x का वह एकमात्र मान जिसके लिए 2^{sin x} + 2^{ | vedclass

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Question

(A) $A.M.-G.M.$ असमिका के अनुसार,$\frac{2^{\sin x} + 2^{\cos x}}{2} \ge \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$.यह $2^{\sin x} + 2^{\cos x} \ge 2 \cdot 2^

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$\frac{5\pi}{4}$

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(A) $A.M.-G.M.$ असमिका के अनुसार,$\frac{2^{\sin x} + 2^{\cos x}}{2} \ge \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$.यह $2^{\sin x} + 2^{\cos x} \ge 2 \cdot 2^{\frac{\sin x + \cos x}{2}} = 2^{1 + \frac{\sin x + \cos x}{2}}$ में सरल हो जाता है।हम जानते हैं कि $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$,जिसका न्यूनतम मान $-\sqrt{2}$ है।अतः,व्यंजक $2^{\sin x} + 2^{\cos x}$ का न्यूनतम मान $2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - (1/\sqrt{2})}$ है।असमिका $2^{\sin x} + 2^{\cos x} > 2^{1 - (1/\sqrt{2})}$ उन सभी $x$ के लिए सत्य है जहाँ $\sin x + \cos x 
eq -\sqrt{2}$ है।$\sin x + \cos x = -\sqrt{2}$ तब होता है जब $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$,जिसका अर्थ है $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$,इसलिए $x = \frac{5\pi}{4}$।

$x$ का वह एकमात्र मान जिसके लिए $2^{\sin x} + 2^{\cos x} > 2^{1 - (1/\sqrt{2})}$ सत्य है,वह है

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