Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \frac{1}{r_3}$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $\frac{2}{r_2} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_3}$.
सूत्रों $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ और $r = \frac{\Delta}{s}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2(s-b)}{\Delta} = \frac{s-a}{\Delta} + \frac{s-c}{\Delta}$
$2s - 2b = 2s - (a+c)$
$2b = a+c$.
यह दर्शाता है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।
अब,$r_2 : r = \frac{r_2}{r} = \frac{\Delta / (s-b)}{\Delta / s} = \frac{s}{s-b}$.
चूंकि $2b = a+c$,इसलिए $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3b}{2}$.
अतः,$\frac{s}{s-b} = \frac{3b/2}{3b/2 - b} = \frac{3b/2}{b/2} = 3$.
इसलिए,$r_2 : r = 3 : 1$.

(A) दिया गया है $r_1 > r_2 > r_3$.
हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\Delta}{s-a} > \frac{\Delta}{s-b} > \frac{\Delta}{s-c}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta > 0$,इसलिए $s-a < s-b < s-c$.
सभी भागों से $s$ घटाने पर,हमें $-a < -b < -c$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर असमानता के चिह्न उलट जाते हैं,जिसके परिणामस्वरूप $a > b > c$ प्राप्त होता है।

(C) दिया है,$\triangle ABC$ में,$r_1=12, r_2=18, r_3=36$।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{r} = \frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{36} = \frac{3+2+1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।
अतः,$r = 6$।
साथ ही,$\Delta^2 = r_1 r_2 r_3 r = 12 \times 18 \times 36 \times 6 = 46656$।
इसलिए,$\Delta = \sqrt{46656} = 216$।
चूंकि $r = \frac{\Delta}{s}$,इसलिए $s = \frac{\Delta}{r} = \frac{216}{6} = 36$।
हम जानते हैं कि $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$।
मान रखने पर: $18 = \frac{216}{36-b}$।
$36-b = \frac{216}{18} = 12$।
$b = 36 - 12 = 24$।

(A) दिया है: $\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)\left(1-\frac{r_1}{r_3}\right)=2$
हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(1-\frac{\frac{\Delta}{s-a}}{\frac{\Delta}{s-b}}\right)\left(1-\frac{\frac{\Delta}{s-a}}{\frac{\Delta}{s-c}}\right) = 2$
$\left(1-\frac{s-b}{s-a}\right)\left(1-\frac{s-c}{s-a}\right) = 2$
$\left(\frac{s-a-s+b}{s-a}\right)\left(\frac{s-a-s+c}{s-a}\right) = 2$
$\left(\frac{b-a}{s-a}\right)\left(\frac{c-a}{s-a}\right) = 2$
$(b-a)(c-a) = 2(s-a)^2$
$bc - ab - ac + a^2 = 2\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2$
$bc - ab - ac + a^2 = 2\frac{(b+c-a)^2}{4}$
$2(bc - ab - ac + a^2) = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ac$
$2bc - 2ab - 2ac + 2a^2 = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ac$
$2a^2 = b^2 + c^2 + a^2$
$a^2 = b^2 + c^2$
अतः,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(C) दिया गया है $A = 30^{\circ} + C$ और $R = (\sqrt{3} + 1)r$।
हम जानते हैं कि $r = 4R \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$।
$r = \frac{R}{\sqrt{3} + 1}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = 4 \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$ प्राप्त होता है।
हर का परिमेयकरण करने पर,$\frac{\sqrt{3} - 1}{2} = 4 \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$,अतः $\sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{8}$।
$A + B + C = 180^{\circ}$ का उपयोग करते हुए,$B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 2C) = 150^{\circ} - 2C$।
इन मानों को सर्वसमिका में रखकर कोणों को हल करने पर,हमें $\angle A = 75^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि तीनों कोण न्यूनकोण हैं,इसलिए $ABC$ एक न्यूनकोण त्रिभुज है।

(C) मान लीजिए कि भुजाएँ $a, b, c$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
हम जानते हैं कि बाह्य त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं।
यह जाँचने के लिए कि क्या $r_1, r_2, r_3$ $H$.$P$. में हैं,हम जाँचते हैं कि क्या $\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \frac{1}{r_3}$ $A$.$P$. में हैं।
$\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}$,$\frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$ है।
चूँकि $a, b, c$ $A$.$P$. में हैं,$s-a, s-b, s-c$ भी $A$.$P$. में हैं क्योंकि $s-a + s-c = 2s - (a+c) = 2s - 2b = 2(s-b)$ है।
अतः,$\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \frac{1}{r_3}$ $A$.$P$. में हैं,जिसका अर्थ है कि $r_1, r_2, r_3$ $H$.$P$. में हैं।

(A) एक समकोण त्रिभुज $ABC$ में जहाँ $\angle A = 90^{\circ}$ है,अंतःत्रिज्या $r = \frac{b+c-a}{2}$ द्वारा दी जाती है।
परित्रिज्या $R = \frac{a}{2}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$r+R = \frac{b+c-a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{b+c}{2}$।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2(r+R) = b+c$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{r_1-r}{a} + \frac{r_2-r}{b} + \frac{r_3-r}{c} = \frac{1}{a}\left(\frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s}\right) + \frac{1}{b}\left(\frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s}\right) + \frac{1}{c}\left(\frac{\Delta}{s-c} - \frac{\Delta}{s}\right)$
$= \frac{1}{a}\left(\frac{\Delta s - \Delta(s-a)}{s(s-a)}\right) + \frac{1}{b}\left(\frac{\Delta s - \Delta(s-b)}{s(s-b)}\right) + \frac{1}{c}\left(\frac{\Delta s - \Delta(s-c)}{s(s-c)}\right)$
$= \frac{1}{a}\left(\frac{\Delta a}{s(s-a)}\right) + \frac{1}{b}\left(\frac{\Delta b}{s(s-b)}\right) + \frac{1}{c}\left(\frac{\Delta c}{s(s-c)}\right)$
$= \frac{\Delta}{s(s-a)} + \frac{\Delta}{s(s-b)} + \frac{\Delta}{s(s-c)}$
$= \frac{r_1}{s} + \frac{r_2}{s} + \frac{r_3}{s} = \frac{r_1+r_2+r_3}{s}$.

(B) हम जानते हैं कि $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a \cdot \frac{s(s-a)}{bc} + b \cdot \frac{s(s-b)}{ac} + c \cdot \frac{s(s-c)}{ab}$
$= \frac{s}{abc} [a^2(s-a) + b^2(s-b) + c^2(s-c)]$
$= \frac{s}{abc} [s(a^2+b^2+c^2) - (a^3+b^3+c^3)]$
सर्वसमिका $a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)$ और $s = \frac{a+b+c}{2}$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को $s + \frac{\Delta}{R}$ के रूप में सरल करते हैं।

(C) दिया है $A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 60^{\circ}) = 75^{\circ}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$a = 2(\sqrt{3}+1)$,$\sin 75^{\circ} = \sin(45^{\circ}+30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
अतः,$\frac{2(\sqrt{3}+1)}{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}} = 4\sqrt{2}$.
इस प्रकार,$b = 4\sqrt{2} \sin 45^{\circ} = 4\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4$.
$c = 4\sqrt{2} \sin 60^{\circ} = 4\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} \times 2(\sqrt{3}+1) \times 4 \times \sin 60^{\circ} = 4(\sqrt{3}+1) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2(3+\sqrt{3}) = 6+2\sqrt{3}$.

(B) हम जानते हैं कि $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$.
दिया है $r_1=8, r_2=12, r_3=24$,अतः $\frac{1}{r} = \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.
अतः,$r=4$.
साथ ही,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a} \implies 8 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b} \implies 12 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c} \implies 24 = \frac{\Delta}{s-c}$.
चूंकि $\Delta = rs = 4s$,इसलिए $s-a = \frac{s}{2} \implies a = \frac{s}{2}$,$s-b = \frac{s}{3} \implies b = \frac{2s}{3}$,$s-c = \frac{s}{6} \implies c = \frac{5s}{6}$.
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4s$ का उपयोग करने पर,$s=24$ प्राप्त होता है।
अतः $a = 12, b = 16, c = 20$।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज की बाह्य त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं।
दिया है $2r_1 = 3r_2 = r_3 = k$ (माना)।
अतः $r_1 = \frac{k}{2}$,$r_2 = \frac{k}{3}$,और $r_3 = k$।
इस प्रकार,$\frac{1}{r_1} = \frac{2}{k}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{3}{k}$,और $\frac{1}{r_3} = \frac{1}{k}$।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$।
अतः $\frac{2}{k} + \frac{3}{k} + \frac{1}{k} = \frac{6}{k} = \frac{1}{r}$,अर्थात $r = \frac{k}{6}$।
$s-a = \frac{\Delta}{r_1} = \frac{2\Delta}{k}$,$s-b = \frac{3\Delta}{k}$,और $s-c = \frac{\Delta}{k}$।
चूंकि $s = \frac{6\Delta}{k}$,इसलिए $a = s - (s-a) = \frac{4\Delta}{k}$,$b = \frac{3\Delta}{k}$,और $c = \frac{5\Delta}{k}$।
अतः,$a : b : c = 4 : 3 : 5$।

(D) $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} ac \sin B$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\Delta = 6+2\sqrt{3}$,$a = 2(\sqrt{3}+1)$,और $B = 45^{\circ}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $6+2\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 2(\sqrt{3}+1) \times c \times \sin 45^{\circ}$।
$6+2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1) \times c \times \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$c = \frac{\sqrt{2}(6+2\sqrt{3})}{\sqrt{3}+1} = \frac{2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})}{\sqrt{3}+1} = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1} = 2\sqrt{6}$।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$।
$b^2 = [2(\sqrt{3}+1)]^2 + (2\sqrt{6})^2 - 2[2(\sqrt{3}+1)](2\sqrt{6}) \cos 45^{\circ}$।
$b^2 = 16 + 8\sqrt{3} + 24 - 8\sqrt{6}(\sqrt{3}+1) \times \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$b^2 = 16 + 8\sqrt{3} + 24 - 8\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 40 + 8\sqrt{3} - 24 - 8\sqrt{3} = 16$।
अतः,$b = \sqrt{16} = 4$।

(C) $\triangle ABC$ में,कोणों का योग $A + B + C = 180^{\circ}$ होता है।
$A + B = 180^{\circ} - C$
दोनों पक्षों में $\cot$ लेने पर:
$\cot(A + B) = \cot(180^{\circ} - C)$
$\cot(A + B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B}$ और $\cot(180^{\circ} - C) = -\cot C$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B} = -\cot C$
$\cot A \cot B - 1 = -\cot C(\cot A + \cot B)$
$\cot A \cot B - 1 = -\cot C \cot A - \cot C \cot B$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1$

(B) दिया गया है: $\cot \left(\frac{A}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+a}{1-a}} \cot \left(\frac{\theta}{2}\right)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\cot^2 \left(\frac{A}{2}\right) = \left(\frac{1+a}{1-a}\right) \cot^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$
$\cot^2 \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cos x}{1-\cos x}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1+\cos A}{1-\cos A} = \left(\frac{1+a}{1-a}\right) \frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}$
$\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta} = \frac{(1+\cos A)(1-a)}{(1-\cos A)(1+a)} = \frac{1-a+\cos A-a \cos A}{1+a-\cos A-a \cos A}$
योगांतरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का प्रयोग करने पर:
$\frac{(1+\cos \theta)+(1-\cos \theta)}{(1+\cos \theta)-(1-\cos \theta)} = \frac{(1-a+\cos A-a \cos A)+(1+a-\cos A-a \cos A)}{(1-a+\cos A-a \cos A)-(1+a-\cos A-a \cos A)}$
$\frac{2}{2 \cos \theta} = \frac{2-2a \cos A}{2 \cos A-2a}$
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{1-a \cos A}{\cos A-a}$
अतः,$\cos \theta = \frac{\cos A-a}{1-a \cos A}$

(A) त्रिभुज की भुजाएँ $a=3, b=5, c=7$ हैं।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2(3)(5)} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$C = 120^\circ$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}(3)(5) \sin(120^\circ) = \frac{15\sqrt{3}}{4}$.
परित्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times (\frac{15\sqrt{3}}{4})} = \frac{7}{\sqrt{3}}$.

(C) दिए गए समीकरण: $r_1 r_2 + r_3 r = 35$,$r_2 r_3 + r r_1 = 63$,और $r_3 r_1 + r r_2 = 45$ हैं।
सर्वसमिकाओं $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $r = \frac{\Delta}{s}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $r_1 r_2 + r_3 r = ab$,$r_2 r_3 + r r_1 = bc$,और $r_3 r_1 + r r_2 = ac$ होता है।
अतः,$ab = 35$,$bc = 63$,और $ac = 45$ है।
इनका गुणा करने पर $(abc)^2 = 35 \times 63 \times 45 = 99225$,इसलिए $abc = 315$ है।
तब $c = \frac{abc}{ab} = \frac{315}{35} = 9$,$a = \frac{abc}{bc} = \frac{315}{63} = 5$,और $b = \frac{abc}{ac} = \frac{315}{45} = 7$ है।
इसलिए,$2s = a + b + c = 5 + 7 + 9 = 21$।

(A) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3^2 + 7^2 - 5^2}{2 \times 3 \times 7} = \frac{9 + 49 - 25}{42} = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}$
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 7^2 - 3^2}{2 \times 5 \times 7} = \frac{25 + 49 - 9}{70} = \frac{65}{70} = \frac{13}{14}$
साइन नियम के अनुसार,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$,इसलिए $\sin A = ak, \sin B = bk, \sin C = ck$.
चूंकि $\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C$,हमारे पास है:
$\frac{\sin(A-B)}{\sin(A+B)} = \frac{\sin A \cos B - \cos A \sin B}{\sin C} = \frac{ak \cos B - \cos A bk}{ck} = \frac{a \cos B - b \cos A}{c}$
मान रखने पर:
$= \frac{5 \times \frac{13}{14} - 3 \times \frac{11}{14}}{7} = \frac{\frac{65-33}{14}}{7} = \frac{32}{14 \times 7} = \frac{32}{98} = \frac{16}{49}$
अतः,$\sqrt{\frac{\sin(A-B)}{\sin(A+B)}} = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}$.

(B) दिया गया है $b=6, c=9$ और $\sin A=\frac{2 \sqrt{14}}{9}$।
चूंकि $A$ एक न्यून कोण है,$\cos A = \sqrt{1-\sin^2 A} = \sqrt{1-\frac{56}{81}} = \frac{5}{9}$।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$।
$\frac{5}{9} = \frac{36+81-a^2}{2(6)(9)}$ $\Rightarrow \frac{5}{9} = \frac{117-a^2}{108}$ $\Rightarrow 60 = 117-a^2$ $\Rightarrow a^2 = 57$।
अब,$3a(\cos B+\cos C) = 3a\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$।
$= \frac{3(b+c)}{2bc} [a^2 - (b-c)^2]$।
मान रखने पर: $\frac{3(6+9)}{2(6)(9)} [57 - (6-9)^2] = \frac{3(15)}{108} [57 - 9] = \frac{45}{108} \times 48 = 20$।

(A) कारण $(R)$ के लिए: दिया गया है $r:R:r_2 = 1:2.5:6 = 2:5:12$।
मान लीजिए $r=2k, R=5k, r_2=12k$।
सूत्र $r_2-r = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$ का उपयोग करने पर,$12k-2k = 4(5k) \sin^2 \frac{B}{2}$।
$10k = 20k \sin^2 \frac{B}{2}$ $\Rightarrow \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{B}{2} = 45^{\circ}$ $\Rightarrow B = 90^{\circ}$।
अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
कथन $(A)$ के लिए: दिया गया है $r=6, r_2=36, R=15$।
$r_2-r = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$ का उपयोग करने पर,$36-6 = 4(15) \sin^2 \frac{B}{2}$।
$30 = 60 \sin^2 \frac{B}{2}$ $\Rightarrow \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow B = 90^{\circ}$।
यदि $B=90^{\circ}$ है,तो $b^2 = a^2+c^2$ होगा। इसलिए,कथन $(A)$ सत्य है।
चूंकि $(R)$,$(A)$ में उपयोग किए गए गुणधर्म के लिए तार्किक आधार प्रदान करता है,इसलिए $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$। ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$।
अतः,$2 \sin B = \sin A + \sin C$।
दिया है $A = 2C$,इसलिए $2 \sin B = \sin 2C + \sin C$।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमारे पास $B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - 3C$ है।
अतः,$2 \sin(180^{\circ} - 3C) = \sin 2C + \sin C$।
$2 \sin 3C = 2 \sin C \cos C + \sin C$।
$2(3 \sin C - 4 \sin^3 C) = \sin C(2 \cos C + 1)$।
चूंकि $\sin C \neq 0$,हमारे पास $2(3 - 4 \sin^2 C) = 2 \cos C + 1$ है।
$6 - 8(1 - \cos^2 C) = 2 \cos C + 1$।
$6 - 8 + 8 \cos^2 C = 2 \cos C + 1$।
$8 \cos^2 C - 2 \cos C - 3 = 0$।
$(4 \cos C + 3)(2 \cos C - 1) = 0$।
$A = 2C$ होने के कारण,$C < 90^{\circ}$,इसलिए $\cos C > 0$। अतः,$\cos C = \frac{3}{4}$।
तब $\sin C = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$।
$B = 180^{\circ} - 3C$,इसलिए $\sin B = \sin 3C = \sin C(4 \cos^2 C - 1)$।
$\sin B = \frac{\sqrt{7}}{4} (4(\frac{9}{16}) - 1) = \frac{5\sqrt{7}}{16}$।
अंत में,$b:c = \sin B : \sin C = \frac{5\sqrt{7}}{16} : \frac{\sqrt{7}}{4} = 5:4$।

(D) दिया गया है: $A=\frac{\pi}{6}, b=7, c=4\sqrt{3}$.
कोसाइन नियम के अनुसार,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
$a^2 = 7^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2(7)(4\sqrt{3}) \cos(\frac{\pi}{6})$.
$a^2 = 49 + 48 - 56\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 97 - 84 = 13$.
अतः,$a = \sqrt{13}$.
साइन नियम के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
इस प्रकार,$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{7 \sin(\pi/6)}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2\sqrt{13}}$.
और $\sin C = \frac{c \sin A}{a} = \frac{4\sqrt{3} \sin(\pi/6)}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.
इसलिए,$a \sin B \sin C = \sqrt{13} \times \frac{7}{2\sqrt{13}} \times \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.

(B) $L.H.S. = (b+c)^2 \sin^2\left(\frac{A}{2}\right) + (b-c)^2 \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)$
$= (b^2 + c^2 + 2bc) \sin^2\left(\frac{A}{2}\right) + (b^2 + c^2 - 2bc) \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)$
$= (b^2 + c^2) \left[\sin^2\left(\frac{A}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)\right] - 2bc \left[\cos^2\left(\frac{A}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{A}{2}\right)\right]$
$= b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$= a^2$ (कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$)
चूँकि $a = 2R \sin A$,इसलिए $a^2 = 4R^2 \sin^2 A$
$= 4R^2 \left(\frac{1 - \cos 2A}{2}\right)$
$= 2R^2 (1 - \cos 2A)$
$K(1 - \cos 2A)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $K = 2R^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $A=\frac{\pi}{3}$ और $B=\frac{\pi}{4}$। $\triangle ABC$ में,$\angle C = \pi - (A+B) = \pi - (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \pi - \frac{7\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$।
अतः,$a = k \sin(\frac{\pi}{3}) = k \frac{\sqrt{3}}{2}$,$b = k \sin(\frac{\pi}{4}) = k \frac{1}{\sqrt{2}}$,और $c = k \sin(\frac{5\pi}{12}) = k \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = k (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}) = k \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$।
अब,$\frac{a^2-b^2}{c^2} = \frac{k^2(\frac{3}{4} - \frac{1}{2})}{k^2(\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{8})} = \frac{1/4}{(\frac{3+1+2\sqrt{3}}{8})} = \frac{1/4}{(\frac{4+2\sqrt{3}}{8})} = \frac{1/4}{(\frac{2+\sqrt{3}}{4})} = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है $\frac{a}{\tan A} = \frac{b}{\tan B} = \frac{c}{\tan C}$.
चूंकि $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$,हमारे पास $\frac{a \cos A}{\sin A} = \frac{b \cos B}{\sin B} = \frac{c \cos C}{\sin C}$ है।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$2R \cos A = 2R \cos B = 2R \cos C$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\cos A = \cos B = \cos C$.
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,$A = B = C = 60^{\circ}$.
अतः,$\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(D) दिया है,$\angle B = \frac{\pi}{4}$,$\angle C = \frac{\pi}{3}$.
$\triangle ABC$ में,$\angle A = \pi - (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \frac{5\pi}{12} = 75^{\circ}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = 2R^2 \sin A \sin B \sin C = 18(3 + \sqrt{3})$.
मान रखने पर,$R^2 \frac{3 + \sqrt{3}}{4} = 18(3 + \sqrt{3})$ $\Rightarrow R^2 = 72$ $\Rightarrow R = 6\sqrt{2}$.
अतः,$a = 2R \sin A = 2(6\sqrt{2}) \sin 75^{\circ} = 6(\sqrt{3} + 1)$.

(A) हमें $\frac{\cos^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(b + c)^2} + \frac{\sin^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(b - c)^2}$ का मान ज्ञात करना है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$b = 2R \sin B$ और $c = 2R \sin C$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2R(\sin B + \sin C))^2} + \frac{\sin^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2R(\sin B - \sin C))^2}$
$= \frac{1}{4R^2} \left[ \frac{\cos^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2})^2} + \frac{\sin^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2 \cos \frac{B+C}{2} \sin \frac{B-C}{2})^2} \right]$
$= \frac{1}{4R^2} \left[ \frac{1}{4 \sin^2 \frac{B+C}{2}} + \frac{1}{4 \cos^2 \frac{B+C}{2}} \right]$
$= \frac{1}{16R^2} \left[ \frac{\cos^2 \frac{B+C}{2} + \sin^2 \frac{B+C}{2}}{\sin^2 \frac{B+C}{2} \cos^2 \frac{B+C}{2}} \right]$
$= \frac{1}{16R^2} \left[ \frac{1}{\sin^2 \frac{B+C}{2} \cos^2 \frac{B+C}{2}} \right] = \frac{1}{4R^2} \left[ \frac{1}{\sin^2 (B+C)} \right]$
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin(B+C) = \sin(\pi - A) = \sin A$.
अतः,व्यंजक $\frac{1}{4R^2 \sin^2 A} = \frac{1}{(2R \sin A)^2} = \frac{1}{a^2}$ हो जाता है।

(D) दिया गया व्यंजक $\frac{1+\cos(A-B) \cdot \cos C}{1+\cos(A-C) \cdot \cos B}$ है।
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,इसलिए $C = 180^{\circ} - (A+B)$ और $B = 180^{\circ} - (A+C)$ होगा।
अतः,$\cos C = -\cos(A+B)$ और $\cos B = -\cos(A+C)$।
इन मानों को रखने पर:
$= \frac{1 - \cos(A-B)\cos(A+B)}{1 - \cos(A-C)\cos(A+C)}$
सर्वसमिका $\cos(x-y)\cos(x+y) = \cos^2 x - \sin^2 y$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1 - (\cos^2 A - \sin^2 B)}{1 - (\cos^2 A - \sin^2 C)}$
$= \frac{1 - \cos^2 A + \sin^2 B}{1 - \cos^2 A + \sin^2 C}$
$= \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 A + \sin^2 C}$
ज्या नियम (Sine Rule) $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$ के अनुसार,$\sin A = \frac{a}{k}, \sin B = \frac{b}{k}, \sin C = \frac{c}{k}$ होगा।
$= \frac{(a/k)^2 + (b/k)^2}{(a/k)^2 + (c/k)^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2+c^2}$।

(A) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,$\angle C = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए $\angle A + \angle B = 90^{\circ}$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = k \sin A$ और $b = k \sin B$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \sin(A-B) = \frac{k^2 \sin^2 A + k^2 \sin^2 B}{k^2 \sin^2 A - k^2 \sin^2 B} \sin(A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 A - \sin^2 B} \sin(A-B)$.
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B) \sin(A-B)} \sin(A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B)}$.
चूँकि $A+B = 90^{\circ}$,इसलिए $\sin(A+B) = 1$ और $B = 90^{\circ}-A$,अतः $\sin B = \cos A$ है।
$= \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{1} = 1$.

(D) माना $\angle B = \theta$ है। तब $\angle A = 3\theta$ है। चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,$\angle C = 180^{\circ} - (A + B) = 180^{\circ} - 4\theta$ होगा।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{AB}{\sin(180^{\circ} - 4\theta)} = \frac{16}{\sin 3\theta} = \frac{9}{\sin \theta}$।
$\frac{16}{\sin 3\theta} = \frac{9}{\sin \theta}$ से,हमें $16 \sin \theta = 9 \sin 3\theta = 9(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta$ से भाग देने पर (चूंकि $\sin \theta \neq 0$),$16 = 27 - 36 \sin^2 \theta$,जिससे $36 \sin^2 \theta = 11$,अतः $\sin^2 \theta = \frac{11}{36}$ प्राप्त होता है।
तब $\cos^2 \theta = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$,अतः $\cos \theta = \frac{5}{6}$ है।
अब,$\sin 4\theta = 4 \sin \theta \cos \theta (1 - 2 \sin^2 \theta) = 4 \times \frac{\sqrt{11}}{6} \times \frac{5}{6} \times (1 - 2 \times \frac{11}{36}) = \frac{35\sqrt{11}}{162}$।
अंत में,$AB = \frac{9 \sin 4\theta}{\sin \theta} = 9 \times \frac{35\sqrt{11}}{162} \times \frac{6}{\sqrt{11}} = \frac{35}{3}$।

(C) मान लीजिए कि एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $a, b, c$ हैं और क्षेत्रफल $\Delta$ है।
हम जानते हैं कि क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C$ है।
कोसाइन नियम से,$a^2 = b^2+c^2-2bc \cos A$,$b^2 = a^2+c^2-2ac \cos B$,और $c^2 = a^2+b^2-2ab \cos C$ है।
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर $a^2+b^2+c^2 = 2(a^2+b^2+c^2) - 2(bc \cos A + ac \cos B + ab \cos C) \text{प्राप्त होता है}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a^2+b^2+c^2 = 2(bc \cos A + ac \cos B + ab \cos C) \text{मिलता है}$.
चूंकि $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$,इसलिए $bc = \frac{2\Delta}{\sin A}$ है। इसी प्रकार,$ac = \frac{2\Delta}{\sin B}$ और $ab = \frac{2\Delta}{\sin C}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$a^2+b^2+c^2 = 2 \left( \frac{2\Delta}{\sin A} \cos A + \frac{2\Delta}{\sin B} \cos B + \frac{2\Delta}{\sin C} \cos C \right)$
$a^2+b^2+c^2 = 4\Delta (\cot A + \cot B + \cot C)$
अतः,$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta}$।

(C) नेपियर के सादृश्य का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\tan \frac{A-B}{2} = \frac{a-b}{a+b} \cot \frac{C}{2}$ और $\tan \frac{A+B}{2} = \cot \frac{C}{2}$ है।
दिया गया है $\tan \frac{A-B}{2} = \frac{1}{4} \tan \frac{A+B}{2}$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a-b}{a+b} \cot \frac{C}{2} = \frac{1}{4} \cot \frac{C}{2}$
$\Rightarrow \frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{4}$
$\Rightarrow 4(a-b) = a+b$
$\Rightarrow 4a - 4b = a + b$
$\Rightarrow 3a = 5b$
$a=5$ दिया गया है,इसलिए $3(5) = 5b \Rightarrow b=3$।
अब,$\sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$।

(A) $\triangle ABC$ में,मान लीजिए $BD$ शीर्ष $B$ से भुजा $AC$ पर खींची गई माध्यिका है।
दी गई भुजाएँ $a = BC = 5$,$b = AC = 6$,और $c = AB = 7$ हैं।
शीर्ष $B$ से खींची गई माध्यिका $m_b$ की लंबाई का सूत्र है:
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(5)^2 + 2(7)^2 - (6)^2}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(25) + 2(49) - 36}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{50 + 98 - 36}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{112}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{16 \times 7}$
$BD = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{7}$
$BD = 2 \sqrt{7}$

(B) माना त्रिभुज के कोण $x, 2x$ और $3x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$।
अतः,कोण $30^{\circ}, 60^{\circ}$ और $90^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,भुजाएं $a, b, c$ अपने सम्मुख कोणों की ज्या (sine) के समानुपाती होती हैं: $a: b: c = \sin A: \sin B: \sin C$।
कोणों का मान रखने पर: $a: b: c = \sin 30^{\circ}: \sin 60^{\circ}: \sin 90^{\circ}$।
$a: b: c = \frac{1}{2}: \frac{\sqrt{3}}{2}: 1$।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $1: \sqrt{3}: 2$ का अनुपात प्राप्त होता है।

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = k$,$b = \sqrt{3}k$,और $c = 2k$ हैं।
चूँकि $a^2 + b^2 = k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2 = c^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $c = 2k$ है।
माना भुजाओं $a, b, c$ के सम्मुख कोण क्रमशः $A, B, C$ हैं।
अतः $C = 90^{\circ}$।
त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करने पर:
$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} \implies A = 30^{\circ}$।
$\sin B = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies B = 60^{\circ}$।
इस प्रकार,कोण $30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$ हैं।
कोणों का अनुपात $30^{\circ} : 60^{\circ} : 90^{\circ} = 1 : 2 : 3$ है।

(A) दिया है,$8R^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$8R^2 = (2R \sin A)^2 + (2R \sin B)^2 + (2R \sin C)^2$
$8R^2 = 4R^2 (\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C)$
$2 = \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए:
$2 = (1 - \cos^2 A) + (1 - \cos^2 B) + \sin^2 C$
$2 = 2 - \cos^2 A - \cos^2 B + \sin^2 C$
$\cos^2 A + \cos^2 B = \sin^2 C$
$\cos^2 A + \cos^2 B = 1 - \cos^2 C$
$\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1$
यह एक समकोण त्रिभुज के लिए एक ज्ञात सर्वसमिका है जहाँ एक कोण $90^\circ$ होता है।
अतः,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(C) दिया है,$\angle A=90^{\circ}$ और $\angle B \neq \angle C$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,हमारे पास $b = k \sin B$ और $c = k \sin C$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{b^2+c^2}{b^2-c^2} \sin (B-C) = \frac{k^2 \sin^2 B + k^2 \sin^2 C}{k^2 \sin^2 B - k^2 \sin^2 C} \sin (B-C)$
$= \frac{\sin^2 B + \sin^2 C}{\sin^2 B - \sin^2 C} \sin (B-C)$
चूंकि $\angle A = 90^{\circ}$,इसलिए $B+C = 90^{\circ}$,अतः $C = 90^{\circ}-B$.
इसलिए,$\sin C = \cos B$ और $\sin^2 C = \cos^2 B$.
साथ ही,$\sin^2 B - \sin^2 C = \sin(B+C) \sin(B-C) = \sin(90^{\circ}) \sin(B-C) = 1 \cdot \sin(B-C)$.
इन मानों को रखने पर:
$= \frac{\sin^2 B + \cos^2 B}{\sin(B+C)} \cdot \sin(B-C) = \frac{1}{\sin(90^{\circ})} = 1$.

(D) दिया है,त्रिभुज के कोणों का अनुपात $1: 1: 4$ है। मान लीजिए कोण $A, B$ और $C$ हैं।
$\therefore A: B: C = 1: 1: 4$
मान लीजिए $A = x, B = x$ और $C = 4x$.
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $x + x + 4x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$.
अतः,$A = 30^{\circ}, B = 30^{\circ}$ और $C = 120^{\circ}$.
सबसे बड़ा कोण $120^{\circ}$ है,इसलिए सबसे बड़ी भुजा $c$ है।
परिमाप और सबसे बड़ी भुजा का अनुपात $(a + b + c) : c$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$.
अनुपात $= (2R \sin 30^{\circ} + 2R \sin 30^{\circ} + 2R \sin 120^{\circ}) : 2R \sin 120^{\circ}$
$= (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 120^{\circ}) : \sin 120^{\circ}$
$= (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) : \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) : \frac{\sqrt{3}}{2} = (2 + \sqrt{3}) : \sqrt{3}$.

(C) दिया गया है $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,और $c = k \sin C$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{\cos A}{k \sin A} = \frac{\cos B}{k \sin B} = \frac{\cos C}{k \sin C}$
$\Rightarrow \cot A = \cot B = \cot C$
चूँकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $A = B = C$ होगा।
अतः,सभी कोण समान होने के कारण यह एक समबाहु त्रिभुज है।

(B) दिया गया है $\angle C = 90^{\circ}$,इसलिए $A+B = 90^{\circ}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,और $c = k \sin C = k \sin 90^{\circ} = k$.
तब,$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{k^2 \sin^2 A - k^2 \sin^2 B}{k^2 \sin^2 A + k^2 \sin^2 B} = \frac{\sin^2 A - \sin^2 B}{\sin^2 A + \sin^2 B}$.
चूंकि $B = 90^{\circ} - A$,इसलिए $\sin B = \cos A$ और $\cos B = \sin A$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\sin^2 A - \cos^2 A}{\sin^2 A + \cos^2 A} = \frac{-(\cos^2 A - \sin^2 A)}{1} = -\cos 2A$.
वैकल्पिक रूप से,सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\sin(A+B)\sin(A-B)}{\sin^2 A + \cos^2 A} = \sin(90^{\circ})\sin(A-B) = 1 \cdot \sin(A-B) = \sin(A-B)$.

(B) दिया है: $b=20, c=21$ और $\sin A=\frac{3}{5}$.
सर्वसमिका $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
अतः,$\cos A = \frac{4}{5}$ (मानते हुए कि $A$ एक न्यून कोण है)।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
मान रखने पर: $\frac{4}{5} = \frac{20^2+21^2-a^2}{2 \times 20 \times 21}$.
$\frac{4}{5} = \frac{400+441-a^2}{840}$.
$840 \times \frac{4}{5} = 841 - a^2$.
$168 \times 4 = 841 - a^2$.
$672 = 841 - a^2$.
$a^2 = 841 - 672 = 169$.
अतः,$a = \sqrt{169} = 13$.

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करके,हम $\cos A, \cos B, \cos C$ के मान ज्ञात करते हैं:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{25+49-9}{2(5)(7)} = \frac{65}{70} = \frac{13}{14}$
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{9+49-25}{2(3)(7)} = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}$
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{9+25-49}{2(3)(5)} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$
हेरोन के सूत्र का उपयोग करके,क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ जहाँ $s = \frac{3+5+7}{2} = 7.5 = \frac{15}{2}$.
$\Delta = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-7)} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$.
चूंकि $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$,इसलिए:
$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta} = \frac{9+25+49}{4(\frac{15\sqrt{3}}{4})} = \frac{83}{15\sqrt{3}}$.

(D) दिया गया है $a=4, b=3, c=2$ त्रिभुज $\triangle ABC$ में।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{16+9-4}{2 \times 4 \times 3} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{16+4-9}{2 \times 4 \times 2} = \frac{11}{16} \implies \sec B = \frac{16}{11}$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(a-b \cos C)(a-c \sec B) = 2(4 - 3 \times \frac{7}{8})(4 - 2 \times \frac{16}{11})$
$= 2(4 - \frac{21}{8})(4 - \frac{32}{11})$
$= 2(\frac{32-21}{8})(\frac{44-32}{11})$
$= 2(\frac{11}{8})(\frac{12}{11}) = 2 \times \frac{12}{8} = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.

(B) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a} = 6 \Rightarrow s-a = \frac{\Delta}{6}$ $(i)$
$r_2 = \frac{\Delta}{s-b} = 9 \Rightarrow s-b = \frac{\Delta}{9}$ $(ii)$
$r_3 = \frac{\Delta}{s-c} = 18 \Rightarrow s-c = \frac{\Delta}{18}$ $(iii)$
$(i), (ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर $3s - (a+b+c) = \Delta(\frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18}) = \frac{\Delta}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $3s - 2s = \frac{\Delta}{3} \Rightarrow s = \frac{\Delta}{3}$.
$s$ का मान $(i), (ii), (iii)$ में रखने पर:
$a = s - \frac{\Delta}{6} = \frac{3\Delta}{18}, b = s - \frac{\Delta}{9} = \frac{4\Delta}{18}, c = s - \frac{\Delta}{18} = \frac{5\Delta}{18}$.
अतः,$a:b:c = 3:4:5$. माना $a=3k, b=4k, c=5k$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{16k^2+25k^2-9k^2}{40k^2} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$.

(B) दिया गया है,$\triangle ABC$ में $A$ न्यूनकोण है,$C$ अधिककोण है,$\sin A = \frac{3\sqrt{3}}{14}$,$a = 3$ और $b = 5$ है।
सबसे पहले,$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{27}{196}} = \frac{13}{14}$ ज्ञात करें।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
मान रखने पर: $\frac{13}{14} = \frac{16 + c^2}{10c}$.
सरल करने पर: $14c^2 - 130c + 224 = 0 \Rightarrow 7c^2 - 65c + 112 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(7c - 16)(c - 7) = 0$.
अतः $c = \frac{16}{7}$ या $c = 7$।
चूंकि $C$ अधिककोण है,भुजा $c$ सबसे बड़ी होनी चाहिए,इसलिए $c = 7$।