશે કે ન તો સંકોચાશે
D
ડાબી તરફ વળશે
Solution
(D) ધાતુની પટ્ટીની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
જ્યારે પટ્ટીને ઠંડા બાથમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તાપમાન ઘટે છે,તેથી $\Delta T$ ઋણ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે બંને ધાતુઓ સંકોચાશે.
આપેલ છે કે $\alpha_{A} > \alpha_{B}$,તેથી ધાતુ $A$ માં થતું સંકોચન ધાતુ $B$ કરતા વધારે હશે (એટલે કે $|\Delta L_{A}| > |\Delta L_{B}|$).
ધાતુ $A$ ડાબી બાજુએ છે અને તે ધાતુ $B$ કરતા વધુ સંકોચાય છે,તેથી પટ્ટી જે બાજુ વધુ સંકોચાય છે તે તરફ વળશે,એટલે કે ડાબી તરફ.
જ્યારે પટ્ટીને ઠંડા બાથમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તાપમાન ઘટે છે,તેથી $\Delta T$ ઋણ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે બંને ધાતુઓ સંકોચાશે.
આપેલ છે કે $\alpha_{A} > \alpha_{B}$,તેથી ધાતુ $A$ માં થતું સંકોચન ધાતુ $B$ કરતા વધારે હશે (એટલે કે $|\Delta L_{A}| > |\Delta L_{B}|$).
ધાતુ $A$ ડાબી બાજુએ છે અને તે ધાતુ $B$ કરતા વધુ સંકોચાય છે,તેથી પટ્ટી જે બાજુ વધુ સંકોચાય છે તે તરફ વળશે,એટલે કે ડાબી તરફ.
0 likes
View Solution136
MediumMCQ
રૂમના તાપમાન $T$ પર ધાતુના એક સમઘન બોક્સની દરેક બાજુની લંબાઈ $a$ છે. ધાતુની શીટનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ છે. ધાતુના બોક્સને સમાન રીતે $\Delta T$ જેટલા નાના તાપમાન સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,જેથી તેનું નવું તાપમાન $T + \Delta T$ થાય છે. ધાતુના બોક્સના કદમાં થતો વધારો ગણો.
A
$3 a^{3} \alpha \Delta T$
B
$4 a^{3} \alpha \Delta T$
C
$4 \pi a^{3} \alpha \Delta T$
D
$\frac{4}{3} \pi a^{3} \alpha \Delta T$
Solution
(A) સમઘન બોક્સનું પ્રારંભિક કદ $V = a^{3}$ છે.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો ફેરફાર થવાથી કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ એ સૂત્ર $\Delta V = V \gamma \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્રમાં $V$ અને $\gamma$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\Delta V = a^{3} \times (3\alpha) \times \Delta T$.
તેથી,ધાતુના બોક્સના કદમાં થતો વધારો $\Delta V = 3 a^{3} \alpha \Delta T$ છે.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો ફેરફાર થવાથી કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ એ સૂત્ર $\Delta V = V \gamma \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્રમાં $V$ અને $\gamma$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\Delta V = a^{3} \times (3\alpha) \times \Delta T$.
તેથી,ધાતુના બોક્સના કદમાં થતો વધારો $\Delta V = 3 a^{3} \alpha \Delta T$ છે.
0 likes
View Solution137
MediumMCQ
નીચે બે વિધાનો આપેલા છે: એકને વિધાન $A$ તરીકે અને બીજાને કારણ $R$ તરીકે લેબલ કરવામાં આવ્યું છે.
વિધાન $A$: જ્યારે મુક્ત રીતે પડેલા સળિયાને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં કોઈ થર્મલ સ્ટ્રેસ (ઉષ્મીય પ્રતિબળ) ઉત્પન્ન થતું નથી.
કારણ $R$: ગરમ કરવાથી સળિયાની લંબાઈ વધે છે.
ઉપરોક્ત વિધાનોના પ્રકાશમાં,નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
વિધાન $A$: જ્યારે મુક્ત રીતે પડેલા સળિયાને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં કોઈ થર્મલ સ્ટ્રેસ (ઉષ્મીય પ્રતિબળ) ઉત્પન્ન થતું નથી.
કારણ $R$: ગરમ કરવાથી સળિયાની લંબાઈ વધે છે.
ઉપરોક્ત વિધાનોના પ્રકાશમાં,નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
A
$A$ અને $R$ બંને સાચા છે પરંતુ $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
B
$A$ ખોટું છે પરંતુ $R$ સાચું છે.
C
$A$ સાચું છે પરંતુ $R$ ખોટું છે.
D
$A$ અને $R$ બંને સાચા છે અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.
Solution
(A) વિધાન $A$ સાચું છે: જ્યારે કોઈ સળિયાને મુક્ત રીતે ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે કોઈપણ બાહ્ય અવરોધ વિના વિસ્તરે છે. વિસ્તરણને રોકવા માટે કોઈ અવરોધ ન હોવાથી,તેમાં કોઈ આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળ અથવા થર્મલ સ્ટ્રેસ ઉત્પન્ન થતું નથી.
કારણ $R$ સાચું છે: ઉષ્મીય વિસ્તરણને કારણે ગરમ કરવાથી સળિયાની લંબાઈ વધે છે,જે એક ભૌતિક સત્ય છે.
જોકે,કારણ $R$ એ સમજાવતું નથી કે શા માટે થર્મલ સ્ટ્રેસ ઉત્પન્ન થતું નથી. થર્મલ સ્ટ્રેસનો અભાવ એ બાહ્ય અવરોધના અભાવ (વિસ્તરણ માટેની સ્વતંત્રતા) ને કારણે છે,માત્ર લંબાઈ વધવાને કારણે નહીં. તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે,પરંતુ $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
કારણ $R$ સાચું છે: ઉષ્મીય વિસ્તરણને કારણે ગરમ કરવાથી સળિયાની લંબાઈ વધે છે,જે એક ભૌતિક સત્ય છે.
જોકે,કારણ $R$ એ સમજાવતું નથી કે શા માટે થર્મલ સ્ટ્રેસ ઉત્પન્ન થતું નથી. થર્મલ સ્ટ્રેસનો અભાવ એ બાહ્ય અવરોધના અભાવ (વિસ્તરણ માટેની સ્વતંત્રતા) ને કારણે છે,માત્ર લંબાઈ વધવાને કારણે નહીં. તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે,પરંતુ $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
0 likes
View Solution138
MediumMCQ
રેલવે ટ્રેકના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $0.01\, m^2$ છે. તાપમાનમાં ફેરફાર $10^{\circ}C$ છે. ટ્રેકના દ્રવ્યનો રેખીય પ્રસરણાંક $10^{-5} /^{\circ}C$ છે. ટ્રેકમાં પ્રતિ મીટર સંગ્રહિત ઉર્જા ...... $J/m$ છે. (ટ્રેકના દ્રવ્યનો યંગ મોડ્યુલસ $10^{11}\, Nm^{-2}$ છે)
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(B) એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $u = \frac{1}{2} \times \text{યંગ મોડ્યુલસ} \times (\text{વિકૃતિ})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટ્રેક જકડાયેલ હોવાથી,ઉષ્મીય વિકૃતિ $\text{વિકૃતિ} = \alpha \Delta T$ થાય.
અહીં $\alpha = 10^{-5} /^{\circ}C$ અને $\Delta T = 10^{\circ}C$ આપેલ છે,તેથી વિકૃતિ $\text{વિકૃતિ} = 10^{-5} \times 10 = 10^{-4}$ મળે.
એકમ લંબાઈ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $U = u \times \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} Y (\text{વિકૃતિ})^2 \times A$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{1}{2} \times 10^{11} \times (10^{-4})^2 \times 0.01$.
$U = 0.5 \times 10^{11} \times 10^{-8} \times 10^{-2} = 0.5 \times 10^1 = 5\, J/m$.
ટ્રેક જકડાયેલ હોવાથી,ઉષ્મીય વિકૃતિ $\text{વિકૃતિ} = \alpha \Delta T$ થાય.
અહીં $\alpha = 10^{-5} /^{\circ}C$ અને $\Delta T = 10^{\circ}C$ આપેલ છે,તેથી વિકૃતિ $\text{વિકૃતિ} = 10^{-5} \times 10 = 10^{-4}$ મળે.
એકમ લંબાઈ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $U = u \times \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} Y (\text{વિકૃતિ})^2 \times A$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{1}{2} \times 10^{11} \times (10^{-4})^2 \times 0.01$.
$U = 0.5 \times 10^{11} \times 10^{-8} \times 10^{-2} = 0.5 \times 10^1 = 5\, J/m$.
0 likes
View Solution139
MediumMCQ
$24 \; m^{2}$ જેટલી કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા એક ઘન ધાતુના સમઘનને સમાન રીતે ગરમ કરવામાં આવે છે. જો તેનું તાપમાન $10 \; ^{\circ}C$ જેટલું વધારવામાં આવે,તો સમઘનના કદમાં થતો વધારો ગણો. (આપેલ છે: $\alpha = 5.0 \times 10^{-4} \; ^{\circ}C^{-1}$)
A
$2.4 \times 10^{6} \; cm^{3}$
B
$1.2 \times 10^{5} \; cm^{3}$
C
$6.0 \times 10^{4} \; cm^{3}$
D
$4.8 \times 10^{5} \; cm^{3}$
Solution
(B) કદમાં થતો વધારો $\Delta V = \gamma V_{0} \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\gamma = 3\alpha$,તેથી $\Delta V = (3\alpha) V_{0} \Delta T$.
સમઘનનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $6a^{2}$ છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $6a^{2} = 24 \; m^{2}$,તેથી $a^{2} = 4 \; m^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2 \; m$.
પ્રારંભિક કદ $V_{0} = a^{3} = (2)^{3} = 8 \; m^{3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta V = (3 \times 5.0 \times 10^{-4} \; ^{\circ}C^{-1}) \times (8 \; m^{3}) \times (10 \; ^{\circ}C)$.
$\Delta V = 15 \times 10^{-4} \times 80 = 1200 \times 10^{-4} = 0.12 \; m^{3}$.
કારણ કે $1 \; m^{3} = 10^{6} \; cm^{3}$,તેથી $\Delta V = 0.12 \times 10^{6} \; cm^{3} = 1.2 \times 10^{5} \; cm^{3}$.
કારણ કે $\gamma = 3\alpha$,તેથી $\Delta V = (3\alpha) V_{0} \Delta T$.
સમઘનનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $6a^{2}$ છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $6a^{2} = 24 \; m^{2}$,તેથી $a^{2} = 4 \; m^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2 \; m$.
પ્રારંભિક કદ $V_{0} = a^{3} = (2)^{3} = 8 \; m^{3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta V = (3 \times 5.0 \times 10^{-4} \; ^{\circ}C^{-1}) \times (8 \; m^{3}) \times (10 \; ^{\circ}C)$.
$\Delta V = 15 \times 10^{-4} \times 80 = 1200 \times 10^{-4} = 0.12 \; m^{3}$.
કારણ કે $1 \; m^{3} = 10^{6} \; cm^{3}$,તેથી $\Delta V = 0.12 \times 10^{6} \; cm^{3} = 1.2 \times 10^{5} \; cm^{3}$.
0 likes
View Solution140
MediumMCQ
$6.230 \,cm$ વ્યાસ ધરાવતી સોનાની વીંટીને કેટલા તાપમાને ($^{\circ} C$ માં) ગરમ કરવી જોઈએ જેથી તે $6.241 \,cm$ વ્યાસ ધરાવતી લાકડાની બંગડી પર ફિટ થઈ શકે ($.7$ માં)? બંને વ્યાસ ઓરડાના તાપમાને $(27^{\circ} C)$ માપવામાં આવ્યા છે. (આપેલ છે: સોનાનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha_{L}=1.4 \times 10^{-5} \,K ^{-1}$)
A
$125$
B
$91$
C
$425$
D
$152$
Solution
(D) જરૂરી લંબાઈ (વ્યાસ) માં ફેરફાર $\Delta L = L_2 - L_1 = 6.241 \,cm - 6.230 \,cm = 0.011 \,cm$ છે.
રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta L = L_1 \alpha_L \Delta T$ છે,જ્યાં $\Delta T = T_f - T_i$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.011 = 6.230 \times (1.4 \times 10^{-5}) \times (T_f - 27)$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા: $\Delta T = \frac{0.011}{6.230 \times 1.4 \times 10^{-5}} = \frac{0.011 \times 10^5}{8.722} \approx 126.11^{\circ} C$.
તેથી,અંતિમ તાપમાન $T_f = 27 + 126.11 = 153.11^{\circ} C$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $152.7^{\circ} C$ છે.
રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta L = L_1 \alpha_L \Delta T$ છે,જ્યાં $\Delta T = T_f - T_i$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.011 = 6.230 \times (1.4 \times 10^{-5}) \times (T_f - 27)$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા: $\Delta T = \frac{0.011}{6.230 \times 1.4 \times 10^{-5}} = \frac{0.011 \times 10^5}{8.722} \approx 126.11^{\circ} C$.
તેથી,અંતિમ તાપમાન $T_f = 27 + 126.11 = 153.11^{\circ} C$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $152.7^{\circ} C$ છે.
0 likes
View Solution141
DifficultMCQ
એક યુનિટ સ્કેલ તૈયાર કરવાનું છે જેની લંબાઈ તાપમાન સાથે બદલાતી નથી અને $20\,cm$ રહે છે,જે પિત્તળ (brass) અને લોખંડ (iron) ની બનેલી બાયમેટાલિક પટ્ટીનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે,જેની લંબાઈ અલગ-અલગ છે. બંને ઘટકોની લંબાઈ એવી રીતે બદલાશે કે તેમની લંબાઈ વચ્ચેનો તફાવત અચળ રહે. જો પિત્તળની લંબાઈ $40\,cm$ હોય,તો લોખંડની લંબાઈ $cm$ માં કેટલી હશે?
($\alpha_{\text{iron}} = 1.2 \times 10^{-5} K^{-1}$ અને $\alpha_{\text{brass}} = 1.8 \times 10^{-5} K^{-1}$)
($\alpha_{\text{iron}} = 1.2 \times 10^{-5} K^{-1}$ અને $\alpha_{\text{brass}} = 1.8 \times 10^{-5} K^{-1}$)
A
$59$
B
$6$
C
$60$
D
$600$
Solution
(C) ધારો કે પિત્તળની લંબાઈ $\ell_{B}$ છે અને લોખંડની લંબાઈ $\ell_{i}$ છે.
શરત એ છે કે તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T$ સાથે તેમની લંબાઈ વચ્ચેનો તફાવત અચળ રહે છે:
$\ell_{B}(1 + \alpha_{B} \Delta T) - \ell_{i}(1 + \alpha_{i} \Delta T) = \ell_{B} - \ell_{i}$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\ell_{B} + \ell_{B} \alpha_{B} \Delta T - \ell_{i} - \ell_{i} \alpha_{i} \Delta T = \ell_{B} - \ell_{i}$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\ell_{B} \alpha_{B} \Delta T = \ell_{i} \alpha_{i} \Delta T$
$\Delta T$ વડે ભાગતા:
$\ell_{B} \alpha_{B} = \ell_{i} \alpha_{i}$
આપેલ છે કે $\ell_{B} = 40\,cm$,$\alpha_{B} = 1.8 \times 10^{-5} K^{-1}$,અને $\alpha_{i} = 1.2 \times 10^{-5} K^{-1}$:
$40 \times 1.8 \times 10^{-5} = \ell_{i} \times 1.2 \times 10^{-5}$
$\ell_{i}$ માટે ઉકેલતા:
$\ell_{i} = \frac{40 \times 1.8}{1.2} = \frac{40 \times 3}{2} = 60\,cm$.
શરત એ છે કે તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T$ સાથે તેમની લંબાઈ વચ્ચેનો તફાવત અચળ રહે છે:
$\ell_{B}(1 + \alpha_{B} \Delta T) - \ell_{i}(1 + \alpha_{i} \Delta T) = \ell_{B} - \ell_{i}$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\ell_{B} + \ell_{B} \alpha_{B} \Delta T - \ell_{i} - \ell_{i} \alpha_{i} \Delta T = \ell_{B} - \ell_{i}$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\ell_{B} \alpha_{B} \Delta T = \ell_{i} \alpha_{i} \Delta T$
$\Delta T$ વડે ભાગતા:
$\ell_{B} \alpha_{B} = \ell_{i} \alpha_{i}$
આપેલ છે કે $\ell_{B} = 40\,cm$,$\alpha_{B} = 1.8 \times 10^{-5} K^{-1}$,અને $\alpha_{i} = 1.2 \times 10^{-5} K^{-1}$:
$40 \times 1.8 \times 10^{-5} = \ell_{i} \times 1.2 \times 10^{-5}$
$\ell_{i}$ માટે ઉકેલતા:
$\ell_{i} = \frac{40 \times 1.8}{1.2} = \frac{40 \times 3}{2} = 60\,cm$.
0 likes
View Solution142
AdvancedMCQ
ઘન પદાર્થનું ઉષ્મીય પ્રસરણ શેના કારણે થાય છે?
A
ઘન પદાર્થના આંતર-પરમાણ્વીય સ્થિતિ ઊર્જા વક્રની સંમિત લાક્ષણિકતા
B
ઘન પદાર્થના આંતર-પરમાણ્વીય સ્થિતિ ઊર્જા વક્રની અસંમિત લાક્ષણિકતા
C
ઘન પદાર્થના આંતર-પરમાણ્વીય સ્થિતિ ઊર્જા વક્રની ડબલ વેલ પ્રકૃતિ
D
ઘન પદાર્થના પરમાણુઓની ભ્રમણ ગતિ
Solution
(B) ઘન પદાર્થમાં બે પરમાણુઓની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ તેમના અંતર $r$ ના વિધેય તરીકે એક અસંમિત વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જેમ જેમ ઘન પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,તેમ પરમાણુઓની કંપન ઊર્જા વધે છે.
સ્થિતિ ઊર્જા વક્રની અસંમિતતાને કારણે,પરમાણુઓ ઊંચી ઊર્જા પર મોટા કંપનવિસ્તાર સાથે કંપન કરે છે.
કારણ કે વક્ર $r < r_0$ (જ્યાં $r_0$ એ સંતુલન અંતર છે) માટે વધુ ઢાળવાળો છે અને $r > r_0$ માટે ઓછો ઢાળવાળો છે,તેથી જેમ કુલ ઊર્જા વધે છે તેમ પરમાણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધે છે.
પરમાણુઓના સરેરાશ અંતરમાં આ વધારો ઘન પદાર્થના મેક્રોસ્કોપિક ઉષ્મીય પ્રસરણ તરીકે જોવા મળે છે.
જેમ જેમ ઘન પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,તેમ પરમાણુઓની કંપન ઊર્જા વધે છે.
સ્થિતિ ઊર્જા વક્રની અસંમિતતાને કારણે,પરમાણુઓ ઊંચી ઊર્જા પર મોટા કંપનવિસ્તાર સાથે કંપન કરે છે.
કારણ કે વક્ર $r < r_0$ (જ્યાં $r_0$ એ સંતુલન અંતર છે) માટે વધુ ઢાળવાળો છે અને $r > r_0$ માટે ઓછો ઢાળવાળો છે,તેથી જેમ કુલ ઊર્જા વધે છે તેમ પરમાણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધે છે.
પરમાણુઓના સરેરાશ અંતરમાં આ વધારો ઘન પદાર્થના મેક્રોસ્કોપિક ઉષ્મીય પ્રસરણ તરીકે જોવા મળે છે.
0 likes
View Solution143
DifficultMCQ
ઘન પદાર્થ ગરમ કરવાથી વિસ્તરણ પામે છે કારણ કે
A
ઘન પદાર્થમાં પરમાણુઓ વચ્ચેની આંતરક્રિયાની સ્થિતિ ઉર્જા પરમાણુઓના સંતુલન સ્થાનની આસપાસ અસમપ્રમાણ હોય છે
B
પરમાણુઓના કંપનની આવૃત્તિ વધે છે
C
ગરમ કરવાથી વિરુદ્ધ બાજુઓ વચ્ચે તાપીય ઢાળ ઉત્પન્ન થાય છે
D
કેલોરિક નામનું પ્રવાહી ગરમ કરવા દરમિયાન ઘન પદાર્થના આંતરપરમાણ્વીય અવકાશમાં વહે છે,જેનાથી તે વિસ્તરે છે
Solution
(A) સાચો જવાબ $(A)$ છે.
ઘન પદાર્થમાં બે પરમાણુઓ માટે સ્થિતિ ઉર્જા $U$ વિરુદ્ધ આંતરપરમાણ્વીય અંતર $r$ નો આલેખ સંતુલન સ્થાનની આસપાસ અસમપ્રમાણ હોય છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ પરમાણુઓની કુલ ઉર્જા વધે છે $(E_3 > E_2 > E_1)$.
સ્થિતિ ઉર્જા વક્રની અસમપ્રમાણતાને કારણે,જેમ ઉર્જા વધે છે તેમ પરમાણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધે છે $(r_3 > r_2 > r_1)$.
પરિણામે,સ્ફટિકમય ઘન પદાર્થો સામાન્ય રીતે ગરમ કરવાથી વિસ્તરણ પામે છે.
ઘન પદાર્થમાં બે પરમાણુઓ માટે સ્થિતિ ઉર્જા $U$ વિરુદ્ધ આંતરપરમાણ્વીય અંતર $r$ નો આલેખ સંતુલન સ્થાનની આસપાસ અસમપ્રમાણ હોય છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ પરમાણુઓની કુલ ઉર્જા વધે છે $(E_3 > E_2 > E_1)$.
સ્થિતિ ઉર્જા વક્રની અસમપ્રમાણતાને કારણે,જેમ ઉર્જા વધે છે તેમ પરમાણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધે છે $(r_3 > r_2 > r_1)$.
પરિણામે,સ્ફટિકમય ઘન પદાર્થો સામાન્ય રીતે ગરમ કરવાથી વિસ્તરણ પામે છે.
0 likes
View Solution144
MediumMCQ
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક વર્તુળાકાર ધાતુની રીંગમાં $d$ પહોળાઈની એક નાની જગ્યા (ગેપ) છે. ધાતુનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ છે. જો આપણે રીંગનું તાપમાન $\Delta T$ જેટલું વધારીએ,તો ગેપની પહોળાઈ:
A
$d \alpha \Delta T$ જેટલી વધશે
B
બદલાશે નહીં
C
$(2 \pi R - d) \alpha \Delta T$ જેટલી વધશે
D
$d \alpha \Delta T$ જેટલી ઘટશે
Solution
(A) કોઈપણ ઘન પદાર્થમાં રહેલી ખાલી જગ્યા અથવા ગેપનું ઉષ્મીય પ્રસરણ તે પદાર્થ જેવો જ વર્તાવ કરે છે.
જ્યારે રીંગનું તાપમાન $\Delta T$ જેટલું વધે છે,ત્યારે રીંગના દરેક રેખીય પરિમાણ,જેમાં ગેપની પહોળાઈ $d$ નો પણ સમાવેશ થાય છે,તે રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ મુજબ વિસ્તરે છે.
તેથી,ગેપની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta d = d \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\Delta T > 0$ હોવાથી,ગેપની પહોળાઈ $d \alpha \Delta T$ જેટલી વધશે.
જ્યારે રીંગનું તાપમાન $\Delta T$ જેટલું વધે છે,ત્યારે રીંગના દરેક રેખીય પરિમાણ,જેમાં ગેપની પહોળાઈ $d$ નો પણ સમાવેશ થાય છે,તે રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ મુજબ વિસ્તરે છે.
તેથી,ગેપની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta d = d \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\Delta T > 0$ હોવાથી,ગેપની પહોળાઈ $d \alpha \Delta T$ જેટલી વધશે.
0 likes
View Solution145
MediumMCQ
એક ધાતુના સિક્કાનું તાપમાન $100^{\circ} C$ જેટલું વધારવામાં આવે છે અને તેનો વ્યાસ $0.15 \%$ વધે છે. તેના ક્ષેત્રફળમાં આશરે કેટલો વધારો થશે ($\%$ માં)?
A
$0.15$
B
$0.30$
C
$0.60$
D
$0.0225$
Solution
(B) વર્તુળાકાર સિક્કાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
વ્યાસ $D = 2r$ હોવાથી,વ્યાસમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર એ ત્રિજ્યામાં થતા ટકાવારી ફેરફાર જેટલો જ હોય છે: $\frac{\Delta D}{D} \times 100 = \frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.15 \%$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે. સાપેક્ષ ત્રુટિ (અથવા વિકલન) ના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી વધારો શોધવા માટે:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta r}{r} \times 100)$
$= 2 \times 0.15 \% = 0.30 \%$.
વ્યાસ $D = 2r$ હોવાથી,વ્યાસમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર એ ત્રિજ્યામાં થતા ટકાવારી ફેરફાર જેટલો જ હોય છે: $\frac{\Delta D}{D} \times 100 = \frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.15 \%$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે. સાપેક્ષ ત્રુટિ (અથવા વિકલન) ના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી વધારો શોધવા માટે:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta r}{r} \times 100)$
$= 2 \times 0.15 \% = 0.30 \%$.
0 likes
View Solution146
MediumMCQ
ઘન પદાર્થો ગરમ કરવાથી વિસ્તરણ પામે છે કારણ કે ................
A
પરમાણુની ગતિ ઊર્જા વધે છે
B
પરમાણુની સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે
C
પરમાણુની કુલ ઊર્જા વધે છે
D
સ્થિતિ ઊર્જાનો વક્ર પાડોશી પરમાણુઓ વચ્ચેના સંતુલન અંતરની આસપાસ અસમપ્રમાણ હોય છે
Solution
(D)
ઘન પદાર્થોનું વિસ્તરણ સ્ફટિકમય ઘન પદાર્થમાં બે નજીકના પરમાણુઓ માટે તેમના આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $(r)$ ના વિધેય તરીકે સ્થિતિ ઊર્જા વક્ર દ્વારા સારી રીતે સમજી શકાય છે.
સામાન્ય તાપમાને: ઘન પદાર્થનો દરેક અણુ તેના સંતુલન સ્થાન $P_1$ ની આસપાસ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે,જ્યાં $r_0$ એ અન્ય અણુથી તેનું સંતુલન અંતર છે.
ઊંચા તાપમાને: દોલનનો કંપવિસ્તાર વધે છે ($C \leftrightarrow D$ થી $E \leftrightarrow F$ સુધી).
સ્થિતિ ઊર્જા વક્રની અસમપ્રમાણતાને કારણે,અણુઓના સરેરાશ સંતુલન સ્થાનો ($P_2$ અને $P_3$) બહારની તરફ ખસે છે. તેથી,અન્ય અણુઓથી સરેરાશ અંતર વધે છે $(r_2 > r_1 > r_0)$.
આમ,તાપમાન વધારવાથી,અણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ સંતુલન અંતર વધે છે અને સમગ્ર ઘન પદાર્થનું વિસ્તરણ થાય છે.
ઘન પદાર્થોનું વિસ્તરણ સ્ફટિકમય ઘન પદાર્થમાં બે નજીકના પરમાણુઓ માટે તેમના આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $(r)$ ના વિધેય તરીકે સ્થિતિ ઊર્જા વક્ર દ્વારા સારી રીતે સમજી શકાય છે.
સામાન્ય તાપમાને: ઘન પદાર્થનો દરેક અણુ તેના સંતુલન સ્થાન $P_1$ ની આસપાસ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે,જ્યાં $r_0$ એ અન્ય અણુથી તેનું સંતુલન અંતર છે.
ઊંચા તાપમાને: દોલનનો કંપવિસ્તાર વધે છે ($C \leftrightarrow D$ થી $E \leftrightarrow F$ સુધી).
સ્થિતિ ઊર્જા વક્રની અસમપ્રમાણતાને કારણે,અણુઓના સરેરાશ સંતુલન સ્થાનો ($P_2$ અને $P_3$) બહારની તરફ ખસે છે. તેથી,અન્ય અણુઓથી સરેરાશ અંતર વધે છે $(r_2 > r_1 > r_0)$.
આમ,તાપમાન વધારવાથી,અણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ સંતુલન અંતર વધે છે અને સમગ્ર ઘન પદાર્થનું વિસ્તરણ થાય છે.
0 likes
View Solution147
EasyMCQ
તાંબાની શીટમાં એક કાણું પાડવામાં આવ્યું છે. $27.0^{\circ} C$ તાપમાને કાણાનો વ્યાસ $4.24 \,cm$ છે. જ્યારે તેને $35^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે ત્યારે કાણાનો વ્યાસ કેટલો હશે?
A
$4.24 \,cm$ કરતા ઓછો
B
$4.24 \,cm$ જેટલો
C
$4.24 \,cm$ કરતા વધારે
D
માહિતી અપૂરતી છે
Solution
(C) જ્યારે કાણાવાળી ઘન વસ્તુને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થ બધી દિશાઓમાં વિસ્તરે છે,જેમાં કાણાની આસપાસનો પદાર્થ પણ સામેલ છે.
આના પરિણામે કાણું એવી રીતે વિસ્તરે છે જાણે કે આખી શીટ તે જ પદાર્થની બનેલી હોય.
ગાણિતિક રીતે,વ્યાસમાં થતો ફેરફાર $\Delta D = D \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ તાંબા માટે રેખીય પ્રસરણનો ગુણાંક છે.
અહીં $\Delta T = 35^{\circ} C - 27.0^{\circ} C = 8.0^{\circ} C$ ધન હોવાથી,વ્યાસ $D$ માં વધારો થશે.
તેથી,નવો વ્યાસ $4.24 \,cm$ કરતા વધારે હશે.
આના પરિણામે કાણું એવી રીતે વિસ્તરે છે જાણે કે આખી શીટ તે જ પદાર્થની બનેલી હોય.
ગાણિતિક રીતે,વ્યાસમાં થતો ફેરફાર $\Delta D = D \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ તાંબા માટે રેખીય પ્રસરણનો ગુણાંક છે.
અહીં $\Delta T = 35^{\circ} C - 27.0^{\circ} C = 8.0^{\circ} C$ ધન હોવાથી,વ્યાસ $D$ માં વધારો થશે.
તેથી,નવો વ્યાસ $4.24 \,cm$ કરતા વધારે હશે.
0 likes
View Solution148
EasyMCQ
એક સમાન ધાતુના નળાકારને ગરમ કરતા તેની લંબાઈમાં $3 \%$ નો વધારો થાય છે. તેના પાયાના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ........... $\%$ વધશે.
A
$1.5$
B
$3$
C
$9$
D
$6$
Solution
(D) ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L$ છે અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ છે. આડછેદનું પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
જ્યારે નળાકારને ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે લંબાઈમાં $3 \%$ નો વધારો થાય છે, તેથી નવી લંબાઈ $L' = L(1 + 0.03)$ થાય છે.
પદાર્થ સમાન હોવાથી, રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક $\alpha$ અચળ રહે છે. લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ છે, જ્યાં $\Delta L / L = 0.03$ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ત્રિજ્યા $r$ પર આધાર રાખે છે. ત્રિજ્યામાં ફેરફાર $\Delta r = r \alpha \Delta T$ છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \pi (r + \Delta r)^2 = \pi (r^2 + 2r \Delta r + (\Delta r)^2)$ છે.
ઉચ્ચ-ક્રમના પદ $(\Delta r)^2$ ને અવગણતા, આપણને $A' \approx \pi r^2 + 2 \pi r \Delta r = A + 2A (\Delta r / r)$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં આંશિક ફેરફાર $\Delta A / A = 2 (\Delta r / r) = 2 \alpha \Delta T$ છે.
કારણ કે $\Delta L / L = \alpha \Delta T = 0.03$ છે, તેથી $\Delta A / A = 2 \times 0.03 = 0.06$ થાય.
આમ, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $6 \%$ વધશે.
જ્યારે નળાકારને ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે લંબાઈમાં $3 \%$ નો વધારો થાય છે, તેથી નવી લંબાઈ $L' = L(1 + 0.03)$ થાય છે.
પદાર્થ સમાન હોવાથી, રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક $\alpha$ અચળ રહે છે. લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ છે, જ્યાં $\Delta L / L = 0.03$ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ત્રિજ્યા $r$ પર આધાર રાખે છે. ત્રિજ્યામાં ફેરફાર $\Delta r = r \alpha \Delta T$ છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \pi (r + \Delta r)^2 = \pi (r^2 + 2r \Delta r + (\Delta r)^2)$ છે.
ઉચ્ચ-ક્રમના પદ $(\Delta r)^2$ ને અવગણતા, આપણને $A' \approx \pi r^2 + 2 \pi r \Delta r = A + 2A (\Delta r / r)$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં આંશિક ફેરફાર $\Delta A / A = 2 (\Delta r / r) = 2 \alpha \Delta T$ છે.
કારણ કે $\Delta L / L = \alpha \Delta T = 0.03$ છે, તેથી $\Delta A / A = 2 \times 0.03 = 0.06$ થાય.
આમ, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $6 \%$ વધશે.
0 likes
View Solution149
EasyMCQ
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક વર્તુળાકાર ધાતુની તકતીમાં $r$ ત્રિજ્યાની એક નાની વર્તુળાકાર પોલાણ (cavity) છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. આ તંત્રને ગરમ કરવાથી:
A
$R$ વધે છે અને $r$ ઘટે છે
B
$R$ ઘટે છે અને $r$ વધે છે
C
$R$ અને $r$ બંને વધે છે
D
$R$ અને $r$ બંને ઘટે છે
Solution
(C) જ્યારે કોઈ ધાતુની વસ્તુને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં ઉષ્મીય પ્રસરણ થાય છે. ઘન પદાર્થનું પ્રસરણ ફોટોગ્રાફિક વિસ્તરણ જેવું હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થના તમામ રેખીય પરિમાણો પ્રમાણસર વધે છે.
પોલાણ ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતી માટે,પદાર્થ બધી દિશામાં વિસ્તરે છે. બાહ્ય ત્રિજ્યા $R$ વધે છે કારણ કે પરિઘ વિસ્તરે છે. તેવી જ રીતે,આંતરિક ત્રિજ્યા $r$ પણ વધે છે કારણ કે પોલાણની આસપાસનો પદાર્થ બહારની તરફ વિસ્તરે છે,જે અસરકારક રીતે પોલાણની સીમાને કેન્દ્રથી દૂર ધકેલે છે.
તેથી,ગરમ કરવા પર $R$ અને $r$ બંને વધે છે.
પોલાણ ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતી માટે,પદાર્થ બધી દિશામાં વિસ્તરે છે. બાહ્ય ત્રિજ્યા $R$ વધે છે કારણ કે પરિઘ વિસ્તરે છે. તેવી જ રીતે,આંતરિક ત્રિજ્યા $r$ પણ વધે છે કારણ કે પોલાણની આસપાસનો પદાર્થ બહારની તરફ વિસ્તરે છે,જે અસરકારક રીતે પોલાણની સીમાને કેન્દ્રથી દૂર ધકેલે છે.
તેથી,ગરમ કરવા પર $R$ અને $r$ બંને વધે છે.
0 likes
View Solution150
MediumMCQ
$50 \,cm$ લંબાઈ અને $3.0 \,mm$ વ્યાસ ધરાવતો એક સમાન તાંબાનો સળિયો $20^{\circ} C$ તાપમાને ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર રાખેલ છે. તાંબાનો રેખીય પ્રસરણાંક $2.0 \times 10^{-5} \,K^{-1}$ અને યંગ મોડ્યુલસ $1.2 \times 10^{11} \,N/m^2$ છે. જો તાંબાના સળિયાને $100^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે,તો સળિયામાં ઉદ્ભવતું તણાવ .......... $\times 10^3 \,N$ હશે.
A
$12$
B
$36$
C
$18$
D
$0$
Solution
(D) સળિયો ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર રાખેલ છે અને તેના છેડાઓ કોઈ પણ રીતે જકડાયેલા નથી.
જ્યારે સળિયાનું તાપમાન વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઉષ્મીય પ્રસરણ અનુભવે છે.
અહીં આ પ્રસરણને રોકવા માટે કોઈ બાહ્ય અવરોધ (જેમ કે દીવાલ) ન હોવાથી,સળિયો મુક્તપણે વિસ્તરણ પામે છે.
કારણ કે સળિયો કોઈપણ અવરોધ વિના મુક્તપણે વિસ્તરણ પામે છે,તેથી પદાર્થમાં કોઈ ઉષ્મીય પ્રતિબળ ઉદ્ભવતું નથી.
પરિણામે,તાંબાના સળિયામાં ઉદ્ભવતું તણાવ (અથવા દબાણ બળ) $0 \,N$ છે.
જ્યારે સળિયાનું તાપમાન વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઉષ્મીય પ્રસરણ અનુભવે છે.
અહીં આ પ્રસરણને રોકવા માટે કોઈ બાહ્ય અવરોધ (જેમ કે દીવાલ) ન હોવાથી,સળિયો મુક્તપણે વિસ્તરણ પામે છે.
કારણ કે સળિયો કોઈપણ અવરોધ વિના મુક્તપણે વિસ્તરણ પામે છે,તેથી પદાર્થમાં કોઈ ઉષ્મીય પ્રતિબળ ઉદ્ભવતું નથી.
પરિણામે,તાંબાના સળિયામાં ઉદ્ભવતું તણાવ (અથવા દબાણ બળ) $0 \,N$ છે.
0 likes
View Solution10-1.Thermometry, Thermal Expansion and Calorimetry — Thermal Expansion for Solid · Frequently Asked Questions
1Are these 10-1.Thermometry, Thermal Expansion and Calorimetry questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a 10-1.Thermometry, Thermal Expansion and Calorimetry Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.