Thermal Expansion for Solid Questions in Gujarati

(B) રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta L = L_0 \alpha \Delta \theta$ છે.
સળિયા $A$ માટે: $0.075 = 20 \times \alpha_A \times 100 \implies \alpha_A = \frac{0.075}{2000} = 3.75 \times 10^{-5} \, ^\circ C^{-1}$.
સળિયા $B$ માટે: $0.045 = 20 \times \alpha_B \times 100 \implies \alpha_B = \frac{0.045}{2000} = 2.25 \times 10^{-5} \, ^\circ C^{-1}$.
ધારો કે ધાતુ $A$ ની લંબાઈ $x$ છે અને ધાતુ $B$ ની લંબાઈ $(20 - x)$ છે.
સંયુક્ત સળિયાનું કુલ વિસ્તરણ તેના ભાગોના વિસ્તરણના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$0.060 = (x \alpha_A \Delta \theta) + ((20 - x) \alpha_B \Delta \theta)$
$0.060 = [x(3.75 \times 10^{-5}) + (20 - x)(2.25 \times 10^{-5})] \times 100$
$0.060 = [3.75x + 45 - 2.25x] \times 10^{-3}$
$60 = 1.5x + 45$
$1.5x = 15$
$x = 10 \, cm$.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $\ell$ છે. સમબાજુ ત્રિકોણ $PQR$ માં,ઊંચાઈ $OR$ એ $OR^2 = PR^2 - PO^2 = \ell^2 - (\ell/2)^2 = 3\ell^2/4$ દ્વારા મળે છે.
તાપમાનમાં $\Delta t$ જેટલો ફેરફાર થતાં,નવી લંબાઈ $\ell' = \ell(1 + \alpha \Delta t)$ થાય છે.
ધારો કે $PR' = \ell(1 + \alpha_2 \Delta t)$ અને $PQ' = \ell(1 + \alpha_1 \Delta t)$.
નવું મધ્યબિંદુ $O'$ એ $PQ'$ ને બે ભાગમાં વહેંચે છે,જેની લંબાઈ $PO' = \frac{\ell(1 + \alpha_1 \Delta t)}{2}$ છે.
$OR$ અચળ રહેતું હોવાથી,$OR^2 = (PR')^2 - (PO')^2$.
$\frac{3\ell^2}{4} = [\ell(1 + \alpha_2 \Delta t)]^2 - [\frac{\ell}{2}(1 + \alpha_1 \Delta t)]^2$.
$\frac{3\ell^2}{4} = \ell^2(1 + 2\alpha_2 \Delta t + \alpha_2^2 \Delta t^2) - \frac{\ell^2}{4}(1 + 2\alpha_1 \Delta t + \alpha_1^2 \Delta t^2)$.
$\Delta t^2$ જેવા ઉચ્ચ ઘાતવાળા પદોને અવગણતા,આપણને મળે છે:
$\frac{3\ell^2}{4} = \ell^2 + 2\ell^2 \alpha_2 \Delta t - \frac{\ell^2}{4} - \frac{2\ell^2 \alpha_1 \Delta t}{4}$.
$\frac{3\ell^2}{4} = \frac{3\ell^2}{4} + 2\ell^2 \alpha_2 \Delta t - \frac{\ell^2 \alpha_1 \Delta t}{2}$.
$0 = 2\alpha_2 \Delta t - \frac{\alpha_1 \Delta t}{2}$.
$2\alpha_2 = \frac{\alpha_1}{2} \implies \alpha_1 = 4\alpha_2$.

(C) ધારો કે સ્ફટિકના પરિમાણો $L_0 \times L_0 \times L_0$ છે. પ્રારંભિક કદ $V_0 = L_0^3$ છે.
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta \theta$ જેટલો વધારો થાય,ત્યારે નવા પરિમાણો $L_1 = L_0(1 + \alpha_1 \Delta \theta)$ અને $L_2 = L_0(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$ (બે લંબ દિશાઓ માટે) થાય છે.
નવું કદ $V = L_1 \times L_2 \times L_2 = L_0(1 + \alpha_1 \Delta \theta) \times L_0(1 + \alpha_2 \Delta \theta) \times L_0(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$ દ્વારા મળે છે.
$V = L_0^3(1 + \alpha_1 \Delta \theta)(1 + \alpha_2 \Delta \theta)^2$.
નાના $\alpha \Delta \theta$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V \approx V_0(1 + \alpha_1 \Delta \theta)(1 + 2\alpha_2 \Delta \theta)$.
$V \approx V_0(1 + \alpha_1 \Delta \theta + 2\alpha_2 \Delta \theta + 2\alpha_1 \alpha_2 (\Delta \theta)^2)$.
ઉચ્ચ ઘાતવાળા પદ $(\Delta \theta)^2$ ને અવગણતા,આપણને $V \approx V_0(1 + (\alpha_1 + 2\alpha_2) \Delta \theta)$ મળે છે.
આને કદ પ્રસરણના પ્રમાણિત સૂત્ર $V = V_0(1 + \gamma \Delta \theta)$ સાથે સરખાવતા,કદ પ્રસરણાંક $\gamma = \alpha_1 + 2\alpha_2$ મળે છે.

(C) ધારો કે ત્રિજ્યામાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta r}{r} = X$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ માં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r} = 2X$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ માં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r} = 3X$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિશત ફેરફારોની સરખામણી કરતા,$3X > 2X > X$ મળે છે. તેથી,કદમાં મહત્તમ પ્રતિશત ફેરફાર જોવા મળે છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l$ છે. લંબાઈમાં થતો સાપેક્ષ ફેરફાર $\Delta l / l = 2\% = 0.02$ આપેલ છે.
$l$ બાજુ ધરાવતા ચોરસ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = l^2$ થાય.
ક્ષેત્રફળમાં થતો સાપેક્ષ ફેરફાર $\Delta A / A = 2(\Delta l / l)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $\Delta A / A = 2 \times 2\% = 4\%$.
આમ,ચોરસ કોપરના ટુકડાના ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $4\%$ છે.

(D) ધારો કે $\Delta \theta$ તાપમાને લંબાઈ $L_1'$ અને $L_2'$ છે.
$L_1' = L_1(1 + \alpha_1 \Delta \theta)$ અને $L_2' = L_2(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$.
તફાવત $D = L_2' - L_1' = (L_2 - L_1) + (L_2 \alpha_2 - L_1 \alpha_1) \Delta \theta$.
કોઈપણ તાપમાને તફાવત અચળ રહેવા માટે,$\Delta \theta$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$L_2 \alpha_2 - L_1 \alpha_1 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $L_1 \alpha_1 = L_2 \alpha_2$.

(A) આપેલ છે કે લંબાઈનો તફાવત દરેક તાપમાને અચળ રહે છે,તેથી તાપમાનમાં થતા કોઈપણ ફેરફાર $\Delta T$ માટે બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે $L_{Fe}$ અને $L_{Cu}$ એ અનુક્રમે લોખંડ અને કોપરના સળિયાની લંબાઈ છે.
આપણને આપેલ છે કે $L_{Fe} - L_{Cu} = 10 \ cm$ ..... $(i)$
તફાવત અચળ હોવાથી,$\Delta L_{Fe} = \Delta L_{Cu}$.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L_{Fe} \alpha_{Fe} \Delta T = L_{Cu} \alpha_{Cu} \Delta T$
$L_{Fe} \alpha_{Fe} = L_{Cu} \alpha_{Cu}$
$\frac{L_{Fe}}{L_{Cu}} = \frac{\alpha_{Cu}}{\alpha_{Fe}} = \frac{17 \times 10^{-6}}{11 \times 10^{-6}} = \frac{17}{11}$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$L_{Fe} = L_{Cu} + 10$.
આ કિંમતને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{L_{Cu} + 10}{L_{Cu}} = \frac{17}{11}$
$11(L_{Cu} + 10) = 17 L_{Cu}$
$11 L_{Cu} + 110 = 17 L_{Cu}$
$6 L_{Cu} = 110$
$L_{Cu} = \frac{110}{6} \approx 18.33 \ cm$
$L_{Fe} = 18.33 + 10 = 28.33 \ cm$.
આમ,લંબાઈ આશરે $28.3 \ cm$ અને $18.3 \ cm$ છે.

(C) $20^{\circ}C$ તાપમાને તંત્રની કુલ લંબાઈ $L = 50 \ cm + 100 \ cm = 150 \ cm$ છે.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 100^{\circ}C - 20^{\circ}C = 80^{\circ}C$ લો.
$100^{\circ}C$ તાપમાને લોખંડના સળિયાની નવી લંબાઈ $L_{Fe}' = 50(1 + \alpha_{Fe} \Delta T) = 50(1 + 12 \times 10^{-6} \times 80) = 50.048 \ cm$ થાય.
$100^{\circ}C$ તાપમાને એલ્યુમિનિયમના સળિયાની નવી લંબાઈ $L_{Al}' = 100(1 + \alpha_{Al} \Delta T) = 100(1 + 24 \times 10^{-6} \times 80) = 100.192 \ cm$ થાય.
$100^{\circ}C$ તાપમાને તંત્રની કુલ લંબાઈ $L' = 50.048 + 100.192 = 150.24 \ cm$ થાય.
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = L' - L = 150.24 - 150 = 0.24 \ cm$ છે.
તંત્રનો અસરકારક રેખીય ઉષ્મા પ્રસરણાંક $\alpha_{eff} = \frac{\Delta L}{L \Delta T} = \frac{0.24}{150 \times 80} = 20 \times 10^{-6} {^{\circ}C}^{-1}$ મળે.

(B) ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્રાસના સળિયા માટે:
$\Delta L_{brass} = L \alpha_{brass} \Delta T = 80 \ cm \times (18 \times 10^{-6} \ ^{\circ}C^{-1}) \times (100^{\circ}C - 0^{\circ}C) = 80 \times 18 \times 10^{-4} \ cm = 0.144 \ cm = 1.44 \ mm$.
લેડના સળિયા માટે:
$\Delta L_{lead} = L \alpha_{lead} \Delta T = 80 \ cm \times (28 \times 10^{-6} \ ^{\circ}C^{-1}) \times (100^{\circ}C - 0^{\circ}C) = 80 \times 28 \times 10^{-4} \ cm = 0.224 \ cm = 2.24 \ mm$.
તેમના છેડાઓ વચ્ચેની લંબાઈનો તફાવત $\Delta L_{lead} - \Delta L_{brass} = 2.24 \ mm - 1.44 \ mm = 0.8 \ mm$ થશે.

(B) ધારો કે ગોળાનું કદ $V$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_L$ છે. ગોળો તરતો હોવાથી,ગોળાનું વજન = પ્રવાહીનું ઉત્પ્લાવક બળ.
$Mg = V_{submerged} \rho_L g$
$V_{sphere}(t) \rho_S(t) g = f V_{sphere}(t) \rho_L g$
પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_L$ અચળ હોવાથી,$\rho_S(t) = f \rho_L$.
ગોળાનું કદ વધતા,તેની ઘનતા $\rho_S(t) = \frac{\rho_0}{1 + \gamma t}$ મુજબ બદલાય છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે.
તેથી,$f_1 = \frac{\rho_S(t_1)}{\rho_L} = \frac{\rho_0}{\rho_L(1 + \gamma t_1)}$ અને $f_2 = \frac{\rho_S(t_2)}{\rho_L} = \frac{\rho_0}{\rho_L(1 + \gamma t_2)}$.
ગુણોત્તર લેતા: $f_1(1 + \gamma t_1) = f_2(1 + \gamma t_2)$.
$f_1 + f_1 \gamma t_1 = f_2 + f_2 \gamma t_2$
$\gamma (f_1 t_1 - f_2 t_2) = f_2 - f_1$
$\gamma = \frac{f_2 - f_1}{f_1 t_1 - f_2 t_2} = \frac{f_1 - f_2}{f_2 t_2 - f_1 t_1}$.

(A) લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલન લેતા,આવર્તકાળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ થાય.
અહીં $\alpha = 12 \times 10^{-6}\,^oC^{-1}$ અને $\Delta \theta = (40 - 20) = 20\,^oC$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 20 = 120 \times 10^{-6} = 1.2 \times 10^{-4}$.
દિવસ દરમિયાન ગુમાવેલ સમય $\Delta T = \frac{\Delta T}{T} \times T_{day}$,જ્યાં $T_{day} = 86400\,sec$.
$\Delta T = 1.2 \times 10^{-4} \times 86400 = 10.368\,sec/day \approx 10.3\,sec/day$.

(C) ધારો કે તાપમાન $T$ પર પિત્તળ અને સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ અનુક્રમે $L_1$ અને $L_2$ છે.
તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો ફેરફાર થયા પછી,નવી લંબાઈઓ નીચે મુજબ છે:
$L_1' = l_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$
$L_2' = l_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$
આપેલ છે કે તફાવત $(L_2' - L_1')$ તમામ તાપમાને અચળ રહે છે અને $(l_2 - l_1)$ જેટલો છે:
$L_2' - L_1' = l_2 - l_1$
$l_2(1 + \alpha_2 \Delta T) - l_1(1 + \alpha_1 \Delta T) = l_2 - l_1$
$l_2 + l_2 \alpha_2 \Delta T - l_1 - l_1 \alpha_1 \Delta T = l_2 - l_1$
$(l_2 - l_1) + \Delta T(l_2 \alpha_2 - l_1 \alpha_1) = l_2 - l_1$
કોઈપણ $\Delta T$ માટે આ સાચું રહે તે માટે,$\Delta T$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$l_2 \alpha_2 - l_1 \alpha_1 = 0$
$\alpha_1 l_1 = \alpha_2 l_2$

(D) જ્યારે કોઈ તારને તાપમાનના ફેરફાર $\Delta \theta$ ને કારણે વિસ્તરણ કરતા અટકાવવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઉત્પન્ન થતું ઉષ્મીય બળ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = YA\alpha \Delta \theta$
જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta \theta$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે કે $Y$,$A$ અને $\Delta \theta$ બંને તાર $A$ અને $B$ માટે સમાન છે,તેથી બળ $F$ એ રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ ના સમપ્રમાણમાં છે:
$F \propto \alpha$
તેથી,બળોનો ગુણોત્તર:
$\frac{F_A}{F_B} = \frac{\alpha_A}{\alpha_B}$
આપેલ છે કે $\alpha_A = \frac{3}{2} \alpha_B$,તેથી:
$\frac{F_A}{F_B} = \frac{3}{2}$
આમ,બે તારમાં ઉત્પન્ન થતા બળોનો ગુણોત્તર $3/2$ છે.

(B) જ્યારે ધાતુની શીટને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં ઉષ્મીય પ્રસરણ થાય છે. ઘન પદાર્થમાં રહેલા કાણાંનું પ્રસરણ એ પદાર્થના પોતાના પ્રસરણ જેવું જ હોય છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણના સિદ્ધાંત મુજબ,તાપમાન વધવાની સાથે શીટ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર વધે છે.
કાણાંનો વ્યાસ એ તેની પરિઘ પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,આ અંતર પણ વધે છે.
તેથી,ગરમ કરવા પર બંને કાણાંના વ્યાસ $d_1$ અને $d_2$ વધશે. આ ઘટના ફોટોગ્રાફિક વિસ્તરણ જેવી છે,જેમાં છબીનો દરેક ભાગ મોટો થાય છે.

(B) ધારો કે ધાતુ $A$ ના ભાગની લંબાઈ $l_1$ છે અને ધાતુ $B$ ના ભાગની લંબાઈ $l_2$ છે.
કુલ લંબાઈ $20 \, cm$ હોવાથી,$l_1 + l_2 = 20 \, cm$ થાય.
તાપમાનમાં આપેલ ફેરફાર માટે,લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l$ એ પ્રારંભિક લંબાઈ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. એટલે કે,$\Delta l = \alpha \cdot l \cdot \Delta T$.
ધાતુ $A$ માટે,$l = 20 \, cm$ માટે $\Delta l_A = 0.075 \, cm$,તેથી વિસ્તરણ ગુણાંક અવયવ $k_A = \frac{0.075}{20} = 0.00375$.
ધાતુ $B$ માટે,$l = 20 \, cm$ માટે $\Delta l_B = 0.045 \, cm$,તેથી વિસ્તરણ ગુણાંક અવયવ $k_B = \frac{0.045}{20} = 0.00225$.
મિશ્ર સળિયાનું કુલ વિસ્તરણ $\Delta l_{total} = k_A l_1 + k_B l_2 = 0.06 \, cm$ છે.
$l_2 = 20 - l_1$ મૂકતા:
$0.00375 l_1 + 0.00225(20 - l_1) = 0.06$
$0.00375 l_1 + 0.045 - 0.00225 l_1 = 0.06$
$0.0015 l_1 = 0.015$
$l_1 = \frac{0.015}{0.0015} = 10 \, cm$.

(A) $T^\circ C$ તાપમાને મર્ક્યુરીનું કદ $V_m = V_0(1 + \gamma_m T)$ છે.
$T^\circ C$ તાપમાને કાચના બલ્બનું કદ $V_g = V_0(1 + 3a_g T)$ છે.
કેપિલરીમાં જતું મર્ક્યુરીનું વધારાનું કદ $\Delta V = V_m - V_g = V_0(\gamma_m - 3a_g)T$ છે.
$T^\circ C$ તાપમાને કેપિલરીના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = A_0(1 + 2a_g T)$ છે.
ધારો કે કેપિલરીમાં મર્ક્યુરીના સ્તંભની લંબાઈ $h$ છે. તેથી,$\Delta V = A \times h$.
આથી,$h = \frac{\Delta V}{A} = \frac{V_0 T (\gamma_m - 3a_g)}{A_0 (1 + 2a_g T)}$.

(C) સળિયાની લંબાઈ $L = 2 \ m = 200 \ cm$ છે. રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha(x) = (3x + 2) \times 10^{-6} \ ^\circ C^{-1}$ છે.
$x$ અંતરે રહેલા નાના ખંડ $dx$ માટે,તાપમાનના તફાવત $\Delta T = 20^\circ C$ ને કારણે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $dL = \alpha(x) \cdot dx \cdot \Delta T$ છે.
$x = 0$ થી $x = 200 \ cm$ સુધી સંકલન કરતા:
$\Delta L = \int_{0}^{200} (3x + 2) \times 10^{-6} \cdot 20 \cdot dx$
$\Delta L = 20 \times 10^{-6} [\frac{3x^2}{2} + 2x]_{0}^{200}$
$\Delta L = 20 \times 10^{-6} [60000 + 400] = 1.208 \ cm$.
$1.208 \ cm = 0.01208 \ m$ હોવાથી,નવી લંબાઈ $L' = 2 + 0.01208 = 2.01208 \ m \approx 2.01 \ m$ થાય.

(C) વિષમદિગ્ધર્મી પદાર્થ માટે,કોઈ સપાટીનો ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંક $\beta$ એ તે સપાટીને વ્યાખ્યાયિત કરતી બે અક્ષો પરના રેખીય પ્રસરણાંકનો સરવાળો છે.
આપેલ છે: $\alpha_x = 1 \times 10^{-5} /^{\circ}C$,$\alpha_y = 2 \times 10^{-5} /^{\circ}C$,$\alpha_z = 3 \times 10^{-5} /^{\circ}C$.
આકૃતિ પરથી,સપાટી $CDEH$ એ $xy$-સમતલમાં આવેલી છે.
તેથી,$\beta_{CDEH} = \alpha_x + \alpha_y = (1 + 2) \times 10^{-5} /^{\circ}C = 3 \times 10^{-5} /^{\circ}C$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) ધારો કે રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ છે. લંબાઈમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T = 1\% = 0.01$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાંબાની પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = 2L \times L = 2L^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક $\beta = 2\alpha$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta A}{A} = \beta \Delta T = 2\alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\alpha \Delta T = 0.01$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{\Delta A}{A} = 2 \times (0.01) = 0.02$.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર શોધવા માટે:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 0.02 \times 100 = 2\%$.

(C) સંયોજનની પ્રારંભિક લંબાઈ $L + 2L = 3L$ છે.
પ્રથમ સળિયામાં લંબાઈનો ફેરફાર $\Delta L_1 = L \alpha \Delta t$ છે.
બીજા સળિયામાં લંબાઈનો ફેરફાર $\Delta L_2 = (2L)(2\alpha) \Delta t = 4L \alpha \Delta t$ છે.
તેથી,સંયુક્ત સળિયામાં કુલ લંબાઈનો ફેરફાર $\Delta L_{total} = \Delta L_1 + \Delta L_2 = L \alpha \Delta t + 4L \alpha \Delta t = 5L \alpha \Delta t$ થાય.
સરેરાશ રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha_{avg}$ ને $\Delta L_{total} = L_{total} \alpha_{avg} \Delta t$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $5L \alpha \Delta t = (3L) \alpha_{avg} \Delta t$ મળે છે.
$\alpha_{avg}$ માટે ઉકેલતા,$\alpha_{avg} = \frac{5L \alpha \Delta t}{3L \Delta t} = \frac{5}{3}\alpha$ મળે છે.

(C) ધારો કે $V_m$ એ પારાનું કદ છે અને $V_f$ એ કાચના ફ્લાસ્કનું કદ છે.
કારણ કે ફ્લાસ્કની અંદરની હવાના કદમાં અલગ-અલગ તાપમાને કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી પારાના કદમાં થતો ફેરફાર એ ફ્લાસ્કના કદમાં થતા ફેરફાર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
$\Delta V_m = \Delta V_f$
$\gamma_m V_m \Delta T = \gamma_f V_f \Delta T$
$\gamma_m V_m = \gamma_f V_f$
આપણે જાણીએ છીએ કે ફ્લાસ્કનો કદ પ્રસરણાંક $\gamma_f = 3 \alpha_{glass}$ થાય.
આપેલ છે કે $\gamma_m = 1.8 \times 10^{-4} (^{\circ}C)^{-1}$,$\alpha_{glass} = 9 \times 10^{-6} (^{\circ}C)^{-1}$,અને $V_m = 300 \, cm^3$.
કિંમતો મૂકતા:
$1.8 \times 10^{-4} \times 300 = 3 \times (9 \times 10^{-6}) \times V_f$
$5.4 \times 10^{-2} = 2.7 \times 10^{-5} \times V_f$
$V_f = \frac{5.4 \times 10^{-2}}{2.7 \times 10^{-5}} = 2 \times 10^3 = 2000 \, cm^3$.

(C) લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આવર્તકાળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ છે.
એક દિવસ માટે,$T = 24 \times 3600 \; s$.
જ્યારે ઘડિયાળ $40^{\circ}C$ તાપમાને $12\;s$ ગુમાવે છે (જ્યાં $\theta$ એ સાચું તાપમાન છે): $\frac{12}{T} = \frac{1}{2} \alpha (40 - \theta) \quad ...(1)$
જ્યારે ઘડિયાળ $20^{\circ}C$ તાપમાને $4\;s$ મેળવે છે: $\frac{4}{T} = \frac{1}{2} \alpha (\theta - 20) \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા: $\frac{12}{4} = \frac{40 - \theta}{\theta - 20} \implies 3(\theta - 20) = 40 - \theta \implies 3\theta - 60 = 40 - \theta \implies 4\theta = 100 \implies \theta = 25^{\circ}C$.
સમીકરણ $(2)$ માં $\theta = 25^{\circ}C$ મૂકતા: $\frac{4}{24 \times 3600} = \frac{1}{2} \alpha (25 - 20) \implies \frac{4}{86400} = \frac{1}{2} \alpha (5) \implies \alpha = \frac{8}{86400 \times 5} = \frac{8}{432000} \approx 1.85 \times 10^{-5}/^{\circ}C$.

(C) ધારો કે પટ્ટીની મૂળ લંબાઈ $L_0 = 30$ $m$ છે અને વિસ્તૃત લંબાઈ $L = 30.01$ $m$ છે.
સાચા અંતર અને માપેલા અંતરનો ગુણોત્તર એ પટ્ટીની વાસ્તવિક લંબાઈ અને તેની મૂળ લંબાઈના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
ધારો કે $d_{true}$ એ સાચું અંતર છે અને $d_{measured} = 15.52$ $m$ એ માપેલું અંતર છે.
પ્રમાણસરતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d_{true}}{d_{measured}} = \frac{L}{L_0}$.
$d_{true} = d_{measured} \times \frac{L}{L_0} = 15.52 \times \frac{30.01}{30}$.
$d_{true} = 15.52 \times (1 + \frac{0.01}{30}) = 15.52 + 15.52 \times 0.000333...$
$d_{true} = 15.52 + 0.00517... \approx 15.525$ $m$.

(A) ધારો કે $0^o C$ તાપમાને સ્ટીલ અને તાંબાના સળિયાની લંબાઈ અનુક્રમે $L_S$ અને $L_C$ છે.
કોઈપણ તાપમાન $T$ પર,તેમની લંબાઈ $L_S(1 + \alpha_S T)$ અને $L_C(1 + \alpha_C T)$ થશે.
કોઈપણ તાપમાન $T$ પર લંબાઈનો તફાવત $10\,cm$ આપેલ છે,તેથી:
$L_S(1 + \alpha_S T) - L_C(1 + \alpha_C T) = 10$
$(L_S - L_C) + (L_S \alpha_S - L_C \alpha_C)T = 10$
આ તફાવત $T$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,$T$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$L_S \alpha_S - L_C \alpha_C = 0 \Rightarrow L_S \alpha_S = L_C \alpha_C$
$L_S (1.2 \times 10^{-5}) = L_C (1.8 \times 10^{-5})$
$L_S / L_C = 1.8 / 1.2 = 3 / 2$
વળી,પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$L_S - L_C = 10$.
$L_S = 1.5 L_C$ ને $L_S - L_C = 10$ માં મૂકતા:
$1.5 L_C - L_C = 10 \Rightarrow 0.5 L_C = 10 \Rightarrow L_C = 20\,cm$.
તેથી $L_S = 1.5 \times 20 = 30\,cm$.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $L$ અને દળ $M$ છે. સળિયાઓ $B$ આગળ જોડાયેલા છે. સળિયા $AB$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $B$ થી $L/2$ અંતરે છે અને સળિયા $BC$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $B$ થી $L/2$ અંતરે છે.
જ્યારે સળિયાને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક સળિયાની લંબાઈ $\Delta L = L \alpha \Delta T$ સૂત્ર મુજબ વધે છે.
અહીં $\alpha_{AB} > \alpha_{BC}$ હોવાથી,$AB$ સળિયો $BC$ કરતા વધુ વિસ્તરણ પામે છે.
નવી લંબાઈઓ $L_{AB}' = L(1 + \alpha_{AB} \Delta T)$ અને $L_{BC}' = L(1 + \alpha_{BC} \Delta T)$ થશે.
સળિયા $AB$ નું નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $B$ થી $L_{AB}'/2$ અંતરે અને $BC$ નું નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $B$ થી $L_{BC}'/2$ અંતરે હશે.
$L_{AB}' > L_{BC}'$ હોવાથી,$AB$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $BC$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં $B$ થી વધુ દૂર ખસે છે.
સળિયો $B$ આગળ લટકાવેલો હોવાથી,$AB$ ના વજનને કારણે ટોર્ક $\tau_{AB} = M g (L_{AB}'/2)$ અને $BC$ ના વજનને કારણે ટોર્ક $\tau_{BC} = M g (L_{BC}'/2)$ થશે.
$L_{AB}' > L_{BC}'$ હોવાથી,$AB$ બાજુનું ટોર્ક $BC$ બાજુના ટોર્ક કરતા વધારે હશે.
તેથી,સળિયો $AB$ બાજુ નમી જશે.

(C) નાના ખંડ $dx$ ની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $d(\Delta L) = \alpha \cdot dx \cdot \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\Delta T = 10 \, ^oC - 0 \, ^oC = 10 \, ^oC$ છે.
કુલ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L$ એ $x = 0$ થી $x = 10 \, m$ સુધીના $d(\Delta L)$ નું સંકલન છે:
$\Delta L = \int_{0}^{10} (2x^2 + 1) \times 10^{-6} \times 10 \, dx$
$\Delta L = 10^{-5} \int_{0}^{10} (2x^2 + 1) \, dx$
$\Delta L = 10^{-5} \left[ \frac{2x^3}{3} + x \right]_{0}^{10}$
$\Delta L = 10^{-5} \left( \frac{2(1000)}{3} + 10 \right) = 10^{-5} \left( \frac{2000}{3} + 10 \right) = 10^{-5} \left( 666.67 + 10 \right) = 10^{-5} \times 676.67 = 0.0067667 \, m$.
અંતિમ લંબાઈ $L' = L + \Delta L = 10 + 0.0067667 = 10.0067667 \, m \approx 10.0068 \, m$ થાય.

(D) રેખીય પ્રસરણાંક,જેને $\alpha$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે,$L_0$ એ મૂળ લંબાઈ છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\alpha = \frac{\Delta L}{L_0 \Delta T}$ મળે છે.
જોકે સૂત્રમાં $L_0$ અને $\Delta T$ નો સમાવેશ થાય છે,પરંતુ પ્રસરણાંક $\alpha$ એ પદાર્થના દ્રવ્યનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તે દર્શાવે છે કે તાપમાનમાં એકમ ડિગ્રીના વધારા દીઠ ચોક્કસ પદાર્થની એકમ લંબાઈ કેટલી વિસ્તરે છે.
તેથી,$\alpha$ માત્ર ધાતુના પ્રકાર (દ્રવ્યની પ્રકૃતિ) પર આધાર રાખે છે અને તે સળિયાના પરિમાણો અથવા તાપમાનના ફેરફારના મૂલ્યથી સ્વતંત્ર છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની લંબાઈમાં થતો વધારો $\alpha \Delta T$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણનો ગુણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
જે ધાતુનો રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક $(\alpha)$ વધારે હોય છે,તે તાપમાનના સમાન ફેરફાર માટે ઓછો ગુણાંક ધરાવતી ધાતુ કરતા વધુ વિસ્તરણ પામે છે.
કારણ કે બંને ધાતુઓ એકબીજા સાથે જોડાયેલી હોય છે,જે ધાતુ વધુ વિસ્તરણ પામે છે તે વળાંકની બહારની બાજુ બનાવે છે,જ્યારે જે ઓછી વિસ્તરણ પામે છે તે અંદરની બાજુ બનાવે છે.
તેથી,બાયમેટાલિક પટ્ટી ઓછા ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી ધાતુ તરફ વળશે.

(C) રેખીય પ્રસરણ માટેનું સૂત્ર $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ છે.
અહીં,$L_0 = 50 \, cm$ એ અંકન તાપમાને પ્રારંભિક લંબાઈ છે.
$\alpha = 1.0 \times 10^{-5} / ^{\circ}C$ એ સ્ટીલનો રેખીય પ્રસરણાંક છે.
$\Delta T = T_f - T_i = 30^{\circ}C - 20^{\circ}C = 10^{\circ}C$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta L = (50 \, cm) \times (1.0 \times 10^{-5} / ^{\circ}C) \times (10^{\circ}C)$
$\Delta L = 500 \times 10^{-5} \, cm$
$\Delta L = 5 \times 10^{-3} \, cm$.
તેથી,વાંચનમાં થતી ભૂલ $5 \times 10^{-3} \, cm$ છે.

(B) કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ એ $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં $\frac{\Delta V}{V} = 0.12\% = 0.0012$ અને $\Delta T = 20^{\circ}C$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\gamma = \frac{\Delta V}{V \Delta T} = \frac{0.0012}{20} = 6 \times 10^{-5} /^{\circ}C$ મળે છે.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ અને કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ વચ્ચેનો સંબંધ $\alpha = \frac{\gamma}{3}$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} /^{\circ}C$ થાય.

(C) પ્રારંભિક લંબાઈ $L_0$ ધરાવતા સળિયા માટે તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T$ ને કારણે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો વધારો સમાન છે,તેથી:
$\Delta L_1 = \Delta L_2$
$l_1 \alpha_1 t = l_2 \alpha_2 t$
બંને બાજુ $t$ વડે ભાગતા:
$l_1 \alpha_1 = l_2 \alpha_2$
આના પરથી,આપણે $l_2$ ને $l_1$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$l_2 = l_1 \frac{\alpha_1}{\alpha_2}$
આપણે ગુણોત્તર $\frac{l_1}{l_1 + l_2}$ શોધવો છે. $l_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{l_1}{l_1 + l_1 \frac{\alpha_1}{\alpha_2}} = \frac{l_1}{l_1 (1 + \frac{\alpha_1}{\alpha_2})} = \frac{1}{\frac{\alpha_2 + \alpha_1}{\alpha_2}} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2}$

(B) કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ ને $\gamma = \frac{1}{V} \frac{\Delta V}{\Delta T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અહીં,કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 0.12\% = \frac{0.12}{100} = 1.2 \times 10^{-3}$ છે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 20\,^{\circ}C$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\gamma = \frac{1.2 \times 10^{-3}}{20} = 0.06 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-5}\,^{\circ}C^{-1}$ મળે છે.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ અને કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5}\,^{\circ}C^{-1}$ થાય.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલન લેતા,આવર્તકાળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L}$ મળે છે.
કારણ કે $\Delta L = L \alpha \Delta t$,તેથી $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta t$ થાય.
આથી,સમયમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha t$ છે.
આ એકમ સમય દીઠ ગુમાવેલ સમય દર્શાવે છે.
એક દિવસમાં ગુમાવેલ સમય શોધવા માટે,આપણે તેને એક દિવસની કુલ સેકન્ડો સાથે ગુણીએ છીએ,જે $24 \times 60 \times 60 = 86400 \, s$ છે.
આમ,એક દિવસમાં ગુમાવેલ સમય $\Delta T_{day} = \frac{1}{2} \alpha t \times 86400$ સેકન્ડ થાય.

(A) જ્યારે દ્વિ-ધાતુની પટ્ટીને ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે એવી રીતે વળે છે કે જે ધાતુનો રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ વધારે હોય તે વળાંકની બહારની (બહિર્ગોળ) બાજુએ રહે છે.
આપેલ આકૃતિમાં, પિત્તળની પટ્ટી $(B)$ વળાંકની બહારની બાજુએ છે, જ્યારે સ્ટીલની પટ્ટી $(S)$ અંદરની (અંતર્ગોળ) બાજુએ છે.
તેથી, પિત્તળની પટ્ટીનો રેખીય પ્રસરણાંક સ્ટીલની પટ્ટી કરતા વધારે છે.

(D) જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય છે,ત્યારે સળિયાઓ વિસ્તરણ પામવાનો પ્રયત્ન કરે છે. તેઓ નિશ્ચિત આધાર વચ્ચે હોવાથી,તેમના પર સંકોચન બળ $F$ લાગે છે. કુલ લંબાઈ અચળ રહે તે માટે,દરેક સળિયામાં ઉદ્ભવતું બળ $F$ સમાન હોવું જોઈએ.
ઉષ્મીય વિસ્તરણ $\Delta L_{thermal} = L \alpha \Delta T$ છે.
બળ $F$ ને કારણે થતું સંકોચન $\Delta L_{comp} = \frac{F L}{A Y}$ છે.
કુલ લંબાઈ અચળ રહેવા માટે,ચોખ્ખો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\Delta L_{thermal} - \Delta L_{comp} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $F = A Y \alpha \Delta T$.
સળિયા શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને સળિયામાં બળ $F$ સમાન હશે:
$F_1 = F_2$
$A_1 Y_1 \alpha_1 \Delta T = A_2 Y_2 \alpha_2 \Delta T$
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\alpha_2 Y_2}{\alpha_1 Y_1}$

(B) તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 40\,^{\circ}C - 27\,^{\circ}C = 13\,^{\circ}C$ છે.
રેલનું ઉષ્મીય પ્રસરણ $\Delta l = l \alpha \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ પહોળાઈનો ગેપ પુરાઈ જાય તે માટે, રેલનું પ્રસરણ ગેપની પહોળાઈ જેટલું હોવું જોઈએ, તેથી $\Delta l = x$.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $x = l \alpha (13)$ મળે છે.
$l$ માટે ઉકેલતા, આપણને $l = \frac{x}{13\alpha}$ મળે છે.

(D) સમબાજુ ત્રિકોણ $PQR$ માં,$\triangle OPR$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ ઊંચાઈ $OR$ નીચે મુજબ છે:
$(OR)^2 = (PR)^2 - (OP)^2$
અહીં $OP = l/2$ હોવાથી,$(OR)^2 = l^2 - (l/2)^2 = 3l^2/4.$
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta t$ જેટલો ફેરફાર થાય,ત્યારે લંબાઈ $l' = l(1 + \alpha \Delta t)$ મુજબ બદલાય છે.
ધારો કે $PQ$ ની નવી લંબાઈ $l_1 = l(1 + \alpha_1 \Delta t)$ છે,તેથી $OP' = \frac{l}{2}(1 + \alpha_1 \Delta t).$
ધારો કે $PR$ ની નવી લંબાઈ $l_2 = l(1 + \alpha_2 \Delta t)$ છે,તેથી $PR' = l(1 + \alpha_2 \Delta t).$
$OR$ અચળ રહેતું હોવાથી,$(OR)^2 = (PR')^2 - (OP')^2.$
$(OR)^2$ ના પ્રારંભિક અને અંતિમ મૂલ્યોને સરખાવતા:
$l^2 - (l/2)^2 = [l(1 + \alpha_2 \Delta t)]^2 - [\frac{l}{2}(1 + \alpha_1 \Delta t)]^2$
$l^2 - \frac{l^2}{4} = l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta t + \alpha_2^2 \Delta t^2) - \frac{l^2}{4}(1 + 2\alpha_1 \Delta t + \alpha_1^2 \Delta t^2)$
ઉચ્ચ ઘાત વાળા પદો $\alpha^2 \Delta t^2$ ને અવગણતા:
$l^2 - \frac{l^2}{4} = l^2 + 2l^2 \alpha_2 \Delta t - \frac{l^2}{4} - \frac{l^2}{2} \alpha_1 \Delta t$
$0 = 2l^2 \alpha_2 \Delta t - \frac{l^2}{2} \alpha_1 \Delta t$
$2 \alpha_2 = \frac{1}{2} \alpha_1 \implies \alpha_1 = 4 \alpha_2.$

(B) જ્યારે ધાતુની શીટને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં ઉષ્મીય પ્રસરણ થાય છે.
આઈસોટ્રોપિક ઘન પદાર્થ માટે,આ પ્રસરણ ફોટોગ્રાફિક વિસ્તરણ જેવું જ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થનો દરેક ભાગ,છિદ્રો સહિત,સમાન પ્રમાણમાં વિસ્તરે છે.
તેથી,શીટ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર વધે છે,જેનો અર્થ છે કે છિદ્રોના વ્યાસ ($d_1$ અને $d_2$) પણ વધશે.

(D) ઘન પદાર્થનું ઉષ્મીય પ્રસરણ એ ફોટોગ્રાફિક વિસ્તરણ જેવું જ હોય છે. જ્યારે કોઈ ઘન પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના તમામ રેખીય પરિમાણો (લંબાઈ,વ્યાસ,ત્રિજ્યા) સમાન ટકાવારીમાં વધે છે.
આપેલ છે કે બહારનો વ્યાસ $d_1$ એ $0.3\%$ વધે છે,લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta d_1 = \alpha d_1 \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણનો ગુણાંક છે.
અંદરનો વ્યાસ $d_2$ પણ તે જ પદાર્થનું રેખીય પરિમાણ હોવાથી,તે પણ સમાન રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક $\alpha$ મુજબ વિસ્તરણ પામશે.
તેથી,$d_2$ માં થતો ટકાવારી ફેરફાર એ $d_1$ માં થતા ટકાવારી ફેરફાર જેટલો જ હશે.
આમ,$d_2$ પણ $0.3\%$ વધશે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln T = \ln(2\pi) + \frac{1}{2} \ln L - \frac{1}{2} \ln g$.
તાપમાન $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{T} \frac{dT}{d\theta} = \frac{1}{2L} \frac{dL}{d\theta}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dL}{d\theta} = L\alpha$,તેથી $\frac{1}{T} \frac{dT}{d\theta} = \frac{1}{2L} (L\alpha) = \frac{\alpha}{2}$.
આમ,ઢાળ $S = \frac{dT}{d\theta} = \frac{T\alpha}{2}$.
અહીં $T = 2 \ s$ આપેલ હોવાથી,$S = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$ મળે છે.

(A) ધારો કે બંને સળિયાની પ્રારંભિક લંબાઈ $L_0$ છે અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 30\,^{\circ}C$ છે.
સળિયાની અંતિમ લંબાઈનું સૂત્ર $L = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
અંતિમ લંબાઈ સમાન હોવાથી:
$L_0(1 + \alpha_A \Delta T_A) = L_0(1 + \alpha_B \Delta T_B)$
આથી:
$\alpha_A \Delta T_A = \alpha_B \Delta T_B$
અહીં $\frac{\alpha_A}{\alpha_B} = \frac{4}{3}$,$\Delta T_A = 180 - 30 = 150\,^{\circ}C$,અને $\Delta T_B = T - 30$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{3} = \frac{T - 30}{150}$
$T - 30 = \frac{4}{3} \times 150$
$T - 30 = 4 \times 50 = 200$
$T = 200 + 30 = 230\,^{\circ}C$.

(A) રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ છે.
અહીં $\Delta L = 0.08 \ mm = 0.008 \ cm$,$L_0 = 10 \ cm$,અને $\Delta T = 100 \ ^\circ C - 0 \ ^\circ C = 100 \ ^\circ C$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.008 = 10 \times \alpha \times 100$.
તેથી,$\alpha = \frac{0.008}{1000} = 8 \times 10^{-6} / ^\circ C$.
કદ પ્રસરણનો ગુણાંક $\gamma$ એ રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક $\alpha$ સાથે $\gamma = 3\alpha$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી,$\gamma = 3 \times 8 \times 10^{-6} = 24 \times 10^{-6} / ^\circ C$.
$T$ તાપમાને કદ $V_T = V_0(1 + \gamma \Delta T)$ દ્વારા મળે છે.
$V_{100} = 1000(1 + 24 \times 10^{-6} \times 100) = 1000(1 + 24 \times 10^{-4}) = 1000(1 + 0.0024) = 1000(1.0024) = 1002.4 \ cc$.

(B) ધારો કે તાપમાન $T$ પર સળિયાની લંબાઈ $L_1$ અને $L_2$ છે.
તાપમાન $T + \Delta T$ પર,નવી લંબાઈ $L_1' = L_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$ અને $L_2' = L_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$ થશે.
બંને લંબાઈ વચ્ચેનો તફાવત તાપમાનથી સ્વતંત્ર હોવાથી,$L_1' - L_2' = L_1 - L_2$.
પદો મૂકતા: $L_1(1 + \alpha_1 \Delta T) - L_2(1 + \alpha_2 \Delta T) = L_1 - L_2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $L_1 + L_1 \alpha_1 \Delta T - L_2 - L_2 \alpha_2 \Delta T = L_1 - L_2$.
બંને બાજુથી $(L_1 - L_2)$ બાદ કરતા,$L_1 \alpha_1 \Delta T = L_2 \alpha_2 \Delta T$.
$\Delta T \neq 0$ હોવાથી,$L_1 \alpha_1 = L_2 \alpha_2$.
તેથી,$\frac{L_1}{L_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$.

(D) ધારો કે $T_1 = 10 \ ^oC$ તાપમાને પ્રારંભિક લંબાઈ $L_0 = 90 \ cm$ છે. તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 30 - 10 = 20 \ ^oC$ છે.
$30 \ ^oC$ તાપમાને તાંબાના સળિયાની વાસ્તવિક લંબાઈ $L_{cu} = L_0(1 + \alpha_{cu} \Delta T) = 90(1 + 1.7 \times 10^{-5} \times 20) = 90(1 + 3.4 \times 10^{-4}) = 90.0306 \ cm$ છે.
સ્ટીલની પટ્ટી પણ વિસ્તરણ પામે છે. $30 \ ^oC$ તાપમાને પટ્ટી પરના દરેક $1 \ cm$ વિભાગની લંબાઈ $L'_{st} = 1(1 + \alpha_{st} \Delta T) = 1(1 + 1.2 \times 10^{-5} \times 20) = 1(1 + 2.4 \times 10^{-4}) = 1.00024 \ cm$ થાય છે.
પટ્ટી પરનું વાંચન એ સળિયાની વાસ્તવિક લંબાઈ અને પટ્ટી પરના એક વિભાગની લંબાઈનો ગુણોત્તર છે: $\text{Reading} = \frac{L_{cu}}{L'_{st}} = \frac{90(1 + 3.4 \times 10^{-4})}{1 + 2.4 \times 10^{-4}} \approx 90(1 + 3.4 \times 10^{-4})(1 - 2.4 \times 10^{-4}) \approx 90(1 + 1.0 \times 10^{-4}) = 90.009 \ cm \approx 90.01 \ cm$.

(A) ધારો કે $0^{\circ}C$ તાપમાને તાંબાના સળિયાની લંબાઈ $L_{c0}$ અને લોખંડના સળિયાની લંબાઈ $L_{i0}$ છે.
$T$ તાપમાને લંબાઈઓ $l_1 = L_{c0}(1 + \alpha_c T)$ અને $l_2 = L_{i0}(1 + \alpha_i T)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તફાવત $l_2 - l_1 = L_{i0} - L_{c0} + (L_{i0}\alpha_i - L_{c0}\alpha_c)T$ થાય.
તફાવત $T$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,$T$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$L_{i0}\alpha_i - L_{c0}\alpha_c = 0 \implies L_{i0}\alpha_i = L_{c0}\alpha_c$.
આપેલ છે કે $\alpha_c = 2.0 \times 10^{-6}\,^{\circ}C^{-1}$ અને $\alpha_i = 1.0 \times 10^{-6}\,^{\circ}C^{-1}$,તેથી $L_{i0}(1.0 \times 10^{-6}) = L_{c0}(2.0 \times 10^{-6})$,એટલે કે $L_{i0} = 2L_{c0}$.
આપણને આપેલ છે કે $l_2 - l_1 = 15\,cm$,જેનો અર્થ છે કે $L_{i0} - L_{c0} = 15\,cm$.
$L_{i0} = 2L_{c0}$ મૂકતા,આપણને $2L_{c0} - L_{c0} = 15\,cm$ મળે છે,તેથી $L_{c0} = 15\,cm$ અને $L_{i0} = 30\,cm$.
તફાવત અચળ હોવાથી,$l_1 = L_{c0} = 15\,cm$ અને $l_2 = L_{i0} = 30\,cm$ થાય.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તાપમાન ઘટે છે,ત્યારે ઉષ્મીય સંકોચનને કારણે લોલકના સળિયાની લંબાઈ $L$ ઘટે છે.
$T \propto \sqrt{L}$ હોવાથી,આવર્તકાળ $T$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે ઘડિયાળ ઝડપથી ચાલે છે અને સમય મેળવે છે.
આવર્તકાળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ છે.
પ્રતિ દિવસ મેળવેલ સમય $\Delta t = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta \times t$ છે,જ્યાં $t$ એ એક દિવસમાં કુલ સેકન્ડની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $\alpha = 18 \times 10^{-6}/^{\circ}C$,$\Delta \theta = 20^{\circ}C - 0^{\circ}C = 20^{\circ}C$,અને $t = 24 \times 3600 \, s = 86400 \, s$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta t = \frac{1}{2} \times (18 \times 10^{-6}) \times 20 \times 86400$.
$\Delta t = 180 \times 10^{-6} \times 86400 = 0.18 \times 86.4 = 15.552 \, s$.
આમ,ઘડિયાળ દરરોજ આશરે $15.55 \, s$ મેળવે છે.

(B) કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને કદમાં થતા ફેરફાર વચ્ચેનો સંબંધ: $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$.
અહીં કદમાં $0.15\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta V}{V} = \frac{0.15}{100} = 0.0015$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 24\,^{\circ}C$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\gamma = \frac{\Delta V}{V \Delta T} = \frac{0.15}{100 \times 24} = 6.25 \times 10^{-5} /^{\circ}C$.
ઘન પદાર્થ માટે,કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6.25 \times 10^{-5}}{3} \approx 2.08 \times 10^{-5} /^{\circ}C$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $2.0 \times 10^{-5} /^{\circ}C$ છે.

(A) જ્યારે કાણું ધરાવતી કોઈ ઘન વસ્તુને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે પદાર્થ બધી દિશાઓમાં વિસ્તરણ પામે છે. પદાર્થનું વિસ્તરણ એ જ નિયમોને અનુસરે છે જાણે કે તે કાણું તે જ પદાર્થથી ભરેલું હોય. ઉષ્મીય વિસ્તરણને કારણે પરમાણુઓ એકબીજાથી દૂર જાય છે,તેથી કાણાના વ્યાસ સહિત પદાર્થના રેખીય પરિમાણોમાં વધારો થાય છે. તેથી,કાણાનો વ્યાસ હંમેશા વધશે.

(A) જ્યારે છિદ્રોવાળી ધાતુની શીટને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થ એવી રીતે વિસ્તરે છે જાણે કે આખી શીટ નક્કર હોય. પદાર્થનું વિસ્તરણ એ નક્કર પદાર્થના વિસ્તરણના સમાન નિયમોને અનુસરે છે. તેથી,ગરમ કરવા પર શીટ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર વધે છે. $A$,$B$,અને $C$ એ ધાતુની શીટ પરના બિંદુઓ હોવાથી,ઉષ્મીય વિસ્તરણને કારણે અંતર $AB$ (છિદ્રનો વ્યાસ) અને $BC$ (બે છિદ્રો વચ્ચેનું અંતર) બંને વધશે.