श्रेणी frac{1^3}{1} + frac{1^3 + 2^3}{1 + 3} | vedclass

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Question

(C) ${n^{th}}$ पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} (2k - 1)}$ द्वारा दिया जाता है।अंश प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग है: $

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$\frac{n^2 + 2n + 1}{4}$

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(C) ${n^{th}}$ पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} (2k - 1)}$ द्वारा दिया जाता है।अंश प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग है: $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$।हर प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग है,जो $n^2$ है: $\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2$।अतः,$T_n = \frac{n^2(n+1)^2 / 4}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2 + 2n + 1}{4}$।

श्रेणी $\frac{1^3}{1} + \frac{1^3 + 2^3}{1 + 3} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1 + 3 + 5} + \dots$ का ${n^{th}}$ पद क्या होगा?

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यदि $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{(2r-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ है,तो $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \dots$

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$2014^3 - 2013^3 + 2012^3 - 2011^3 + \ldots + 2^3 - 1^3$ को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या है ($^2$ में)

श्रेणी $1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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