1 + (1 + a)x + (1 + a + a^2)x^2 + dots infty | vedclass

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Question

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=0}^{\infty} (1 + a + a^2 + \dots + a^n)x^n$ है। हम जानते हैं कि $(1 + a + a^2 + \dots + a^n) = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}

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$\frac{1}{(1 - x)(1 - ax)}$

Vedclass · Answer

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=0}^{\infty} (1 + a + a^2 + \dots + a^n)x^n$ है। हम जानते हैं कि $(1 + a + a^2 + \dots + a^n) = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}$। इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर: $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} x^n = \frac{1}{1 - a} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} a^{n+1} x^n \right]$। अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}$ का उपयोग करने पर: $S = \frac{1}{1 - a} \left[ \frac{1}{1 - x} - \frac{a}{1 - ax} \right]$। सरल करने पर: $S = \frac{1}{1 - a} \left[ \frac{1 - ax - a + ax}{(1 - x)(1 - ax)} \right] = \frac{1}{(1 - x)(1 - ax)}$।

$1 + (1 + a)x + (1 + a + a^2)x^2 + \dots \infty = \dots \, (0 < a, x < 1)$

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