जब बहुपद $1 + x + x^3 + x^9 + x^{27} + x^{81} + x^{243}$ को $x - 1$ से विभाजित किया जाता है,तो प्राप्त शेषफल क्या है?

एक सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में,एक उपसमुच्चय का दूसरे में समावेश संबंध $(\subseteq)$ क्या है?

निम्नलिखित में से कौन सा समुच्चय है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
इस अध्याय के प्रश्नों का संग्रह।

रिक्त स्थानों में $\subset$ या $\not\subset$ प्रतीक भरकर सही कथन बनाइए:
${ x:x \text{ एक समतल में वृत्त है} } \dots { x:x \text{ एक समान समतल में } 1 \text{ इकाई त्रिज्या वाला वृत्त है} }$

इस प्रश्न में,सभी पूर्णांकों को $10$ के आधार में दर्शाया गया है। धनात्मक पूर्णांकों $n$ के समुच्चय $E$ पर विचार करें जिसका गुण यह है कि जब किसी भी शून्येतर अंक $d \in \{1, 2, \dots, 9\}$ को $n$ के दाईं ओर लिखा जाता है,तो परिणामी संख्या $d$ से विभाज्य होती है। मान लीजिए $N$,$E$ का सबसे छोटा अवयव है। $N$ के अंकों का गुणनफल है:

निम्नलिखित में से कौन से समुच्चयों के युग्म समान हैं? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
$X$,"$ALLOY$" शब्द के अक्षरों का समुच्चय और $B$,"$LOYAL$" शब्द के अक्षरों का समुच्चय।