Thermal Expansion for Solid Questions in Gujarati

(A) લંબાઈમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2\%$ આપેલ છે.
$l$ બાજુવાળી ચોરસ શીટ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = l^2$ થાય.
સાપેક્ષ ત્રુટિના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta l}{l}$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta l}{l} \times 100)$ થાય.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $2 \times 2\% = 4\%$.

(B) જ્યારે સળિયાનું પ્રસરણ અટકાવવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું થર્મલ સ્ટ્રેસ $\sigma = Y \alpha \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટ્રેસ $\sigma = F/A$ હોવાથી,બળ $F = Y A \alpha \Delta \theta$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે:
$Y = 10^{11} \, N/m^2$
$A = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$
$\alpha = 10^{-5} /^\circ C$
$\Delta \theta = 100 - 0 = 100^\circ C = 10^2 \, ^\circ C$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 10^{11} \times 10^{-4} \times 10^{-5} \times 10^2$
$F = 10^{11 - 4 - 5 + 2} = 10^4 \, N$.

(A) ઘડિયાળમાં બેલેન્સ વ્હીલ સમય માપવાની પદ્ધતિને નિયંત્રિત કરવા માટે જવાબદાર છે.
ઘડિયાળ સતત સમય જાળવી રાખે તે માટે,આસપાસના તાપમાનમાં ફેરફાર હોવા છતાં બેલેન્સ વ્હીલના પરિમાણો બદલાવા જોઈએ નહીં.
ઇન્વાર એ નિકલ-આયર્ન મિશ્રધાતુ છે જે તેના અત્યંત ઓછા ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક માટે જાણીતી છે.
કારણ કે ઇન્વારના પરિમાણો તાપમાન સાથે બદલાતા નથી,તેથી તેનો ઉપયોગ એ સુનિશ્ચિત કરવા માટે થાય છે કે ઘડિયાળનો દોલનનો સમયગાળો અચળ રહે.

(D) ધારો કે $\Delta \theta$ તાપમાને પિત્તળના સળિયાની લંબાઈ ${L_1}$ અને સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ ${L_2}$ છે.
${L_1} = {l_1}(1 + {\alpha _1}\Delta \theta )$
${L_2} = {l_2}(1 + {\alpha _2}\Delta \theta )$
$\Delta \theta$ તાપમાને લંબાઈનો તફાવત ${L_2} - {L_1} = {l_2}(1 + {\alpha _2}\Delta \theta ) - {l_1}(1 + {\alpha _1}\Delta \theta )$ છે.
${L_2} - {L_1} = ({l_2} - {l_1}) + \Delta \theta ({l_2}{\alpha _2} - {l_1}{\alpha _1})$.
લંબાઈનો તફાવત $0^{\circ}C$ જેટલો જ રહે તે માટે,આપણે ${L_2} - {L_1} = {l_2} - {l_1}$ ની જરૂર છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\Delta \theta ({l_2}{\alpha _2} - {l_1}{\alpha _1}) = 0$.
કારણ કે $\Delta \theta \neq 0$,તેથી ${l_2}{\alpha _2} - {l_1}{\alpha _1} = 0$ હોવું જોઈએ,અથવા ${l_1}{\alpha _1} = {l_2}{\alpha _2}$.

(C) જ્યારે કોઈ ઘન પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં ઉષ્મીય પ્રસરણ થાય છે.
ધારો કે રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક $\alpha$ છે.
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ છે,તેથી આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta L}{L_0} = \alpha \Delta T$ થાય.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_0 (2\alpha) \Delta T$ છે,તેથી આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta A}{A_0} = 2\alpha \Delta T$ થાય.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = V_0 (3\alpha) \Delta T$ છે,તેથી આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V_0} = 3\alpha \Delta T$ થાય.
ગુણાંકોની સરખામણી કરતા,$3\alpha > 2\alpha > \alpha$ મળે છે.
તેથી,ટકાવારી વધારો કદ માટે સૌથી વધુ હશે.
ગરમ કરવાથી ઘનતા ઘટે છે કારણ કે દળ અચળ રહે છે અને કદ વધે છે.

(D) ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમાન લંબાઈ $L$ ના સળિયા માટે,$T \propto \sqrt{L}$ થાય.
વિકલન લેતા,આવર્તકાળમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L}$ મળે છે.
કારણ કે $\Delta L = L \alpha \Delta \theta$,તેથી $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta \theta$ થાય.
તેથી,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$.
અહીં $\alpha = 2 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ અને $\Delta \theta = 10^{\circ}C$ આપેલ છે:
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6}) \times 10 = 10^{-5}$.
ટકાવારીમાં વધારો $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 10^{-5} \times 100 = 10^{-3} \%$ થાય.

(C) લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$.
અહીં,$L_0 = 10 \, cm$,$\alpha = 11 \times 10^{-6} /^{\circ}C$,અને $\Delta T = 19^{\circ}C - 20^{\circ}C = -1^{\circ}C$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = 10 \times (11 \times 10^{-6}) \times (-1) \, cm$.
$\Delta L = -110 \times 10^{-6} \, cm = -1.1 \times 10^{-4} \, cm = -11 \times 10^{-5} \, cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે સળિયો ટૂંકો થાય છે.
તેથી,સળિયો $11 \times 10^{-5} \, cm$ જેટલો ટૂંકો થશે.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના કણો ગતિ ઊર્જા મેળવે છે અને એકબીજાથી દૂર જાય છે,જેના કારણે પદાર્થનું પ્રસરણ થાય છે.
પદાર્થનું દળ અચળ રહે છે જ્યારે તેનું કદ વધે છે,તેથી ઘનતા,જે $\rho = \frac{m}{V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તે ઘટવી જ જોઈએ.
તેથી,ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે પદાર્થની ઘનતામાં ઘટાડો થાય છે.

(C) બાયમેટાલિક પટ્ટી બે અલગ-અલગ ધાતુઓની બનેલી હોય છે જેમના રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક ($\alpha_A$ અને $\alpha_B$) અલગ હોય છે.
જ્યારે પટ્ટીને ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે બંને ધાતુઓ વિસ્તરણ પામે છે, પરંતુ જે ધાતુનો રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક વધારે હોય છે તે બીજી ધાતુ કરતા વધુ વિસ્તરણ પામે છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, જો $\alpha_A > \alpha_B$ હોય, તો ધાતુ $A$ એ ધાતુ $B$ કરતા વધુ વિસ્તરણ પામશે.
લંબાઈમાં રહેલા આ તફાવતને સમાવવા માટે, પટ્ટીએ વળવું પડે છે.
વધારે પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી ધાતુ $(A)$ ચાપની બહારની બાજુ બનાવે છે, જ્યારે ઓછો પ્રસરણ ગુણાંક ધરાવતી ધાતુ $(B)$ અંદરની બાજુ બનાવે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) જ્યારે પોલાણ ધરાવતી નક્કર વસ્તુને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે વસ્તુનું દ્રવ્ય બધી દિશાઓમાં વિસ્તરે છે.
આ વિસ્તરણ એ જ નિયમોને અનુસરે છે જાણે કે પોલાણ તે જ દ્રવ્યથી ભરેલું હોય.
જેમ જેમ દ્રવ્ય બહારની તરફ વિસ્તરે છે,તેમ પોલાણની આંતરિક સીમા પણ બહારની તરફ ખસે છે,જે પોલાણના કદમાં અસરકારક રીતે વધારો કરે છે.
તેથી,પોલાણનું કદ વધશે.

(A) ધારો કે પિનનો પ્રારંભિક વ્યાસ $D_p$ છે અને કાણાનો વ્યાસ $D_h$ છે. તાપમાન $T$ પર $D_p > D_h$ છે.
તેમને ફિટ કરવા માટે,આપણે તાપમાન $T + \Delta T$ પર બંનેના વ્યાસ સમાન કરવા પડશે.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $D' = D(1 + \alpha \Delta T)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $D_p(1 + \alpha_b \Delta T) = D_h(1 + \alpha_s \Delta T)$,જ્યાં $\alpha_b$ એ બ્રોન્ઝનો અને $\alpha_s$ એ સ્ટીલનો રેખીય પ્રસરણાંક છે.
સ્ટીલનો પ્રસરણાંક બ્રોન્ઝ કરતા વધારે $(\alpha_s > \alpha_b)$ હોવાથી,બ્લોકને ગરમ કરવાથી કાણાનો વ્યાસ $D_h$ એ પિનના વ્યાસ $D_p$ કરતા ઝડપથી વધશે.
તેથી,માત્ર બ્લોકને ગરમ કરવાથી ન્યૂનતમ તાપમાનના ફેરફાર સાથે ફિટિંગ મેળવી શકાય છે.

(D) નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ સમાન હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ લંબાઈ $L$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે (રેખીય પ્રસરણ),તેથી $r \propto L$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $A$ એ લંબાઈના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $A \propto L^2$.
નાના ફેરફારો માટે ત્રુટિ વિશ્લેષણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta A}{A} \approx 2 \cdot \frac{\Delta L}{L}$.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2\%$ છે,
તેથી ક્ષેત્રફળમાં ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta L}{L} \times 100) = 2 \times 2\% = 4\%$ થશે.
આમ,પાયાનું ક્ષેત્રફળ $4\%$ વધશે.

(D) ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંકને $\beta$ વડે અને રેખીય પ્રસરણાંકને $\alpha$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
આ બંને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ $\beta = 2\alpha$ છે.
આપેલ છે કે,$\beta = 2 \times 10^{-5} \text{ °C}^{-1}$.
તેથી,$\alpha = \frac{\beta}{2} = \frac{2 \times 10^{-5}}{2} = 1 \times 10^{-5} \text{ °C}^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ઘનતા $\rho$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta T} \approx \rho_0 (1 - \gamma \Delta T)$ છે.
આથી,કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ નું સૂત્ર $\gamma = \frac{\rho_0 - \rho}{\rho \Delta T}$ થાય.
અહીં $\rho_0 = 10 \, g/cm^3$,$\rho = 9.7 \, g/cm^3$,અને $\Delta T = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100^{\circ}C$ આપેલ છે.
$\gamma = \frac{10 - 9.7}{9.7 \times 100} \approx \frac{0.3}{970} \approx 3.09 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$.
આશરે $\gamma \approx 3 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$ લેતા.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ અને $\gamma$ વચ્ચેનો સંબંધ $\alpha = \frac{\gamma}{3}$ છે.
$\alpha = \frac{3 \times 10^{-4}}{3} = 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$.

(A) કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ માટેનું સૂત્ર: $\gamma = \frac{\Delta V}{V \cdot \Delta T}$ છે.
અહીં, $\frac{\Delta V}{V} = 0.24\% = \frac{0.24}{100}$ અને $\Delta T = 40^{\circ}C$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\gamma = \frac{0.24}{100 \times 40} = \frac{0.24}{4000} = 0.00006 = 6 \times 10^{-5} \text{ } ^\circ\text{C}^{-1}$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ અને કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ વચ્ચેનો સંબંધ $\alpha = \frac{\gamma}{3}$ છે.
તેથી, $\alpha = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} \text{ } ^\circ\text{C}^{-1}$.

(A) રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ એ તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ લંબાઈમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંક $(\beta)$ એ તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ ક્ષેત્રફળમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\beta = 2\alpha$ છે.
કદ પ્રસરણાંક $(\gamma)$ એ તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર દીઠ કદમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\gamma = 3\alpha$ છે.
તેથી,સંબંધ $\alpha : \beta : \gamma = \alpha : 2\alpha : 3\alpha$ છે.
$\alpha$ વડે ભાગતા,આપણને $1:2:3$ નો ગુણોત્તર મળે છે.

(C) જ્યારે આઈસોટ્રોપિક (સમદિગ્ધર્મી) પદાર્થમાંથી બનેલી વસ્તુને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે તમામ પરિમાણોમાં ઉષ્મીય પ્રસરણ અનુભવે છે. આ પ્રસરણ વસ્તુના ફોટોગ્રાફિક વિસ્તરણ જેવું જ હોય છે.
$1$. સળિયાની લંબાઈ,ગેપ $x$,ત્રિજ્યા $r$,અને જાડાઈ $d$ એ વસ્તુના તમામ રેખીય પરિમાણો છે.
$2$. રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણના સિદ્ધાંત મુજબ,કોઈપણ રેખીય પરિમાણ $L$ એ $L' = L(1 + \alpha \Delta T)$ મુજબ બદલાય છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
$3$. ધાતુઓ માટે $\alpha > 0$ હોવાથી અને ગરમ કરતી વખતે $\Delta T > 0$ હોવાથી,તમામ રેખીય પરિમાણો $x$,$r$,અને $d$ વધશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) રેખીય પ્રસરણાંકનું સૂત્ર $\alpha = \frac{\Delta L}{L_0 \times \Delta \theta}$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક લંબાઈ $L_0 = 5 \, m$
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = 5.01 \, m - 5 \, m = 0.01 \, m$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta \theta = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100^{\circ}C$
કિંમતો મૂકતા:
$\alpha = \frac{0.01}{5 \times 100} = \frac{0.01}{500} = \frac{1}{50000} = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક લંબાઈ $L_0 = 100\, cm$,તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta \theta = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100^{\circ}C$,લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = 0.19\, cm$.
સૌ પ્રથમ,રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ ની ગણતરી કરો:
$\alpha = \frac{\Delta L}{L_0 \Delta \theta} = \frac{0.19}{100 \times 100} = \frac{0.19}{10000} = 1.9 \times 10^{-5} {^{\circ}C^{-1}}$.
હવે,કદ પ્રસરણાંક $(\gamma)$ ની ગણતરી કરો:
$\gamma = 3\alpha = 3 \times 1.9 \times 10^{-5} {^{\circ}C^{-1}} = 5.7 \times 10^{-5} {^{\circ}C^{-1}}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) પિત્તળનો રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha_{brass})$ સ્ટીલના રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha_{steel})$ કરતા વધારે હોય છે.
જ્યારે તંત્રને ઠંડું પાડવામાં આવે છે, ત્યારે પિત્તળની તકતી અને સ્ટીલની પ્લેટ બંને સંકોચાય છે.
કારણ કે $\alpha_{brass} > \alpha_{steel}$, પિત્તળની તકતી સ્ટીલની પ્લેટ કરતા વધુ સંકોચાય છે.
પરિણામે, તકતી અને કાણા વચ્ચેની જગ્યા વધે છે અને તકતી ઢીલી થઈ જાય છે.

(B) ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે લંબાઈમાં થતા વધારાનું સૂત્ર $\Delta L = L_0 \alpha \Delta \theta$ છે.
અહીં,પ્રારંભિક લંબાઈ $L_0 = 10\, m$,રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 10 \times 10^{-6} {^{\circ}C^{-1}}$ અને તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \theta = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100^{\circ}C$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta L = 10 \times (10 \times 10^{-6}) \times 100$
$\Delta L = 10 \times 10^{-5} \times 100 = 10^{-2}\, m$.
કારણ કે $1\, m = 100\, cm$,તેથી $\Delta L = 10^{-2} \times 100 = 1\, cm$.
આમ,સળિયાની લંબાઈમાં થતો વધારો $1.0\, cm$ છે.

(A) કાણાનો વ્યાસ $D_0 = 0.9997 \, cm$ વધીને $D = 1.0 \, cm$ થવો જોઈએ જેથી નળાકાર તેમાં બેસી શકે.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\Delta D = D_0 \alpha \Delta T$.
અહીં,$\Delta D = D - D_0 = 1.0 - 0.9997 = 0.0003 \, cm$.
કિંમતો મૂકતા: $0.0003 = 0.9997 \times (12 \times 10^{-6}) \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{0.0003}{0.9997 \times 12 \times 10^{-6}} \approx \frac{0.0003}{0.0000119964} \approx 25.007^{\circ}C$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,તાપમાનમાં જરૂરી લઘુત્તમ વધારો $25^{\circ}C$ છે.

(C) ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l = l \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને સળિયા માટે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સમાન છે,તેથી $\Delta l_1 = \Delta l_2$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $l_1 \alpha_a t = l_2 \alpha_s t$.
બંને બાજુથી $t$ ને દૂર કરતા,આપણને $l_1 \alpha_a = l_2 \alpha_s$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{l_1}{l_2} = \frac{\alpha_s}{\alpha_a}$.
$\frac{l_1}{l_1 + l_2}$ ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: જો $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ હોય,તો $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ થાય.
આ ગુણધર્મ આપણા સમીકરણ પર લાગુ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{l_1}{l_1 + l_2} = \frac{\alpha_s}{\alpha_a + \alpha_s}$.

(A) પારાના વાસ્તવિક પ્રસરણનો ગુણાંક $(\gamma_{real})$ પાત્ર ગમે તે હોય,સમાન રહે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે: $\gamma_{real} = \gamma_{app} + \gamma_{vessel}$,જ્યાં $\gamma_{vessel} = 3\alpha$.
કાચના પાત્ર માટે: $\gamma_{real} = 153 \times 10^{-6} + \gamma_{glass}$.
સ્ટીલના પાત્ર માટે: $\gamma_{real} = 144 \times 10^{-6} + 3\alpha_{steel}$.
આપેલ છે કે $\alpha_{steel} = 12 \times 10^{-6} \, ^{\circ}C^{-1}$,તેથી $\gamma_{steel} = 3 \times 12 \times 10^{-6} = 36 \times 10^{-6} \, ^{\circ}C^{-1}$.
$\gamma_{real}$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{glass} = 144 \times 10^{-6} + 36 \times 10^{-6}$.
$153 \times 10^{-6} + \gamma_{glass} = 180 \times 10^{-6}$.
$\gamma_{glass} = (180 - 153) \times 10^{-6} = 27 \times 10^{-6} \, ^{\circ}C^{-1}$.
કારણ કે $\gamma_{glass} = 3\alpha_{glass}$,તેથી $3\alpha_{glass} = 27 \times 10^{-6} \, ^{\circ}C^{-1}$.
તેથી,$\alpha_{glass} = 9 \times 10^{-6} \, ^{\circ}C^{-1}$.

(D) ઘન પદાર્થોનું વિસ્તરણ સ્ફટિકીય ઘન પદાર્થમાં બે નજીકના પરમાણુઓ માટે તેમના આંતર-પરમાણુ અંતર $(r)$ ના વિધેય તરીકે સ્થિતિ ઉર્જા વક્ર દ્વારા સારી રીતે સમજી શકાય છે.
સામાન્ય તાપમાને: ઘન પદાર્થનો દરેક અણુ તેના સંતુલન સ્થાન $P_1$ ની આસપાસ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે કંપન કરે છે,જ્યાં $r_0$ એ બીજા અણુથી તેનું સંતુલન અંતર છે.
ઉચ્ચ તાપમાને: કંપનનો કંપવિસ્તાર વધે છે (દા.ત.,$C \leftrightarrow D$ અને $E \leftrightarrow F$). સ્થિતિ ઉર્જા વક્રની અસમપ્રમાણતાને કારણે,અણુઓના સરેરાશ સંતુલન સ્થાનો ($P_2$ અને $P_3$) સ્થાનાંતરિત થાય છે. તેથી,અન્ય અણુઓથી સરેરાશ અંતર વધે છે $(r_2 > r_1 > r_0)$.
આમ,તાપમાન વધારવાથી,અણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ સંતુલન અંતર વધે છે અને સમગ્ર ઘન પદાર્થ વિસ્તરે છે.

(C) પૈડાનો પ્રારંભિક વ્યાસ $D_w = 1000 \, mm$.
ટાયરનો પ્રારંભિક વ્યાસ $D_t = 1000 - 6 = 994 \, mm$.
ટાયરની પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R = 497 \, mm$.
જરૂરી ત્રિજ્યામાં ફેરફાર $\Delta R = 3 \, mm$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ અને કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ વચ્ચેનો સંબંધ $\alpha = \frac{\gamma}{3}$ છે.
આપેલ છે $\gamma = 3.6 \times 10^{-5} \, ^oC^{-1}$,તેથી $\alpha = \frac{3.6 \times 10^{-5}}{3} = 1.2 \times 10^{-5} \, ^oC^{-1}$.
પરિઘમાં ફેરફાર $\Delta L = 2\pi \Delta R = L \alpha \Delta \theta = (2\pi R) \alpha \Delta \theta$.
તેથી,$\Delta R = R \alpha \Delta \theta$.
$\Delta \theta = \frac{\Delta R}{R \alpha} = \frac{3}{497 \times 1.2 \times 10^{-5}} \approx \frac{3}{0.005964} \approx 503 \, ^oC$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જરૂરી તાપમાનનો વધારો $500 \, ^oC$ છે.

(A) ધારો કે $T_1 = 20^\circ C$ તાપમાને પ્રારંભિક લંબાઈ $L_0 = 80.0\,cm$ છે. તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 40^\circ C - 20^\circ C = 20^\circ C$ છે.
$40^\circ C$ તાપમાને તાંબાના તારની વાસ્તવિક લંબાઈ $L_{Cu} = L_0(1 + \alpha_{Cu} \Delta T)$ છે.
$40^\circ C$ તાપમાને સ્ટીલની માપપટ્ટી પર અંકિત લંબાઈ $L_{steel} = L_0(1 + \alpha_{steel} \Delta T)$ છે.
માપપટ્ટીનું અવલોકન એ $40^\circ C$ તાપમાને તારની વાસ્તવિક લંબાઈ અને માપપટ્ટી પરના એકમ વિભાગની લંબાઈનો ગુણોત્તર છે. માપપટ્ટી પોતે વિસ્તરણ પામે છે,તેથી અવલોકન $L'$ નીચે મુજબ મળે:
$L' = \frac{L_{Cu}}{1 + \alpha_{steel} \Delta T} = \frac{L_0(1 + \alpha_{Cu} \Delta T)}{1 + \alpha_{steel} \Delta T}$.
નાના $\alpha \Delta T$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^{-1} \approx 1-x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L' \approx L_0(1 + \alpha_{Cu} \Delta T)(1 - \alpha_{steel} \Delta T) \approx L_0(1 + (\alpha_{Cu} - \alpha_{steel}) \Delta T)$.
કિંમતો મૂકતા:
$L' = 80.0 \times (1 + (17 \times 10^{-6} - 11 \times 10^{-6}) \times 20)$
$L' = 80.0 \times (1 + 6 \times 10^{-6} \times 20) = 80.0 \times (1 + 120 \times 10^{-6})$
$L' = 80.0 + 80.0 \times 0.00012 = 80.0 + 0.0096 = 80.0096\,cm$.

(D) ધારો કે ગરમ કરતા પહેલા દરેક પટ્ટીની પ્રારંભિક લંબાઈ $L_0$ છે.
ધારો કે બાયમેટાલિક પટ્ટીની કુલ જાડાઈ $d$ છે.
ગરમ કર્યા પછી,પિત્તળ અને તાંબાની પટ્ટીઓની લંબાઈ નીચે મુજબ છે:
$L_B = L_0(1 + \alpha_B \Delta T) = (R + d)\theta$
$L_C = L_0(1 + \alpha_C \Delta T) = R\theta$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{R + d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
$1 + \frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
$\frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} - 1 = \frac{1 + \alpha_B \Delta T - 1 - \alpha_C \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} = \frac{(\alpha_B - \alpha_C)\Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
કારણ કે $\alpha \Delta T \ll 1$,આપણે $1 + \alpha_C \Delta T \approx 1$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
આમ,$R = \frac{d}{(\alpha_B - \alpha_C)\Delta T}$.
તેથી,$R \propto \frac{1}{\Delta T}$ અને $R \propto \frac{1}{|\alpha_B - \alpha_C|}$.
આમ,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) થર્મોસ્ટેટ એ રેફ્રિજરેટર અને ઇસ્ત્રી જેવા વિદ્યુત ઉપકરણોમાં તાપમાનના સ્વચાલિત નિયંત્રણ માટે વપરાતું સાધન છે.
તે બે અલગ-અલગ ધાતુઓથી બનેલી બાયમેટાલિક પટ્ટી ધરાવે છે.
જ્યારે તાપમાન બદલાય છે, ત્યારે બંને ધાતુઓ અલગ-અલગ પ્રમાણમાં વિસ્તરે છે કારણ કે તેમનો રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ અલગ-અલગ હોય છે.
પ્રસરણમાં રહેલા આ તફાવતને કારણે પટ્ટી વળે છે, જે ઉપકરણને ચાલુ કે બંધ કરવા માટે સ્વિચિંગ મિકેનિઝમને સક્રિય કરે છે.
તેથી, બે ધાતુની પટ્ટીઓ તેમના રેખીય પ્રસરણાંકમાં ચોક્કસપણે અલગ હોવી જોઈએ.

(C) ધારો કે સ્ફટિકના પરિમાણો $L_0, L_0, L_0$ છે. તાપમાનમાં $\Delta \theta$ જેટલો ફેરફાર કર્યા પછી,નવા પરિમાણો $L_0(1 + \alpha_1 \Delta \theta)$,$L_0(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$ અને $L_0(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$ થાય છે.
નવું કદ $V$ આ મુજબ મળે: $V = L_0(1 + \alpha_1 \Delta \theta) \times L_0(1 + \alpha_2 \Delta \theta) \times L_0(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$.
$V = L_0^3(1 + \alpha_1 \Delta \theta)(1 + \alpha_2 \Delta \theta)^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V_0 = L_0^3$ અને $V = V_0(1 + \gamma \Delta \theta)$,તેથી:
$1 + \gamma \Delta \theta = (1 + \alpha_1 \Delta \theta)(1 + 2\alpha_2 \Delta \theta + \alpha_2^2 \Delta \theta^2)$.
$\Delta \theta$ ના ઉચ્ચ ઘાતવાળા પદોને અવગણતા,આપણને મળે:
$1 + \gamma \Delta \theta \approx 1 + \alpha_1 \Delta \theta + 2\alpha_2 \Delta \theta$.
$\Delta \theta$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$\gamma = \alpha_1 + 2\alpha_2$ મળે છે.

(C) જુદા જુદા તાપમાને ફ્લાસ્કમાં રહેલી હવાનું કદ અચળ રહે છે. આનો અર્થ એ છે કે કાચના ફ્લાસ્કના કદમાં થતો વધારો એ તેમાં રહેલા પારાના કદમાં થતા વધારા જેટલો જ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $V_g$ એ કાચના ફ્લાસ્કનું કુલ કદ $(1000 \, cc)$ છે અને $V_L$ એ પારાનું કદ છે.
હવાનું કદ અચળ રહેવાની શરત મુજબ: $\Delta V_g = \Delta V_L$.
કદ પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta V = V \gamma \Delta \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V_g \gamma_g \Delta \theta = V_L \gamma_L \Delta \theta$
અહીં કાચનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha_g = 9 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ છે,તેથી કાચનો કદ પ્રસરણાંક $\gamma_g = 3 \alpha_g = 3 \times 9 \times 10^{-6} = 27 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ થાય.
પારાનો કદ પ્રસરણાંક $\gamma_L = 1.8 \times 10^{-4} /^{\circ}C$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V_L = \frac{V_g \gamma_g}{\gamma_L} = \frac{1000 \times 27 \times 10^{-6}}{1.8 \times 10^{-4}}$
$V_L = \frac{27 \times 10^{-3}}{1.8 \times 10^{-4}} = \frac{270}{1.8} = 150 \, cc$.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલન લેતા,આવર્તકાળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$ છે.
કારણ કે $\Delta l = l \alpha \Delta \theta$,તેથી $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$.
તેથી,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$.
અહીં $\alpha = 12 \times 10^{-6} /^\circ C$ અને $\Delta \theta = 40^\circ C - 20^\circ C = 20^\circ C$ આપેલ છે.
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 20 = 120 \times 10^{-6} = 1.2 \times 10^{-4}$.
એક દિવસમાં ($86400$ સેકન્ડ) ગુમાવેલ કે મેળવેલ સમય $\Delta T = \frac{\Delta T}{T} \times 86400$ છે.
$\Delta T = 1.2 \times 10^{-4} \times 86400 = 10.368$ સેકન્ડ.
તાપમાન વધવાથી લોલકની લંબાઈ વધે છે,તેથી આવર્તકાળ વધે છે અને ઘડિયાળ સમય ગુમાવે છે. આમ,તે દિવસમાં આશરે $10.3$ સેકન્ડ ગુમાવે છે.

(C) સળિયાનો યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{રેખીય વિકૃતિ}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\text{પ્રતિબળ} = Y \times \text{રેખીય વિકૃતિ} = Y \times \left( \frac{\Delta l}{l} \right)$.
જ્યારે રેખીય પ્રસરણ અટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે થર્મલ વિકૃતિ $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$ થાય છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક છે અને $\Delta \theta$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\text{પ્રતિબળ} = Y \alpha \Delta \theta$ મળે છે.
આમ,સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રતિબળ સળિયાની પ્રારંભિક લંબાઈ $l$ પર આધારિત નથી.

(C) કદમાં થતો વધારો $\Delta V = \gamma V \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V = \pi r^2 l$ છે.
બંને સળિયા એક જ પદાર્થ (બ્રાસ) ના બનેલા હોવાથી,કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ બંને માટે સમાન રહેશે.
સળિયા $A$ માટે: $V_A = \pi (2r)^2 l = 4\pi r^2 l$.
સળિયા $B$ માટે: $V_B = \pi (r)^2 (2l) = 2\pi r^2 l$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T$ બંને માટે સમાન હોવાથી,કદમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta V_A}{\Delta V_B} = \frac{\gamma V_A \Delta T}{\gamma V_B \Delta T} = \frac{V_A}{V_B} = \frac{4\pi r^2 l}{2\pi r^2 l} = \frac{2}{1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(D) લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તાપમાન વધે છે,ત્યારે લોલકની લંબાઈ $L$ માં $L' = L(1 + \alpha \Delta \theta)$ મુજબ વધારો થાય છે.
કુલ સમય $t$ માટે સમયમાં થતો ફેરફાર $\Delta t$ એ $\Delta t = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta \times t$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\alpha = 10^{-5} {^{\circ}C}^{-1}$,$\Delta \theta = (40 - 20) = 20^{\circ}C$,અને $t = 86400 \, s$ (એક દિવસમાં સેકન્ડની સંખ્યા).
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta t = \frac{1}{2} \times 10^{-5} \times 20 \times 86400$
$\Delta t = 10^{-5} \times 10 \times 86400$
$\Delta t = 10^{-4} \times 86400 = 8.64 \, s$.

(D) ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક $(\beta)$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\beta = 2\alpha$ છે.
અહીં,$\beta = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$ આપેલ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{\beta}{2}$.
$\alpha = \frac{2 \times 10^{-5}}{2} = 1 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$.

(C) તાપમાન $\theta$ પર ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta \theta}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે.
નાના ફેરફારો માટે,$\gamma \approx \frac{\rho_0 - \rho}{\rho_0 \Delta \theta}$ લઈ શકાય.
અહીં $\rho_0 = 10 \, g/cm^3$,$\rho = 9.7 \, g/cm^3$ અને $\Delta \theta = 100 \, ^\circ C$ છે.
તેથી,$\gamma = \frac{10 - 9.7}{10 \times 100} = \frac{0.3}{1000} = 3 \times 10^{-4} \, ^\circ C^{-1}$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = \frac{\gamma}{3}$ હોવાથી,
$\alpha = \frac{3 \times 10^{-4}}{3} = 10^{-4} \, ^\circ C^{-1}$.

(D) નળાકારની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ $A = 2\pi r^2 + 2\pi rL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પાતળા નળાકાર માટે અથવા લંબાઈમાં થતા મુખ્ય ફેરફારને ધ્યાનમાં લેતા,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ લંબાઈના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(A \propto L^2)$.
વિકલન કરતા,આપણને $\Delta A = 2L \Delta L$ મળે છે.
$A$ વડે ભાગતા (જ્યાં સમપ્રમાણતા માટે $A = L^2$),આપણને $\frac{\Delta A}{A} = \frac{2L \Delta L}{L^2} = 2 \frac{\Delta L}{L}$ મળે છે.
અહીં $\frac{\Delta L}{L} = 2\%$ આપેલ છે,તેથી સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times 2\% = 4\%$ થશે.

(B) રેખીય પ્રસરણ માટેનું સૂત્ર $\Delta l = \alpha l \Delta T$ છે.
અહીં,પ્રારંભિક લંબાઈ $l = 10 \ m$,રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 10 \times 10^{-6} \ ^{\circ}C^{-1}$ અને તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 100 \ ^{\circ}C - 0 \ ^{\circ}C = 100 \ ^{\circ}C$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta l = (10 \times 10^{-6} \ ^{\circ}C^{-1}) \times (10 \ \text{m}) \times (100 \ ^{\circ}C)$
$\Delta l = 10 \times 10^{-6} \times 10 \times 100 \ \text{m}$
$\Delta l = 10^{-2} \ \text{m}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ \text{m} = 100 \ \text{cm}$,તેથી $\Delta l = 10^{-2} \times 100 \ \text{cm} = 1.0 \ \text{cm}$.
આમ,લંબાઈમાં થતો વધારો $1.0 \ \text{cm}$ છે.

(C) સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l = l \alpha \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો વધારો સમાન હોવાથી,$\Delta l_a = \Delta l_s$ થાય.
સૂત્ર મૂકતા,$l_1 \alpha_a \Delta T = l_2 \alpha_s \Delta T$ મળે.
અહીં $\Delta T$ સમાન હોવાથી તે કેન્સલ થશે,તેથી $l_1 \alpha_a = l_2 \alpha_s$ મળે.
આથી $\frac{l_1}{l_2} = \frac{\alpha_s}{\alpha_a}$ થાય.
$\frac{l_1}{l_1 + l_2}$ શોધવા માટે,ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{l_1}{l_1 + l_2} = \frac{\alpha_s}{\alpha_s + \alpha_a}$ મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l = l_0 \alpha \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$l_0 = 10 \ cm$,$\alpha = 11 \times 10^{-6} \ ^{\circ}C^{-1}$,અને $\Delta T = 20^{\circ}C - 19^{\circ}C = 1^{\circ}C$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta l = 10 \ cm \times (11 \times 10^{-6} \ ^{\circ}C^{-1}) \times 1^{\circ}C$.
$\Delta l = 110 \times 10^{-6} \ cm = 11 \times 10^{-5} \ cm$.
તાપમાનમાં ઘટાડો થતો હોવાથી,સળિયાની લંબાઈ $11 \times 10^{-5} \ cm$ જેટલી ઘટશે.

(C) દ્વિ-ધાતુની પટ્ટી બે અલગ-અલગ ધાતુઓની બનેલી હોય છે જેમના રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ અલગ-અલગ હોય છે.
જ્યારે પટ્ટીને ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે બંને ધાતુઓનું પ્રસરણ થાય છે, પરંતુ જે ધાતુનો રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ વધારે હોય છે તે બીજી ધાતુ કરતા વધુ વિસ્તરણ પામે છે.
કારણ કે બંને ધાતુઓ એકબીજા સાથે જોડાયેલી હોય છે, જે ધાતુ વધુ વિસ્તરણ પામે છે તેણે તેની વધુ લંબાઈને સમાવવા માટે વળાંકની બહારની બાજુએ રહેવું પડે છે.
તેથી, પટ્ટી એવી રીતે વળે છે કે જેથી વધુ રેખીય પ્રસરણાંક ધરાવતી ધાતુ ચાપની બહારની તરફ રહે છે.

(C) કદ પ્રસરણાંક $(\gamma)$,ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક $(\beta)$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\gamma = 3\alpha$ અને $\gamma = 1.5\beta$.
$1$. લંબાઈ (વ્યાસ) માં થતો પ્રતિશત વધારો $\alpha \Delta T$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
$2$. સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો પ્રતિશત વધારો $\beta \Delta T = 2\alpha \Delta T$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
$3$. કદમાં થતો પ્રતિશત વધારો $\gamma \Delta T = 3\alpha \Delta T$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,$3\alpha > 2\alpha > \alpha$ હોવાથી,કદમાં થતો પ્રતિશત વધારો સૌથી વધુ હશે. ગરમ કરવાથી ઘનતા ઘટે છે,તેથી તેમાં પ્રતિશત વધારો જોવા મળતો નથી.

(A) ધારો કે રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ છે.
તેથી,પૃષ્ઠ પ્રસરણાંક $\beta = 2\alpha$ થાય.
અને કદ પ્રસરણાંક $\gamma = 3\alpha$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\alpha : \beta : \gamma = \alpha : 2\alpha : 3\alpha = 1 : 2 : 3$ મળે.

(D) બ્રાસનો રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha_b)$ સ્ટીલના રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha_s)$ કરતા વધારે હોય છે।
જ્યારે તંત્રને ઠંડુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે બંને પદાર્થોનું સંકોચન થાય છે।
$\alpha_b > \alpha_s$ હોવાથી, બ્રાસની તક્તીનું સંકોચન સ્ટીલની પ્લેટના છિદ્ર કરતા વધારે થાય છે।
પરિણામે, તક્તી છિદ્રમાં ઢીલી થઈ જાય છે।

(A) જ્યારે પોલાણ ધરાવતા નક્કર પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થ એવી રીતે વિસ્તરણ પામે છે કે જાણે પોલાણ પણ તે જ પદાર્થનું બનેલું હોય.
ઉષ્મીય વિસ્તરણના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ કરવાથી ઘન પદાર્થમાં રહેલા કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર વધે છે.
પોલાણ આસપાસની ધાતુ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,તેથી જેમ ધાતુ બહારની તરફ વિસ્તરે છે,તેમ પોલાણની સીમા પણ બહારની તરફ ખસે છે.
આથી,ગોળાકાર પોલાણની ત્રિજ્યા વધે છે,જેના પરિણામે પોલાણના કદમાં વધારો થાય છે $(V = \frac{4}{3} \pi r^3)$.

(A) કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ એ સૂત્ર $\Delta V = \gamma \cdot V \cdot \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે.
ઘન પદાર્થ માટે,$\gamma = 3\alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 20 \; cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 10 \; cm$.
પ્રારંભિક કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (10)^3 = \frac{4000}{3} \pi \; cm^3$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 23 \times 10^{-6} \; /^{\circ} C$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta V = 3 \times (23 \times 10^{-6}) \times (\frac{4}{3} \pi \times 10^3) \times 100$
$\Delta V = 3 \times 23 \times 10^{-6} \times \frac{4}{3} \times 3.14159 \times 1000 \times 100$
$\Delta V = 23 \times 4 \times 3.14159 \times 10^{-1} = 92 \times 3.14159 \times 0.1 \approx 28.9 \; cm^3$.

(C) સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \ell = \ell \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો વધારો સમાન છે: $\Delta \ell_1 = \Delta \ell_2$.
તેથી,$\ell_1 \alpha_a t = \ell_2 \alpha_s t$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\ell_1 \alpha_a = \ell_2 \alpha_s$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{\alpha_s}{\alpha_a}$.
હવે,$\frac{\ell_1}{\ell_1 + \ell_2}$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ:
$\frac{\ell_1}{\ell_1 + \ell_2} = \frac{\alpha_s}{\alpha_a + \alpha_s}$.

(D) નળાકારનું કદ $V = A \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.
જો આપણે ધારીએ કે પદાર્થનું વિસ્તરણ સમદિગ્ધર્મી (isotropic) છે,તો ત્રિજ્યા $r$ માં થતો સાપેક્ષ ફેરફાર લંબાઈ $L$ માં થતા સાપેક્ષ ફેરફાર જેટલો જ હોય છે,એટલે કે $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta L}{L} = 2\%$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળમાં થતો સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ થાય.
તેથી,ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $= 2 \times 2\% = 4\%$ થાય.

(A) કદ પ્રસરણનું સૂત્ર $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta \theta$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે અને $\Delta \theta$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
અહીં $\frac{\Delta V}{V} = 0.24\% = \frac{0.24}{100} = 2.4 \times 10^{-3}$ અને $\Delta \theta = 40^{\circ}C$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2.4 \times 10^{-3} = \gamma \times 40$.
$\gamma$ માટે ઉકેલતા: $\gamma = \frac{2.4 \times 10^{-3}}{40} = 0.06 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$.
રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ અને કદ પ્રસરણાંક $(\gamma)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\alpha = \frac{\gamma}{3}$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$.