Thermal Expansion for Solid Questions in Hindi

(A) लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2\%$ दी गई है।
$l$ भुजा वाली वर्गाकार शीट के लिए,क्षेत्रफल $A = l^2$ होता है।
सापेक्ष त्रुटि की अवधारणा का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta l}{l}$ है।
इसलिए,क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta l}{l} \times 100)$ होगी।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $2 \times 2\% = 4\%$।

(B) जब किसी छड़ के प्रसार को रोका जाता है,तो उसमें उत्पन्न तापीय प्रतिबल (thermal stress) $\sigma = Y \alpha \Delta \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रतिबल $\sigma = F/A$ होता है,इसलिए बल $F = Y A \alpha \Delta \theta$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है:
$Y = 10^{11} \, N/m^2$
$A = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$
$\alpha = 10^{-5} /^\circ C$
$\Delta \theta = 100 - 0 = 100^\circ C = 10^2 \, ^\circ C$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 10^{11} \times 10^{-4} \times 10^{-5} \times 10^2$
$F = 10^{11 - 4 - 5 + 2} = 10^4 \, N$.

(A) घड़ी में बैलेंस व्हील समय मापने की क्रियाविधि को नियंत्रित करने के लिए जिम्मेदार होता है।
घड़ी द्वारा सटीक समय बनाए रखने के लिए,परिवेश के तापमान में उतार-चढ़ाव के बावजूद बैलेंस व्हील के आयाम अपरिवर्तित रहने चाहिए।
इनवार एक निकल-आयरन मिश्र धातु है जो अपने अत्यंत कम तापीय प्रसार गुणांक के लिए जानी जाती है।
चूंकि इनवार के आयाम तापमान के साथ नहीं बदलते हैं,इसलिए इसका उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए किया जाता है कि घड़ी का दोलन काल स्थिर रहे।

(D) मान लीजिए कि $\Delta \theta$ तापमान पर पीतल की छड़ की लंबाई ${L_1}$ और स्टील की छड़ की लंबाई ${L_2}$ है।
${L_1} = {l_1}(1 + {\alpha _1}\Delta \theta )$
${L_2} = {l_2}(1 + {\alpha _2}\Delta \theta )$
$\Delta \theta$ तापमान पर लंबाई का अंतर ${L_2} - {L_1} = {l_2}(1 + {\alpha _2}\Delta \theta ) - {l_1}(1 + {\alpha _1}\Delta \theta )$ है।
${L_2} - {L_1} = ({l_2} - {l_1}) + \Delta \theta ({l_2}{\alpha _2} - {l_1}{\alpha _1})$.
लंबाई का अंतर $0^{\circ}C$ के समान रहने के लिए,हमें ${L_2} - {L_1} = {l_2} - {l_1}$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $\Delta \theta ({l_2}{\alpha _2} - {l_1}{\alpha _1}) = 0$.
चूंकि $\Delta \theta \neq 0$,इसलिए ${l_2}{\alpha _2} - {l_1}{\alpha _1} = 0$ होना चाहिए,या ${l_1}{\alpha _1} = {l_2}{\alpha _2}$।

(C) जब किसी ठोस वस्तु को गर्म किया जाता है,तो उसमें ऊष्मीय प्रसार होता है।
मान लीजिए कि रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ है।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ है,इसलिए भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta L}{L_0} = \alpha \Delta T$ है।
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_0 (2\alpha) \Delta T$ है,इसलिए भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta A}{A_0} = 2\alpha \Delta T$ है।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_0 (3\alpha) \Delta T$ है,इसलिए भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V_0} = 3\alpha \Delta T$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$3\alpha > 2\alpha > \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिशत वृद्धि आयतन के लिए सबसे अधिक होगी।
गर्म करने पर घनत्व कम हो जाता है क्योंकि द्रव्यमान स्थिर रहता है और आयतन बढ़ जाता है।

(D) भौतिक पेंडुलम का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ द्वारा दिया जाता है। $L$ लंबाई की एक समान छड़ के लिए,$T \propto \sqrt{L}$ होता है।
अवकलन लेने पर,आवर्तकाल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta L = L \alpha \Delta \theta$,इसलिए $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta \theta$ होता है।
अतः,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$.
यहाँ $\alpha = 2 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ और $\Delta \theta = 10^{\circ}C$ दिया गया है:
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6}) \times 10 = 10^{-5}$.
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 10^{-5} \times 100 = 10^{-3} \%$ है।

(C) लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ को सूत्र $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
यहाँ,$L_0 = 10 \, cm$,$\alpha = 11 \times 10^{-6} /^{\circ}C$,और $\Delta T = 19^{\circ}C - 20^{\circ}C = -1^{\circ}C$ है।
मान रखने पर:
$\Delta L = 10 \times (11 \times 10^{-6}) \times (-1) \, cm$.
$\Delta L = -110 \times 10^{-6} \, cm = -1.1 \times 10^{-4} \, cm = -11 \times 10^{-5} \, cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि छड़ छोटी हो जाती है।
अतः,छड़ $11 \times 10^{-5} \, cm$ छोटी हो जाएगी।

(C) जब किसी पदार्थ को गर्म किया जाता है,तो उसके कण गतिज ऊर्जा प्राप्त करते हैं और एक-दूसरे से दूर हो जाते हैं,जिससे पदार्थ का प्रसार होता है।
चूंकि पदार्थ का द्रव्यमान स्थिर रहता है जबकि आयतन बढ़ता है,इसलिए घनत्व,जिसे $\rho = \frac{m}{V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,कम हो जाता है।
अतः,ऊष्मीय प्रसार के कारण पदार्थ का घनत्व कम हो जाता है।

(C) एक द्विधात्विक पट्टी दो अलग-अलग धातुओं से बनी होती है जिनके रेखीय प्रसार गुणांक ($\alpha_A$ और $\alpha_B$) अलग-अलग होते हैं।
जब पट्टी को गर्म किया जाता है, तो दोनों धातुएं फैलती हैं, लेकिन जिस धातु का रेखीय प्रसार गुणांक अधिक होता है, वह दूसरी धातु की तुलना में अधिक फैलती है।
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, यदि $\alpha_A > \alpha_B$ है, तो धातु $A$ धातु $B$ की तुलना में अधिक फैलेगी।
लंबाई में इस अंतर को समायोजित करने के लिए, पट्टी को मुड़ना पड़ता है।
अधिक प्रसार गुणांक वाली धातु $(A)$ चाप का बाहरी हिस्सा बनाती है, जबकि कम प्रसार गुणांक वाली धातु $(B)$ आंतरिक हिस्सा बनाती है।
इसलिए, सही विकल्प $C$ है।

(A) जब गुहा वाली किसी ठोस वस्तु को गर्म किया जाता है,तो वस्तु का पदार्थ सभी दिशाओं में फैलता है।
यह विस्तार उन्हीं नियमों का पालन करता है जैसे कि गुहा उसी पदार्थ से भरी हुई हो।
चूंकि पदार्थ बाहर की ओर फैलता है,इसलिए गुहा की आंतरिक सीमा भी बाहर की ओर खिसकती है,जिससे गुहा का आयतन प्रभावी रूप से बढ़ जाता है।
इसलिए,गुहा का आयतन बढ़ जाएगा।

(A) मान लीजिए पिन का प्रारंभिक व्यास $D_p$ है और छेद का व्यास $D_h$ है। तापमान $T$ पर $D_p > D_h$ दिया गया है।
उन्हें फिट करने के लिए,हमें तापमान $T + \Delta T$ पर दोनों के व्यास को समान करना होगा।
रेखीय प्रसार के सूत्र $D' = D(1 + \alpha \Delta T)$ का उपयोग करते हुए,हमें $D_p(1 + \alpha_b \Delta T) = D_h(1 + \alpha_s \Delta T)$ प्राप्त होता है,जहाँ $\alpha_b$ कांस्य का और $\alpha_s$ स्टील का रेखीय प्रसार गुणांक है।
चूंकि स्टील का प्रसार गुणांक कांस्य से अधिक $(\alpha_s > \alpha_b)$ है,इसलिए ब्लॉक को गर्म करने पर छेद का व्यास $D_h$,पिन के व्यास $D_p$ की तुलना में तेजी से बढ़ेगा।
अतः,केवल ब्लॉक को गर्म करना न्यूनतम तापमान परिवर्तन के साथ फिटिंग प्राप्त करने का सबसे प्रभावी तरीका है।

(D) बेलन के आधार का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पदार्थ समान है,त्रिज्या $r$ लंबाई $L$ के समानुपाती होती है (रेखीय प्रसार),इसलिए $r \propto L$।
अतः,क्षेत्रफल $A$ लंबाई के वर्ग के समानुपाती होता है: $A \propto L^2$।
छोटे परिवर्तनों के लिए त्रुटि विश्लेषण सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\Delta A}{A} \approx 2 \cdot \frac{\Delta L}{L}$।
यह दिया गया है कि लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2\%$ है,
अतः क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta L}{L} \times 100) = 2 \times 2\% = 4\%$ होगी।
इस प्रकार,आधार का क्षेत्रफल $4\%$ बढ़ जाएगा।

(D) क्षेत्रीय प्रसार गुणांक को $\beta$ द्वारा और रेखीय प्रसार गुणांक को $\alpha$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इन दोनों गुणांकों के बीच का संबंध $\beta = 2\alpha$ है।
दिया गया है,$\beta = 2 \times 10^{-5} \text{ °C}^{-1}$।
इसलिए,$\alpha = \frac{\beta}{2} = \frac{2 \times 10^{-5}}{2} = 1 \times 10^{-5} \text{ °C}^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) घनत्व $\rho$ और तापमान $T$ के बीच संबंध $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta T} \approx \rho_0 (1 - \gamma \Delta T)$ है।
अतः,आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ का सूत्र $\gamma = \frac{\rho_0 - \rho}{\rho \Delta T}$ है।
यहाँ $\rho_0 = 10 \, g/cm^3$,$\rho = 9.7 \, g/cm^3$,और $\Delta T = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100^{\circ}C$ दिया गया है।
$\gamma = \frac{10 - 9.7}{9.7 \times 100} \approx \frac{0.3}{970} \approx 3.09 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$।
लगभग $\gamma \approx 3 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$ लेने पर।
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ और $\gamma$ के बीच संबंध $\alpha = \frac{\gamma}{3}$ है।
$\alpha = \frac{3 \times 10^{-4}}{3} = 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$।

(A) आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ का सूत्र है: $\gamma = \frac{\Delta V}{V \cdot \Delta T}$।
दिया गया है, $\frac{\Delta V}{V} = 0.24\% = \frac{0.24}{100}$ और $\Delta T = 40^{\circ}C$।
मान रखने पर: $\gamma = \frac{0.24}{100 \times 40} = \frac{0.24}{4000} = 0.00006 = 6 \times 10^{-5} \text{ } ^\circ\text{C}^{-1}$।
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ और आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ के बीच संबंध $\alpha = \frac{\gamma}{3}$ होता है।
अतः, $\alpha = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} \text{ } ^\circ\text{C}^{-1}$।

(A) रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ को तापमान में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए लंबाई में आंशिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $(\beta)$ को तापमान में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\beta = 2\alpha$ होता है।
आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma)$ को तापमान में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए आयतन में आंशिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\gamma = 3\alpha$ होता है।
इसलिए,संबंध $\alpha : \beta : \gamma = \alpha : 2\alpha : 3\alpha$ है।
$\alpha$ से विभाजित करने पर,हमें $1:2:3$ का अनुपात प्राप्त होता है।

(C) जब किसी समदैशिक (isotropic) पदार्थ से बनी वस्तु को गर्म किया जाता है,तो वह सभी आयामों में ऊष्मीय प्रसार का अनुभव करती है। यह प्रसार वस्तु के फोटोग्राफिक आवर्धन के समान होता है।
$1$. छड़ की लंबाई,अंतराल $x$,त्रिज्या $r$,और मोटाई $d$ वस्तु के सभी रैखिक आयाम हैं।
$2$. रैखिक ऊष्मीय प्रसार के सिद्धांत के अनुसार,कोई भी रैखिक आयाम $L$,$L' = L(1 + \alpha \Delta T)$ के रूप में बदलता है,जहाँ $\alpha$ रैखिक प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
$3$. चूंकि धातुओं के लिए $\alpha > 0$ होता है और गर्म करने पर $\Delta T > 0$ होता है,इसलिए सभी रैखिक आयाम $x$,$r$,और $d$ बढ़ जाएंगे।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) रेखीय प्रसार गुणांक का सूत्र $\alpha = \frac{\Delta L}{L_0 \times \Delta \theta}$ है।
दिया गया है:
प्रारंभिक लंबाई $L_0 = 5 \, m$
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 5.01 \, m - 5 \, m = 0.01 \, m$
तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100^{\circ}C$
मान रखने पर:
$\alpha = \frac{0.01}{5 \times 100} = \frac{0.01}{500} = \frac{1}{50000} = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$.

(A) दिया गया है: प्रारंभिक लंबाई $L_0 = 100\, cm$,तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100^{\circ}C$,लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 0.19\, cm$.
सबसे पहले,रैखिक प्रसार गुणांक $(\alpha)$ की गणना करें:
$\alpha = \frac{\Delta L}{L_0 \Delta \theta} = \frac{0.19}{100 \times 100} = \frac{0.19}{10000} = 1.9 \times 10^{-5} {^{\circ}C^{-1}}$.
अब,आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma)$ की गणना करें:
$\gamma = 3\alpha = 3 \times 1.9 \times 10^{-5} {^{\circ}C^{-1}} = 5.7 \times 10^{-5} {^{\circ}C^{-1}}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) पीतल का रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha_{brass})$ स्टील के रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha_{steel})$ से अधिक होता है।
जब सिस्टम को ठंडा किया जाता है, तो पीतल की डिस्क और स्टील की प्लेट दोनों सिकुड़ती हैं।
चूंकि $\alpha_{brass} > \alpha_{steel}$, इसलिए पीतल की डिस्क स्टील की प्लेट की तुलना में अधिक सिकुड़ती है।
परिणामस्वरूप, डिस्क और छेद के बीच का अंतर बढ़ जाता है और डिस्क ढीली हो जाती है।

(B) ऊष्मीय प्रसार के कारण लंबाई में वृद्धि का सूत्र $\Delta L = L_0 \alpha \Delta \theta$ है।
यहाँ,प्रारंभिक लंबाई $L_0 = 10\, m$,रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 10 \times 10^{-6} {^{\circ}C^{-1}}$ और तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100^{\circ}C$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta L = 10 \times (10 \times 10^{-6}) \times 100$
$\Delta L = 10 \times 10^{-5} \times 100 = 10^{-2}\, m$.
चूंकि $1\, m = 100\, cm$,इसलिए $\Delta L = 10^{-2} \times 100 = 1\, cm$.
अतः,छड़ की लंबाई में वृद्धि $1.0\, cm$ है।

(A) छेद का व्यास $D_0 = 0.9997 \, cm$ बढ़कर $D = 1.0 \, cm$ होना चाहिए ताकि बेलन उसमें फिट हो सके।
रेखीय प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\Delta D = D_0 \alpha \Delta T$.
यहाँ,$\Delta D = D - D_0 = 1.0 - 0.9997 = 0.0003 \, cm$.
मान रखने पर: $0.0003 = 0.9997 \times (12 \times 10^{-6}) \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{0.0003}{0.9997 \times 12 \times 10^{-6}} \approx \frac{0.0003}{0.0000119964} \approx 25.007^{\circ}C$.
निकटतम पूर्णांक में,तापमान में आवश्यक न्यूनतम वृद्धि $25^{\circ}C$ है।

(C) ऊष्मीय प्रसार के कारण छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta l = l \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों के लिए लंबाई में परिवर्तन समान है,इसलिए $\Delta l_1 = \Delta l_2$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $l_1 \alpha_a t = l_2 \alpha_s t$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $t$ को हटाने पर,हमें $l_1 \alpha_a = l_2 \alpha_s$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{l_1}{l_2} = \frac{\alpha_s}{\alpha_a}$।
$\frac{l_1}{l_1 + l_2}$ अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात के गुण का उपयोग करते हैं: यदि $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ है,तो $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ होता है।
इस गुण को अपने समीकरण पर लागू करने पर,हमें $\frac{l_1}{l_1 + l_2} = \frac{\alpha_s}{\alpha_a + \alpha_s}$ प्राप्त होता है।

(A) पारे के वास्तविक प्रसार का गुणांक $(\gamma_{real})$ पात्र के बदलने पर भी समान रहता है।
हम जानते हैं कि: $\gamma_{real} = \gamma_{app} + \gamma_{vessel}$,जहाँ $\gamma_{vessel} = 3\alpha$ है।
कांच के पात्र के लिए: $\gamma_{real} = 153 \times 10^{-6} + \gamma_{glass}$।
स्टील के पात्र के लिए: $\gamma_{real} = 144 \times 10^{-6} + 3\alpha_{steel}$।
दिया गया है $\alpha_{steel} = 12 \times 10^{-6} \, ^{\circ}C^{-1}$,इसलिए $\gamma_{steel} = 3 \times 12 \times 10^{-6} = 36 \times 10^{-6} \, ^{\circ}C^{-1}$।
$\gamma_{real}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{glass} = 144 \times 10^{-6} + 36 \times 10^{-6}$।
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{glass} = 180 \times 10^{-6}$।
$\gamma_{glass} = (180 - 153) \times 10^{-6} = 27 \times 10^{-6} \, ^{\circ}C^{-1}$।
चूंकि $\gamma_{glass} = 3\alpha_{glass}$,इसलिए $3\alpha_{glass} = 27 \times 10^{-6} \, ^{\circ}C^{-1}$।
अतः,$\alpha_{glass} = 9 \times 10^{-6} \, ^{\circ}C^{-1}$।

(D) ठोसों का प्रसार एक क्रिस्टलीय ठोस में दो निकटवर्ती परमाणुओं के लिए उनकी अंतर-परमाणु दूरी $(r)$ के फलन के रूप में स्थितिज ऊर्जा वक्र द्वारा अच्छी तरह से समझा जा सकता है।
सामान्य तापमान पर: ठोस का प्रत्येक अणु अपनी संतुलन स्थिति $P_1$ के चारों ओर $A$ और $B$ के बीच कंपन करता है,जहाँ $r_0$ दूसरे अणु से उसकी संतुलन दूरी है।
उच्च तापमान पर: कंपन का आयाम बढ़ जाता है (जैसे,$C \leftrightarrow D$ और $E \leftrightarrow F$)। स्थितिज ऊर्जा वक्र की असममितता के कारण,अणुओं की औसत संतुलन स्थितियाँ ($P_2$ और $P_3$) विस्थापित हो जाती हैं। इसलिए,अन्य अणुओं से औसत दूरी बढ़ जाती है $(r_2 > r_1 > r_0)$।
इस प्रकार,तापमान बढ़ाने पर,अणुओं के बीच औसत संतुलन दूरी बढ़ जाती है और पूरा ठोस फैल जाता है।

(C) पहिये का प्रारंभिक व्यास $D_w = 1000 \, mm$.
टायर का प्रारंभिक व्यास $D_t = 1000 - 6 = 994 \, mm$.
टायर की प्रारंभिक त्रिज्या $R = 497 \, mm$.
आवश्यक त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta R = 3 \, mm$.
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ और आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ के बीच संबंध $\alpha = \frac{\gamma}{3}$ है।
दिया गया है $\gamma = 3.6 \times 10^{-5} \, ^oC^{-1}$,इसलिए $\alpha = \frac{3.6 \times 10^{-5}}{3} = 1.2 \times 10^{-5} \, ^oC^{-1}$.
परिधि में परिवर्तन $\Delta L = 2\pi \Delta R = L \alpha \Delta \theta = (2\pi R) \alpha \Delta \theta$.
अतः,$\Delta R = R \alpha \Delta \theta$.
$\Delta \theta = \frac{\Delta R}{R \alpha} = \frac{3}{497 \times 1.2 \times 10^{-5}} \approx \frac{3}{0.005964} \approx 503 \, ^oC$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,आवश्यक तापमान वृद्धि $500 \, ^oC$ है।

(A) मान लीजिए $T_1 = 20^\circ C$ पर प्रारंभिक लंबाई $L_0 = 80.0\,cm$ है। तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 40^\circ C - 20^\circ C = 20^\circ C$ है।
$40^\circ C$ पर तांबे के तार की वास्तविक लंबाई $L_{Cu} = L_0(1 + \alpha_{Cu} \Delta T)$ है।
$40^\circ C$ पर स्टील के पैमाने पर अंकित लंबाई $L_{steel} = L_0(1 + \alpha_{steel} \Delta T)$ है।
पैमाने का पाठ्यांक $40^\circ C$ पर तार की वास्तविक लंबाई और पैमाने पर इकाई विभाजन की लंबाई का अनुपात है। चूंकि पैमाना स्वयं फैलता है,इसलिए पाठ्यांक $L'$ इस प्रकार है:
$L' = \frac{L_{Cu}}{1 + \alpha_{steel} \Delta T} = \frac{L_0(1 + \alpha_{Cu} \Delta T)}{1 + \alpha_{steel} \Delta T}$.
छोटे $\alpha \Delta T$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1+x)^{-1} \approx 1-x$ का उपयोग करते हुए:
$L' \approx L_0(1 + \alpha_{Cu} \Delta T)(1 - \alpha_{steel} \Delta T) \approx L_0(1 + (\alpha_{Cu} - \alpha_{steel}) \Delta T)$.
मान रखने पर:
$L' = 80.0 \times (1 + (17 \times 10^{-6} - 11 \times 10^{-6}) \times 20)$
$L' = 80.0 \times (1 + 6 \times 10^{-6} \times 20) = 80.0 \times (1 + 120 \times 10^{-6})$
$L' = 80.0 + 80.0 \times 0.00012 = 80.0 + 0.0096 = 80.0096\,cm$.

(D) मान लीजिए कि गर्म करने से पहले प्रत्येक पट्टी की प्रारंभिक लंबाई $L_0$ है।
मान लीजिए कि द्विधात्विक पट्टी की कुल मोटाई $d$ है।
गर्म करने के बाद,पीतल और तांबे की पट्टियों की लंबाई इस प्रकार है:
$L_B = L_0(1 + \alpha_B \Delta T) = (R + d)\theta$
$L_C = L_0(1 + \alpha_C \Delta T) = R\theta$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{R + d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
$1 + \frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
$\frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} - 1 = \frac{1 + \alpha_B \Delta T - 1 - \alpha_C \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} = \frac{(\alpha_B - \alpha_C)\Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
चूंकि $\alpha \Delta T \ll 1$,हम $1 + \alpha_C \Delta T \approx 1$ मान सकते हैं।
अतः,$R = \frac{d}{(\alpha_B - \alpha_C)\Delta T}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$R \propto \frac{1}{\Delta T}$ और $R \propto \frac{1}{|\alpha_B - \alpha_C|}$ है।
अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) थर्मोस्टेट एक उपकरण है जिसका उपयोग रेफ्रिजरेटर और आयरन जैसे विद्युत उपकरणों में स्वचालित तापमान नियंत्रण के लिए किया जाता है।
इसमें दो अलग-अलग धातुओं से बनी एक द्वि-धात्विक (bimetallic) पट्टी होती है।
जब तापमान बदलता है, तो दोनों धातुएँ अलग-अलग मात्रा में फैलती हैं क्योंकि उनका रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ अलग-अलग होता है।
प्रसार में इस अंतर के कारण पट्टी मुड़ जाती है, जो उपकरण को चालू या बंद करने के लिए स्विचिंग तंत्र को सक्रिय करती है।
इसलिए, दो धातु की पट्टियों का रेखीय प्रसार गुणांक अनिवार्य रूप से भिन्न होना चाहिए।

(C) मान लीजिए कि क्रिस्टल के आयाम $L_0, L_0, L_0$ हैं। तापमान में $\Delta \theta$ के परिवर्तन के बाद,नए आयाम $L_0(1 + \alpha_1 \Delta \theta)$,$L_0(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$ और $L_0(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$ हो जाते हैं।
नया आयतन $V$ इस प्रकार है: $V = L_0(1 + \alpha_1 \Delta \theta) \times L_0(1 + \alpha_2 \Delta \theta) \times L_0(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$.
$V = L_0^3(1 + \alpha_1 \Delta \theta)(1 + \alpha_2 \Delta \theta)^2$.
चूंकि $V_0 = L_0^3$ और $V = V_0(1 + \gamma \Delta \theta)$,इसलिए:
$1 + \gamma \Delta \theta = (1 + \alpha_1 \Delta \theta)(1 + 2\alpha_2 \Delta \theta + \alpha_2^2 \Delta \theta^2)$.
$\Delta \theta$ के उच्च घात वाले पदों की उपेक्षा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 + \gamma \Delta \theta \approx 1 + \alpha_1 \Delta \theta + 2\alpha_2 \Delta \theta$.
$\Delta \theta$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$\gamma = \alpha_1 + 2\alpha_2$ प्राप्त होता है।

(C) अलग-अलग तापमानों पर फ्लास्क में हवा का आयतन स्थिर रहता है। इसका अर्थ यह है कि कांच के फ्लास्क के आयतन में हुई वृद्धि,उसमें मौजूद पारे के आयतन में हुई वृद्धि के बिल्कुल बराबर होनी चाहिए।
मान लीजिए $V_g$ कांच के फ्लास्क का कुल आयतन $(1000 \, cc)$ है और $V_L$ पारे का आयतन है।
हवा का आयतन स्थिर रहने की शर्त है: $\Delta V_g = \Delta V_L$.
आयतन प्रसार के सूत्र $\Delta V = V \gamma \Delta \theta$ का उपयोग करने पर:
$V_g \gamma_g \Delta \theta = V_L \gamma_L \Delta \theta$
चूंकि कांच का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_g = 9 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ है,इसलिए कांच का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_g = 3 \alpha_g = 3 \times 9 \times 10^{-6} = 27 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ होगा।
पारे का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_L = 1.8 \times 10^{-4} /^{\circ}C$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$V_L = \frac{V_g \gamma_g}{\gamma_L} = \frac{1000 \times 27 \times 10^{-6}}{1.8 \times 10^{-4}}$
$V_L = \frac{27 \times 10^{-3}}{1.8 \times 10^{-4}} = \frac{270}{1.8} = 150 \, cc$.

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
अवकलन करने पर,आवर्तकाल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$ होता है।
चूंकि $\Delta l = l \alpha \Delta \theta$,इसलिए $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$ है।
अतः,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$।
यहाँ $\alpha = 12 \times 10^{-6} /^\circ C$ और $\Delta \theta = 40^\circ C - 20^\circ C = 20^\circ C$ दिया गया है।
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 20 = 120 \times 10^{-6} = 1.2 \times 10^{-4}$।
एक दिन ($86400$ सेकंड) में खोया या प्राप्त किया गया समय $\Delta T = \frac{\Delta T}{T} \times 86400$ है।
$\Delta T = 1.2 \times 10^{-4} \times 86400 = 10.368$ सेकंड।
तापमान बढ़ने से लोलक की लंबाई बढ़ती है,जिससे आवर्तकाल बढ़ जाता है और घड़ी समय खो देती है। अतः,यह प्रति दिन लगभग $10.3$ सेकंड खोती है।

(C) छड़ का यंग मापांक $Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{रैखिक विकृति}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\text{प्रतिबल} = Y \times \text{रैखिक विकृति} = Y \times \left( \frac{\Delta l}{l} \right)$.
चूंकि रैखिक प्रसार को रोका जाता है,इसलिए तापीय विकृति $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$ होती है,जहाँ $\alpha$ रैखिक प्रसार गुणांक है और $\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\text{प्रतिबल} = Y \alpha \Delta \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,छड़ में उत्पन्न प्रतिबल छड़ की प्रारंभिक लंबाई $l$ पर निर्भर नहीं करता है।

(C) आयतन में परिवर्तन का सूत्र $\Delta V = \gamma V \Delta T$ है,जहाँ $V = \pi r^2 l$ है।
चूँकि दोनों छड़ें एक ही पदार्थ (पीतल) की बनी हैं,इसलिए आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ दोनों के लिए समान होगा।
छड़ $A$ के लिए: $V_A = \pi (2r)^2 l = 4\pi r^2 l$।
छड़ $B$ के लिए: $V_B = \pi (r)^2 (2l) = 2\pi r^2 l$।
चूँकि तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ दोनों के लिए समान है,इसलिए आयतन में वृद्धि का अनुपात होगा:
$\frac{\Delta V_A}{\Delta V_B} = \frac{\gamma V_A \Delta T}{\gamma V_B \Delta T} = \frac{V_A}{V_B} = \frac{4\pi r^2 l}{2\pi r^2 l} = \frac{2}{1}$।
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।

(D) लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब तापमान बढ़ता है,तो लोलक की लंबाई $L$ में $L' = L(1 + \alpha \Delta \theta)$ के अनुसार वृद्धि होती है।
कुल समय $t$ के लिए समय में परिवर्तन $\Delta t$ को $\Delta t = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta \times t$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
यहाँ,$\alpha = 10^{-5} {^{\circ}C}^{-1}$,$\Delta \theta = (40 - 20) = 20^{\circ}C$,और $t = 86400 \, s$ (एक दिन में सेकंड की संख्या)।
मान रखने पर:
$\Delta t = \frac{1}{2} \times 10^{-5} \times 20 \times 86400$
$\Delta t = 10^{-5} \times 10 \times 86400$
$\Delta t = 10^{-4} \times 86400 = 8.64 \, s$.

(D) क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $(\beta)$ और रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ के बीच का संबंध $\beta = 2\alpha$ होता है।
यहाँ,$\beta = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$ दिया गया है।
इसलिए,$\alpha = \frac{\beta}{2}$.
$\alpha = \frac{2 \times 10^{-5}}{2} = 1 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$।

(C) तापमान $\theta$ पर घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta \theta}$ है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है।
छोटे परिवर्तनों के लिए,$\gamma \approx \frac{\rho_0 - \rho}{\rho_0 \Delta \theta}$ का उपयोग किया जा सकता है।
यहाँ $\rho_0 = 10 \, g/cm^3$,$\rho = 9.7 \, g/cm^3$ और $\Delta \theta = 100 \, ^\circ C$ है।
अतः,$\gamma = \frac{10 - 9.7}{10 \times 100} = \frac{0.3}{1000} = 3 \times 10^{-4} \, ^\circ C^{-1}$।
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = \frac{\gamma}{3}$ होता है,
$\alpha = \frac{3 \times 10^{-4}}{3} = 10^{-4} \, ^\circ C^{-1}$।

(D) बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ सूत्र $A = 2\pi r^2 + 2\pi rL$ द्वारा दिया जाता है। एक पतले बेलन के लिए या लंबाई में होने वाले प्रमुख परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए,पृष्ठीय क्षेत्रफल लंबाई के वर्ग के समानुपाती होता है $(A \propto L^2)$।
अवकलन करने पर,हमें $\Delta A = 2L \Delta L$ प्राप्त होता है।
$A$ से भाग देने पर (जहाँ समानुपातिकता के लिए $A = L^2$),हमें $\frac{\Delta A}{A} = \frac{2L \Delta L}{L^2} = 2 \frac{\Delta L}{L}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{\Delta L}{L} = 2\%$ दिया गया है,इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times 2\% = 4\%$ होगी।

(B) रेखीय प्रसार का सूत्र $\Delta l = \alpha l \Delta T$ है।
यहाँ,प्रारंभिक लंबाई $l = 10 \ m$,रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 10 \times 10^{-6} \ ^{\circ}C^{-1}$ और तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 100 \ ^{\circ}C - 0 \ ^{\circ}C = 100 \ ^{\circ}C$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta l = (10 \times 10^{-6} \ ^{\circ}C^{-1}) \times (10 \ \text{m}) \times (100 \ ^{\circ}C)$
$\Delta l = 10 \times 10^{-6} \times 10 \times 100 \ \text{m}$
$\Delta l = 10^{-2} \ \text{m}$
चूंकि $1 \ \text{m} = 100 \ \text{cm}$,इसलिए $\Delta l = 10^{-2} \times 100 \ \text{cm} = 1.0 \ \text{cm}$ है।
अतः,लंबाई में वृद्धि $1.0 \ \text{cm}$ है।

(C) छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta l = l \alpha \Delta T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों छड़ों की लंबाई में वृद्धि समान है,इसलिए $\Delta l_a = \Delta l_s$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,$l_1 \alpha_a \Delta T = l_2 \alpha_s \Delta T$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta T$ दोनों के लिए समान है,यह कट जाएगा,जिससे $l_1 \alpha_a = l_2 \alpha_s$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{l_1}{l_2} = \frac{\alpha_s}{\alpha_a}$।
$\frac{l_1}{l_1 + l_2}$ ज्ञात करने के लिए,अनुपात के गुण का उपयोग करते हुए: $\frac{l_1}{l_1 + l_2} = \frac{\alpha_s}{\alpha_s + \alpha_a}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) ऊष्मीय प्रसार के कारण लंबाई में परिवर्तन $\Delta l = l_0 \alpha \Delta T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$l_0 = 10 \ cm$,$\alpha = 11 \times 10^{-6} \ ^{\circ}C^{-1}$,और $\Delta T = 20^{\circ}C - 19^{\circ}C = 1^{\circ}C$ है।
मान रखने पर:
$\Delta l = 10 \ cm \times (11 \times 10^{-6} \ ^{\circ}C^{-1}) \times 1^{\circ}C$.
$\Delta l = 110 \times 10^{-6} \ cm = 11 \times 10^{-5} \ cm$.
चूँकि तापमान कम हो रहा है,इसलिए छड़ की लंबाई $11 \times 10^{-5} \ cm$ कम हो जाएगी।

(C) एक द्वि-धात्विक पट्टी दो अलग-अलग धातुओं से बनी होती है जिनके रैखिक प्रसार गुणांक $(\alpha)$ भिन्न होते हैं।
जब पट्टी को गर्म किया जाता है, तो दोनों धातुओं का प्रसार होता है, लेकिन जिस धातु का रैखिक प्रसार गुणांक $(\alpha)$ अधिक होता है, वह दूसरी धातु की तुलना में अधिक फैलती है।
चूंकि दोनों धातुएं एक साथ जुड़ी होती हैं, इसलिए जो धातु अधिक फैलती है उसे अपनी अधिक लंबाई को समायोजित करने के लिए वक्र के बाहरी हिस्से में रहना पड़ता है।
इसलिए, पट्टी इस तरह मुड़ती है कि अधिक रैखिक प्रसार गुणांक वाली धातु चाप के बाहर की ओर रहती है।

(C) आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma)$,क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $(\beta)$ और रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ के साथ इस प्रकार संबंधित है: $\gamma = 3\alpha$ और $\gamma = 1.5\beta$।
$1$. लंबाई (व्यास) में प्रतिशत वृद्धि $\alpha \Delta T$ के समानुपाती होती है।
$2$. पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\beta \Delta T = 2\alpha \Delta T$ के समानुपाती होती है।
$3$. आयतन में प्रतिशत वृद्धि $\gamma \Delta T = 3\alpha \Delta T$ के समानुपाती होती है।
चूंकि $3\alpha > 2\alpha > \alpha$,इसलिए आयतन में प्रतिशत वृद्धि सबसे अधिक होगी। गर्म करने पर घनत्व कम हो जाता है,इसलिए इसमें प्रतिशत वृद्धि नहीं होती है।

(A) माना कि रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ है।
तब,क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $\beta = 2\alpha$ होता है।
और आयतन प्रसार गुणांक $\gamma = 3\alpha$ होता है।
अतः,अनुपात $\alpha : \beta : \gamma = \alpha : 2\alpha : 3\alpha = 1 : 2 : 3$ होगा।

(D) पीतल का रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha_b)$ स्टील के रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha_s)$ से अधिक होता है।
जब सिस्टम को ठंडा किया जाता है, तो दोनों पदार्थों में संकुचन होता है।
चूंकि $\alpha_b > \alpha_s$, इसलिए पीतल की डिस्क स्टील की प्लेट के छेद की तुलना में अधिक सिकुड़ती है।
परिणामस्वरूप, डिस्क छेद में ढीली हो जाती है।

(A) जब किसी गुहा वाले ठोस वस्तु को गर्म किया जाता है,तो पदार्थ इस प्रकार फैलता है जैसे कि गुहा भी उसी पदार्थ से बनी हो।
ऊष्मीय प्रसार के सिद्धांत के अनुसार,गर्म करने पर ठोस में किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी बढ़ जाती है।
चूंकि गुहा आसपास की धातु द्वारा परिभाषित होती है,इसलिए जैसे-जैसे धातु बाहर की ओर फैलती है,गुहा की सीमा भी बाहर की ओर खिसकती है।
अतः,गोलाकार गुहा की त्रिज्या बढ़ जाती है,जिससे गुहा के आयतन में वृद्धि होती है $(V = \frac{4}{3} \pi r^3)$.

(A) आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ को सूत्र $\Delta V = \gamma \cdot V \cdot \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है।
ठोस के लिए,$\gamma = 3\alpha$,जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
दिया गया है: व्यास $d = 20 \; cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 10 \; cm$.
प्रारंभिक आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (10)^3 = \frac{4000}{3} \pi \; cm^3$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$.
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 23 \times 10^{-6} \; /^{\circ} C$.
मान रखने पर:
$\Delta V = 3 \times (23 \times 10^{-6}) \times (\frac{4}{3} \pi \times 10^3) \times 100$
$\Delta V = 3 \times 23 \times 10^{-6} \times \frac{4}{3} \times 3.14159 \times 1000 \times 100$
$\Delta V = 23 \times 4 \times 3.14159 \times 10^{-1} = 92 \times 3.14159 \times 0.1 \approx 28.9 \; cm^3$.

(C) छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta \ell = \ell \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों की लंबाई में वृद्धि समान है: $\Delta \ell_1 = \Delta \ell_2$।
अतः,$\ell_1 \alpha_a t = \ell_2 \alpha_s t$।
इसे सरल करने पर $\ell_1 \alpha_a = \ell_2 \alpha_s$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{\alpha_s}{\alpha_a}$।
अब,$\frac{\ell_1}{\ell_1 + \ell_2}$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात के गुणधर्म का उपयोग करते हैं:
$\frac{\ell_1}{\ell_1 + \ell_2} = \frac{\alpha_s}{\alpha_a + \alpha_s}$।

(D) बेलन का आयतन $V = A \times L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आधार का क्षेत्रफल है और $L$ लंबाई है।
यदि हम यह मान लें कि विस्तार समदैशिक (isotropic) है,तो त्रिज्या $r$ में सापेक्ष परिवर्तन लंबाई $L$ में सापेक्ष परिवर्तन के बराबर होता है,अर्थात $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta L}{L} = 2\%$.
चूँकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए क्षेत्रफल में सापेक्ष परिवर्तन $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ होगा।
अतः,क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $= 2 \times 2\% = 4\%$ होगी।

(A) आयतन प्रसार का सूत्र $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta \theta$ है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है और $\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है।
दिया गया है $\frac{\Delta V}{V} = 0.24\% = \frac{0.24}{100} = 2.4 \times 10^{-3}$ और $\Delta \theta = 40^{\circ}C$।
मान रखने पर: $2.4 \times 10^{-3} = \gamma \times 40$।
$\gamma$ के लिए हल करने पर: $\gamma = \frac{2.4 \times 10^{-3}}{40} = 0.06 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$।
रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ और आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma)$ के बीच संबंध $\alpha = \frac{\gamma}{3}$ होता है।
अतः,$\alpha = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$।