Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેમાં બાજુઓ $AB = 2$,$BC = 5$,$CD = 3$,અને $DA = d$ છે. ખૂણો $\angle ABC = 60^o$ છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^o$ થાય છે,તેથી $\angle ADC = 180^o - 60^o = 120^o$.
$\triangle ABC$ માં કોસાઇનના નિયમ મુજબ વિકર્ણ $AC$ માટે:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos(60^o) = 2^2 + 5^2 - 2(2)(5)(0.5) = 4 + 25 - 10 = 19$.
$\triangle ADC$ માં કોસાઇનના નિયમ મુજબ વિકર્ણ $AC$ માટે:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2(AD)(CD)\cos(120^o) = d^2 + 3^2 - 2(d)(3)(-0.5) = d^2 + 9 + 3d$.
$AC^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$d^2 + 3d + 9 = 19 \Rightarrow d^2 + 3d - 10 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(d + 5)(d - 2) = 0$.
બાજુની લંબાઈ $d$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $d = 2$.

(A) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
આપેલ છે કે $a = 4$,$b = 3$,અને $A = 60^\circ$,તેથી:
$\cos 60^\circ = \frac{3^2 + c^2 - 4^2}{2(3)(c)}$
$\frac{1}{2} = \frac{9 + c^2 - 16}{6c}$
$\frac{1}{2} = \frac{c^2 - 7}{6c}$
$6c = 2(c^2 - 7)$
$6c = 2c^2 - 14$
$2c^2 - 6c - 14 = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$c^2 - 3c - 7 = 0$.

(D) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\cos C = \frac{2^2 + 3^2 - 5^2}{2(2)(3)}$.
$\cos C = \frac{4 + 9 - 25}{12} = \frac{13 - 25}{12} = \frac{-12}{12} = -1$.
$\cos C = -1$ હોવાથી,$C = 180^{\circ}$ અથવા $\pi$ રેડિયન મળે છે.
જોકે,ત્રિકોણની બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોવો જોઈએ $(a + b > c)$.
અહીં,$2 + 3 = 5$,જેનો અર્થ છે કે $a + b = c$.
આ સૂચવે છે કે બિંદુઓ $A, B, C$ સમરેખ છે અને ત્રિકોણ બનાવતા નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = 30^{\circ}$,$a = 7$,અને $b = 8$.
$b \sin A = 8 \sin 30^{\circ} = 8 \times 0.5 = 4$ ગણો.
અહીં $b \sin A < a < b$ (એટલે કે $4 < 7 < 8$) હોવાથી,ત્રિકોણ અસ્પષ્ટ કિસ્સા (ambiguous case) ની શરત સંતોષે છે.
તેથી,ખૂણા $B$ માટે બે શક્ય કિંમતો મળે છે,જેનો અર્થ છે કે બે ઉકેલ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $b = 3, c = 4$ અને $B = \frac{\pi}{3}$.
આપણે $c \sin B = 4 \sin \frac{\pi}{3} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
અહીં $\sqrt{3} \approx 1.732$ હોવાથી,$2\sqrt{3} \approx 3.464$ થાય.
$b$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $c \sin B = 2\sqrt{3} > 3 = b$ મળે છે.
$b < c \sin B$ હોવાથી,બાજુ $b$ ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ સુધી પહોંચવા માટે ખૂબ ટૂંકી છે.
તેથી,કોઈ પણ ત્રિકોણ રચી શકાતો નથી.

(C) આપેલ છે કે $a^2, b^2, c^2$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b^2 = a^2 + c^2$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$.
આ કિંમતો $A.P.$ ની શરતમાં મૂકતા: $2(2R \sin B)^2 = (2R \sin A)^2 + (2R \sin C)^2$.
આનું સાદું રૂપ $2 \sin^2 B = \sin^2 A + \sin^2 C$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2 B - \sin^2 A = \sin^2 C - \sin^2 B$.
નિત્યસમ $\sin^2 x - \sin^2 y = \sin(x+y)\sin(x-y)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin(B+A)\sin(B-A) = \sin(C+B)\sin(C-B)$ મળે છે.
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\sin(B+A) = \sin C$ અને $\sin(C+B) = \sin A$ થાય.
તેથી,$\sin C \sin(B-A) = \sin A \sin(C-B)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\sin C(\sin B \cos A - \cos B \sin A) = \sin A(\sin C \cos B - \cos C \sin B)$.
બંને બાજુને $\sin A \sin B \sin C$ વડે ભાગતા,આપણને $\cot A - \cot B = \cot B - \cot C$ મળે છે.
તેથી,$\cot A, \cot B, \cot C$ એ $A.P.$ માં છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = n$,$b = n + 1$,અને $c = n + 2$ છે,જ્યાં $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
અહીં $c > b > a$ હોવાથી,ખૂણો $C$ સૌથી મોટો અને $A$ સૌથી નાનો છે. આપેલ છે કે $C = 2A$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\sin A = \frac{a}{2R}$ અને $\sin C = \frac{c}{2R}$.
$C = 2A$ હોવાથી,$\sin C = 2 \sin A \cos A$,તેથી $\cos A = \frac{c}{2a}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{c}{2a} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \implies c^2 b = a(b^2 + c^2 - a^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $(n + 1)(n + 2)^2 = n((n + 1)^2 + (n + 2)^2 - n^2)$.
સાદું રૂપ આપતા: $(n + 1)(n^2 + 4n + 4) = n(n^2 + 6n + 5) = n(n + 1)(n + 5)$.
$n+1$ વડે ભાગતા: $(n + 2)^2 = n(n + 5) \implies n^2 + 4n + 4 = n^2 + 5n \implies n = 4$.
તેથી બાજુઓ $4, 5, 6$ છે.

(A) $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $a + b + c$ છે. તેના ખૂણાઓના સાઈનનો સરેરાશ $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ છે.
આપેલ છે: $a + b + c = 6 \times \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
સાઈન નિયમ મુજબ,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,અને $c = k \sin C$,જ્યાં $k = 2R$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $k(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
ત્રિકોણ માટે $\sin A + \sin B + \sin C \neq 0$ હોવાથી,$k = 2$.
$a = 1$ આપેલ હોવાથી,$a = k \sin A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 = 2 \sin A \implies \sin A = \frac{1}{2}$.
તેથી,$A = \frac{\pi}{6}$.

(C) ધારો કે $BD = DE = EC = k$. તેથી $BE = 2k$,$DC = 2k$,$BC = 3k$.
$\Delta ABD$ માં સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sin x}{BD} = \frac{\sin B}{AD} \implies \frac{AD}{\sin B} = \frac{k}{\sin x}$.
$\Delta ABE$ માં,$\frac{\sin(x + y)}{BE} = \frac{\sin B}{AE} \implies \frac{AE}{\sin B} = \frac{2k}{\sin(x + y)}$.
$\Delta AEC$ માં,$\frac{\sin z}{EC} = \frac{\sin C}{AE} \implies \frac{AE}{\sin C} = \frac{k}{\sin z}$.
$\Delta ADC$ માં,$\frac{\sin(y + z)}{DC} = \frac{\sin C}{AD} \implies \frac{AD}{\sin C} = \frac{2k}{\sin(y + z)}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\sin(x + y)\sin(y + z)}{\sin x \sin z} = \left( \frac{\sin(x + y)}{\sin x} \right) \left( \frac{\sin(y + z)}{\sin z} \right) = \left( \frac{2AD}{AE} \right) \left( \frac{2AE}{AD} \right) = 4$.

(A) આપેલ છે: $\cos A + 2\cos B + \cos C = 2$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A + \cos C = 2\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)\cos\left(\frac{A-C}{2}\right)$
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\frac{A+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$,તેથી $\cos\left(\frac{A+C}{2}\right) = \sin\left(\frac{B}{2}\right)$
વળી,$2\cos B = 2(1 - 2\sin^2\frac{B}{2}) = 2 - 4\sin^2\frac{B}{2}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $2\sin\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-C}{2}\right) + 2 - 4\sin^2\left(\frac{B}{2}\right) = 2$
$2\sin\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-C}{2}\right) = 4\sin^2\left(\frac{B}{2}\right)$
$2\sin\left(\frac{B}{2}\right)$ વડે ભાગતા: $\cos\left(\frac{A-C}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{B}{2}\right)$
$\sin\left(\frac{B}{2}\right) = \cos\left(\frac{A+C}{2}\right)$ મૂકતા: $\cos\left(\frac{A-C}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)$
આનાથી સાદું રૂપ આપતા $a+c = 2b$ મળે છે,તેથી $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1$.
ત્રિકોણમાં $A+B+C = 180^o$ માટે $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1 - 4\sin \frac{3A}{2} \sin \frac{3B}{2} \sin \frac{3C}{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા.
આને $1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $1 - 4\sin \frac{3A}{2} \sin \frac{3B}{2} \sin \frac{3C}{2} = 1$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $4\sin \frac{3A}{2} \sin \frac{3B}{2} \sin \frac{3C}{2} = 0$.
તેથી,$\sin \frac{3A}{2} = 0$ અથવા $\sin \frac{3B}{2} = 0$ અથવા $\sin \frac{3C}{2} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{3A}{2} = 180^o$ અથવા $\frac{3B}{2} = 180^o$ અથવા $\frac{3C}{2} = 180^o$.
આમ,$A = 120^o$ અથવા $B = 120^o$ અથવા $C = 120^o$.

(D) આપેલ છે કે $AB = c$ અને $BC = a$. કારણ કે $AB = 2BC$,તેથી $c = 2a$.
નેપિયરના સામ્યતાના નિયમ મુજબ,$\tan \frac{C - A}{2} = \frac{c - a}{c + a} \cot \frac{B}{2}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે $\frac{\tan (B/2)}{\cot ((C - A)/2)} = \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C - A}{2}$.
$\tan \frac{C - A}{2}$ માટેનું પદ મૂકતા,આપણને મળે $\tan \frac{B}{2} \left( \frac{c - a}{c + a} \cot \frac{B}{2} \right) = \frac{c - a}{c + a}$.
$c = 2a$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{2a - a}{2a + a} = \frac{a}{3a} = \frac{1}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(B) આપેલ છે: $a = 2$,$B = 60^\circ$,$C = 75^\circ$.
કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે,તેથી $A = 180^\circ - (B + C) = 180^\circ - (60^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sin 45^\circ}$.
$b = \frac{2 \times \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{2 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$.

(C) $\triangle ABC$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\sin B}{8} = \frac{\sin 30^\circ}{6}$
$\sin 30^\circ = 1/2$ હોવાથી:
$\sin B = \frac{8 \times (1/2)}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
તેથી,$B = \sin^{-1}(2/3)$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2/3$.

(C) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$\sin B = \frac{b \sin C}{c} = \frac{2 \sin 60^\circ}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$B = 45^\circ$.
હવે,$A = 180^\circ - (B + C) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 75^\circ$.
ફરીથી સાઇનનો નિયમ વાપરતા: $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$.
$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{\sqrt{6} \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} = \sqrt{3} + 1$.

(A) નેપિયરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\tan \left( \frac{A - B}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(A - B)}{1 + \cos(A - B)}} = \sqrt{\frac{1 - 31/32}{1 + 31/32}} = \frac{1}{\sqrt{63}} = \frac{1}{3\sqrt{7}}$.
નેપિયરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{a - b}{a + b} \cot \frac{C}{2} = \tan \left( \frac{A - B}{2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5 - 4}{5 + 4} \cot \frac{C}{2} = \frac{1}{3\sqrt{7}}$ $\Rightarrow \frac{1}{9} \cot \frac{C}{2} = \frac{1}{3\sqrt{7}}$ $\Rightarrow \cot \frac{C}{2} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
તેથી,$\tan \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{7}}{3}$.
$\cos C = \frac{1 - \tan^2(C/2)}{1 + \tan^2(C/2)} = \frac{1 - 7/9}{1 + 7/9} = \frac{2/9}{16/9} = \frac{1}{8}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 25 + 16 - 2(5)(4) \left( \frac{1}{8} \right) = 41 - 5 = 36$.
તેથી,$c = \sqrt{36} = 6$.

(B) નેપિયરના સામ્યતાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\tan \left( \frac{C - B}{2} \right) = \frac{c - b}{c + b} \cot \left( \frac{A}{2} \right)$.
આપેલ છે $A = 30^o$,$b = 2$,$c = \sqrt{3} + 1$.
$\frac{A}{2} = 15^o$.
$\cot(15^o) = 2 + \sqrt{3}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \left( \frac{C - B}{2} \right) = \frac{(\sqrt{3} + 1) - 2}{(\sqrt{3} + 1) + 2} \times (2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\frac{C - B}{2} = 30^o$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 6 + 2\sqrt{3}$,$b = 4\sqrt{3}$,અને $c = 2\sqrt{6}$ છે.
અહીં $c$ સૌથી નાની બાજુ છે,તેથી સૌથી નાનો ખૂણો $C$ થશે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos C = \frac{(48 + 24\sqrt{3}) + 48 - 24}{2(6 + 2\sqrt{3})(4\sqrt{3})} = \frac{72 + 24\sqrt{3}}{16\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})} = \frac{24(3 + \sqrt{3})}{16\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})} = \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$C = \frac{\pi}{6}$.

(B) આપેલ છે કે $C = 90^\circ$,તેથી આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{c \sin A}{\sin C}$.
$a = \frac{7\sqrt{3} \sin 30^\circ}{\sin 90^\circ}$.
કારણ કે $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ અને $\sin 90^\circ = 1$,તેથી:
$a = \frac{7\sqrt{3} \times (1/2)}{1} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $2x, 3x$ અને $7x$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$2x + 3x + 7x = 180^{\circ}$,એટલે કે $12x = 180^{\circ}$,તેથી $x = 15^{\circ}$.
ખૂણાઓ $A = 30^{\circ}, B = 45^{\circ}$ અને $C = 105^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,બાજુઓનો ગુણોત્તર $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$ થાય.
$a : b : c = \sin 30^{\circ} : \sin 45^{\circ} : \sin 105^{\circ} = \frac{1}{2} : \frac{1}{\sqrt{2}} : \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
$2\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,$a : b : c = \sqrt{2} : 2 : (\sqrt{3} + 1)$ મળે.

(B) ધારો કે બાજુઓ $a = 2$,$b = \sqrt{6}$,અને $c = \sqrt{3} + 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સૌથી નાનો ખૂણો સૌથી નાની બાજુની સામે હોય છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $a = 2 \approx 2$,$b = \sqrt{6} \approx 2.45$,અને $c = \sqrt{3} + 1 \approx 2.732$.
સૌથી નાની બાજુ $a = 2$ છે.
ખૂણા $A$ માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
$\cos A = \frac{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3} + 1)^2 - 2^2}{2(\sqrt{6})(\sqrt{3} + 1)} = \frac{6 + (3 + 1 + 2\sqrt{3}) - 4}{2\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)}$.
$\cos A = \frac{2(3 + \sqrt{3})}{2\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\cos A = \frac{1}{\sqrt{2}}$,એટલે કે $A = 45^o$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ અને $\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\tan \frac{A}{2} - \tan \frac{B}{2}}{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} = \frac{\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} - \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}}{\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} + \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}}$
$= \frac{(s-b) - (s-a)}{(s-b) + (s-a)} = \frac{a-b}{2s-a-b}$.
કારણ કે $2s = a+b+c$,તેથી $2s-a-b = c$.
આમ,પદાવલિનું મૂલ્ય $\frac{a-b}{c}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે: $a = \sqrt{3} + 1$,$\angle B = 30^\circ$,$\angle C = 45^\circ$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી,$\angle A = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\sin A = \sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2 \cdot \sin 30^\circ \cdot \sin 45^\circ}{2 \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \text{ cm}^2$.

(A) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta AOB$ છે જેમાં $O$ પાસે કાટખૂણો છે. ધારો કે $OC$ એ શિરોબિંદુ $O$ માંથી કર્ણ $AB$ પર દોરેલો વેધ છે,જેની લંબાઈ $OC = x$ છે.
ધારો કે $\angle OBA = \theta$. તો $\angle OAB = 90^o - \theta$.
$\Delta OCB$ માં,$OC = OB \sin \theta \Rightarrow OB = \frac{x}{\sin \theta}$.
$\Delta OCA$ માં,$OC = OA \cos \theta \Rightarrow OA = \frac{x}{\cos \theta}$.
$\Delta AOB$ માં,કર્ણ $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{\frac{x^2}{\cos^2 \theta} + \frac{x^2}{\sin^2 \theta}} = x \sqrt{\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta}} = \frac{x}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2x}{\sin 2\theta}$.
આપેલ છે કે કર્ણ એ વેધ કરતા $4$ ગણો છે,તેથી $AB = 4x$.
તેથી,$\frac{2x}{\sin 2\theta} = 4x \Rightarrow \sin 2\theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$\sin 2\theta = \sin 30^o$ હોવાથી,$2\theta = 30^o$,જે આપે છે $\theta = 15^o$.
બીજો લઘુકોણ $90^o - 15^o = 75^o$ છે.

(B) આપેલ છે: $\angle A = 45^\circ, \angle C = 60^\circ$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી,$\angle B = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 75^\circ$.
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,તેથી $a = k\sin A, c = k\sin C, b = k\sin B$.
આપણે $a + c\sqrt{2} = k\sin 45^\circ + k\sqrt{2}\sin 60^\circ$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a + c\sqrt{2} = k\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + k\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = k\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right)$.
નોંધો કે $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
તેથી,$a + c\sqrt{2} = k(2 \sin 75^\circ) = 2k \sin B = 2b$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 3, b = 5$ અને $c = 7$ છે.
સૌથી મોટી બાજુ $c = 7$ હોવાથી,સૌથી મોટો ખૂણો $\angle C$ થશે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
કિંમતો મૂકતા: $\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 3 \times 5}$
$\cos C = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\cos C = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,$\angle C = \frac{2\pi}{3}$ મળે.

(A) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{\sin B}{8} = \frac{5/13}{3}$.
આથી $\sin B = \frac{40}{39}$ મળે છે.
અહીં $\frac{40}{39} \approx 1.025 > 1$ હોવાથી,અને $\sin B$ ની કિંમત $1$ થી વધુ ન હોઈ શકે,તેથી ખૂણો $B$ શક્ય નથી.
આમ,આપેલ શરતો મુજબ કોઈ ત્રિકોણ $ABC$ બનાવી શકાય નહીં.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta ABC$ માં,$A + B + C = \pi,$ તેથી $A + C = \pi - B.$
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{A - B + C}{2} = \frac{(A + C) - B}{2} = \frac{(\pi - B) - B}{2} = \frac{\pi - 2B}{2} = \frac{\pi}{2} - B.$
આમ,$2ac \sin \left( \frac{\pi}{2} - B \right) = 2ac \cos B.$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}.$
તેથી,$2ac \cos B = 2ac \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right) = a^2 + c^2 - b^2.$

(D) આપેલ છે કે ત્રિકોણ $ABC$ માં $C$ આગળ કાટખૂણો છે.
ધારો કે $a, b$ અને $c$ એ બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ની લંબાઈ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$c^2 = a^2 + b^2$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં:
$\tan A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$
$\tan B = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}$
તેથી,$\tan A + \tan B = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$
$= \frac{a^2 + b^2}{ab}$
કારણ કે $a^2 + b^2 = c^2$,તેથી:
$= \frac{c^2}{ab}$

(C) આપેલ છે કે $A:B:C = 3:5:4.$ ધારો કે $A = 3x, B = 5x, C = 4x.$
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$12x = 180^{\circ},$ એટલે કે $x = 15^{\circ}.$
તેથી,$A = 45^{\circ}, B = 75^{\circ}, C = 60^{\circ}.$
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin 45^{\circ}} = \frac{b}{\sin 75^{\circ}} = \frac{c}{\sin 60^{\circ}} = K.$
તેથી $a = \frac{K}{\sqrt{2}}, b = \frac{K(\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{2}}, c = \frac{K\sqrt{3}}{2}.$
હવે,$a + b + c\sqrt{2} = \frac{K}{\sqrt{2}} + \frac{K(\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{2}} + \frac{K\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{3K(1 + \sqrt{3})}{2\sqrt{2}} = 3b.$

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\cos C + \cos A}{c + a} + \frac{\cos B}{b}$
સામાન્ય છેદ $b(c + a)$ લેતા:
$= \frac{b(\cos C + \cos A) + \cos B(c + a)}{b(c + a)}$
$= \frac{b \cos C + b \cos A + c \cos B + a \cos B}{b(c + a)}$
પ્રક્ષેપણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $b \cos C + c \cos B = a$ અને $b \cos A + a \cos B = c$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{(b \cos C + c \cos B) + (b \cos A + a \cos B)}{b(c + a)}$
$= \frac{a + c}{b(c + a)}$
$= \frac{1}{b}$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $x$,$3x$ અને $5x$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ અથવા $\pi$ રેડિયન હોવાથી:
$x + 3x + 5x = \pi$
$9x = \pi$
$x = \frac{\pi}{9}$
સૌથી મોટો ખૂણો $5x = 5 \times \frac{\pi}{9} = \frac{5\pi}{9}$ છે.

(D) $\triangle ABC$ માં,$\triangle ABC$ માં ખૂણા $B$ પાસે કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC} = \frac{2^2 + 4^2 - 3^2}{2 \times 2 \times 4} = \frac{4 + 16 - 9}{16} = \frac{11}{16}$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = 2$.
$\triangle ABD$ માં કોસાઇનનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \times AB \times BD \times \cos B$
$AD^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \times 2 \times 2 \times \frac{11}{16}$
$AD^2 = 4 + 4 - 8 \times \frac{11}{16}$
$AD^2 = 8 - \frac{11}{2} = 8 - 5.5 = 2.5$.
આમ,$AD^2 = 2.5$.

(B) આપેલ છે કે $\cot \frac{A}{2}, \cot \frac{B}{2}, \cot \frac{C}{2}$ એ $A.P.$ માં છે.
આથી $2 \cot \frac{B}{2} = \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{C}{2}$ થાય.
$\cot \frac{A}{2} = \frac{s-a}{r}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2b = a+c$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે $A=B=C=60^{\circ}$ લેતા,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ મળે છે. તેથી વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) સૌથી નાનો ખૂણો સૌથી નાની બાજુની સામે હોય છે. બાજુઓની સરખામણી કરતા: $a = 7$,$b = 4\sqrt{3} \approx 6.928$,અને $c = \sqrt{13} \approx 3.605$.
$c < b < a$ હોવાથી,સૌથી નાનો ખૂણો $C$ છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\cos C = \frac{7^2 + (4\sqrt{3})^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \times 7 \times 4\sqrt{3}}$.
$\cos C = \frac{49 + 48 - 13}{56\sqrt{3}} = \frac{84}{56\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,$C = 30^o$ મળે.

(B) ધારો કે $\frac{b + c}{11} = \frac{c + a}{12} = \frac{a + b}{13} = \lambda.$
તેથી $b + c = 11\lambda$ $(i), c + a = 12\lambda$ $(ii),$ અને $a + b = 13\lambda$ $(iii).$
$(i), (ii),$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,$2(a + b + c) = 36\lambda,$ તેથી $a + b + c = 18\lambda$ $(iv).$
$(iv)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$a = 7\lambda.$
$(iv)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$b = 6\lambda.$
$(iv)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા,$c = 5\lambda.$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.$
કિંમતો મુકતા,$\cos C = \frac{(7\lambda)^2 + (6\lambda)^2 - (5\lambda)^2}{2(7\lambda)(6\lambda)} = \frac{49\lambda^2 + 36\lambda^2 - 25\lambda^2}{84\lambda^2} = \frac{60\lambda^2}{84\lambda^2} = \frac{5}{7}.$

(B) આપેલ છે: $b = 20, c = 21, \sin A = 3/5$.
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ હોવાથી,$\cos A = \pm \sqrt{1 - (3/5)^2} = \pm 4/5$.
ધારો કે $A$ એ લઘુકોણ છે,તેથી $\cos A = 4/5$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
$a^2 = 20^2 + 21^2 - 2(20)(21)(4/5)$.
$a^2 = 400 + 441 - 840(4/5) = 841 - 672 = 169$.
તેથી,$a = \sqrt{169} = 13$.

(B) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $ADC$ ની બાજુનું માપ $x$ છે. તેથી,$DC = AD = AC = x$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = DC = x$,તેથી $BC = a = 2x$.
$\triangle ADC$ માં,બધા ખૂણા $60^\circ$ છે. $\angle ADC = 60^\circ$ હોવાથી,બાજુનો ખૂણો $\angle ADB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ થાય.
$\triangle ABD$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$AB^2 = BD^2 + AD^2 - 2(BD)(AD) \cos(120^\circ)$
$c^2 = x^2 + x^2 - 2(x)(x)(-1/2)$
$c^2 = 2x^2 + x^2 = 3x^2$.
આપણી પાસે $a = 2x$,$b = AC = x$,અને $c^2 = 3x^2$ છે.
તેથી,$a^2 : b^2 : c^2 = (2x)^2 : x^2 : 3x^2 = 4x^2 : x^2 : 3x^2 = 4:1:3$.

(D) બાજુઓનો ગુણોત્તર $a:b:c = 1:\sqrt{3}:2$ આપેલ છે.
ધારો કે $a = \lambda$,$b = \sqrt{3}\lambda$,અને $c = 2\lambda$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3\lambda^2 + 4\lambda^2 - \lambda^2}{2(\sqrt{3}\lambda)(2\lambda)} = \frac{6\lambda^2}{4\sqrt{3}\lambda^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$A = 30^\circ$.
તે જ રીતે,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{\lambda^2 + 4\lambda^2 - 3\lambda^2}{2(\lambda)(2\lambda)} = \frac{2\lambda^2}{4\lambda^2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$B = 60^\circ$.
અંતે,$C = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ$.
આમ,$A:B:C = 30^\circ:60^\circ:90^\circ = 1:2:3$.

(D) આપેલ છે: $b = \sqrt{3}$,$c = 1$,અને $\angle A = 30^\circ$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos 30^\circ = \frac{(\sqrt{3})^2 + 1^2 - a^2}{2(\sqrt{3})(1)}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 + 1 - a^2}{2\sqrt{3}}$.
$3 = 4 - a^2$ $\Rightarrow a^2 = 1$ $\Rightarrow a = 1$.
અહીં $b = \sqrt{3} \approx 1.732$ અને $a = c = 1$ હોવાથી,બાજુ $b$ સૌથી મોટી છે.
સૌથી મોટો ખૂણો સૌથી મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો હોય,જે $\angle B$ છે.
$\angle B$ માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{1^2 + 1^2 - (\sqrt{3})^2}{2(1)(1)} = \frac{1 + 1 - 3}{2} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos B = -\frac{1}{2}$ હોવાથી $B = 120^\circ$ મળે.

(C) ધારો કે બાજુઓ $a = \alpha - \beta$,$b = \alpha + \beta$,અને $c = \sqrt{3\alpha^2 + \beta^2}$ છે.
અહીં $c$ સૌથી મોટી બાજુ છે,તેથી તેની સામેનો ખૂણો $C$ સૌથી મોટો ખૂણો થશે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos C = \frac{(\alpha - \beta)^2 + (\alpha + \beta)^2 - (3\alpha^2 + \beta^2)}{2(\alpha^2 - \beta^2)}$.
$\cos C = \frac{2\alpha^2 + 2\beta^2 - 3\alpha^2 - \beta^2}{2(\alpha^2 - \beta^2)} = \frac{\beta^2 - \alpha^2}{2(\alpha^2 - \beta^2)} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$C = \frac{2\pi}{3}$.

(B) આપણે ત્રિકોણ માટે અડધા ખૂણાના સૂત્રો જાણીએ છીએ:
$\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s - a)}{bc}$
$\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s - b)(s - c)}{bc}$
આ કિંમતો આપેલ પદમાં મૂકતા:
$\frac{s(s - a)}{bc} - \frac{(s - b)(s - c)}{bc} = \cos^2 \frac{A}{2} - \sin^2 \frac{A}{2}$
નિત્યસમ $\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\cos^2 \frac{A}{2} - \sin^2 \frac{A}{2} = \cos \left( 2 \times \frac{A}{2} \right) = \cos A$

(C) આપેલ છે: $a = 2$,$b = 4$ અને $\angle C = 60^\circ$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\cos 60^\circ = \frac{2^2 + 4^2 - c^2}{2(2)(4)} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{4 + 16 - c^2}{16}$.
$8 = 20 - c^2$ $\Rightarrow c^2 = 12$ $\Rightarrow c = 2\sqrt{3}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ: $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$ $\Rightarrow \sin A = \frac{a \sin C}{c} = \frac{2 \sin 60^\circ}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\angle A = 30^\circ$.
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ હોવાથી,$30^\circ + \angle B + 60^\circ = 180^\circ$.
તેથી,$\angle B = 90^\circ$.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ,જેની બાજુઓ $a, b, c$ અને ખૂણાઓ $A, B, C$ છે,તે નીચે મુજબ છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C$.
આમ,આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચું સૂત્ર $\frac{1}{2}bc \sin A$ છે.

(C) સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી,$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 1 : 2 : 3$.
ધારો કે $a = x$,$b = 2x$,અને $c = 3x$.
આપેલ છે કે $b = 4 \, \text{cm}$,તેથી $2x = 4$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2 \, \text{cm}$.
તેથી,$a = 2 \, \text{cm}$,$b = 4 \, \text{cm}$,અને $c = 6 \, \text{cm}$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $a + b + c = 2 + 4 + 6 = 12 \, \text{cm}$ થાય.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $5x, 12x, 13x$ છે.
$5^2 + 12^2 = 13^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (5x) \times (12x)$ થાય.
આપેલ છે કે $\Delta = 270 \text{ cm}^2$,તેથી $30x^2 = 270$.
$x^2 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.
તેથી,બાજુઓ $5(3), 12(3), 13(3)$ એટલે કે $15 \text{ cm}, 36 \text{ cm}, 39 \text{ cm}$ છે.

(B) આપેલ છે $\cos A = \frac{\sin B}{2\sin C}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin B = \frac{b}{2R}$ અને $\sin C = \frac{c}{2R}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\cos A = \frac{b/2R}{2(c/2R)} = \frac{b}{2c}$.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{b}{2c}$.
બંને બાજુ $2bc$ વડે ગુણતા:
$b^2 + c^2 - a^2 = b^2$.
$c^2 - a^2 = 0$ $\Rightarrow c^2 = a^2$ $\Rightarrow c = a$.
બે બાજુઓ સમાન હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.

(B) બે બાજુઓ $b$ અને $c$ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણા $A$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\Delta = 9 \, cm^2$ અને $b = c = 6 \, cm$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $9 = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times \sin A$.
$9 = 18 \sin A$.
$\sin A = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.
તેથી,ખૂણો $A = 30^\circ$ થાય.

(A) ધારો કે બાજુઓ $a = 6$,$b = 10$,અને $c = 14$ છે.
ત્રિકોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સૌથી મોટી બાજુ $c = 14$ ની સામેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\cos \theta = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\cos \theta = \frac{6^2 + 10^2 - 14^2}{2 \times 6 \times 10}$
$\cos \theta = \frac{36 + 100 - 196}{120} = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = 120^\circ$.
એક ખૂણો $90^\circ$ કરતા મોટો હોવાથી,આ ત્રિકોણ ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.

(B) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $a = 2R \sin A$ અને $b = 2R \sin B$ છે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $a \cos B = b \cos A$ માં મૂકતા:
$(2R \sin A) \cos B = (2R \sin B) \cos A$
$\sin A \cos B = \sin B \cos A$
$\sin A \cos B - \cos A \sin B = 0$
$\sin(A - B) = 0$
ત્રિકોણના ખૂણાઓ માટે,$A - B = 0$,જેનો અર્થ છે કે $A = B$.
તેથી,આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.