Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Hindi

(B) हम जानते हैं कि $r = (s-a) \tan \frac{A}{2} = (s-b) \tan \frac{B}{2} = (s-c) \tan \frac{C}{2}$ और $r_1 = s \tan \frac{A}{2}$ है।
दिया गया है $\frac{r}{r_1} = \frac{1}{2}$,अतः $\frac{s-a}{s} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $s = 2a$।
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $b+c = 3a$।
सर्वसमिका $\tan \frac{A}{2} (\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 1 - \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर।
यहाँ $\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{s-a}{s} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\tan \frac{A}{2} (\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
इसलिए,$4 \tan \frac{A}{2} (\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 4 \times \frac{1}{2} = 2$।

(D) दिया गया है कि $a=7, b=8$ और $\cos C=\frac{2}{7}$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$।
मान रखने पर: $\frac{2}{7} = \frac{7^2+8^2-c^2}{2 \times 7 \times 8}$।
$\frac{2}{7} = \frac{49+64-c^2}{112}$।
दोनों पक्षों को $112$ से गुणा करने पर: $\frac{2 \times 112}{7} = 113 - c^2$।
$2 \times 16 = 113 - c^2$।
$32 = 113 - c^2$।
$c^2 = 113 - 32 = 81$।
अतः,$c = \sqrt{81} = 9$।

(D) दिया गया व्यंजक: $\left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right) = \left(\frac{c+a+b}{c}\right)\left(\frac{b+c-a}{b}\right)$
$= \frac{(b+c)^2-a^2}{bc} = \frac{b^2+c^2-a^2+2bc}{bc}$
$= \frac{b^2+c^2-a^2}{bc} + 2 = 2\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) + 2$
$= 2\cos A + 2$
चूँकि $A+B+C = 180^{\circ}$ और $B+C = 72^{\circ}$,इसलिए $A = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$.
अतः,व्यंजक $2\cos 108^{\circ} + 2 = 2\cos(90^{\circ} + 18^{\circ}) + 2$
$= -2\sin 18^{\circ} + 2 = -2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) + 2$
$= \frac{1-\sqrt{5}}{2} + 2 = \frac{1-\sqrt{5}+4}{2} = \frac{5-\sqrt{5}}{2}$.

(B) प्रोजेक्शन सूत्र का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $b = c \cos A + a \cos C$ और $c = b \cos A + a \cos B$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{b - c \cos A}{c - b \cos A} = \frac{(c \cos A + a \cos C) - c \cos A}{(b \cos A + a \cos B) - b \cos A}$
$= \frac{a \cos C}{a \cos B}$
$= \frac{\cos C}{\cos B}$

(B) माना $\triangle ABC$ के कोण $(A-d), A, (A+d)$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$(A-d) + A + (A+d) = 180^{\circ}$
$3A = 180^{\circ} \Rightarrow A = 60^{\circ}$।
कोण $A$ के लिए कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$\cos 60^{\circ} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$\frac{1}{2} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$bc = b^2+c^2-a^2$
$a^2 = b^2+c^2-bc$।
अतः,सही संबंध $a^2 = b^2+c^2-bc$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{c+a} = \frac{3}{a+b+c}$
दोनों पक्षों को $(a+b+c)$ से गुणा करने पर:
$\frac{a+b+c}{a+b} + \frac{a+b+c}{c+a} = 3$
$1 + \frac{c}{a+b} + 1 + \frac{b}{c+a} = 3$
$\frac{c}{a+b} + \frac{b}{c+a} = 1$
$c(c+a) + b(a+b) = (a+b)(c+a)$
$c^2 + ac + ab + b^2 = ac + a^2 + bc + ab$
$b^2 + c^2 - a^2 = bc$
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$\cos A = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\cos A = \frac{1}{2}$,इसलिए $A = 60^{\circ}$
अतः,$\sin A = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(C) दिया गया है: $a^2-c^2=b^2-bc \Rightarrow b^2+c^2-a^2=bc$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$.
अतः,$A = 60^{\circ}$.
साइन नियम का उपयोग करने पर,$\frac{a}{\sin A} = 2R$ $\Rightarrow \frac{a}{\sin 60^{\circ}} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow a = 1$.
दिए गए $\sqrt{2}a = 2b-c$ में $a=1$ रखने पर: $\sqrt{2} = 2b-c \Rightarrow c = 2b-\sqrt{2}$.
$c$ का मान $a^2-c^2=b^2-bc$ में रखने पर: $1^2 - (2b-\sqrt{2})^2 = b^2 - b(2b-\sqrt{2})$.
सरल करने पर $3b^2 - 3\sqrt{2}b + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$b = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{6}}$.

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = \sqrt{3}k$,$b = \sqrt{5}k$,और $c = \sqrt{8+\sqrt{15}}k$ हैं।
चूँकि $c$ सबसे बड़ी भुजा है,सबसे बड़ा कोण $\theta$ भुजा $c$ के सम्मुख है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos \theta = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{(\sqrt{3}k)^2 + (\sqrt{5}k)^2 - (\sqrt{8+\sqrt{15}}k)^2}{2(\sqrt{3}k)(\sqrt{5}k)}$.
$\cos \theta = \frac{3k^2 + 5k^2 - (8+\sqrt{15})k^2}{2\sqrt{15}k^2}$.
$\cos \theta = \frac{8k^2 - 8k^2 - \sqrt{15}k^2}{2\sqrt{15}k^2} = \frac{-\sqrt{15}k^2}{2\sqrt{15}k^2} = -\frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{2\pi}{3}$ है।

(B) दी गई व्यंजक: $b \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{B}{2}$
सर्वसमिका $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos(2\theta)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [b(1 + \cos C) + c(1 + \cos B)]$
$= \frac{1}{2} [b + c + b \cos C + c \cos B]$
प्रक्षेप नियम (projection rule) के अनुसार,$a = b \cos C + c \cos B$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$= \frac{1}{2} [b + c + a] = \frac{1}{2} (a + b + c)$
चूंकि परिमाप $a + b + c = 50 \text{ cm}$ है:
$= \frac{50}{2} = 25 \text{ cm}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है.

(C) ज्या (sine) नियम से: $\frac{\alpha+1}{\sin A} = \frac{\alpha-1}{\sin B} = \frac{\alpha}{\sin C}$.
दिया है $A = 2B$,इसलिए $\frac{\alpha+1}{\sin 2B} = \frac{\alpha-1}{\sin B}$.
$\sin 2B = 2 \sin B \cos B$ का उपयोग करने पर,$\frac{\alpha+1}{2 \sin B \cos B} = \frac{\alpha-1}{\sin B}$,जो सरल होकर $\cos B = \frac{\alpha+1}{2(\alpha-1)} \dots(1)$ देता है।
कोज्या (cosine) नियम से: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{(\alpha+1)^2 + \alpha^2 - (\alpha-1)^2}{2(\alpha+1)(\alpha)}$.
अंश का सरलीकरण: $(\alpha^2 + 2\alpha + 1) + \alpha^2 - (\alpha^2 - 2\alpha + 1) = \alpha^2 + 4\alpha$.
अतः,$\cos B = \frac{\alpha^2 + 4\alpha}{2\alpha(\alpha+1)} = \frac{\alpha+4}{2(\alpha+1)} \dots(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर: $\frac{\alpha+1}{2(\alpha-1)} = \frac{\alpha+4}{2(\alpha+1)}$.
$(\alpha+1)^2 = (\alpha-1)(\alpha+4) \Rightarrow \alpha^2 + 2\alpha + 1 = \alpha^2 + 3\alpha - 4$.
$\alpha$ के लिए हल करने पर,हमें $\alpha = 5$ प्राप्त होता है।

(A) दिया है,$a^4+b^4+c^4=2b^2c^2+2a^2b^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a^4+b^4+c^4-2b^2c^2-2a^2b^2=0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $2a^2c^2$ जोड़ने पर,$a^4+c^4+b^4-2a^2b^2-2b^2c^2+2a^2c^2 = 2a^2c^2$ प्राप्त होता है।
यह $(a^2+c^2-b^2)^2 = 2a^2c^2$ में सरल हो जाता है।
$4a^2c^2$ से भाग देने पर,$\frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{4a^2c^2} = \frac{2a^2c^2}{4a^2c^2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$,इसलिए $\cos^2 B = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\cos B = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$B = \frac{\pi}{4}$ या $B = \frac{3\pi}{4}$।

(C) $\triangle ACD$ में,चूंकि $AD \perp AC$,$\angle DAC = 90^\circ$ है। अतः,$\cos C = \frac{AC}{CD} = \frac{b}{a/2} = \frac{2b}{a}$।
$\triangle ABC$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) से,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$।
$\cos C$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{2b}{a} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$4b^2 = a^2+b^2-c^2$
$3b^2 = a^2-c^2 \implies b^2 = \frac{a^2-c^2}{3}$।
अब,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$।
$\cos A \cos C = \left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) \left(\frac{2b}{a}\right) = \frac{b^2+c^2-a^2}{ac}$।
$b^2 = \frac{a^2-c^2}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos A \cos C = \frac{\frac{a^2-c^2}{3} + c^2 - a^2}{ac} = \frac{a^2-c^2+3c^2-3a^2}{3ac} = \frac{2c^2-2a^2}{3ac} = \frac{2(c^2-a^2)}{3ac}$।

(D) माना $\triangle ABC$ के कोण $60^{\circ}-d, 60^{\circ}, 60^{\circ}+d$ हैं।
कोसाइन के नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos 60^{\circ} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{1}{2}$
$a^2+c^2-b^2 = ac$
$c^2 - ac + (a^2-b^2) = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $c$ के लिए हल करने पर:
$c = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4(a^2-b^2)}}{2}$
$c = \frac{a \pm \sqrt{4b^2-3a^2}}{2}$

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} = \frac{3}{a+b+c}$
बाएँ पक्ष का लघुत्तम $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(b+c) + (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\Rightarrow \frac{a+b+2c}{ab + ac + bc + c^2} = \frac{3}{a+b+c}$
वज्र-गुणन करने पर: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(ab + ac + bc + c^2)$
$(a+b)^2 + c(a+b) + 2c(a+b) + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$
$a^2 + b^2 - ab = c^2$
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$a^2 + b^2 - ab = c^2$ की तुलना $a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2$ से करने पर:
$ab = 2ab \cos C$
$\cos C = \frac{1}{2}$
अतः,$\angle C = 60^{\circ}$.

(A) दिया गया है: $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
अर्ध-कोण सूत्रों $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$ और $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ का उपयोग करने पर:
$a \cdot \frac{s(s-c)}{ab} + c \cdot \frac{s(s-a)}{bc} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s(s-c)}{b} + \frac{s(s-a)}{b} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s}{b} (s - c + s - a) = \frac{3b}{2}$
चूँकि $2s = a + b + c$,इसलिए $2s - a - c = b$:
$\frac{s}{b} (b) = \frac{3b}{2}$
$s = \frac{3b}{2}$
$2s = 3b$
$a + b + c = 3b$
$a + c = 2b$
अतः,$a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं.

(B) कोज्या (cosine) नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ और $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$a(b \cos C - c \cos B) = ab \cos C - ac \cos B$
$= ab \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) - ac \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right)$
$= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}$
$= \frac{2b^2 - 2c^2}{2}$
$= b^2 - c^2$.

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} = \frac{3}{a+b+c}$
बाएँ पक्ष का लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर: $\frac{(c+a) + (b+c)}{(b+c)(c+a)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\frac{a+b+2c}{bc + ab + c^2 + ac} = \frac{3}{a+b+c}$
वज्र-गुणन करने पर: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(bc + ab + c^2 + ac)$
$(a+b)^2 + 3c(a+b) + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
समान पदों को घटाने पर: $a^2 + b^2 - c^2 = ab$
कोसाइन नियम के अनुसार: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$a^2 + b^2 - c^2 = ab$ रखने पर: $\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
अतः,$\angle C = 60^{\circ}$।

(B) हमारे पास है,$(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2 - 2ab) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + b^2 + 2ab) \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2)(\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab(\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$
$= (a^2 + b^2)(1) - 2ab \cos C$
चूंकि $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$,इसलिए $a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2$
अतः,व्यंजक का मान $c^2$ है।

(B) हम जानते हैं कि त्रिभुज में आधे कोणों के लिए कोटैंजेंट का सूत्र: $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ है।
इनका गुणा करने पर: $\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$।
दिया गया है $3a = b + c$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$ है।
$s = 2a$ का मान व्यंजक में रखने पर: $\frac{s}{s-a} = \frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$।

(D) दिया गया है,$\frac{a}{b^2-c^2} + \frac{c}{b^2-a^2} = 0$।
ज्या नियम (sine rule) $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2R \sin A}{4R^2(\sin^2 B - \sin^2 C)} + \frac{2R \sin C}{4R^2(\sin^2 B - \sin^2 A)} = 0$
$\Rightarrow \frac{\sin A}{\sin(B+C)\sin(B-C)} + \frac{\sin C}{\sin(B+A)\sin(B-A)} = 0$
चूँकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin(B+C) = \sin A$ और $\sin(B+A) = \sin C$।
$\Rightarrow \frac{\sin A}{\sin A \sin(B-C)} + \frac{\sin C}{\sin C \sin(B-A)} = 0$
$\Rightarrow \frac{1}{\sin(B-C)} + \frac{1}{\sin(B-A)} = 0$
$\Rightarrow \sin(B-A) + \sin(B-C) = 0$
$\Rightarrow 2 \sin\left(\frac{2B-A-C}{2}\right) \cos\left(\frac{A-C}{2}\right) = 0$
यह मानते हुए कि $\cos\left(\frac{A-C}{2}\right) \neq 0$,हमें $\sin\left(\frac{2B-(A+C)}{2}\right) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A+C = \pi - B$,इसलिए $\frac{2B-(\pi-B)}{2} = 0$ $\Rightarrow 3B = \pi$ $\Rightarrow B = \frac{\pi}{3}$।

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
प्रथम पद के लिए:
$\frac{\cos C+\cos A}{c+a} = \frac{2 \cos \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}}{2R(\sin C+\sin A)} = \frac{2 \cos \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}}{2R \cdot 2 \sin \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}} = \frac{1}{2R} \cot \frac{C+A}{2} = \frac{1}{2R} \tan \frac{B}{2}$.
द्वितीय पद के लिए:
$\frac{\cos B}{b} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{1}{2R} \cot B$.
दोनों का योग करने पर:
$\frac{1}{2R} \left( \tan \frac{B}{2} + \cot B \right) = \frac{1}{2R} \left( \tan \frac{B}{2} + \frac{1-\tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R} \left( \frac{2 \tan^2 \frac{B}{2} + 1 - \tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R} \left( \frac{1 + \tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R} \cdot \frac{1}{\sin B} = \frac{1}{b}$.

(A) $\triangle ABC$ का परिमाप $a+b+c$ है। इसके कोणों के ज्या का समांतर माध्य $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ है।
दिया है: $a+b+c = 6 \times \left(\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}\right) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ रखने पर:
$2R(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
इससे $2R = 2$,अर्थात $R = 1$ प्राप्त होता है।
दिया है $BC = a = 1$,अतः $a = 2R \sin A$ का उपयोग करने पर:
$1 = 2(1) \sin A \implies \sin A = \frac{1}{2}$.
चूंकि $A$ एक त्रिभुज का कोण है,इसलिए $A = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$।

(B) चूंकि $BC$ कर्ण है,इसलिए त्रिभुज $A$ पर समकोण है,अतः $\angle A = \frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
अतः,$r_2 + r_3 = \Delta \left( \frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} \right) = \Delta \left( \frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)} \right) = \Delta \left( \frac{2s-b-c}{(s-b)(s-c)} \right)$.
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $2s-b-c = a$.
साथ ही,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए $(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s(s-a)}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$r_2 + r_3 = \Delta \left( \frac{a}{\Delta^2 / s(s-a)} \right) = \frac{as(s-a)}{\Delta}$.
चूंकि $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,इसलिए $\frac{s(s-a)}{\Delta} = \cot \frac{A}{2}$.
अतः,$r_2 + r_3 = a \cot \frac{A}{2} = a \cot \frac{\pi}{4} = a(1) = a$.

(D) दिया गया है $a=3, b=7, c=8$।
टैंजेंट के नियम का उपयोग करते हुए,$\tan \frac{C-A}{2} = \frac{c-a}{c+a} \cot \frac{B}{2}$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin \frac{B}{2} \tan \frac{C-A}{2} = \sin \frac{B}{2} \left( \frac{c-a}{c+a} \right) \cot \frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2} \left( \frac{c-a}{c+a} \right) \frac{\cos \frac{B}{2}}{\sin \frac{B}{2}} = \left( \frac{c-a}{c+a} \right) \cos \frac{B}{2}$।
अब,कोसाइन के नियम का उपयोग करके $\cos B$ ज्ञात करें:
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{3^2+8^2-7^2}{2 \times 3 \times 8} = \frac{9+64-49}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$।
अर्ध-कोण सूत्र $\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos B}{2}}$ का उपयोग करते हुए:
$\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1+1/2}{2}} = \sqrt{\frac{3/2}{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अंत में,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{8-3}{8+3} \right) \cos \frac{B}{2} = \frac{5}{11} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{22}$।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ और $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$.
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-c)^2}} = \frac{s}{s-c} = K$.
यहाँ $K = 1 + \frac{c}{s-c} = 1 + \frac{2c}{a+b-c}$.
त्रिभुज असमिका के अनुसार $a+b > c$ है,इसलिए $a+b-c > 0$,जिसका अर्थ है $K > 1$.
जैसे-जैसे $C \to 180^{\circ}$,$K \to \infty$.
अतः,$K$ का परिसर $(1, \infty)$ है.

(D) दिया है,$4 \Delta = c^2 - (a - b)^2$.
सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ का उपयोग करने पर:
$4 \Delta = (c - a + b)(c + a - b)$.
$4$ से भाग देने पर:
$\Delta = \left(\frac{b + c - a}{2}\right) \left(\frac{a + c - b}{2}\right) = (s - a)(s - b)$,जहाँ $s$ अर्ध-परिमाप है।
हेरोन के सूत्र से,$\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
अतः,$\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = (s - a)(s - b)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $s(s - a)(s - b)(s - c) = (s - a)^2(s - b)^2$.
$\frac{s(s - c)}{(s - a)(s - b)} = 1$.
हम जानते हैं कि $\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{(s - a)(s - b)}{s(s - c)}$.
इसलिए,$\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = 1$,जिसका अर्थ है $\tan\left(\frac{C}{2}\right) = 1$.
$\frac{C}{2} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow C = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$\sin C = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

(B) हम जानते हैं कि $\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$ और $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$.
इनका गुणा करने पर,$\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)} \cdot \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} = \sqrt{\frac{(s-a)^2}{s^2}} = \frac{s-a}{s}$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ रखने पर,$\frac{s-a}{s} = \frac{\frac{a+b+c}{2} - a}{\frac{a+b+c}{2}} = \frac{b+c-a}{b+c+a}$.
दिया है $b+c = 4a$,इसलिए:
$\frac{4a-a}{4a+a} = \frac{3a}{5a} = \frac{3}{5}$.

(C) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$।
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-b)^2}} = \frac{s}{s-b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $s = \frac{a+b+c}{2}$,इसलिए $2s = a+b+c$ है।
अतः,$\frac{s}{s-b} = \frac{2s}{2s-2b} = \frac{a+b+c}{a+b+c-2b} = \frac{(a+c)+b}{(a+c)-b}$।
दिया गया है कि $a+c=5b$,इसलिए $\frac{5b+b}{5b-b} = \frac{6b}{4b} = \frac{3}{2}$।

(A) त्रिभुज $ABC$ के लिए दिया गया है: $c=9, s=10, \Delta=10\sqrt{2}$.
नेपियर सादृश्य का उपयोग करते हुए: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b}\cot\left(\frac{C}{2}\right)$.
हम जानते हैं कि $\cot\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{s(s-c)}{\Delta} = \frac{10(10-9)}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $\sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b}$.
अब,इस मान को $b\left[1+\sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)\right]$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= b\left[1 + \frac{a-b}{a+b}\right] = b\left[\frac{a+b+a-b}{a+b}\right] = b\left[\frac{2a}{a+b}\right]$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a\left[\frac{2b}{a+b}\right] = a\left[\frac{(a+b)-(a-b)}{a+b}\right] = a\left[1 - \frac{a-b}{a+b}\right]$.
$\frac{a-b}{a+b} = \sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)$ को वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= a\left[1 - \sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)\right]$.

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $x-1, x, x+1$ हैं जहाँ $x > 2$ है। सबसे छोटी भुजा $x-1$ है और सबसे बड़ी भुजा $x+1$ है। माना सबसे छोटा कोण $\theta$ (भुजा $x-1$ के सम्मुख) है और सबसे बड़ा कोण $2\theta$ (भुजा $x+1$ के सम्मुख) है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए:
$\cos(2\theta) = \frac{x^2 + (x-1)^2 - (x+1)^2}{2x(x-1)} = \frac{x^2 + x^2 - 2x + 1 - (x^2 + 2x + 1)}{2x(x-1)} = \frac{x^2 - 4x}{2x(x-1)} = \frac{x-4}{2(x-1)}$
ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करते हुए:
$\frac{x+1}{\sin(2\theta)} = \frac{x-1}{\sin(\theta)} \Rightarrow \frac{x+1}{2\sin(\theta)\cos(\theta)} = \frac{x-1}{\sin(\theta)} \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{x+1}{2(x-1)}$
चूँकि $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{x-4}{2(x-1)} = 2\left(\frac{x+1}{2(x-1)}\right)^2 - 1 = \frac{(x+1)^2}{2(x-1)^2} - 1 = \frac{x^2+2x+1 - 2(x^2-2x+1)}{2(x-1)^2} = \frac{-x^2+6x-1}{2(x-1)^2}$
$\frac{x-4}{x-1} = \frac{-x^2+6x-1}{(x-1)^2}$ को हल करने पर $x=5$ प्राप्त होता है।
भुजाएँ $4, 5, 6$ हैं। अर्ध-परिमाप $s = \frac{4+5+6}{2} = \frac{15}{2}$ है।
क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{1575}{16}} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$.

(C) हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ है।
इससे हमें $\frac{1}{p_1} = \frac{a}{2\Delta}$,$\frac{1}{p_2} = \frac{b}{2\Delta}$,और $\frac{1}{p_3} = \frac{c}{2\Delta}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} = \frac{a}{2\Delta} + \frac{b}{2\Delta} - \frac{c}{2\Delta} = \frac{a+b-c}{2\Delta}$.
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $a+b = 2s-c$ होता है।
अतः,$\frac{a+b-c}{2\Delta} = \frac{(2s-c)-c}{2\Delta} = \frac{2s-2c}{2\Delta} = \frac{s-c}{\Delta}$।

(D) दिया है,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
सूत्र $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c}$.
$\Delta$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{s-a} = \frac{2}{s-b} = \frac{3}{s-c} = k$ (माना).
तब $s-a = \frac{1}{k}$,$s-b = \frac{2}{k}$,और $s-c = \frac{3}{k}$.
इनका योग करने पर,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$.
अतः,$s = \frac{1+2+3}{k} = \frac{6}{k}$,जिसका अर्थ है $k = \frac{6}{s}$.
अब,$s-a = \frac{1}{6/s} = \frac{s}{6}$ $\Rightarrow 6s - 6a = s$ $\Rightarrow 5s = 6a$ $\Rightarrow a = \frac{5s}{6}$.
और $s-b = \frac{2}{6/s} = \frac{2s}{6} = \frac{s}{3}$ $\Rightarrow 3s - 3b = s$ $\Rightarrow 2s = 3b$ $\Rightarrow b = \frac{2s}{3} = \frac{4s}{6}$.
इसलिए,$a : b = \frac{5s}{6} : \frac{4s}{6} = 5 : 4$.

(B) दिया गया है $a+3b=3c$,इसलिए $a=3(c-b)$.
सूत्र $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$.
$s-b = \frac{a+b+c}{2} - b = \frac{a-b+c}{2} = \frac{3(c-b)-b+c}{2} = \frac{4c-4b}{2} = 2(c-b)$.
$s-c = \frac{a+b+c}{2} - c = \frac{a+b-c}{2} = \frac{3(c-b)+b-c}{2} = \frac{2c-2b}{2} = c-b$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{2(c-b)(c-b)}{bc}} = \sqrt{\frac{2(c-b)^2}{bc}} = (c-b) \sqrt{\frac{2}{bc}}$.
चूंकि $c-b = \frac{a}{3}$,इसलिए $\sin \frac{A}{2} = \frac{a}{3} \sqrt{\frac{2}{bc}}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है.