Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि,$\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = 4 : 3 : 2$.
सूत्र $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}} : \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}} : \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = 4 : 3 : 2$.
प्रत्येक पद को $\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}$ से गुणा करने पर:
$(s-a) : (s-b) : (s-c) = 4 : 3 : 2$.
माना $s-a = 4k$,$s-b = 3k$,और $s-c = 2k$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $3s - (a+b+c) = 9k$.
चूंकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $3s - 2s = s = 9k$.
अब,$a = s - 4k = 9k - 4k = 5k$.
$b = s - 3k = 9k - 3k = 6k$.
$c = s - 2k = 9k - 2k = 7k$.
अतः,$a : b : c = 5k : 6k : 7k = 5 : 6 : 7$.

(A) दिया गया है,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$।
$s-a = \frac{\Delta}{r_1}$,$s-b = \frac{\Delta}{r_2} = \frac{2\Delta}{r_1}$,$s-c = \frac{\Delta}{r_3} = \frac{3\Delta}{r_1}$।
$s = (s-a) + (s-b) + (s-c) = \frac{\Delta}{r_1} + \frac{2\Delta}{r_1} + \frac{3\Delta}{r_1} = \frac{6\Delta}{r_1}$।
$b = s - (s-b) = \frac{6\Delta}{r_1} - \frac{2\Delta}{r_1} = \frac{4\Delta}{r_1}$।
$c = s - (s-c) = \frac{6\Delta}{r_1} - \frac{3\Delta}{r_1} = \frac{3\Delta}{r_1}$।
अतः,$b : c = 4 : 3$।

(B) दिया गया है $\Delta = a^2 - (b - c)^2$।
सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ का उपयोग करने पर,$\Delta = (a - b + c)(a + b - c)$।
चूंकि $2s = a + b + c$,इसलिए $a + b - c = 2s - 2c$ और $a - b + c = 2s - 2b$।
अतः,$\Delta = 4(s - b)(s - c)$।
हम जानते हैं कि $\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = 4(s - b)(s - c)$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{(s - b)(s - c)}$ से विभाजित करने पर,$\sqrt{s(s - a)} = 4\sqrt{(s - b)(s - c)}$।
इससे हमें $\sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}}$,इसलिए $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{4}$।
सूत्र $\tan A = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 - \tan^2 \frac{A}{2}}$ का उपयोग करने पर,$\tan A = \frac{2 \times \frac{1}{4}}{1 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{15}{16}} = \frac{8}{15}$।

(C) माना $2s = a+b+c$. तब $b+c-a = 2s-2a$,$c+a-b = 2s-2b$,और $a+b-c = 2s-2c$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2} = 4 \frac{s(s-a)}{bc} \cdot \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{s(s-a)}{bc}$ और $\sin^2(\frac{A}{2}) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ का उपयोग करने पर:
$4 \cos^2(\frac{A}{2}) \sin^2(\frac{A}{2}) = (2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}))^2 = \sin^2 A$.

(A) हम जानते हैं कि $a+b+c = 2s$,जहाँ $s$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।
सूत्र $\tan \frac{A}{2} = \frac{r}{s-a}$ और $\tan \frac{B}{2} = \frac{r}{s-b}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या है।
अतः,$(a+b+c)\left(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}\right) = 2s \left(\frac{r}{s-a} + \frac{r}{s-b}\right)$.
$= 2sr \left(\frac{s-b+s-a}{(s-a)(s-b)}\right) = 2sr \left(\frac{c}{(s-a)(s-b)}\right)$.
चूँकि $r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$,इसे हल करने पर परिणाम $2c \cot \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\triangle ABC$ के कोण $A = 45^{\circ}$,$B = 60^{\circ}$ हैं,अतः $C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 60^{\circ}) = 75^{\circ}$ है।
सबसे छोटा कोण $A = 45^{\circ}$ और सबसे बड़ा कोण $C = 75^{\circ}$ है,इसलिए ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार सबसे छोटी भुजा $a$ और सबसे बड़ी भुजा $c$ का अनुपात $\frac{a}{c} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}$ होगा।
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ है।
अतः,$\frac{a}{c} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}-1$।
अतः,अनुपात $(\sqrt{3}-1) : 1$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ है।
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{B}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $b+c=3a$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$ है।
$s = 2a$ का मान रखने पर,$\frac{s}{s-a} = \frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$ प्राप्त होता है।

(D) माना त्रिभुज के कोण $3x, 5x$ और $10x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $3x + 5x + 10x = 180^{\circ}$.
$18x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 10^{\circ}$.
कोण $30^{\circ}, 50^{\circ}$ और $100^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,भुजाएँ उनके सम्मुख कोणों की ज्या (sine) के समानुपाती होती हैं: $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$.
सबसे छोटी भुजा सबसे छोटे कोण $(30^{\circ})$ के सम्मुख है और सबसे बड़ी भुजा सबसे बड़े कोण $(100^{\circ})$ के सम्मुख है।
अनुपात $= \sin 30^{\circ} : \sin 100^{\circ}$.
चूंकि $\sin 100^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 80^{\circ}) = \sin 80^{\circ} = \cos 10^{\circ}$.
अनुपात $= \frac{1}{2} : \cos 10^{\circ} = 1 : 2 \cos 10^{\circ}$.

(B) हम जानते हैं कि $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ और $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$ होता है।
इनका गुणा करने पर,$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)^2}{s^2}} = \frac{s-b}{s}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\tan \frac{A}{2} = \frac{5}{6}$ और $\tan \frac{C}{2} = \frac{2}{5}$,अतः $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{5}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{3}$ है।
इस प्रकार,$\frac{s-b}{s} = \frac{1}{3}$ है।
$3(s - b) = s$ $\Rightarrow 3s - 3b = s$ $\Rightarrow 2s = 3b$।
चूँकि $2s = a + b + c$,इसलिए $a + b + c = 3b$,जो सरल होकर $a + c = 2b$ हो जाता है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2-5x+6=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x-3)(x-2)=0$ प्राप्त होता है,जिससे मूल $x=3$ और $x=2$ मिलते हैं।
ये मूल त्रिभुज की दो भुजाओं को दर्शाते हैं,इसलिए मान लीजिए $a=3$ और $b=2$ है।
इन भुजाओं के बीच का कोण $C = \frac{\pi}{3}$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$।
मान रखने पर,$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{3^2+2^2-c^2}{2 \times 3 \times 2}$।
$\frac{1}{2} = \frac{9+4-c^2}{12} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{13-c^2}{12}$।
$6 = 13-c^2$ $\Rightarrow c^2 = 7$ $\Rightarrow c = \sqrt{7}$।
त्रिभुज का परिमाप $a+b+c = 3+2+\sqrt{7} = 5+\sqrt{7}$ है।

(C) हम जानते हैं कि अंतःत्रिज्या और बहिःत्रिज्याएं इस प्रकार हैं:
$r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
$r_2 = 4R \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
$r_3 = 4R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
दिया गया है $r_3 = r_1 + r_2 + r$,अतः:
$r_3 - r = r_1 + r_2$
सरल करने पर:
$\sin \frac{C}{2} \cos(\frac{A+B}{2}) = \cos \frac{C}{2} \sin(\frac{A+B}{2})$
$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$ रखने पर:
$\sin^2 \frac{C}{2} = \cos^2 \frac{C}{2}$
$\tan^2 \frac{C}{2} = 1$ $\Rightarrow \frac{C}{2} = 45^{\circ}$ $\Rightarrow C = 90^{\circ}$
अतः,$A+B = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

(A) हमारे पास त्रिभुज की बाह्य त्रिज्याओं (exradii) के लिए सूत्र हैं:
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$
दिया गया है कि $r_1 < r_2 < r_3$,इसलिए:
$\frac{\Delta}{s-a} < \frac{\Delta}{s-b} < \frac{\Delta}{s-c}$
चूंकि $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है जो धनात्मक है,व्युत्क्रम लेने पर असमानता के चिह्न बदल जाएंगे:
$s-a > s-b > s-c$
सभी पदों से $s$ घटाने पर:
$-a > -b > -c$
$-1$ से गुणा करने पर असमानता के चिह्न फिर से बदल जाएंगे:
$a < b < c$

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए, $a = 2R \sin A$ और $c = 2R \sin C$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$a^2 \sin 2C + c^2 \sin 2A = (2R \sin A)^2 (2 \sin C \cos C) + (2R \sin C)^2 (2 \sin A \cos A)$
$= 8R^2 \sin^2 A \sin C \cos C + 8R^2 \sin^2 C \sin A \cos A$
$= 8R^2 \sin A \sin C (\sin A \cos C + \cos A \sin C)$
$= 8R^2 \sin A \sin C \sin(A + C)$
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$, इसलिए $\sin(A + C) = \sin B$।
$= 8R^2 \sin A \sin B \sin C$
क्षेत्रफल के सूत्र $\Delta = \frac{abc}{4R}$ का उपयोग करते हुए, $abc = 4R\Delta$।
साथ ही, $\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, $\sin C = \frac{c}{2R}$।
अतः, $8R^2 \cdot \frac{a}{2R} \cdot \frac{b}{2R} \cdot \frac{c}{2R} = \frac{abc}{R} = \frac{4R\Delta}{R} = 4\Delta$।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज की बाह्य त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं।
दिया गया है $r_1=4, r_2=8, r_3=24$।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta} = \frac{1}{4}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta} = \frac{1}{8}$,और $\frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta} = \frac{1}{24}$।
इन्हें जोड़ने पर,$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{3s-(a+b+c)}{\Delta} = \frac{3s-2s}{\Delta} = \frac{s}{\Delta} = \frac{1}{r}$।
अतः,$\frac{1}{r} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{6+3+1}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$,जिसका अर्थ है $r = \frac{12}{5}$।
अब,$\frac{s-a}{\Delta} = \frac{1}{4} \implies s-a = \frac{\Delta}{4} = \frac{rs}{4} = \frac{(12/5)s}{4} = \frac{3s}{5} \implies a = s - \frac{3s}{5} = \frac{2s}{5}$।
इसी प्रकार,$s-b = \frac{\Delta}{8} = \frac{(12/5)s}{8} = \frac{3s}{10} \implies b = s - \frac{3s}{10} = \frac{7s}{10}$।
और $s-c = \frac{\Delta}{24} = \frac{(12/5)s}{24} = \frac{s}{10} \implies c = s - \frac{s}{10} = \frac{9s}{10}$।
अतः,$a:b:c = \frac{2s}{5} : \frac{7s}{10} : \frac{9s}{10} = 4:7:9$।

(D) माना $\tan \frac{A}{2} = 15k$,$\tan \frac{B}{2} = 10k$,और $\tan \frac{C}{2} = 6k$ है।
सूत्र $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\tan(A/2)}{\tan(B/2)} = \sqrt{\frac{(s-b)^2}{(s-a)^2}} = \frac{s-b}{s-a} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$।
इससे $2s - 2b = 3s - 3a$ प्राप्त होता है,अर्थात $s = 3a - 2b$।
इसी प्रकार,$\frac{\tan(B/2)}{\tan(C/2)} = \sqrt{\frac{(s-c)^2}{(s-b)^2}} = \frac{s-c}{s-b} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$।
इससे $3s - 3c = 5s - 5b$ प्राप्त होता है,अर्थात $2s = 5b - 3c$।
$s = \frac{a+b+c}{2}$ रखने पर,हमें $a+b+c = 5b - 3c$ मिलता है,जो सरल होकर $a = 4b - 4c$ हो जाता है।
अतः,$\frac{a}{b-c} = 4$।

(D) दिया गया है $r_1=2 r_2=3 r_3$।
सूत्र $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c}$
$\frac{1}{s-a} = \frac{2}{s-b}$ से,हमें $s-b = 2s-2a \Rightarrow s = 2a-b$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{s-a} = \frac{3}{s-c}$ से,हमें $s-c = 3s-3a \Rightarrow 2s = 3a-c$ प्राप्त होता है।
$s = \frac{a+b+c}{2}$ को इन समीकरणों में रखने पर:
$a+b+c = 4a-2b \Rightarrow 3a-3b = c$।
$a+b+c = 3a-c \Rightarrow 2a-b = 2c$।
अनुपात ज्ञात करने पर:
$3a-3b = c$ और $2a-b = 2c$ से,$2(3a-3b) = 2a-b$ $\Rightarrow 6a-6b = 2a-b$ $\Rightarrow 4a = 5b$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{5}{4}$।
तब $c = 3a-3b = 3a - 3(\frac{4a}{5}) = 3a - \frac{12a}{5} = \frac{3a}{5} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$।
चूंकि $\frac{a}{b} = \frac{5}{4}$ और $\frac{c}{a} = \frac{3}{5}$,इसलिए $\frac{b}{c} = \frac{b}{a} \times \frac{a}{c} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$।
अंत में,$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} = \frac{5}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{75+80+36}{60} = \frac{191}{60}$।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज $ABC$ में,कोटिस्पर्शज्या अर्ध-कोण सूत्र $\cot \frac{A}{2} = \frac{s-a}{r}$,$\cot \frac{B}{2} = \frac{s-b}{r}$,और $\cot \frac{C}{2} = \frac{s-c}{r}$ हैं।
इन मानों को व्यंजक $r^2 \cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= r^2 \left( \frac{s-a}{r} \right) \left( \frac{s-b}{r} \right) \left( \frac{s-c}{r} \right)$
$= r^2 \cdot \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r^3}$
$= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r}$
चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = rs$ है,इसलिए $r = \frac{\Delta}{s}$।
साथ ही,हेरॉन के सूत्र के अनुसार,$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,इसलिए $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,जिसका अर्थ है कि $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$।
इन मानों को रखने पर:
$= \frac{\Delta^2 / s}{\Delta / s} = \frac{\Delta^2}{s} \cdot \frac{s}{\Delta} = \Delta$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $a=5, b=6, c=9$. परित्रिज्या $R = SB = \frac{27}{4 \sqrt{2}}$.
हम जानते हैं कि $\sin 2C = 2 \sin C \cos C$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\sin C = \frac{c}{2R}$.
कोज्या नियम (Cosine Rule) का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 2C = 2 \times \left( \frac{c}{2R} \right) \times \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) = \frac{c}{R} \times \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\sin 2C = \frac{9}{\frac{27}{4 \sqrt{2}}} \times \frac{5^2 + 6^2 - 9^2}{2 \times 5 \times 6}$.
$\sin 2C = \left( 9 \times \frac{4 \sqrt{2}}{27} \right) \times \frac{25 + 36 - 81}{60}$.
$\sin 2C = \left( \frac{4 \sqrt{2}}{3} \right) \times \left( \frac{-20}{60} \right) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} \times \left( -\frac{1}{3} \right) = -\frac{4 \sqrt{2}}{9}$.

(A) दिया है: $(a-b)(s-c)=(b-c)(s-a)$
$\Rightarrow \frac{s-c}{b-c}=\frac{s-a}{a-b}$
$\Rightarrow \frac{s-c}{(s-c)-(s-b)}=\frac{s-a}{(s-b)-(s-a)}$
चूँकि $r_1=\frac{\Delta}{s-a}, r_2=\frac{\Delta}{s-b}, r_3=\frac{\Delta}{s-c}$,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
$\Rightarrow \frac{\frac{\Delta}{r_3}}{\frac{\Delta}{r_3}-\frac{\Delta}{r_2}}=\frac{\frac{\Delta}{r_1}}{\frac{\Delta}{r_2}-\frac{\Delta}{r_1}}$
$\Rightarrow \frac{r_2}{r_2-r_3}=\frac{r_2}{r_1-r_2}$
$\Rightarrow r_1-r_2=r_2-r_3$
$\Rightarrow r_1+r_3=2r_2$
अतः,$r_1, r_2, r_3$ समांतर श्रेणी में हैं।

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$b = 2R \sin B$ और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B = (2R \sin B)^2 (2 \sin C \cos C) + (2R \sin C)^2 (2 \sin B \cos B)$
$= 8R^2 \sin^2 B \sin C \cos C + 8R^2 \sin^2 C \sin B \cos B$
$= 8R^2 \sin B \sin C (\sin B \cos C + \cos B \sin C)$
$= 8R^2 \sin B \sin C \sin (B + C)$
चूंकि $A + B + C = \pi$,इसलिए $\sin (B + C) = \sin (\pi - A) = \sin A$ है।
$= 8R^2 \sin A \sin B \sin C$
$= 2(2R \sin B)(2R \sin C) \sin A$
$= 2bc \sin A$
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$ होता है,इसलिए $bc \sin A = 2\Delta$ है।
अतः,$2bc \sin A = 2(2\Delta) = 4\Delta$.

(C) हम जानते हैं कि त्रिभुज $ABC$ के लिए,
$r_1+r_2 = 2R(1+\cos C)$।
अतः,$\frac{1+\cos C}{r_1+r_2} = \frac{1}{2R}$।
इसी प्रकार,$\frac{1+\cos A}{r_2+r_3} = \frac{1}{2R}$ और $\frac{1+\cos B}{r_1+r_3} = \frac{1}{2R}$।
इन तीनों को जोड़ने पर,$\frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R}$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $r = \frac{\Delta}{s}$ है।
हमें $r + r_3 + r_2 - r_1$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
$r + r_3 + r_2 - r_1 = \frac{\Delta}{s} + \frac{\Delta}{s-c} + \frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s-a}$
$= \Delta \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{s-a} \right) + \Delta \left( \frac{1}{s-c} + \frac{1}{s-b} \right)$
$= \Delta \left( \frac{s-a-s}{s(s-a)} \right) + \Delta \left( \frac{s-b+s-c}{(s-c)(s-b)} \right)$
$= \Delta \left( \frac{-a}{s(s-a)} \right) + \Delta \left( \frac{2s-b-c}{(s-c)(s-b)} \right)$
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $2s-b-c = a$ है।
$= \Delta \left( \frac{-a}{s(s-a)} + \frac{a}{(s-c)(s-b)} \right)$
$= \Delta a \left( \frac{-(s-c)(s-b) + s(s-a)}{s(s-a)(s-b)(s-c)} \right)$
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\Delta a}{\Delta^2} (-(s^2 - (b+c)s + bc) + (s^2 - as)) = 0$
अतः,सही विकल्प $\cos A$ है।

(A) दिया गया है कि $r = r_1 - r_2 - r_3$।
मानक सूत्रों $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\Delta}{s} = \frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s-c}$
$\frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} = \frac{1}{s-a} - \frac{1}{s}$
$\frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)} = \frac{s-(s-a)}{s(s-a)}$
$\frac{2s-b-c}{(s-b)(s-c)} = \frac{a}{s(s-a)}$
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $2s-b-c = a$:
$\frac{a}{(s-b)(s-c)} = \frac{a}{s(s-a)}$
$s(s-a) = (s-b)(s-c)$
$s^2 - sa = s^2 - s(b+c) + bc$
$s(b+c-a) = bc$
$s = \frac{a+b+c}{2}$ रखने पर:
$\frac{a+b+c}{2} \times (b+c-a) = bc$
$(b+c)^2 - a^2 = 2bc$
$b^2 + c^2 + 2bc - a^2 = 2bc$
$b^2 + c^2 = a^2$
यह दर्शाता है कि $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle A = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज में,परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{a}{2}$,इसलिए $2R = a$।

(D) दिया गया है $a: b: c = 2: 3: 4$. मान लीजिए $a = 2k, b = 3k, c = 4k$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{9k}{2}$.
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{3k^2\sqrt{15}}{4}$.
हम जानते हैं कि $R = \frac{abc}{4\Delta}$ और $r = \frac{\Delta}{s}$.
अतः,$\frac{R}{r} = \frac{abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{(2k)(3k)(4k)}{4(\frac{5k}{2})(\frac{3k}{2})(\frac{k}{2})} = \frac{24k^3}{4 \cdot \frac{15k^3}{8}} = \frac{16}{5}$.
इसलिए,$R: r = 16: 5$.

(C) दिया गया है कि $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका आधार $BC$ है।
अतः,$\angle B = \angle C$.
हम जानते हैं कि बाह्य त्रिज्या $r_1$ का मान है:
$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
चूंकि $\angle B = \angle C$,इसलिए $\frac{B}{2} = \frac{C}{2}$,अतः:
$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos^2 \frac{B}{2}$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^2 \frac{B}{2} = \frac{1 + \cos B}{2}$.
साथ ही,$\triangle ABC$ में,$A + B + C = \pi$,इसलिए $B = \frac{\pi - A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}$.
इस प्रकार,$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos^2 \frac{B}{2}$ को सरल करने पर परिणाम $R^2 \sin^2 A$ प्राप्त होता है।

(D) माना $a = 13$,$b = 14$,और $c = 15$ है।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$.
अब,हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta$ ज्ञात करें:
$\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84$.
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta}$ की गणना करें:
$R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \frac{65}{8}$.
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ की गणना करें:
$r = \frac{84}{21} = 4$.
अंत में,$8R + r$ का मान ज्ञात करें:
$8R + r = 8 \times \left(\frac{65}{8}\right) + 4 = 65 + 4 = 69$.

(D) दिया है,$r_1=2, r_2=3$ और $r_3=6$।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या है।
$\frac{1}{r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1$,अतः $r=1$।
साथ ही,$\Delta = \sqrt{r r_1 r_2 r_3} = \sqrt{1 \times 2 \times 3 \times 6} = \sqrt{36} = 6$।
चूँकि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,इसलिए $2 = \frac{6}{s-a}$,जिसका अर्थ है $s-a = 3$।
साथ ही,$s = \frac{\Delta}{r} = \frac{6}{1} = 6$।
$s=6$ को $s-a=3$ में रखने पर,हमें $6-a=3$ प्राप्त होता है,अतः $a=3$।

(D) माना $s = \frac{a+b+c}{2}$ त्रिभुज $\triangle ABC$ का अर्ध-परिमाप है। तब $a+b+c = 2s$,$b+c-a = 2(s-a)$,$c+a-b = 2(s-b)$,और $a+b-c = 2(s-c)$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(2s)(2(s-a))(2(s-b))(2(s-c))}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2}$.
हेरोन के सूत्र के अनुसार,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए व्यंजक $\frac{16\Delta^2}{4b^2c^2} = \frac{4\Delta^2}{b^2c^2}$ हो जाता है।
चूंकि क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ है,इसलिए $\sin A = \frac{2\Delta}{bc}$ होता है।
अतः,$\frac{4\Delta^2}{b^2c^2} = (\frac{2\Delta}{bc})^2 = \sin^2 A$।

(A) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
अतः,$r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = \frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$.
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)} [(s-c) + (s-a) + (s-b)]$.
चूंकि $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\frac{\Delta^2}{\Delta^2/s} [3s - (a+b+c)]$.
$a+b+c = 2s$ का उपयोग करने पर:
$s [3s - 2s] = s^2$.
चूंकि $r = \frac{\Delta}{s}$,इसलिए $s = \frac{\Delta}{r}$,अर्थात $s^2 = \frac{\Delta^2}{r^2}$.