यदि p = sin^2 theta + cos^4 theta है,तो theta | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $p = \sin^2 	heta + \cos^4 	heta$। सर्वसमिका $\cos^2 	heta = 1 - \sin^2 	heta$ का उपयोग करने पर: $p = \sin^2 	heta + (1 - \sin^2

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$\frac{3}{4} \le p \le 1$

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(A) दिया गया है $p = \sin^2 	heta + \cos^4 	heta$। सर्वसमिका $\cos^2 	heta = 1 - \sin^2 	heta$ का उपयोग करने पर: $p = \sin^2 	heta + (1 - \sin^2 	heta)^2$ $p = \sin^2 	heta + 1 + \sin^4 	heta - 2 \sin^2 	heta$ $p = \sin^4 	heta - \sin^2 	heta + 1$। माना $x = \sin^2 	heta$। चूंकि $	heta$ वास्तविक है,इसलिए $0 \le x \le 1$ होगा। अतः $p = f(x) = x^2 - x + 1$। यह ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है जिसका शीर्ष $x = -b/(2a) = -(-1)/(2 	imes 1) = 1/2$ पर है। चूंकि $1/2$ अंतराल $[0, 1]$ में स्थित है,इसलिए न्यूनतम मान $f(1/2) = (1/2)^2 - (1/2) + 1 = 1/4 - 1/2 + 1 = 3/4$ होगा। अधिकतम मान अंतराल $[0, 1]$ के अंतिम बिंदुओं पर प्राप्त होता है। $f(0) = 0^2 - 0 + 1 = 1$। $f(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1$। अतः,$p$ का परिसर $\frac{3}{4} \le p \le 1$ है।

List-$I$	List-$II$
$(I) \ 3 \sin^2 x + 4 \cos^2 x - 2$	$(a) \ [\frac{1}{4}, 1]$
$(II) \ \cos^2 x + \sin^4 x$	$(b) \ [-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}]$
$(III) \ \sin^6 x + \cos^6 x$	$(c) \ [1, 2]$
$(IV) \ \cos x \cos(\frac{2 \pi}{3} + x) \cos(\frac{2 \pi}{3} - x)$	$(d) \ [\frac{3}{4}, 1]$
	$(e) \ [0, 1]$

यदि $p = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta$ है,तो $\theta$ के सभी वास्तविक मानों के लिए निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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यदि $\sin^2 \theta = \frac{x^2 + y^2 + 1}{2x}$ है,तो $x$ क्या होना चाहिए?

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$(8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta)$ का न्यूनतम मान किसके बराबर है :-

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