Maximum and minimum values of trigonometrical functions, Conditional trigonometrical identities Questions in Hindi

(C) $3 \cos \theta - 4 \sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$ है। अतः,$a = 5$ है।
दिया गया है $\alpha = 5 \sin^2 \theta \cos^3 \theta$ और $\beta = 5 \sin^3 \theta \cos^2 \theta$।
तब $\alpha^2 + \beta^2 = 25 \sin^4 \theta \cos^6 \theta + 25 \sin^6 \theta \cos^4 \theta = 25 \sin^4 \theta \cos^4 \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 25 \sin^4 \theta \cos^4 \theta$।
इसलिए,$(\alpha^2 + \beta^2)^5 = (25 \sin^4 \theta \cos^4 \theta)^5 = 5^{10} \sin^{20} \theta \cos^{20} \theta$।
साथ ही,$\alpha \beta = 25 \sin^5 \theta \cos^5 \theta$।
तब $(\alpha \beta)^4 = (25 \sin^5 \theta \cos^5 \theta)^4 = 5^8 \sin^{20} \theta \cos^{20} \theta$।
अंत में,$\sqrt{\frac{(\alpha^2 + \beta^2)^5}{(\alpha \beta)^4}} = \sqrt{\frac{5^{10} \sin^{20} \theta \cos^{20} \theta}{5^8 \sin^{20} \theta \cos^{20} \theta}} = \sqrt{5^2} = 5$।

(B) हमारे पास है,
$A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta$
$= (1 - \cos^2 \theta) + \cos^4 \theta$
$= \cos^4 \theta - \cos^2 \theta + 1$
माना $x = \cos^2 \theta$,जहाँ $x \in [0, 1]$।
तब $A = x^2 - x + 1$।
यह $x$ में एक द्विघात समीकरण है जिसका शीर्ष $x = 1/2$ पर है।
चूँकि $1/2 \in [0, 1]$,न्यूनतम मान $x = 1/2$ पर प्राप्त होता है:
$A_{min} = (1/2)^2 - (1/2) + 1 = 3/4$।
अधिकतम मान सीमाओं $x=0$ या $x=1$ पर प्राप्त होता है:
$x = 0$ के लिए,$A = 1$।
$x = 1$ के लिए,$A = 1$।
अतः,$A$ का परिसर $[3/4, 1]$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$\cos A + \cos B + \cos C = 0$ $(i)$
$\sin A + \sin B + \sin C = 0$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\cos A + \cos B + \cos C)^2 + (\sin A + \sin B + \sin C)^2 = 0$
$(\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2\cos A \cos B + 2\cos B \cos C + 2\cos C \cos A) + (\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C + 2\sin A \sin B + 2\sin B \sin C + 2\sin C \sin A) = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(\cos^2 A + \sin^2 A) + (\cos^2 B + \sin^2 B) + (\cos^2 C + \sin^2 C) + 2(\cos A \cos B + \sin A \sin B) + 2(\cos B \cos C + \sin B \sin C) + 2(\cos C \cos A + \sin C \sin A) = 0$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ का उपयोग करने पर:
$1 + 1 + 1 + 2[\cos(A-B) + \cos(B-C) + \cos(C-A)] = 0$
$3 + 2[\cos(A-B) + \cos(B-C) + \cos(C-A)] = 0$
$\cos(A-B) + \cos(B-C) + \cos(C-A) = -\frac{3}{2}$

(C) दिया गया है कि $A+B+C=270^{\circ}$ है।
हमें $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C + 4 \sin A \sin B \sin C$ का मान ज्ञात करना है।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos 2B + \cos 2C = 2 \cos(B+C) \cos(B-C)$ का उपयोग करने पर:
$= \cos 2A + 2 \cos(B+C) \cos(B-C) + 4 \sin A \sin B \sin C$.
चूंकि $B+C = 270^{\circ} - A$,इसलिए $\cos(B+C) = \cos(270^{\circ} - A) = -\sin A$.
यह मान रखने पर:
$= \cos 2A + 2(-\sin A) \cos(B-C) + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= (1 - 2 \sin^2 A) - 2 \sin A \cos(B-C) + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= 1 - 2 \sin A [\sin A + \cos(B-C)] + 4 \sin A \sin B \sin C$.
चूंकि $\sin A = \sin(270^{\circ} - (B+C)) = -\cos(B+C)$:
$= 1 - 2 \sin A [-\cos(B+C) + \cos(B-C)] + 4 \sin A \sin B \sin C$.
सर्वसमिका $-\cos(B+C) + \cos(B-C) = 2 \sin B \sin C$ का उपयोग करने पर:
$= 1 - 2 \sin A (2 \sin B \sin C) + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= 1 - 4 \sin A \sin B \sin C + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= 1$.

(B) दिया गया है $\alpha+\beta+\gamma=2 \theta$,अतः $\theta = \frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}$ है।
माना $S = \cos \theta + \cos (\theta-\alpha) + \cos (\theta-\beta) + \cos (\theta-\gamma)$ है।
सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$S = [\cos \theta + \cos (\theta-\alpha)] + [\cos (\theta-\beta) + \cos (\theta-\gamma)]$
$S = 2 \cos \frac{2\theta-\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + 2 \cos \frac{2\theta-\beta-\gamma}{2} \cos \frac{\beta-\gamma}{2}$
चूंकि $2\theta = \alpha+\beta+\gamma$,इसलिए $2\theta-\beta-\gamma = \alpha$ है।
$S = 2 \cos \frac{\beta+\gamma}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\gamma}{2}$
$S = 2 \cos \frac{\alpha}{2} [\cos \frac{\beta+\gamma}{2} + \cos \frac{\beta-\gamma}{2}]$
$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S = 2 \cos \frac{\alpha}{2} [2 \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}]$
$S = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$.

(A) दिया है $A+B+C=\frac{3 \pi}{2} \ldots(1)$
व्यंजक $E = 4 \sin A \sin B \sin C+\cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C$ पर विचार करें।
सर्वसमिका $\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ और $\cos 2C = 1 - 2 \sin^2 C$ का उपयोग करते हुए:
$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 2 \cos(A+B) \cos(A-B) + 1 - 2 \sin^2 C$.
$(1)$ से,$A+B = \frac{3 \pi}{2} - C$,इसलिए $\cos(A+B) = \cos(\frac{3 \pi}{2} - C) = -\sin C$.
यह मान रखने पर:
$= 2(-\sin C) \cos(A-B) + 1 - 2 \sin^2 C$
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) + \sin C]$
चूंकि $\sin C = \sin(\frac{3 \pi}{2} - (A+B)) = -\cos(A+B)$:
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$= 1 - 2 \sin C [2 \sin A \sin B] = 1 - 4 \sin A \sin B \sin C$.
अतः,$4 \sin A \sin B \sin C + \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 1$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$-\sin(A+B+C) = -\sin(\frac{3 \pi}{2}) = -(-1) = 1$.
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है $A+B+C=\frac{\pi}{2}$. हमें $S = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-A\right)+\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-B\right)+\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-C\right)+1$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $1 = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)$.
अतः,$S = \sqrt{2} [\cos(\frac{\pi}{4}-A) + \cos(\frac{\pi}{4}-B) + \cos(\frac{\pi}{4}-C) + \cos(\frac{\pi}{4})]$.
$\cos X + \cos Y = 2 \cos \frac{X+Y}{2} \cos \frac{X-Y}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S = 4\sqrt{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $A+B+C=4S$।
अब,व्यंजक $\cos (2S-A)+\cos (2S-B)-\cos (2S-C)-\cos 2S$ पर विचार करें।
$= [\cos (2S-A)+\cos (2S-B)] - [\cos (2S-C)+\cos 2S]$।
सूत्र $\cos \theta + \cos \phi = 2 \cos \left(\frac{\theta+\phi}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \cos \left(\frac{4S-A-B}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - 2 \cos \left(\frac{4S-C}{2}\right) \cos \left(\frac{-C}{2}\right)$।
चूंकि $A+B+C=4S$,इसलिए $4S-A-B=C$ और $4S-C=A+B$ है।
$= 2 \cos \left(\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{C}{2}\right)$।
$= 2 \cos \left(\frac{C}{2}\right) \left[ \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \right]$।
$\cos \theta - \cos \phi = 2 \sin \left(\frac{\theta+\phi}{2}\right) \sin \left(\frac{\phi-\theta}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \cos \left(\frac{C}{2}\right) \left[ 2 \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{A}{2}\right) \right]$।
$= 4 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \cos \left(\frac{C}{2}\right)$।

(B) दिया है: $A+B+C=2S$,जिसका अर्थ है $S-C = \frac{A+B}{2}$ और $C = 2S-(A+B)$.
व्यंजक पर विचार करें: $\sin(S-A)+\sin(S-B)-\sin C$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$= 2 \sin \left(\frac{2S-A-B}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - \sin C$
$= 2 \sin \left(\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$= 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - \cos \frac{C}{2} \right]$
$\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$= 4 \sin \frac{S-A}{2} \sin \frac{S-B}{2} \sin \frac{C}{2}$.

(D) दिया है,$A+B+C=\frac{\pi}{3}$।
हमें $S = \sin \left(\frac{\pi-6A}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi-6B}{6}\right)+\sin C$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\sin X + \sin Y = 2 \sin \left(\frac{X+Y}{2}\right) \cos \left(\frac{X-Y}{2}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$S = 2 \sin \left(\frac{\frac{\pi-6A}{6} + \frac{\pi-6B}{6}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{\pi-6A}{6} - \frac{\pi-6B}{6}}{2}\right) + \sin C$
$S = 2 \sin \left(\frac{2\pi - 6(A+B)}{12}\right) \cos \left(\frac{6(B-A)}{12}\right) + \sin C$
चूंकि $A+B = \frac{\pi}{3} - C$,इसलिए $6(A+B) = 2\pi - 6C$।
$S = 2 \sin \left(\frac{2\pi - (2\pi - 6C)}{12}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + \sin C$
$S = 2 \sin \left(\frac{6C}{12}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$S = 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + \cos \frac{C}{2} \right]$
चूंकि $C = \frac{\pi}{3} - (A+B)$,इसलिए $\frac{C}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{A+B}{2}$।
$S = 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{6} - \frac{A+B}{2}\right) \right]$
$\cos X + \cos Y = 2 \cos \left(\frac{X+Y}{2}\right) \cos \left(\frac{X-Y}{2}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$S = 4 \sin \frac{C}{2} \cos \left(\frac{\pi - 6A}{12}\right) \cos \left(\frac{\pi - 6B}{12}\right)$।

(C) माना $f(\theta) = 3-\cos \theta+\cos \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$.
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = 3-\cos \theta + \left(\cos \theta \cdot \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \cdot \sin \frac{\pi}{3}\right)$
$f(\theta) = 3-\cos \theta + \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$
$f(\theta) = 3 - \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$
$f(\theta) = 3 - \left(\frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right)$
$f(\theta) = 3 - \left(\sin \frac{\pi}{6} \cos \theta + \cos \frac{\pi}{6} \sin \theta\right)$
$f(\theta) = 3 - \sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$
चूँकि $-1 \leq \sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) \leq 1$,इसलिए $f(\theta)$ का परिसर $[3-1, 3-(-1)]$ अर्थात $[2, 4]$ है।

(B) दिया गया है,$f(x) = 1 + 2 \sin x + 3 \cos^2 x$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = 1 + 2 \sin x + 3(1 - \sin^2 x) = 4 + 2 \sin x - 3 \sin^2 x$.
मान लीजिए $t = \sin x$. चूँकि $0 \leq x \leq \frac{2\pi}{3}$,$t$ का परिसर $[0, 1]$ है।
$f(t) = -3t^2 + 2t + 4$.
यह एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $t = \frac{1}{3}$ पर है।
चूँकि $\frac{1}{3} \in [0, 1]$,अधिकतम मान $f(\frac{1}{3}) = \frac{13}{3}$ है।
अंतराल $[0, 1]$ में न्यूनतम मान अंतिम बिंदुओं $t = 0$ या $t = 1$ पर प्राप्त होता है।
$f(0) = 4$ और $f(1) = 3$.
अतः,न्यूनतम मान $3$ है।
अधिकतम और न्यूनतम का अनुपात $\frac{13/3}{3} = \frac{13}{9}$ अर्थात $13 : 9$ है।

(D) माना $E = \left(2 \cos^2 18^{\circ} - \sin 18^{\circ}\right) \left(\cos \theta + 3 \sqrt{2} \cos \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) + 3\right)$ है।
सबसे पहले,अचर पद को सरल करने पर: $2 \cos^2 18^{\circ} - \sin 18^{\circ} = (1 + \cos 36^{\circ}) - \sin 18^{\circ}$।
$\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ और $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ का उपयोग करने पर,हमें $1 + \frac{\sqrt{5} + 1}{4} - \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = 1 + \frac{2}{4} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,दूसरे पद को सरल करने पर: $\cos \theta + 3 \sqrt{2} \left(\cos \theta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{4}\right) + 3$।
$= \cos \theta + 3 \sqrt{2} \left(\cos \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \sin \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 3$।
$= \cos \theta + 3 \cos \theta - 3 \sin \theta + 3 = 4 \cos \theta - 3 \sin \theta + 3$।
अतः,$E = \frac{3}{2} (4 \cos \theta - 3 \sin \theta + 3)$।
$a \cos \theta + b \sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$4 \cos \theta - 3 \sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ है।
इसलिए,$E$ का अधिकतम मान $\frac{3}{2} (5 + 3) = \frac{3}{2} \times 8 = 12$ है।

(B) दिया गया है $A+B+C = 2S$.
अतः $2S-A = B+C$,$2S-B = A+C$,और $2S-C = A+B$.
व्यंजक $\sin(2S-A) + \sin(2S-B) + \sin(2S-C) - \sin(2S)$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार,जब $A+B+C = 2S$ हो,तो इसका मान $4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ होता है।

(B) माना $f(\theta) = 5 \sin \theta + 3 \cos \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + 3$.
कोसाइन पद का विस्तार करने पर: $f(\theta) = 5 \sin \theta + 3 \left(\cos \theta \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{3}\right) + 3$.
$f(\theta) = 5 \sin \theta + 3 \left(\frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right) + 3$.
$f(\theta) = \left(5 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \sin \theta + \frac{3}{2} \cos \theta + 3$.
यह $A \sin \theta + B \cos \theta + C$ के रूप में है,जहाँ $A = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$,$B = \frac{3}{2}$,और $C = 3$.
$A \sin \theta + B \cos \theta$ का परिसर $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ है।
$A^2 + B^2 = \left(5 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 25 - 15\sqrt{3} + \frac{27}{4} + \frac{9}{4} = 34 - 15\sqrt{3}$.
अतः $f(\theta)$ का परिसर $[3 - \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}, 3 + \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}]$ है।
इस प्रकार,$\alpha = 3 - \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}$ और $\beta = 3 + \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}$.
अतः $\alpha + \beta = 6$ और $\alpha - \beta = -2\sqrt{34 - 15\sqrt{3}}$.
व्यंजक में मान रखने पर: $(\alpha - \beta)(\alpha + \beta - 6) = (-2\sqrt{34 - 15\sqrt{3}})(6 - 6) = 0$.

(B) फलन $f(x) = A \cos x + B \sin x + C$ के रूप में है,जहाँ $A = 2 \sqrt{6} + 1$,$B = 2 \sqrt{2} - \sqrt{3}$,और $C = -6$ है।
$A \cos x + B \sin x$ के चरम मान $\pm \sqrt{A^2 + B^2}$ होते हैं।
पहले,$A^2 + B^2$ की गणना करें:
$A^2 = (2 \sqrt{6} + 1)^2 = 25 + 4 \sqrt{6}$.
$B^2 = (2 \sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = 11 - 4 \sqrt{6}$.
$A^2 + B^2 = 36$.
अतः,$A \cos x + B \sin x$ का परिसर $[-6, 6]$ है।
$f(x)$ का परिसर $[-12, 0]$ है।
इसलिए,$m = -12$ और $M = 0$.
हमें $\sqrt{|M^2 - m^2|} = \sqrt{|0^2 - (-12)^2|} = \sqrt{144} = 12$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = \cos(\sinh(\log x) + \cosh(\log x))$.
$\sinh(u) = \frac{e^u - e^{-u}}{2}$ और $\cosh(u) = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$ की परिभाषाओं का उपयोग करते हुए:
$\sinh(\log x) + \cosh(\log x) = \frac{e^{\log x} - e^{-\log x}}{2} + \frac{e^{\log x} + e^{-\log x}}{2} = \frac{2e^{\log x}}{2} = x$.
अतः,$f(x) = \cos(x)$.
$\cos(x)$ का न्यूनतम मान $-1$ है।
इसलिए,$k = -1$.
अब,$\cosh(k+1) = \cosh(-1+1) = \cosh(0)$.
चूंकि $\cosh(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1$.

(A) दिया है $A+B+C=60^{\circ}$,अतः $\sin(A+B+C) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(30^{\circ})$.
माना $S = \cos(30^{\circ}-A)+\cos(30^{\circ}-B)+\cos(30^{\circ}-C)+\cos(30^{\circ})$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos X + \cos Y = 2 \cos \frac{X+Y}{2} \cos \frac{X-Y}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S = 2 \cos \left(30^{\circ}-\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + 2 \cos \left(30^{\circ}-\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{C}{2}\right)$.
चूंकि $A+B = 60^{\circ}-C$,इसलिए $30^{\circ}-\frac{A+B}{2} = 30^{\circ}-\frac{60^{\circ}-C}{2} = \frac{C}{2}$.
$S = 2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{B-A}{2} + 2 \cos \left(30^{\circ}-\frac{C}{2}\right) \cos \frac{C}{2}$.
$S = 2 \cos \frac{C}{2} \left[ \cos \frac{B-A}{2} + \cos \left(30^{\circ}-\frac{C}{2}\right) \right]$.
$30^{\circ}-\frac{C}{2} = 30^{\circ}-\frac{60^{\circ}-A-B}{2} = \frac{A+B}{2}$ का उपयोग करने पर.
$S = 2 \cos \frac{C}{2} \left[ \cos \frac{B-A}{2} + \cos \frac{A+B}{2} \right] = 2 \cos \frac{C}{2} \left[ 2 \cos \frac{B}{2} \cos \frac{A}{2} \right]$.
$S = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.

(C) दिया गया है,$A+B+C=\pi$.
हमें $\sin A - \sin B + \sin C$ का मान ज्ञात करना है।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin C = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$ और $\sin B = 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}$ का उपयोग करने पर:
चूंकि $A+C = \pi - B$,इसलिए $\frac{A+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$,अतः $\sin \left(\frac{A+C}{2}\right) = \cos \frac{B}{2}$.
अतः,$\sin A + \sin C = 2 \cos \frac{B}{2} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
अब,$\sin A - \sin B + \sin C = 2 \cos \frac{B}{2} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) - 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}$.
$= 2 \cos \frac{B}{2} \left[ \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) - \sin \frac{B}{2} \right]$.
चूंकि $\frac{B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+C}{2}$,इसलिए $\sin \frac{B}{2} = \cos \left(\frac{A+C}{2}\right)$.
$= 2 \cos \frac{B}{2} \left[ \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) - \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \right]$.
$\cos X - \cos Y = 2 \sin \left(\frac{X+Y}{2}\right) \sin \left(\frac{Y-X}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \cos \frac{B}{2} \left[ 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2} \right] = 4 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.

(A) For Assertion $(A)$: Given $\alpha=12^{\circ}, \beta=15^{\circ}, \gamma=18^{\circ}$.
We check if $\tan 2 \alpha \tan 2 \beta+\tan 2 \beta \tan 2 \gamma+\tan 2 \gamma \tan 2 \alpha=1$.
This is equivalent to $\tan 2 \alpha (\tan 2 \beta + \tan 2 \gamma) = 1 - \tan 2 \beta \tan 2 \gamma$.
$\tan 2 \alpha = \frac{1 - \tan 2 \beta \tan 2 \gamma}{\tan 2 \beta + \tan 2 \gamma} = \frac{1}{\tan(2 \beta + 2 \gamma)} = \cot(2 \beta + 2 \gamma)$.
Since $2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = 2(12^{\circ} + 15^{\circ} + 18^{\circ}) = 2(45^{\circ}) = 90^{\circ}$,we have $2 \alpha = 90^{\circ} - (2 \beta + 2 \gamma)$.
Thus,$\tan 2 \alpha = \tan(90^{\circ} - (2 \beta + 2 \gamma)) = \cot(2 \beta + 2 \gamma)$.
So,Assertion $(A)$ is true.
For Reason $(R)$: In $\triangle ABC$,$A+B+C = 180^{\circ}$,so $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90^{\circ}$.
Then $\frac{A}{2} + \frac{C}{2} = 90^{\circ} - \frac{B}{2}$.
Taking tangent on both sides: $\tan(\frac{A}{2} + \frac{C}{2}) = \tan(90^{\circ} - \frac{B}{2}) = \cot \frac{B}{2}$.
$\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{B}{2}}$.
$\tan \frac{B}{2} (\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$.
$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$.
Reason $(R)$ is true and it provides the general identity that explains the specific case in $(A)$.

(B) दिया गया है $A+B+C=\frac{\pi}{4}$,अतः $\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\frac{\pi}{8}$ है।
व्यंजक $E = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}-\cos \frac{\pi}{8}$ पर विचार करें।
$2 \cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y)$ का उपयोग करते हुए:
$E = 2 \left[ \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) + \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) \right] \cos \frac{C}{2} - \cos \frac{\pi}{8}$.
चूंकि $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{8} - \frac{C}{2}$,इसलिए:
$E = 2 \cos \left( \frac{\pi}{8} - \frac{C}{2} \right) \cos \frac{C}{2} + 2 \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) \cos \frac{C}{2} - \cos \frac{\pi}{8}$.
पुनः $2 \cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y)$ का उपयोग करते हुए:
$E = \left[ \cos \frac{\pi}{8} + \cos \left( \frac{\pi}{8} - C \right) \right] + \left[ \cos \left( \frac{A-B+C}{2} \right) + \cos \left( \frac{A-B-C}{2} \right) \right] - \cos \frac{\pi}{8}$.
यहाँ $\frac{A-B+C}{2} = \frac{\pi}{8} - B$ और $\frac{A-B-C}{2} = A - \frac{\pi}{8}$ है,और $\cos(A-\frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8}-A)$ होता है।
अतः $E = \cos \left( \frac{\pi}{8} - C \right) + \cos \left( \frac{\pi}{8} - B \right) + \cos \left( \frac{\pi}{8} - A \right)$।

(B) दिया गया है $5 \cos x + 12 \cos y = 13$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5 \cos x + 12 \cos y)^2 = 169$.
माना $S = 5 \sin x + 12 \sin y$.
$A = (5 \cos x + 12 \cos y)^2 + (5 \sin x + 12 \sin y)^2$ पर विचार करें।
$A = 25(\cos^2 x + \sin^2 x) + 144(\cos^2 y + \sin^2 y) + 120(\cos x \cos y + \sin x \sin y)$.
$A = 25 + 144 + 120 \cos(x - y) = 169 + 120 \cos(x - y)$.
अतः $169 + S^2 = 169 + 120 \cos(x - y)$,जिससे $S^2 = 120 \cos(x - y)$ प्राप्त होता है।
$\cos(x - y)$ का अधिकतम मान $1$ होता है।
इसलिए $S^2$ का अधिकतम मान $120$ है।
अतः $S$ का अधिकतम मान $\sqrt{120}$ है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी $\theta \in \mathbb{R}$ के लिए,$\cos \theta$ का मान $[-1, 1]$ के बीच होता है।
अतः,$-1 \leq \cos (4x - 5) \leq 1$.
असमिका को $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-3 \leq 3 \cos (4x - 5) \leq 3$.
असमिका के सभी भागों में $4$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-3 + 4 \leq 3 \cos (4x - 5) + 4 \leq 3 + 4$.
$1 \leq 3 \cos (4x - 5) + 4 \leq 7$.
अतः,यह व्यंजक $[1, 7]$ अंतराल में स्थित है।

(C) दिया गया समीकरण $7 \cos x + 5 \sin x = 2k + 1$ है।
हम जानते हैं कि व्यंजक $a \cos x + b \sin x$ का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
यहाँ,$a = 7$ और $b = 5$ है,इसलिए परिसर $[-\sqrt{7^2 + 5^2}, \sqrt{7^2 + 5^2}] = [-\sqrt{74}, \sqrt{74}]$ है।
चूँकि $\sqrt{64} < \sqrt{74} < \sqrt{81}$,इसलिए $8 < \sqrt{74} < 9$,जो लगभग $8.6$ है।
समीकरण का हल होने के लिए,$-\sqrt{74} \leq 2k + 1 \leq \sqrt{74}$ होना चाहिए।
अनुमानित मान रखने पर: $-8.6 \leq 2k + 1 \leq 8.6$.
सभी भागों से $1$ घटाने पर: $-9.6 \leq 2k \leq 7.6$.
$2$ से भाग देने पर: $-4.8 \leq k \leq 3.8$.
चूँकि $k$ एक पूर्णांक है,इसलिए $k$ के संभावित मान $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं।
अतः $k$ के कुल $8$ पूर्णांक मान संभव हैं।

(C) दिया है $A+B+C=2S$,अतः $S-C = A+B-S$ और $2S-C = A+B$.
व्यंजक $E = \sin(S-A) \cos(S-B) - \sin(S-C) \cos S$ है।
$2$ से गुणा और भाग करने पर: $E = \frac{1}{2} [2 \sin(S-A) \cos(S-B) - 2 \sin(S-C) \cos S]$.
$2 \sin X \cos Y = \sin(X+Y) + \sin(X-Y)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{2} [(\sin(2S-A-B) + \sin(B-A)) - (\sin(2S-C) + \sin(-C))]$.
चूंकि $2S-A-B = C$ और $2S-C = A+B$,इसलिए:
$E = \frac{1}{2} [\sin C + \sin(B-A) - \sin(A+B) + \sin C]$.
इसका सरलीकरण $\sin B \cos A$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $A+B=C$ है।
हमें व्यंजक $E = \cos ^2 A+\cos ^2 B+\cos ^2 C-2 \cos A \cos B \cos C$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1+\cos 2A}{2} + \frac{1+\cos 2B}{2} + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$E = 1 + \cos(A+B) \cos(A-B) + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
चूंकि $A+B=C$ है,इसलिए $\cos(A+B) = \cos C$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 1 + \cos C \cos(A-B) + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \cos C [\cos(A-B) + \cos C] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$\cos C = \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 1 + \cos C [\cos A \cos B + \sin A \sin B + \cos A \cos B - \sin A \sin B] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \cos C [2 \cos A \cos B] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + 2 \cos A \cos B \cos C - 2 \cos A \cos B \cos C = 1$.

(D) दिया गया है कि $A+C=2B$ ...$(i)$
हमें व्यंजक $\frac{\cos C-\cos A}{\sin A-\sin C}$ का मान ज्ञात करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए:
$\cos C - \cos A = 2 \sin\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)$
$\sin A - \sin C = 2 \cos\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\cos C-\cos A}{\sin A-\sin C} = \frac{2 \sin\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)}$
समान पदों $2$ और $\sin\left(\frac{A-C}{2}\right)$ को काटने पर:
$= \frac{\sin\left(\frac{A+C}{2}\right)}{\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)}$
$= \tan\left(\frac{A+C}{2}\right)$
चूंकि $A+C=2B$,इसलिए $\frac{A+C}{2} = B$.
अतः,व्यंजक का मान $\tan B$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 3 \sin^{12} x + 4 \cos^{16} x$ है।
चूंकि $0 \le \sin^2 x \le 1$ और $0 \le \cos^2 x \le 1$,इसलिए घात $\sin^{12} x$ और $\cos^{16} x$ भी अंतराल $[0, 1]$ में स्थित हैं।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम त्रिकोणमितीय फलनों की सीमा शर्तों की जांच करते हैं:
स्थिति $1$: यदि $\sin^2 x = 1$ (अर्थात $\cos^2 x = 0$),तो $f(x) = 3(1)^6 + 4(0)^8 = 3$।
स्थिति $2$: यदि $\cos^2 x = 1$ (अर्थात $\sin^2 x = 0$),तो $f(x) = 3(0)^6 + 4(1)^8 = 4$।
मानों की तुलना करने पर,$f(x)$ का अधिकतम मान $4$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $\cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$ होता है।
माना $u = \cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$ है।
$u$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\cosh y$ फलन का विश्लेषण करते हैं।
$\cosh y$ एक मानक हाइपरबोलिक फलन है जिसे $\cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $y$ के लिए,$e^y > 0$ और $e^{-y} > 0$ होता है।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य ($AM$-$GM$) असमानता के अनुसार,$\frac{e^y + e^{-y}}{2} \ge \sqrt{e^y \cdot e^{-y}} = \sqrt{e^0} = 1$ होता है।
समानता तब प्राप्त होती है जब $e^y = e^{-y}$ हो,जिसका अर्थ है $e^{2y} = 1$,इसलिए $y = 0$ है।
चूंकि $y = \log_2 \sin x$ है,हम जांचते हैं कि क्या $y=0$ संभव है। $y=0 \implies \log_2 \sin x = 0 \implies \sin x = 2^0 = 1$ है।
चूंकि $x = \frac{\pi}{2}$ के लिए $\sin x = 1$ संभव है,इसलिए $y=0$ मान प्राप्त किया जा सकता है।
अतः,$\cosh y$ का न्यूनतम मान $1$ है।

(A) हम जानते हैं कि $AM-GM$ असमिका के अनुसार,धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ होता है।
$2^{\sin x}$ और $2^{\cos x}$ पर इसे लागू करने पर:
$\frac{2^{\sin x}+2^{\cos x}}{2} \geq \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x}+2^{\cos x} \geq 2 \cdot 2^{\frac{\sin x+\cos x}{2}} = 2^{1+\frac{\sin x+\cos x}{2}}$।
हम जानते हैं कि $\sin x+\cos x$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
व्यंजक $2^{1+\frac{\sin x+\cos x}{2}}$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें घातांक $1+\frac{\sin x+\cos x}{2}$ को न्यूनतम करना होगा।
$\sin x+\cos x$ का न्यूनतम मान $-\sqrt{2}$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,न्यूनतम मान $2^{1+\frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $P = \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \ldots \cos \alpha_n$.
अतः $\frac{1}{P^2} = \sec^2 \alpha_1 \sec^2 \alpha_2 \ldots \sec^2 \alpha_n = (1 + \tan^2 \alpha_1)(1 + \tan^2 \alpha_2) \ldots (1 + \tan^2 \alpha_n)$.
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$1 + \tan^2 \alpha_i \geq 2 \tan \alpha_i$.
इसलिए,$\frac{1}{P^2} \geq 2^n (\tan \alpha_1 \tan \alpha_2 \ldots \tan \alpha_n) = 2^n$.
अतः $P^2 \leq \frac{1}{2^n}$,जिसका अर्थ है $P \leq \frac{1}{2^{n/2}}$.
अधिकतम मान $\frac{1}{2^{n/2}}$ है।

(A) माना $f(\theta) = \sin^{6} \theta + \cos^{6} \theta$.
सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)(\sin^{4} \theta - \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta + \cos^{4} \theta)$.
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,यह सरल होकर मिलता है:
$f(\theta) = (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)^{2} - 3 \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$.
$f(\theta) = 1 - 3(\sin \theta \cos \theta)^{2}$.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर,$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$ प्राप्त होता है।
$f(\theta) = 1 - 3 \left(\frac{1}{2} \sin 2\theta\right)^{2} = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2\theta$.
चूंकि $0 \leq \sin^{2} 2\theta \leq 1$,$f(\theta)$ का परिसर है:
$\sin^{2} 2\theta = 0$ के लिए,$f(\theta) = 1 - 0 = 1$ (अधिकतम)।
$\sin^{2} 2\theta = 1$ के लिए,$f(\theta) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ (न्यूनतम)।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः $1$ और $\frac{1}{4}$ हैं।

(D) मान लीजिए $x = \sin^2 \theta$ है। चूँकि $0 \leq \sin^2 \theta \leq 1$,इसलिए $0 \leq x \leq 1$ है।
$f(\theta) = (1 + x)(2 - x) = 2 - x + 2x - x^2 = -x^2 + x + 2$ है।
सीमा ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें:
$f(\theta) = -(x^2 - x) + 2 = -(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 2 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^2$ है।
चूँकि $0 \leq x \leq 1$,पद $(x - \frac{1}{2})^2$ का मान $0$ (जब $x = \frac{1}{2}$) से $\frac{1}{4}$ (जब $x = 0$ या $x = 1$) तक होता है।
अतः,अधिकतम मान $\frac{9}{4} - 0 = \frac{9}{4}$ और न्यूनतम मान $\frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2$ है।
इसलिए,$2 \leq f(\theta) \leq \frac{9}{4}$।

(C) दिया गया समीकरण $x^2+4+3 \cos (ax+b)=2x$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x^2-2x+1) + 3 + 3 \cos (ax+b) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $(x-1)^2 + 3(1 + \cos (ax+b)) = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $(x-1)^2 \geq 0$ और $1 + \cos (ax+b) \geq 0$ है,इसलिए दोनों पदों को शून्य होना चाहिए।
अतः,$x = 1$ और $\cos (ax+b) = -1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $ax+b = (2n+1)\pi$।
$x=1$ रखने पर,$a+b = (2n+1)\pi$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 \leq a, b \leq 3$,इसलिए $0 \leq a+b \leq 6$ है।
अतः,$a+b = \pi$ सही उत्तर है।

(D) माना $f(x) = \sin x(\sin x + \cos x) = \sin^2 x + \sin x \cos x$.
सर्वसमिकाओं $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ और $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{1-\cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(\sin 2x - \cos 2x)$.
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए,$-\sqrt{a^2+b^2} \leq a \sin \theta + b \cos \theta \leq \sqrt{a^2+b^2}$.
$\sin 2x - \cos 2x$ के लिए,$a=1, b=-1$ लेने पर,$-\sqrt{1^2+(-1)^2} \leq \sin 2x - \cos 2x \leq \sqrt{1^2+(-1)^2}$,जो सरल होकर $-\sqrt{2} \leq \sin 2x - \cos 2x \leq \sqrt{2}$ हो जाता है।
$2$ से भाग देने पर,$-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \frac{\sin 2x - \cos 2x}{2} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$.
सभी पदों में $\frac{1}{2}$ जोड़ने पर:
$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sin 2x - \cos 2x}{2} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
अतः,$\frac{1-\sqrt{2}}{2} \leq f(x) \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
चूंकि $f(x) = k$,इसलिए $k$ का परिसर $\frac{1-\sqrt{2}}{2} \leq k \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}$ है।

(A) दिया गया है $P = \frac{1}{2} \sin^2 \theta + \frac{1}{3} \cos^2 \theta$।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$P = \frac{1}{2} \sin^2 \theta + \frac{1}{3} (1 - \sin^2 \theta)$
$P = \frac{1}{3} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \sin^2 \theta$
$P = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \sin^2 \theta$।
चूंकि $0 \leq \sin^2 \theta \leq 1$,इसलिए:
$0 \leq \frac{1}{6} \sin^2 \theta \leq \frac{1}{6}$
सभी भागों में $\frac{1}{3}$ जोड़ने पर:
$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \sin^2 \theta \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$
$\frac{1}{3} \leq P \leq \frac{1}{2}$।

(C) हम जानते हैं कि कोसाइन फलन का परिसर $-1 \leq \cos \theta \leq 1$ होता है।
पूरे समीकरण को $5$ से गुणा करने पर,हमें $-5 \leq 5 \cos \theta \leq 5$ प्राप्त होता है।
असमिका के सभी भागों में $12$ जोड़ने पर,हमें $-5 + 12 \leq 5 \cos \theta + 12 \leq 5 + 12$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $7 \leq 5 \cos \theta + 12 \leq 17$ हो जाता है।
अतः,$5 \cos \theta + 12$ का न्यूनतम मान $7$ है।

(A) माना $f(\theta) = \cos \theta + \sin \theta + \frac{2}{\sin 2 \theta}$.
माना $x = \sin \theta + \cos \theta$. तब $x^2 = 1 + \sin 2 \theta$,अतः $\sin 2 \theta = x^2 - 1$.
चूँकि $\theta \in (0, \pi / 2)$,$x = \sqrt{2} \sin(\theta + \pi / 4) \in (1, \sqrt{2}]$.
व्यंजक $f(x) = x + \frac{2}{x^2 - 1}$ बन जाता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 1 - \frac{4x}{(x^2 - 1)^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$(x^2 - 1)^2 = 4x$.
$x = \sqrt{2}$ के लिए,$f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{2}{2 - 1} = \sqrt{2} + 2$.
अंतराल $(1, \sqrt{2}]$ में जाँच करने पर,जैसे-जैसे $x$,$\sqrt{2}$ के करीब पहुँचता है,फलन का मान घटता है।
अतः,न्यूनतम मान $2 + \sqrt{2}$ है।

(C) माना $f(\theta) = cos^{2}\theta - 6sin\theta cos\theta + 3sin^{2}\theta + 2$.
सर्वसमिकाओं $cos^{2}\theta = \frac{1+cos 2\theta}{2}$,$sin^{2}\theta = \frac{1-cos 2\theta}{2}$,और $2sin\theta cos\theta = sin 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = \frac{1+cos 2\theta}{2} - 3sin 2\theta + 3(\frac{1-cos 2\theta}{2}) + 2$
$f(\theta) = 4 - 3sin 2\theta - cos 2\theta$
व्यंजक $a sin x + b cos x$ का मान $[-\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \sqrt{a^{2}+b^{2}}]$ अंतराल में होता है।
यहाँ,$a = -3$ और $b = -1$,इसलिए $\sqrt{(-3)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{10}$.
अतः,$f(\theta) \in [4-\sqrt{10}, 4+\sqrt{10}]$.
न्यूनतम मान $4-\sqrt{10}$ है.

(B) दिया गया है $f(\theta)=4(\sin^{4}(\frac{7\pi}{2}-\theta)+\sin^{4}(11\pi+\theta)) - 2(\sin^{6}(\frac{3\pi}{2}-\theta)+\sin^{6}(9\pi-\theta))$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\sin(\frac{7\pi}{2}-\theta) = \cos\theta$ और $\sin(11\pi+\theta) = -\sin\theta$.
$\sin(\frac{3\pi}{2}-\theta) = -\cos\theta$ और $\sin(9\pi-\theta) = \sin\theta$.
इन मानों को रखने पर:
$f(\theta) = 4(\cos^{4}\theta + \sin^{4}\theta) - 2(\cos^{6}\theta + \sin^{6}\theta)$.
$\sin^{4}\theta + \cos^{4}\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta$ और $\sin^{6}\theta + \cos^{6}\theta = 1 - 3\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta$ सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = 4(1 - 2\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta) - 2(1 - 3\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta) = 2 - 2\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta$.
चूंकि $\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta = \frac{\sin^{2}(2\theta)}{4}$,इसलिए:
$f(\theta) = 2 - \frac{\sin^{2}(2\theta)}{2}$.
अधिकतम मान $\alpha$ तब प्राप्त होता है जब $\sin^{2}(2\theta) = 0$,अतः $\alpha = 2$.
न्यूनतम मान $\beta$ तब प्राप्त होता है जब $\sin^{2}(2\theta) = 1$,अतः $\beta = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
अतः,$\alpha + 2\beta = 2 + 2(\frac{3}{2}) = 5$.

(C) माना $u = \cos x$,जहाँ $u \in [-1, 1]$ है।
दिया गया समीकरण $3(1 - u^2) + 12u - 3 = p$ है।
इसे सरल करने पर,$3 - 3u^2 + 12u - 3 = p$,जो $-3u^2 + 12u = p$ देता है।
माना $g(u) = -3u^2 + 12u$ है। $u \in [-1, 1]$ के लिए $g(u)$ का परिसर ज्ञात करने हेतु,हम सीमाओं पर मानों की गणना करते हैं।
अवकलन $g'(u) = -6u + 12$ है। $g'(u) = 0$ रखने पर $u = 2$ प्राप्त होता है,जो अंतराल $[-1, 1]$ के बाहर है।
अतः,फलन $g(u)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर निरंतर वर्धमान है।
$u = -1$ पर,$g(-1) = -3(-1)^2 + 12(-1) = -3 - 12 = -15$ है।
$u = 1$ पर,$g(1) = -3(1)^2 + 12(1) = -3 + 12 = 9$ है।
इसलिए,$p$ का परिसर $[-15, 9]$ है।
$-15$ से $9$ तक के सभी पूर्णांकों का योग समांतर श्रेणी के सूत्र द्वारा: $\frac{n}{2}(a + l) = \frac{25}{2}(-15 + 9) = \frac{25}{2}(-6) = -75$ है।

(B) माना $t = \frac{x}{2}$ है। चूँकि $0 \le x \le \pi$,इसलिए $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ होगा।
हमें $f(t) = 16 \sin^2 t \cos^3 t$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
अवकलन करने पर,$f'(t) = 16(2 \sin t \cos t \cos^3 t - 3 \sin^2 t \cos^2 t \sin t) = 16 \sin t \cos^2 t (2 \cos^2 t - 3 \sin^2 t)$ प्राप्त होता है।
$f'(t) = 0$ रखने पर,$2 \cos^2 t = 3 \sin^2 t$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan^2 t = \frac{2}{3}$।
अतः $\sin^2 t = \frac{2}{5}$ और $\cos^2 t = \frac{3}{5}$ होगा।
अधिकतम मान $16 \times \frac{2}{5} \times (\frac{3}{5})^{3/2} = \frac{96\sqrt{3}}{25\sqrt{5}}$ होगा।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$3\sqrt{3}$ सबसे उपयुक्त उत्तर प्रतीत होता है।