Maximum and minimum values of trigonometrical functions, Conditional trigonometrical identities Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta + \lambda = 0$ है।
हम जानते हैं कि $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \lambda = 0$।
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2 2\theta}{4}$।
अतः,$1 - 2 \left(\frac{\sin^2 2\theta}{4}\right) + \lambda = 0$,जो सरल होकर $1 - \frac{\sin^2 2\theta}{2} + \lambda = 0$ हो जाता है।
इसलिए,$\lambda = \frac{\sin^2 2\theta}{2} - 1$।
चूंकि $0 \leq \sin^2 2\theta \leq 1$,इसलिए $0 \leq \frac{\sin^2 2\theta}{2} \leq \frac{1}{2}$।
सभी पदों में से $1$ घटाने पर,$-1 \leq \frac{\sin^2 2\theta}{2} - 1 \leq -\frac{1}{2}$।
अतः,$\lambda \in \left[-1, -\frac{1}{2}\right]$।

(B) दिया गया है $A+B=\frac{\pi}{2}$,इसलिए $B=\frac{\pi}{2}-A$ है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos A \cdot \cos(\frac{\pi}{2}-A)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}-A) = \sin A$ होता है,इसलिए व्यंजक $\cos A \cdot \sin A$ बन जाता है।
$2$ से गुणा और भाग करने पर,हमें $\frac{2 \sin A \cos A}{2} = \frac{\sin(2A)}{2}$ प्राप्त होता है।
$\sin(2A)$ का अधिकतम मान $1$ है।
अतः,$\frac{\sin(2A)}{2}$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ है।

(B) $\triangle ABC$ में,$A + B + C = \pi$,इसलिए $2A + 2B + 2C = 2\pi$.
अतः,$2A + 2B = 2\pi - 2C$.
दोनों पक्षों का स्पर्शज्या (tangent) लेने पर: $\tan(2A + 2B) = \tan(2\pi - 2C) = -\tan 2C$.
सूत्र $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan 2A + \tan 2B}{1 - \tan 2A \tan 2B} = -\tan 2C$.
दोनों पक्षों को $(1 - \tan 2A \tan 2B)$ से गुणा करने पर:
$\tan 2A + \tan 2B = -\tan 2C(1 - \tan 2A \tan 2B)$.
$\tan 2A + \tan 2B = -\tan 2C + \tan 2A \tan 2B \tan 2C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan 2A + \tan 2B + \tan 2C = \tan 2A \tan 2B \tan 2C$.

(D) माना $X = \frac{\cot A}{1+\cot A} \cdot \frac{\cot B}{1+\cot B}$.
$\tan$ फलनों में बदलने पर: $X = \frac{1}{\tan A+1} \cdot \frac{1}{\tan B+1} = \frac{1}{\tan A \tan B + \tan A + \tan B + 1}$.
दिया है $A+B = 225^{\circ}$,इसलिए $\tan(A+B) = \tan(225^{\circ}) = 1$.
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = 1$ से,$\tan A + \tan B = 1 - \tan A \tan B$ प्राप्त होता है।
हर में मान रखने पर: $\tan A \tan B + (1 - \tan A \tan B) + 1 = 2$.
अतः,$X = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है कि $A + B + C = \pi$।
चूंकि $A + B = \pi - C$,हम दोनों पक्षों का कोटैंजेंट लेते हैं:
$\cot(A + B) = \cot(\pi - C)$।
सर्वसमिका $\cot(A + B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B}$ और $\cot(\pi - C) = -\cot C$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B} = -\cot C$।
दोनों पक्षों को $(\cot A + \cot B)$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है:
$\cot A \cot B - 1 = -\cot A \cot C - \cot B \cot C$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot A \cot C = 1$।

(A) दिया है $A+B+C=180^{\circ}$,अतः $\frac{A+B+C}{2} = 90^{\circ}$.
इसलिए,$\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$.
दोनों पक्षों में टैनजेंट लेने पर: $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \tan \left(90^{\circ} - \frac{C}{2}\right) = \cot \left(\frac{C}{2}\right)$.
सूत्र $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan(A/2) + \tan(B/2)}{1 - \tan(A/2) \tan(B/2)} = \frac{1}{\tan(C/2)}$.
वज्र-गुणन करने पर: $\tan(C/2) [\tan(A/2) + \tan(B/2)] = 1 - \tan(A/2) \tan(B/2)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan(A/2) \tan(B/2) + \tan(B/2) \tan(C/2) + \tan(C/2) \tan(A/2) = 1$.

(A) फलन $f(x) = a \sin x + b \cos x$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम इसे $R \sin(x + \alpha)$ के रूप में लिख सकते हैं।
हम $\sqrt{a^2 + b^2}$ से गुणा और भाग करते हैं:
$f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x \right)$.
मान लीजिए $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ और $\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
तब $f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} (\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \alpha)$।
चूंकि $\sin(x + \alpha)$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $f(x)$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ है।

(A) व्यंजक $\sqrt{3} \sin x + \cos x$ को $R \sin(x + \alpha)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$ है।
अतः,$\sqrt{3} \sin x + \cos x$ का अधिकतम मान $2$ है।
इसलिए,फलन $y = e^{5 + \sqrt{3} \sin x + \cos x}$ का अधिकतम मान $e^{5 + 2} = e^{7}$ है।

(A) दिया गया है $(\cot \alpha_1)(\cot \alpha_2) \ldots (\cot \alpha_n) = 1$।
इसका अर्थ है $(\cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \ldots \cos \alpha_n) = (\sin \alpha_1 \sin \alpha_2 \ldots \sin \alpha_n)$।
माना $P = \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \ldots \cos \alpha_n$।
तब $P^2 = (\cos \alpha_1 \ldots \cos \alpha_n)(\sin \alpha_1 \ldots \sin \alpha_n)$।
$P^2 = \frac{1}{2^n} (2 \sin \alpha_1 \cos \alpha_1) (2 \sin \alpha_2 \cos \alpha_2) \ldots (2 \sin \alpha_n \cos \alpha_n)$।
$P^2 = \frac{1}{2^n} \sin(2\alpha_1) \sin(2\alpha_2) \ldots \sin(2\alpha_n)$।
चूंकि $\sin(2\alpha_i) \leq 1$ सभी $i$ के लिए,इसलिए $P^2 \leq \frac{1}{2^n}$।
वर्गमूल लेने पर,$P \leq \frac{1}{\sqrt{2^n}} = \frac{1}{2^{(n/2)}}$।
अधिकतम मान $\frac{1}{2^{(n/2)}}$ है।

(B) फलन $f(x) = \sin x + \cos x$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम फलन को $\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करके फिर से लिख सकते हैं:
$f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं:
$f(x) = \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right)$
$f(x) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$
चूंकि साइन फलन $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $f(x)$ का अधिकतम मान $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$ होगा।

(A) हम जानते हैं कि साइन फलन का परिसर $-1 \leq \sin x \leq 1$ है।
$f(x) = 1 - \sin x$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें $1$ में से $\sin x$ का अधिकतम संभव मान घटाना होगा।
चूंकि $\sin x$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए:
$f_{\min} = 1 - (\sin x)_{\max} = 1 - 1 = 0$.

(C) माना $f(x) = 27^{\cos 2x} 81^{\sin 2x} = (3^3)^{\cos 2x} (3^4)^{\sin 2x} = 3^{3 \cos 2x + 4 \sin 2x}$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम घातांक $g(x) = 3 \cos 2x + 4 \sin 2x$ का विश्लेषण करते हैं।
व्यंजक $a \cos \theta + b \sin \theta$ का मान $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ अंतराल में होता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है,इसलिए $3 \cos 2x + 4 \sin 2x$ का परिसर $[-\sqrt{3^2 + 4^2}, \sqrt{3^2 + 4^2}] = [-5, 5]$ है।
घातांक का न्यूनतम मान $-5$ है।
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$ है।

(C) दिया है,$f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$.
हम इसे $f(x) = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \sin^2 x$ और $b = \cos^2 x$ है:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$.
चूँकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए:
$f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x$.
व्यंजक में $2 \sin^2 x \cos^2 x$ जोड़ने और घटाने पर:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x$.
$4$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(x) = 1 - \frac{3}{4}(4 \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - \frac{3}{4}(\sin 2x)^2$.
चूँकि $0 \leq \sin^2 2x \leq 1$,इसलिए:
$1 - \frac{3}{4}(1) \leq f(x) \leq 1 - \frac{3}{4}(0)$.
$\frac{1}{4} \leq f(x) \leq 1$.
अतः,$f(x) \in \left[\frac{1}{4}, 1\right]$.

(D) माना $f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \cos \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + 3$.
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \left(\cos \theta \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{3}\right) + 3$.
$f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \left(\frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right) + 3$.
$f(\theta) = \frac{13}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta + 3$.
व्यंजक $a \cos \theta + b \sin \theta$ का मान $-\sqrt{a^2 + b^2}$ और $\sqrt{a^2 + b^2}$ के बीच होता है।
यहाँ,$a = \frac{13}{2}$ और $b = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$-7 \leq \frac{13}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta \leq 7$.
सभी पदों में $3$ जोड़ने पर:
$-4 \leq f(\theta) \leq 10$.

(A) दिया गया है $A=10^{\circ}, B=16^{\circ}, C=19^{\circ}$.
तब $2A=20^{\circ}, 2B=32^{\circ}, 2C=38^{\circ}$.
योग $2A+2B+2C = 20^{\circ}+32^{\circ}+38^{\circ} = 90^{\circ}$.
किन्हीं तीन कोणों $X, Y, Z$ के लिए यदि $X+Y+Z=90^{\circ}$ है,तो $\tan X \tan Y + \tan Y \tan Z + \tan Z \tan X = 1$ होता है।
$X=2A, Y=2B, Z=2C$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan 2A \tan 2B + \tan 2B \tan 2C + \tan 2C \tan 2A = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ सामान्य सर्वसमिका को दर्शाता है: यदि $X+Y+Z=90^{\circ}$ है,तो $\tan X \tan Y + \tan Y \tan Z + \tan Z \tan X = 1$.
यह कथन को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया गया सही गणितीय सिद्धांत है।
इसलिए,$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(B) दिया गया है कि $A + B + C = \pi$ और $A, B, C \neq \frac{n\pi}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\cot(B + C) = \frac{\cot B \cot C - 1}{\cot B + \cot C}$ होता है।
चूंकि $B + C = \pi - A$,इसलिए $\cot(B + C) = \cot(\pi - A) = -\cot A$ है।
इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\cot A = \frac{\cot B \cot C - 1}{\cot B + \cot C}$।
दोनों पक्षों को $(\cot B + \cot C)$ से गुणा करने पर:
$-\cot A(\cot B + \cot C) = \cot B \cot C - 1$।
$-\cot A \cot B - \cot A \cot C = \cot B \cot C - 1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1$।

(C) दिया गया है $\cos \alpha = \frac{a}{b+c}$.
सर्वसमिका $\cos \alpha = \frac{1 - \tan^2(\alpha/2)}{1 + \tan^2(\alpha/2)}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1 - \tan^2(\alpha/2)}{1 + \tan^2(\alpha/2)} = \frac{a}{b+c}$ प्राप्त होता है।
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर,$\frac{(1 + \tan^2(\alpha/2)) + (1 - \tan^2(\alpha/2))}{(1 + \tan^2(\alpha/2)) - (1 - \tan^2(\alpha/2))} = \frac{(b+c) + a}{(b+c) - a}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{2}{2 \tan^2(\alpha/2)} = \frac{a+b+c}{b+c-a}$ हो जाता है,अतः $\tan^2(\alpha/2) = \frac{b+c-a}{a+b+c}$।
इसी प्रकार,$\tan^2(\beta/2) = \frac{c+a-b}{a+b+c}$ और $\tan^2(\gamma/2) = \frac{a+b-c}{a+b+c}$।
इनका योग करने पर,$\tan^2(\alpha/2) + \tan^2(\beta/2) + \tan^2(\gamma/2) = \frac{(b+c-a) + (c+a-b) + (a+b-c)}{a+b+c} = \frac{a+b+c}{a+b+c} = 1$।

(D) माना $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x + 3 \sin x \cos x + 5 \cos^2 x}$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$f(x) = \frac{1 + \tan^2 x}{\tan^2 x + 3 \tan x + 5}$.
माना $t = \tan x$,तो $f(t) = \frac{1 + t^2}{t^2 + 3t + 5}$.
$y = \frac{1 + t^2}{t^2 + 3t + 5}$ लेने पर,$(y-1)t^2 + 3yt + (5y-1) = 0$.
वास्तविक $t$ के लिए विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$:
$9y^2 - 4(y-1)(5y-1) \geq 0 \implies 11y^2 - 24y + 4 \leq 0$.
इस समीकरण को हल करने पर,परिसर $\left[\frac{2}{11}, 2\right]$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C$.
सूत्र $\cos C+\cos D=2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$=2 \cos (A+B) \cos (A-B)+\cos 2 C$.
चूँकि $A+B+C=\frac{3 \pi}{2}$,इसलिए $A+B=\frac{3 \pi}{2}-C$.
$=2 \cos \left(\frac{3 \pi}{2}-C\right) \cos (A-B)+\left(1-2 \sin ^2 C\right)$.
$=2(-\sin C) \cos (A-B)+1-2 \sin ^2 C$.
$=1-2 \sin C [\cos (A-B)+\sin C]$.
चूँकि $\sin C = \sin \left(\frac{3 \pi}{2}-(A+B)\right) = -\cos (A+B)$,इसलिए:
$=1-2 \sin C [\cos (A-B)-\cos (A+B)]$.
$\cos (A-B)-\cos (A+B)=2 \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$=1-2 \sin C [2 \sin A \sin B] = 1-4 \sin A \sin B \sin C$.

(C) माना $f(x) = 12 \sin x - 5 \cos x + 3$ है।
हम जानते हैं कि $a \sin x + b \cos x$ के रूप के किसी भी व्यंजक के लिए,परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
यहाँ,$a = 12$ और $b = -5$ है।
अतः,$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ है।
इस प्रकार,$-13 \leq 12 \sin x - 5 \cos x \leq 13$ है।
सभी भागों में $3$ जोड़ने पर:
$-13 + 3 \leq 12 \sin x - 5 \cos x + 3 \leq 13 + 3$।
$-10 \leq f(x) \leq 16$।
अतः,$f(x)$ का अधिकतम मान $16$ है।

(A) $(I) \ 3 \sin^2 x + 4 \cos^2 x - 2 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x) + \cos^2 x - 2 = 3 + \cos^2 x - 2 = \cos^2 x + 1$. चूँकि $0 \leq \cos^2 x \leq 1$,इसलिए परिसर $[1, 2]$ है। अतः,$(I) \rightarrow (c)$.
$(II) \ \cos^2 x + \sin^4 x = (1 - \sin^2 x) + \sin^4 x = \sin^4 x - \sin^2 x + 1$. मान लीजिए $t = \sin^2 x$,जहाँ $t \in [0, 1]$. फलन $f(t) = t^2 - t + 1$ का शीर्ष $t = 1/2$ पर है। $f(0) = 1$,$f(1) = 1$,$f(1/2) = 1/4 - 1/2 + 1 = 3/4$. अतः,परिसर $[3/4, 1]$ है। अतः,$(II) \rightarrow (d)$.
$(III) \ \sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{3}{4} \sin^2(2x)$. चूँकि $0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$,इसलिए परिसर $[1 - 3/4, 1 - 0] = [1/4, 1]$ है। अतः,$(III) \rightarrow (a)$.
$(IV) \ \cos x \cos(\frac{2 \pi}{3} + x) \cos(\frac{2 \pi}{3} - x) = \cos x (\cos^2(\frac{2 \pi}{3}) \cos^2 x - \sin^2(\frac{2 \pi}{3}) \sin^2 x) = \cos x (\frac{1}{4} \cos^2 x - \frac{3}{4} \sin^2 x) = \frac{1}{4} \cos^3 x - \frac{3}{4} \cos x \sin^2 x = \frac{1}{4} \cos 3x$. चूँकि $-1 \leq \cos 3x \leq 1$,इसलिए परिसर $[-1/4, 1/4]$ है। अतः,$(IV) \rightarrow (b)$.

(B) दिया गया व्यंजक: $5 \tan^2 \alpha + \frac{9}{\tan^2 \alpha} + 4 \sec^2 \alpha$
सर्वसमिका $\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$ का उपयोग करने पर:
$= 5 \tan^2 \alpha + 9 \cot^2 \alpha + 4(1 + \tan^2 \alpha)$
$= 9 \tan^2 \alpha + 9 \cot^2 \alpha + 4$
धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए $AM \geq GM$ के अनुसार:
$\frac{9 \tan^2 \alpha + 9 \cot^2 \alpha}{2} \geq \sqrt{9 \tan^2 \alpha \cdot 9 \cot^2 \alpha}$
$9 \tan^2 \alpha + 9 \cot^2 \alpha \geq 2 \cdot 9 = 18$
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$9 \tan^2 \alpha + 9 \cot^2 \alpha + 4 \geq 18 + 4 = 22$
अतः,न्यूनतम मान $22$ है।

(C) यह व्यंजक $A \cos \theta + B \sin \theta$ के रूप में है,जहाँ $\theta = x + \frac{\pi}{3}$,$A = 1$,और $B = 2 \sqrt{2}$ है।
$A \cos \theta + B \sin \theta$ का परिसर $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ होता है।
यहाँ,$A^2 + B^2 = (1)^2 + (2 \sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9$ है।
अतः,$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{9} = 3$ है।
न्यूनतम मान $-3$ और अधिकतम मान $3$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं,जो बताता है कि धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ होता है।
माना $a = 27 \tan^2 \theta$ और $b = 3 \cot^2 \theta$ है।
तब,$\frac{27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta}{2} \geq \sqrt{27 \tan^2 \theta \cdot 3 \cot^2 \theta}$।
$\frac{27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta}{2} \geq \sqrt{81 \tan^2 \theta \cdot \cot^2 \theta}$।
चूंकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ होता है,इसलिए:
$\frac{27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta}{2} \geq \sqrt{81 \cdot 1}$।
$\frac{27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta}{2} \geq 9$।
$27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta \geq 18$।
अतः,न्यूनतम मान $18$ है।

(B) दिया गया है कि $A, B, C$ एक त्रिभुज के कोण हैं,अतः $A + B + C = \pi$.
सर्वसमिका $\sin 2A + \sin 2C = 2 \sin(A+C) \cos(A-C)$ का उपयोग करने पर।
चूँकि $A+C = \pi - B$,इसलिए $\sin(A+C) = \sin(\pi - B) = \sin B$ होगा।
अतः,$\sin 2A + \sin 2C = 2 \sin B \cos(A-C)$.
अब,व्यंजक है:
$\sin 2A - \sin 2B + \sin 2C = (\sin 2A + \sin 2C) - \sin 2B$
$= 2 \sin B \cos(A-C) - 2 \sin B \cos B$
$= 2 \sin B [\cos(A-C) - \cos B]$
चूँकि $B = \pi - (A+C)$,इसलिए $\cos B = \cos(\pi - (A+C)) = -\cos(A+C)$।
$= 2 \sin B [\cos(A-C) + \cos(A+C)]$
$\cos(A-C) + \cos(A+C) = 2 \cos A \cos C$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \sin B [2 \cos A \cos C] = 4 \cos A \sin B \cos C$.

(A) दिया गया समीकरण $a \cos x + a \sin x + a = 2K + 1$ है।
हम व्यंजक को $a(\cos x + \sin x) + a = 2K + 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\cos x + \sin x = \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4})$ का उपयोग करने पर,हमें $a[\sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) + 1] = 2K + 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-1 \leq \cos(x - \frac{\pi}{4}) \leq 1$,इसलिए $\sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) + 1$ का परिसर $[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}]$ है।
$a$ से गुणा करने पर ($a > 0$ मानते हुए),हमें $a(1 - \sqrt{2}) \leq 2K + 1 \leq a(1 + \sqrt{2})$ प्राप्त होता है।
$K$ के लिए हल करने पर: $a - a\sqrt{2} - 1 \leq 2K \leq a + a\sqrt{2} - 1$।
अतः,$K \in \left[\frac{a - a\sqrt{2} - 1}{2}, \frac{a + a\sqrt{2} - 1}{2}\right]$।
यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।

(B) दिया गया समीकरण $\sin^4 x + \cos^4 x = a$ है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$
$= 1^2 - \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x)^2$
$= 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x)$.
चूंकि $0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$,हम $-\frac{1}{2}$ से गुणा करते हैं:
$-\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{2} \sin^2(2x) \leq 0$.
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर:
$1 - \frac{1}{2} \leq 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x) \leq 1 + 0$
$\frac{1}{2} \leq a \leq 1$.
अतः,समीकरण के वास्तविक हल तब होते हैं जब $\frac{1}{2} \leq a \leq 1$ हो।

(B) दिया गया है $A+B+C = \frac{\pi}{4}$,अतः $4(A+B+C) = \pi$।
जब $x+y+z = \pi$ हो,तब $\sin x + \sin y + \sin z$ के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin x + \sin y + \sin z = 4 \sin \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2} \sin \frac{z}{2}$।
यहाँ,$x=4A, y=4B, z=4C$ लेने पर।
अतः $\sin 4A + \sin 4B + \sin 4C = 4 \sin 2A \sin 2B \sin 2C$।

(B) माना $t = \sin \frac{x}{4}$. चूँकि $x \in R$,इसलिए $t \in [-1, 1]$.
व्यंजक $f(t) = (1 - t^2) + t = -t^2 + t + 1$ बन जाता है।
यह एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $t = \frac{1}{2}$ पर है।
चूँकि $t = \frac{1}{2}$ अंतराल $[-1, 1]$ के भीतर है,अधिकतम मान $\alpha = f(\frac{1}{2}) = \frac{5}{4}$ है।
न्यूनतम मान $\beta$ अंतराल के अंत बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
$f(-1) = -1$ और $f(1) = 1$.
अतः,$\beta = -1$.
इसलिए,$\alpha - \beta = \frac{5}{4} - (-1) = \frac{9}{4}$.

(B) दिया गया है $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$।
चूंकि $\sin C \le 1$,हमारे पास $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C \le \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A-B)$ है।
अतः,$\cos(A-B) \ge 1$।
चूंकि $\cos(A-B)$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\cos(A-B) = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $A = B$।
इसके लिए $\sin C = 1$ होना आवश्यक है,अतः $C = 90^\circ$।
चूंकि $A+B+C = 180^\circ$ और $A=B$,हमारे पास $2A + 90^\circ = 180^\circ$ है,इसलिए $A = B = 45^\circ$।
अब,$\sin A + \sin B + \sin C = \sin 45^\circ + \sin 45^\circ + \sin 90^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = \sqrt{2} + 1$।

(A) दिया गया है कि $P+Q+R=\frac{\pi}{4}$.
त्रिकोणमितीय योग सूत्रों का उपयोग करने पर,परिणाम $4 \cos \frac{P}{2} \cos \frac{Q}{2} \cos \frac{R}{2}-\cos \frac{\pi}{8}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $10 \sin^4 \alpha + 15 \cos^4 \alpha = 6$
$\cos^4 \alpha$ से भाग देने पर:
$10 \tan^4 \alpha + 15 = 6 \sec^4 \alpha$
$10 \tan^4 \alpha + 15 = 6(1 + \tan^2 \alpha)^2$
$10 \tan^4 \alpha + 15 = 6(1 + 2 \tan^2 \alpha + \tan^4 \alpha)$
$10 \tan^4 \alpha + 15 = 6 + 12 \tan^2 \alpha + 6 \tan^4 \alpha$
$4 \tan^4 \alpha - 12 \tan^2 \alpha + 9 = 0$
$(2 \tan^2 \alpha - 3)^2 = 0$
$\tan^2 \alpha = \frac{3}{2}$
अतः,$\cot^2 \alpha = \frac{2}{3}$
अब,$16 \tan^6 \alpha + 27 \cot^6 \alpha = 16(\frac{3}{2})^3 + 27(\frac{2}{3})^3$
$= 16(\frac{27}{8}) + 27(\frac{8}{27}) = 54 + 8 = 62$

(C) दिया गया है,$A+B+C=\pi$,जिसका अर्थ है $B=\pi-(A+C)$.
समीकरण $\cos B=\cos A \cos C$ दिया गया है।
$B$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$\cos(\pi-(A+C))=\cos A \cos C$.
सर्वसमिका $\cos(\pi-\theta)=-\cos \theta$ का उपयोग करने पर,$-\cos(A+C)=\cos A \cos C$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,$-(\cos A \cos C - \sin A \sin C) = \cos A \cos C$.
$-\cos A \cos C + \sin A \sin C = \cos A \cos C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\sin A \sin C = 2 \cos A \cos C$.
दोनों पक्षों को $\cos A \cos C$ से विभाजित करने पर,$\frac{\sin A \sin C}{\cos A \cos C} = 2$.
अतः,$\tan A \tan C = 2$.

(C) दिया गया है $A+B+C=270^{\circ}$,इसलिए $A+B=270^{\circ}-C$.
सूत्र $\cos 2A+\cos 2B=2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C = 2 \cos(A+B) \cos(A-B) + (2 \cos^2 C - 1)$
$= 2 \cos(270^{\circ}-C) \cos(A-B) + 2 \cos^2 C - 1$
$= 2(-\sin C) \cos(A-B) + 2 \cos^2 C - 1$
$= -2 \sin C \cos(A-B) + 2(1-\sin^2 C) - 1$
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) + \sin C]$
चूँकि $C = 270^{\circ}-(A+B)$,इसलिए $\sin C = \sin(270^{\circ}-(A+B)) = -\cos(A+B)$.
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= 1 - 2 \sin C [2 \sin A \sin B] = 1 - 4 \sin A \sin B \sin C$.

(D) दिया गया है $x+y+z = \frac{\pi}{2}$ और $x \geq y \geq z \geq \frac{\pi}{12}$।
हमें $f(x, y, z) = \cos x \sin y \cos z$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
गुणनफल-से-योग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\cos x \cos z = \frac{1}{2}(\cos(x+z) + \cos(x-z))$।
चूंकि $x+z = \frac{\pi}{2} - y$,इसलिए $\cos(x+z) = \sin y$ होगा।
अतः,$f = \frac{1}{2}(\sin y + \cos(x-z)) \sin y = \frac{1}{2}(\sin^2 y + \sin y \cos(x-z))$।
न्यूनतम मान के लिए,हम सीमा स्थितियों पर विचार करते हैं। $y = z = \frac{\pi}{12}$ लेने पर,$x = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\cos(\frac{\pi}{3}) \sin(\frac{\pi}{12}) \cos(\frac{\pi}{12}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$।

(C) दिया गया है $A+B+C=0$,इसलिए $A+B = -C$.
दोनों पक्षों का $\sin$ लेने पर,$\sin(A+B) = \sin(-C) = -\sin(C)$.
अब,व्यंजक $\sin(2A) + \sin(2B) + \sin(2C)$ पर विचार करें:
$\sin(2A) + \sin(2B) + \sin(2C) = 2 \sin(A+B) \cos(A-B) + 2 \sin(C) \cos(C)$
चूंकि $A+B = -C$,इसलिए $\cos(A+B) = \cos(-C) = \cos(C)$.
$\sin(A+B) = -\sin(C)$ और $\cos(C) = \cos(A+B)$ रखने पर:
$= 2(-\sin(C)) \cos(A-B) + 2 \sin(C) \cos(A+B)$
$= -2 \sin(C) [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
सर्वसमिका $\cos(x-y) - \cos(x+y) = 2 \sin(x) \sin(y)$ का उपयोग करने पर:
$= -2 \sin(C) [2 \sin(A) \sin(B)]$
$= -4 \sin(A) \sin(B) \sin(C)$.

(B) प्रथम व्यंजक के लिए,हम जानते हैं कि $-\sqrt{11^2 + 60^2} \leq 11 \cos 2x + 60 \sin 2x \leq \sqrt{11^2 + 60^2}$.
यह $-61 \leq 11 \cos 2x + 60 \sin 2x \leq 61$ में सरल होता है।
$\frac{1}{11 \cos 2x + 60 \sin 2x + 69}$ को अधिकतम करने के लिए,हमें हर (denominator) को न्यूनतम करना होगा।
हर का न्यूनतम मान $69 - 61 = 8$ है।
अतः,$M_1 = \frac{1}{8}$.
दूसरे व्यंजक के लिए,$3 \cos^2 5x + 4 \sin^2 5x = 3(\cos^2 5x + \sin^2 5x) + \sin^2 5x = 3 + \sin^2 5x$.
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin^2 5x = 1$ हो,इसलिए $M_2 = 3 + 1 = 4$.
अतः,$\frac{M_1}{M_2} = \frac{1/8}{4} = \frac{1}{32}$.

(A) दिया गया है $f(x) = 5 \cos x + 3 \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 8$.
$\cos(x + \frac{\pi}{3})$ का विस्तार करने पर:
$f(x) = 5 \cos x + 3 \left[ \cos x \cdot \cos \frac{\pi}{3} - \sin x \cdot \sin \frac{\pi}{3} \right] + 8$
$f(x) = 5 \cos x + 3 \left[ \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \right] + 8$
$f(x) = \frac{13}{2} \cos x - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin x + 8$.
$A \cos x + B \sin x$ के रूप वाले फलन का परिसर $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ होता है।
यहाँ,$A = \frac{13}{2}$ और $B = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{196}{4}} = 7$.
अतः,$\frac{13}{2} \cos x - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin x$ का परिसर $[-7, 7]$ है।
$8$ जोड़ने पर,$f(x) \in [-7 + 8, 7 + 8]$,जो कि $[1, 15]$ है।
अतः,अधिकतम मान $15$ और न्यूनतम मान $1$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \sin x + \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$.
सर्वसमिका $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = \sin x + \cos 2x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$,हम लिख सकते हैं $f(x) = \sin x + 1 - 2\sin^2 x$.
माना $t = \sin x$,जहाँ $t \in [-1, 1]$. तब $g(t) = -2t^2 + t + 1$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं $g'(t) = -4t + 1$.
$g'(t) = 0$ रखने पर,हमें $t = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g''(t) = -4 < 0$,इसलिए $t = \frac{1}{4}$ स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है।
हमें $[0, 2\pi]$ में $x$ के उन मानों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $\sin x = \frac{1}{4}$ हो।
चूंकि $\frac{1}{4} > 0$,इसलिए $\sin x = \frac{1}{4}$ के अंतराल $[0, 2\pi]$ में दो हल हैं (एक प्रथम चतुर्थांश में और एक द्वितीय चतुर्थांश में)।
अतः,$x$ के ऐसे $2$ मान संभव हैं।

(D) माना $f(\alpha) = \left(1 + \frac{1}{\sin^n \alpha}\right) \left(1 + \frac{1}{\cos^n \alpha}\right)$ है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,धनात्मक पदों के लिए,न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin^n \alpha = \cos^n \alpha$ हो,जिसका अर्थ है $\sin \alpha = \cos \alpha$,अर्थात $\alpha = \frac{\pi}{4}$।
$\alpha = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sin \alpha = \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$ होता है।
अतः $\sin^n \alpha = \cos^n \alpha = (2^{-1/2})^n = 2^{-n/2}$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(1 + \frac{1}{2^{-n/2}}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{-n/2}}\right) = (1 + 2^{n/2})(1 + 2^{n/2}) = (1 + 2^{n/2})^2$।
अतः,न्यूनतम मान $(1 + 2^{n/2})^2$ है।

(B) दिया गया है $f(\theta) = \sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta} + \sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$[f(\theta)]^2 = (a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta) + (a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta) + 2 \sqrt{(a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta)(a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta)}$.
पदों को सरल करने पर,$[f(\theta)]^2 = a^2 + b^2 + 2 \sqrt{a^2 b^2 + (a^2 - b^2)^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}$.
मान लीजिए $X = \sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2(2\theta)}{4}$,जहाँ $X$ का परिसर $[0, 1/4]$ है।
अधिकतम मान $M$ के लिए,$X = 1/4$ रखने पर: $M = a^2 + b^2 + 2 \sqrt{a^2 b^2 + \frac{(a^2 - b^2)^2}{4}} = 2(a^2 + b^2)$.
न्यूनतम मान $m$ के लिए,$X = 0$ रखने पर: $m = a^2 + b^2 + 2 \sqrt{a^2 b^2} = (a+b)^2$.
अतः,$M - m = 2(a^2 + b^2) - (a+b)^2 = 2a^2 + 2b^2 - a^2 - b^2 - 2ab = a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2$.

(B) दिया गया है,$f(x) = \tan \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) - \tan \left(x + \frac{\pi}{6} \right) + \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)$.
सर्वसमिका $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A-B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) - \tan \left(x + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sin \left( \frac{2 \pi}{3} - \frac{\pi}{6} \right)}{\cos \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{\cos \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{1}{\cos \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)}$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{2}{\cos \left( 2x + \frac{5 \pi}{6} \right) + \cos \frac{\pi}{2}} + \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{2}{\cos \left( 2x + \frac{5 \pi}{6} \right)} + \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)$.
अंतराल $\left[ -\frac{5 \pi}{12}, -\frac{\pi}{3} \right]$ में,फलन वर्धमान है।
अतः,अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x = -\frac{\pi}{3} = -60^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
$f(-60^{\circ}) = \tan \left( -60^{\circ} + 120^{\circ} \right) - \tan \left( -60^{\circ} + 30^{\circ} \right) + \cos \left( -60^{\circ} + 30^{\circ} \right) = \tan 60^{\circ} - \tan(-30^{\circ}) + \cos(-30^{\circ}) = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6} = \frac{11 \sqrt{3}}{6}$.

(B) दिया गया है,$A+B=\frac{\pi}{3}$.
माना $y = \tan A \tan B$.
चूँकि $B = \frac{\pi}{3} - A$,इसलिए $y = \tan A \tan(\frac{\pi}{3} - A)$ है।
धनात्मक मानों $\tan A$ और $\tan B$ के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan A + \tan B}{2} \geq \sqrt{\tan A \tan B}$.
हम जानते हैं कि $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B} = \frac{\sin(\pi/3)}{\cos A \cos B} = \frac{\sqrt{3}/2}{\cos A \cos B}$.
वैकल्पिक रूप से,सर्वसमिका $\tan A \tan B = \frac{\cos(A-B) - \cos(A+B)}{\cos(A-B) + \cos(A+B)}$ का उपयोग करने पर।
निश्चित योग $A+B = \frac{\pi}{3}$ के लिए,गुणनफल $\tan A \tan B$ तब अधिकतम होता है जब $A=B$ हो।
अतः,$A = B = \frac{\pi}{6}$.
अधिकतम मान $= \tan(\frac{\pi}{6}) \tan(\frac{\pi}{6}) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$.

(A) दिया गया है $y = 4 \sin^2 \theta - \cos 2 \theta$।
सर्वसमिका $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$y = 4 \sin^2 \theta - (1 - 2 \sin^2 \theta) = 6 \sin^2 \theta - 1$।
चूंकि $0 \leq \sin^2 \theta \leq 1$,इसलिए:
$0 \leq 6 \sin^2 \theta \leq 6$।
सभी पदों में से $1$ घटाने पर:
$-1 \leq 6 \sin^2 \theta - 1 \leq 5$।
अतः,न्यूनतम मान $l = -1$ और अधिकतम मान $m = 5$ है।
अब,$lm = (-1)(5) = -5$।
साथ ही,$\frac{m}{l} = \frac{5}{-1} = -5$।
इसलिए,$lm = \frac{m}{l}$।

(A) हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$।
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ का उपयोग करते हुए:
$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3 = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$।
सर्वसमिका $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ का उपयोग करते हुए:
$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta)^2 + (\cos^2 \theta)^2 = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) - 3(1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta)$
$= 2 - 6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - 3 + 6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$
$= -1$।