Thermal Expansion for Solid Questions in Gujarati

(A) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા, આપણને $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$ મળે છે.
રેખીય પ્રસરણ $\frac{dl}{l} = \alpha \Delta \theta$ હોવાથી, આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$.
અહીં $\alpha = 9 \times 10^{-7} /{ }^{\circ} C$ અને $\Delta \theta = (30 - 20) = 10^{\circ} C$ આપેલ છે,
$\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-7} \times 10 = 4.5 \times 10^{-6}$.
દરેક દોલન દીઠ સમયનો વ્યય $dT = T \times (4.5 \times 10^{-6})$ છે.
$T = 0.5 \, s$ મૂકતા, આપણને $dT = 0.5 \times 4.5 \times 10^{-6} = 2.25 \times 10^{-6} \, s$ મળે છે.

(B) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી સળિયાનું કોણીય વેગમાન $J$ અચળ રહે છે.
$J = I \omega = \text{અચળ}$.
શરૂઆતમાં,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{3} M L^2$ છે અને કોણીય વેગ $\omega_1 = \omega$ છે.
જ્યારે તાપમાનમાં $t^{\circ} C$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે સળિયાની લંબાઈ $L' = L(1 + \alpha t)$ થાય છે.
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{3} M (L')^2 = \frac{1}{3} M L^2 (1 + \alpha t)^2 = I_1 (1 + \alpha t)^2$ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
$\omega_2 = \omega_1 \left( \frac{I_1}{I_2} \right) = \omega \left( \frac{I_1}{I_1(1 + \alpha t)^2} \right) = \omega (1 + \alpha t)^{-2}$.
નાના $\alpha t$ માટે દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા,$\omega_2 \approx \omega (1 - 2 \alpha t)$.
કોણીય વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 = \omega (1 - 2 \alpha t) - \omega = -2 \omega \alpha t$.
આમ,કોણીય વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \omega|$ એ $\omega$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(A) ધારો કે $30^{\circ} C$ તાપમાને તાંબાની રીંગનું ક્ષેત્રફળ $A_c$ અને સ્ટીલના સળિયાનું ક્ષેત્રફળ $A_s$ છે.
આપેલ છે: $A_c = 9.98 \ cm^2$,$A_s = 10 \ cm^2$.
રેખીય પ્રસરણાંક: $\alpha_c = 17 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$,$\alpha_s = 11 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક: $\beta_c = 2\alpha_c = 34 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$,$\beta_s = 2\alpha_s = 22 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
રીંગ સળિયા પર ચડી શકે તે માટે,નવા તાપમાન $T = T_0 + \Delta T$ પર રીંગનું ક્ષેત્રફળ સળિયાના ક્ષેત્રફળ જેટલું અથવા તેનાથી વધારે હોવું જોઈએ.
$A_c(1 + \beta_c \Delta T) = A_s(1 + \beta_s \Delta T)$
$9.98(1 + 34 \times 10^{-6} \Delta T) = 10(1 + 22 \times 10^{-6} \Delta T)$
$9.98 + 9.98 \times 34 \times 10^{-6} \Delta T = 10 + 10 \times 22 \times 10^{-6} \Delta T$
$(339.32 - 220) \times 10^{-6} \Delta T = 10 - 9.98$
$119.32 \times 10^{-6} \Delta T = 0.02$
$\Delta T = \frac{0.02}{119.32 \times 10^{-6}} \approx 167.6^{\circ} C$.

(C) રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ છે,જ્યાં $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
અહીં લંબાઈમાં $0.4 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta L}{L} = 0.4 \% = \frac{0.4}{100} = 0.004$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 20 \times 10^{-6} \ {}^{\circ}C^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્ર $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ માં મૂકતા:
$0.004 = (20 \times 10^{-6}) \Delta T$.
$\Delta T$ માટે ગણતરી કરતા:
$\Delta T = \frac{0.004}{20 \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} = \frac{1}{5} \times 10^3 = 0.2 \times 1000 = 200 \ {}^{\circ}C$.
સેલ્સિયસમાં તાપમાનનો ફેરફાર એ કેલ્વિનમાં તાપમાનના ફેરફાર જેટલો જ હોવાથી,$\Delta T = 200 \ K$.

(C) ધાતુની સ્કેલની લંબાઈ $L = 1 \ m = 1000 \ mm$ છે. લંબાઈમાં મહત્તમ માન્ય ભૂલ $\Delta L = 0.5 \ mm$ છે. રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 10^{-5} /{ }^{\circ} C$ છે. તાપમાનના ફેરફાર $\Delta T$ ને કારણે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કિંમતો મૂકતા: $0.5 = 1000 \times 10^{-5} \times \Delta T$. આનું સાદું રૂપ આપતા $0.5 = 10^{-2} \times \Delta T$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta T = 0.5 / 10^{-2} = 50^{\circ} C$. સ્કેલ $25^{\circ} C$ પર અંકિત થયેલ હોવાથી,તાપમાનનો ગાળો $25^{\circ} C \pm 50^{\circ} C$ થશે. આમ,તાપમાનનો ગાળો $25 - 50 = -25^{\circ} C$ થી $25 + 50 = 75^{\circ} C$ સુધીનો છે.

(D) પ્રથમ સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \ell_1 = L(2 \alpha) \Delta T = 2 \,L \alpha \Delta T$ છે।
બીજા સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \ell_2 = (2 \,L)(\alpha)(\Delta T) = 2 \,L \alpha \Delta T$ છે।
સંયુક્ત સળિયાની લંબાઈમાં થતો કુલ ફેરફાર $\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 = 2 \,L \alpha \Delta T + 2 \,L \alpha \Delta T = 4 \,L \alpha \Delta T$ છે।
$3 \,L$ લંબાઈના સંયુક્ત સળિયા માટે,લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l = (3 \,L) \alpha_C \Delta T$ છે।
$\Delta l$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $4 \,L \alpha \Delta T = 3 \,L \alpha_C \Delta T$.
$\alpha_C$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\alpha_C = \frac{4 \alpha}{3}$ મળે છે.

(C) રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\alpha = \frac{\Delta L}{L \Delta T}$
આપેલ છે:
પ્રારંભિક લંબાઈ $L = 30 \ cm$
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = 0.027 \ cm$
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 30^{\circ} C$
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 105^{\circ} C$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 105^{\circ} C - 30^{\circ} C = 75^{\circ} C$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\alpha = \frac{0.027}{30 \times 75}$
$\alpha = \frac{0.027}{2250}$
$\alpha = 0.000012 /{ }^{\circ} C$
$\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$

(B) $27^{\circ} C$ તાપમાને લોખંડની રીંગનો વ્યાસ $d_i = 5 \ m$ છે.
લાકડાના પૈડાનો વ્યાસ $d_w = 5.012 \ m$ છે.
આપણે લોખંડની રીંગને $5.012 \ m$ વ્યાસ સુધી વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d_w = d_i(1 + \alpha \Delta T)$.
$\Delta T = \frac{d_w - d_i}{d_i \alpha} = \frac{5.012 - 5}{5 \times 1.2 \times 10^{-5}} = \frac{0.012}{6 \times 10^{-5}} = \frac{1.2 \times 10^{-2}}{6 \times 10^{-5}} = 0.2 \times 10^3 = 200^{\circ} C$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = T_1 + \Delta T = 27^{\circ} C + 200^{\circ} C = 227^{\circ} C$.

(A) ધારો કે ચોક્કસ તાપમાને સ્ટીલ અને તાંબાના સળિયાની લંબાઈ $L_s$ અને $L_c$ છે. તેમની લંબાઈનો તફાવત $L_s - L_c = 4 \ cm$ આપેલ છે,જે કોઈપણ તાપમાને અચળ રહે છે.
આનો અર્થ એ છે કે તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T$ ને કારણે બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\Delta L_s = \Delta L_c$.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta L = \alpha L \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\alpha_s L_s \Delta T = \alpha_c L_c \Delta T$ મળે છે.
બંને બાજુથી $\Delta T$ ને દૂર કરતા,આપણી પાસે $\alpha_s L_s = \alpha_c L_c$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(1.1 \times 10^{-5}) L_s = (1.7 \times 10^{-5}) L_c$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{L_s}{L_c} = \frac{1.7 \times 10^{-5}}{1.1 \times 10^{-5}} = \frac{17}{11}$ થાય છે.

(B) તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 230^{\circ} C - 30^{\circ} C = 200^{\circ} C$ છે.
જ્યારે કાણાવાળી ધાતુની શીટને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કાણું એવી રીતે વિસ્તરે છે જાણે કે તે તે જ પદાર્થનો નક્કર ટુકડો હોય.
રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર $L = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $L = 5 \times (1 + 2 \times 10^{-5} \times 200)$.
$L = 5 \times (1 + 400 \times 10^{-5}) = 5 \times (1 + 0.004) = 5 \times 1.004 = 5.02 \ cm$.

(C) સંયુક્ત સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર એ વ્યક્તિગત સળિયાઓની લંબાઈમાં થતા ફેરફારોનો સરવાળો છે.
$\Delta l = \Delta l_A + \Delta l_B$
રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta l = l \alpha \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $l = 0.5 \ m$,$\Delta T = 230^{\circ} C - 30^{\circ} C = 200^{\circ} C$,$\alpha_A = 2.0 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,અને $\alpha_B = 1.0 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ છે:
$\Delta l = (l_A \alpha_A \Delta T) + (l_B \alpha_B \Delta T)$
$\Delta l = l \Delta T (\alpha_A + \alpha_B)$
$\Delta l = 0.5 \times 200 \times (2.0 \times 10^{-5} + 1.0 \times 10^{-5})$
$\Delta l = 100 \times (3.0 \times 10^{-5})$
$\Delta l = 3.0 \times 10^{-3} \ m = 3 \ mm$
તેથી,લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $3 \ mm$ છે.

(B) ગરમ થવાને કારણે ધાતુનો ગોળો વિસ્તરણ પામવાનો પ્રયત્ન કરે છે,પરંતુ તેનું કદ અચળ રાખવામાં આવતું હોવાથી,પદાર્થની અંદર થર્મલ સ્ટ્રેસ (ઉષ્મીય પ્રતિબળ) ઉત્પન્ન થાય છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = \frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $\Delta P$ એ દબાણમાં થતો ફેરફાર છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
ઘન પદાર્થ માટે,$\gamma = 3\alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
આપેલ છે: $\alpha = 10^{-5} \ {^{\circ} C}^{-1}$,$\Delta T = 127^{\circ} C - 20^{\circ} C = 107^{\circ} C$,અને $B = 2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
દબાણમાં થતા ફેરફારના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા: $\Delta P = B \times (3\alpha \Delta T)$.
$\Delta P = (2 \times 10^{11}) \times (3 \times 10^{-5} \times 107) = 6 \times 10^6 \times 107 = 6.42 \times 10^8 \ Pa$.
અંતિમ દબાણ $P_f = P_i + \Delta P = 10^5 \ Pa + 6.42 \times 10^8 \ Pa \approx 6.42 \times 10^8 \ Pa$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,દબાણ આશરે $6 \times 10^8 \ Pa$ થાય છે.

(B) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન સળિયાની તેના લંબ દ્વિભાજકને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{12} ML^2$
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો કરવામાં આવે છે,ત્યારે સળિયાની લંબાઈ વધીને $L' = L + \Delta L$ થાય છે,જ્યાં $\Delta L = L \alpha \Delta T$. દળ $M$ અચળ રહે છે.
નવી જડત્વની આઘૂર્ણ $I' = I + \Delta I$ છે:
$I + \Delta I = \frac{1}{12} M(L + \Delta L)^2$
$I + \Delta I = \frac{1}{12} ML^2 \left(1 + \frac{\Delta L}{L}\right)^2$
$I = \frac{1}{12} ML^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$I + \Delta I = I \left(1 + \frac{\Delta L}{L}\right)^2$
દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $x \ll 1$):
$I + \Delta I \approx I \left(1 + 2 \frac{\Delta L}{L}\right)$
$I + \Delta I \approx I + 2I \frac{\Delta L}{L}$
$\Delta I = 2I \frac{\Delta L}{L}$
$\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ મૂકતા:
$\Delta I = 2I \alpha \Delta T$
તેથી,$\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta T$.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $t_1 = 20^{\circ} C$
અંતિમ તાપમાન $t_2 = 60^{\circ} C$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = t_2 - t_1 = 60^{\circ} C - 20^{\circ} C = 40^{\circ} C$
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 10^{-5} {^{\circ} C}^{-1}$
પ્રારંભિક પરિમાણો $40 \text{ cm} \times 20 \text{ cm}$ છે.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A = 40 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} = 800 \text{ cm}^2$.
ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક $\beta = 2\alpha$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\Delta A = A \beta \Delta T = A (2\alpha) \Delta T$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta A = 800 \text{ cm}^2 \times (2 \times 10^{-5} {^{\circ} C}^{-1}) \times 40^{\circ} C$
$\Delta A = 800 \times 2 \times 10^{-5} \times 40 \text{ cm}^2$
$\Delta A = 64000 \times 10^{-5} \text{ cm}^2$
$\Delta A = 0.64 \text{ cm}^2$.

(B) આપેલ છે કે,તાંબાના વર્તુળાકાર સિક્કાનું ક્ષેત્રફળ $0.4 \%$ વધે છે.
આનો અર્થ એ છે કે,$\frac{\Delta A}{A} = 0.004$.
તાપમાનમાં વધારો $\Delta T = 100^{\circ} C$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\Delta A}{A \cdot \Delta T}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\beta = \frac{0.004}{100} = 4 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક $\beta$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\beta = 2\alpha$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{\beta}{2} = \frac{4 \times 10^{-5}}{2} /^{\circ} C = 2 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.

$(A)$ આપેલ છે: સ્ટીલનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 11 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
જરૂરી ચોકસાઈ $\Delta l = 0.06 \,mm = 6 \times 10^{-5} \,m$, લંબાઈ $l = 1 \,m$.
રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર: $\Delta l = l \alpha \Delta t$.
તાપમાનના તફાવત માટે: $\Delta t = \frac{\Delta l}{l \alpha}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta t = \frac{6 \times 10^{-5}}{1 \times 11 \times 10^{-6}} = \frac{60}{11} \approx 5.45^{\circ} C$.
સ્કેલ $25^{\circ} C$ પર સચોટ હોવાથી, માન્ય તાપમાનનો ગાળો $25^{\circ} C \pm 5.45^{\circ} C$ થશે.
આ ગાળો $19.55^{\circ} C$ થી $30.45^{\circ} C$ મળે છે.
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકની પૂર્ણાંક કિંમતો મુજબ, ગાળો આશરે $19^{\circ} C$ થી $31^{\circ} C$ છે.
તેથી, વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $I = Mk^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
$M$ અચળ હોવાથી,$I \propto k^2$ મળે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\ln I = \ln M + 2 \ln k$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{dI}{I} = 2 \frac{dk}{k}$.
ઉષ્મીય પ્રસરણ માટે,લંબાઈમાં થતો ફેરફાર (અથવા $k$ જેવી કોઈપણ રેખીય પરિમાણ) $\Delta k = k \alpha \Delta T$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\Delta k}{k} = \alpha \Delta T$.
આ કિંમતને $\frac{\Delta I}{I}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta T$.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાની પ્રારંભિક લંબાઈ $l$ છે. સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ માં,વેધ $DC$ ની લંબાઈ નીચે મુજબ મળે છે:
$DC^2 = AC^2 - AD^2 = l^2 - (l/2)^2 = 3l^2/4$.
તાપમાનમાં નાના ફેરફાર $\Delta t$ પછી,નવી લંબાઈ $l' = l(1 + \alpha \Delta t)$ થાય છે.
સળિયા $AC$ માટે,નવી લંબાઈ $l_{AC}' = l(1 + \alpha_2 \Delta t)$ છે.
ખંડ $AD$ માટે,નવી લંબાઈ $l_{AD}' = (l/2)(1 + \alpha_1 \Delta t)$ છે.
કારણ કે $DC$ અચળ રહે છે,$DC^2 = (l_{AC}')^2 - (l_{AD}')^2$.
$3l^2/4 = [l(1 + \alpha_2 \Delta t)]^2 - [(l/2)(1 + \alpha_1 \Delta t)]^2$.
$3l^2/4 = l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta t + \alpha_2^2 \Delta t^2) - (l^2/4)(1 + 2\alpha_1 \Delta t + \alpha_1^2 \Delta t^2)$.
ઉચ્ચ ઘાતવાળા પદો $\alpha^2 \Delta t^2$ ને અવગણતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$3l^2/4 = l^2 + 2l^2 \alpha_2 \Delta t - l^2/4 - (l^2/4)(2\alpha_1 \Delta t)$.
$3l^2/4 = 3l^2/4 + 2l^2 \alpha_2 \Delta t - (l^2/2)\alpha_1 \Delta t$.
$0 = 2l^2 \alpha_2 \Delta t - (l^2/2)\alpha_1 \Delta t$.
$2\alpha_2 = \alpha_1/2 \implies \alpha_1 = 4\alpha_2$.

(B) ધારો કે $L_0$ એ ગરમ કરતા પહેલા દરેક પટ્ટીની પ્રારંભિક લંબાઈ છે. ગરમ કર્યા પછી,પિત્તળ અને તાંબાની પટ્ટીઓની લંબાઈ નીચે મુજબ છે:
$L_B = L_0(1 + \alpha_B \Delta T) = (R + d)\theta$
$L_C = L_0(1 + \alpha_C \Delta T) = R\theta$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{R + d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
$1 + \frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
$\frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} - 1 = \frac{1 + \alpha_B \Delta T - 1 - \alpha_C \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} = \frac{(\alpha_B - \alpha_C) \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
કારણ કે $\alpha \Delta T \ll 1$,આપણે $1 + \alpha_C \Delta T \approx 1$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ. તેથી:
$R \approx \frac{d}{(\alpha_B - \alpha_C) \Delta T}$
આમ,$R \propto \frac{1}{\Delta T}$.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવર્તકાળમાં થતો સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ છે.
અહીં $\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ અને $\Delta \theta = 40^{\circ} C - 20^{\circ} C = 20^{\circ} C$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 20 = 120 \times 10^{-6} = 1.2 \times 10^{-4}$.
એક દિવસમાં $(T = 86400 ~s)$ ગુમાવેલ કે મેળવેલ સમય $\Delta T = T \times \frac{\Delta T}{T} = 86400 \times 1.2 \times 10^{-4} \approx 10.368 ~s$.
તાપમાન વધવાથી લોલકની લંબાઈ વધે છે,તેથી આવર્તકાળ વધે છે અને ઘડિયાળ સમય ગુમાવે છે.

(B) ધારો કે $25^{\circ} C$ તાપમાને ધાતુની માપપટ્ટી વડે માપવામાં આવેલ સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ $L_s$ છે. માપપટ્ટી $0^{\circ} C$ તાપમાને અંકિત કરેલી છે,તેથી $25^{\circ} C$ તાપમાને તેની લંબાઈમાં વધારો થાય છે. માપપટ્ટી પરનું $1 \ m$ નું માપ $25^{\circ} C$ તાપમાને વાસ્તવિક લંબાઈ $L_{actual} = 1(1 + \alpha_{\text{metal}} \Delta T) = 1(1 + 20 \times 10^{-6} \times 25) = 1 + 0.0005 = 1.0005 \ m$ દર્શાવે છે.
આ $25^{\circ} C$ તાપમાને સ્ટીલના સળિયાની વાસ્તવિક લંબાઈ છે. ધારો કે $0^{\circ} C$ તાપમાને સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ $L_0$ છે.
સ્ટીલના સળિયા માટે ઉષ્મીય પ્રસરણનું સૂત્ર વાપરતા: $L_{actual} = L_0(1 + \alpha_{\text{steel}} \Delta T)$.
$1.0005 = L_0(1 + 12 \times 10^{-6} \times 25)$.
$1.0005 = L_0(1 + 0.0003) = L_0(1.0003)$.
$L_0 = \frac{1.0005}{1.0003} \approx 1.0001999 \ m \approx 1.0002 \ m$.

(B) ધારો કે ચોરસ શીટની બાજુની લંબાઈ $L$ છે. શીટનું ક્ષેત્રફળ $A = L^2$ છે.
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય,ત્યારે નવી લંબાઈ $L' = L(1 + \alpha \Delta T)$ થાય,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = (L')^2 = L^2(1 + \alpha \Delta T)^2$ થાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$A' = A(1 + 2\alpha \Delta T + \alpha^2 \Delta T^2)$ મળે.
$\alpha$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$\alpha^2$ ને અવગણી શકાય,તેથી $A' \approx A(1 + 2\alpha \Delta T)$.
ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંક $\beta$ ને $A' = A(1 + \beta \Delta T)$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\beta = 2\alpha$ મળે છે.
તેથી,રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ અને ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંક $(\beta)$ નો ગુણોત્તર $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha}{2\alpha} = 0.5$ થાય છે.

(B) સળિયો મુક્તપણે ફરતો હોવાથી, કોણીય વેગમાન $L$ સંરક્ષિત રહે છે।
$L = I \omega = \text{constant}$.
પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{mL^2}{3}$.
તાપમાનમાં વધારા પછી, નવી લંબાઈ $L' = L(1 + \alpha \Delta T)$ થાય છે।
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{m(L')^2}{3} = \frac{m L^2 (1 + \alpha \Delta T)^2}{3} = I(1 + \alpha \Delta T)^2$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $I \omega = I' \omega'$.
આપેલ છે કે $\omega' = \frac{\omega}{2}$, તેથી $I \omega = I(1 + \alpha \Delta T)^2 \frac{\omega}{2}$.
$1 = \frac{(1 + \alpha \Delta T)^2}{2} \implies (1 + \alpha \Delta T)^2 = 2$.
વર્ગમૂળ લેતા: $1 + \alpha \Delta T = \sqrt{2}$.
$\alpha \ll 1$ હોવાથી, દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + 2 \alpha \Delta T \approx 2$.
$2 \alpha \Delta T = 1$.
$\Delta T = \frac{1}{2 \alpha}$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L_{0}$ અને પ્રારંભિક પહોળાઈ $B_{0}$ છે. પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $S_{0} = L_{0} B_{0}$ છે.
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta t$ જેટલો વધારો થાય,ત્યારે નવી લંબાઈ $L_{t}$ અને નવી પહોળાઈ $B_{t}$ નીચે મુજબ મળે:
$L_{t} = L_{0}(1 + \alpha_{1} \Delta t)$
$B_{t} = B_{0}(1 + \alpha_{2} \Delta t)$
નવું ક્ષેત્રફળ $S_{t}$:
$S_{t} = L_{t} \times B_{t} = L_{0}(1 + \alpha_{1} \Delta t) \times B_{0}(1 + \alpha_{2} \Delta t)$
$S_{t} = L_{0} B_{0} (1 + \alpha_{1} \Delta t + \alpha_{2} \Delta t + \alpha_{1} \alpha_{2} (\Delta t)^{2})$
અહીં $\alpha_{1} \Delta t \ll 1$ અને $\alpha_{2} \Delta t \ll 1$ હોવાથી,$\alpha_{1} \alpha_{2} (\Delta t)^{2}$ પદને અવગણી શકાય.
$S_{t} \approx S_{0} (1 + (\alpha_{1} + \alpha_{2}) \Delta t)$
પૃષ્ઠ પ્રસરણના પ્રમાણિત સૂત્ર $S_{t} = S_{0} (1 + \beta \Delta t)$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $\beta$ એ પૃષ્ઠ પ્રસરણાંક છે:
$\beta = \alpha_{1} + \alpha_{2}$

(B) આપેલ છે: $30^{\circ} C$ તાપમાને કુલ લંબાઈ $L = 120 \ cm$. બંને સળિયાની લંબાઈ સમાન હોવાથી,દરેક સળિયા માટે $\ell_0 = 60 \ cm$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 100^{\circ} C - 30^{\circ} C = 70^{\circ} C$.
એલ્યુમિનિયમ માટે રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha_A = 24 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
સ્ટીલ માટે રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha_S = 1.2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
સંયુક્ત સળિયાની અંતિમ લંબાઈ એ વ્યક્તિગત સળિયાઓની અંતિમ લંબાઈનો સરવાળો છે:
$\ell_{\text{final}} = \ell_0(1 + \alpha_A \Delta T) + \ell_0(1 + \alpha_S \Delta T)$
$\ell_{\text{final}} = \ell_0 [2 + (\alpha_A + \alpha_S) \Delta T]$
$\ell_{\text{final}} = 60 [2 + (24 \times 10^{-6} + 12 \times 10^{-6}) \times 70]$
$\ell_{\text{final}} = 60 [2 + (36 \times 10^{-6}) \times 70]$
$\ell_{\text{final}} = 60 [2 + 0.00252] = 120 + 0.1512 = 120.1512 \ cm$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,લંબાઈ $120.15 \ cm$ મળે છે.

(D) ધારો કે $T_1$ તાપમાને પ્રારંભિક લંબાઈ $L_0$ છે.
પ્રથમ તાપમાન ફેરફાર $T_1$ થી $T_2$ માટે,લંબાઈમાં વધારો $\Delta L_1 = L_0 \alpha (T_2 - T_1) = L_0 \alpha \Delta T$ છે.
$T_2$ તાપમાને પટ્ટીની લંબાઈ $L_2 = L_0 + \Delta L_1 = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ થાય.
બીજા તાપમાન ફેરફાર $T_2$ થી $T_3$ માટે,લંબાઈમાં વધારો $\Delta L_2 = L_2 \alpha (T_3 - T_2)$ છે.
આપેલ છે કે $T_3 + T_1 = 2T_2$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $T_3 - T_2 = T_2 - T_1 = \Delta T$.
$\Delta L_2$ ના સમીકરણમાં $L_2$ અને $(T_3 - T_2)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta L_2 = [L_0(1 + \alpha \Delta T)] \alpha \Delta T = (L_0 \alpha \Delta T)(1 + \alpha \Delta T)$.
કારણ કે $\Delta L_1 = L_0 \alpha \Delta T$,તેથી આપણને $\Delta L_2 = \Delta L_1(1 + \alpha \Delta T)$ મળે છે.