Relations Questions in Hindi

(A) समुच्चय $A$ में $n(A) = 3$ अवयव हैं।
कार्तीय गुणन $A \times A$ में $n(A \times A) = n(A) \times n(A) = 3 \times 3 = 9$ अवयव हैं।
समुच्चय $A$ पर एक संबंध को $A \times A$ के किसी भी उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^m$ होती है।
अतः,$A$ पर कुल भिन्न संबंधों की संख्या $2^9 = 512$ है।

(D) $X$ से $Y$ में एक संबंध कार्तीय गुणन $X \times Y$ का एक उपसमुच्चय होता है। इसका अर्थ है कि संबंध के प्रत्येक क्रमित युग्म $(x, y)$ के लिए $x \in X$ और $y \in Y$ होना चाहिए।
$R_1$ के लिए: $y = x + 2$। यदि $x = 2$ है,तो $y = 4 \notin Y$। यदि $x = 4$ है,तो $y = 6 \notin Y$। अतः,$R_1$,$X$ से $Y$ में संबंध नहीं है।
$R_2$ के लिए: सभी युग्म $(1, 1), (2, 1), (3, 3), (4, 3), (5, 5)$,$x \in X$ और $y \in Y$ की शर्त को पूरा करते हैं। अतः,$R_2$ एक संबंध है।
$R_3$ के लिए: सभी युग्म $(1, 1), (1, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 7)$,$x \in X$ और $y \in Y$ की शर्त को पूरा करते हैं। अतः,$R_3$ एक संबंध है।
अतः,$R_2$ और $R_3$ दोनों $X$ से $Y$ में संबंध हैं।

(C) दिया गया है कि $n(A) = 2$ और $n(B) = 3$ है।
कार्तीय गुणन $A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 2 \times 3 = 6$ है।
समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में एक संबंध $A \times B$ का कोई भी उपसमुच्चय होता है।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^m$ होती है।
अतः,$A$ से $B$ में संबंधों की कुल संख्या $2^{n(A \times B)} = 2^6 = 64$ है।

(D) परिभाषा के अनुसार,एक अरिक्त समुच्चय $P$ से एक अरिक्त समुच्चय $Q$ तक का संबंध $R$,कार्तीय गुणन $P \times Q$ के उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित होता है।
अतः,$R \subseteq P \times Q$.

(C) समुच्चय $A$ में $n$ अवयव हैं,इसलिए $n(A) = n$ है।
कार्तीय गुणन $A \times A$ में $n \times n = n^2$ अवयव होते हैं।
समुच्चय $A$ पर एक संबंध $A \times A$ का कोई भी उपसमुच्चय होता है।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^m$ होती है।
चूंकि $A \times A$ में $n^2$ अवयव हैं,इसलिए $A \times A$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^{n^2}$ है।
अतः,$A$ पर सभी संबंधों की संख्या $2^{n^2}$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(D) दो संख्याएँ सापेक्ष अभाज्य होती हैं यदि उनका महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ $1$ हो।
हम प्रत्येक अवयव $x \in \{2, 3, 4, 5\}$ के लिए जाँच करते हैं कि क्या कोई ऐसा $y \in \{3, 6, 7, 10\}$ मौजूद है जिसके लिए $\text{gcd}(x, y) = 1$ हो:
- $x = 2$ के लिए: $\text{gcd}(2, 3) = 1$,अतः $(2, 3) \in R$.
- $x = 3$ के लिए: $\text{gcd}(3, 7) = 1$,अतः $(3, 7) \in R$.
- $x = 4$ के लिए: $\text{gcd}(4, 3) = 1$,अतः $(4, 3) \in R$.
- $x = 5$ के लिए: $\text{gcd}(5, 3) = 1$,अतः $(5, 3) \in R$.
चूँकि समुच्चय $\{2, 3, 4, 5\}$ का प्रत्येक अवयव समुच्चय $\{3, 6, 7, 10\}$ के कम से कम एक अवयव से संबंधित है,इसलिए $R$ का प्रांत $\{2, 3, 4, 5\}$ है।

(C) संबंध $R$,प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ पर समीकरण $x + 2y = 8$ द्वारा परिभाषित है।
हमें ऐसे युग्म $(x, y)$ खोजने हैं कि $x, y \in N$ और $x + 2y = 8$ हो।
यदि $y = 1$ है,तो $x + 2(1) = 8 \implies x = 6$ है।
यदि $y = 2$ है,तो $x + 2(2) = 8 \implies x = 4$ है।
यदि $y = 3$ है,तो $x + 2(3) = 8 \implies x = 2$ है।
यदि $y = 4$ है,तो $x + 2(4) = 8 \implies x = 0$ है। चूंकि $0 \notin N$,यह एक मान्य युग्म नहीं है।
किसी भी $y > 3$ के लिए,$x$ ऋणात्मक होगा,जो $N$ में नहीं है।
अतः,संबंध $R = \{(2, 3), (4, 2), (6, 1)\}$ है।
$R$ का प्रांत $R$ में क्रमित युग्मों के सभी प्रथम घटकों का समुच्चय है।
इसलिए,प्रांत $\{2, 4, 6\}$ है।

(A) दिया गया संबंध $R$,समुच्चय $A = \{11, 12, 13\}$ से समुच्चय $B = \{8, 10, 12\}$ पर $y = x - 3$ द्वारा परिभाषित है।
हम $A$ के अवयवों की जाँच करते हैं कि कौन से अवयव $y \in B$ के लिए $y = x - 3$ को संतुष्ट करते हैं:
$x = 11$ के लिए,$y = 11 - 3 = 8$. चूँकि $8 \in B$,इसलिए $(11, 8) \in R$.
$x = 12$ के लिए,$y = 12 - 3 = 9$. चूँकि $9 \notin B$,इसलिए $(12, 9) \notin R$.
$x = 13$ के लिए,$y = 13 - 3 = 10$. चूँकि $10 \in B$,इसलिए $(13, 10) \in R$.
अतः,$R = \{(11, 8), (13, 10)\}$.
प्रतिलोम संबंध ${R^{-1}}$ को $R$ में क्रमित युग्मों के अवयवों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,${R^{-1}} = \{(8, 11), (10, 13)\}$.

(A) प्रतिलोम संबंध ${R^{ - 1}}$ संबंध $R$ में क्रमित युग्मों के अवयवों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है।
दिया गया है $R = \{(1, 3), (2, 5), (3, 3)\}$।
$R$ के प्रत्येक युग्म $(x, y)$ को $(y, x)$ में बदलने पर:
$(1, 3) \rightarrow (3, 1)$
$(2, 5) \rightarrow (5, 2)$
$(3, 3) \rightarrow (3, 3)$
अतः,${R^{ - 1}} = \{(3, 1), (5, 2), (3, 3)\}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,सही विकल्प $A$ है।

(A) चरण $1$: समुच्चय $A$ के अवयवों की पहचान करें। $8$ से कम सम प्राकृतिक संख्याएँ $2, 4, 6$ हैं। अतः,$A = \{2, 4, 6\}$.
चरण $2$: समुच्चय $B$ के अवयवों की पहचान करें। $7$ से कम अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5$ हैं। अतः,$B = \{2, 3, 5\}$.
चरण $3$: कार्तीय गुणनफल $A \times B$ में अवयवों की संख्या ज्ञात करें। अवयवों की संख्या $n(A) = 3$ और $n(B) = 3$ है। अतः,$n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 3 \times 3 = 9$.
चरण $4$: $A$ से $B$ में संबंधों की संख्या $A \times B$ के उपसमुच्चयों की संख्या है,जो $2^{n(A \times B)} = 2^9$ द्वारा दी जाती है।

(B) समुच्चय $X$ से समुच्चय $Y$ में एक संबंध,कार्तीय गुणनफल $X \times Y$ का एक उपसमुच्चय होता है।
$R_1$ के लिए: यदि $x=1, y=3 \in Y$; $x=2, y=4 \notin Y$; $x=3, y=5 \in Y$; $x=4, y=6 \notin Y$; $x=5, y=7 \in Y$ है। चूँकि $4 \notin Y$ और $6 \notin Y$,इसलिए $R_1$,$X$ से $Y$ में संबंध नहीं है।
$R_2$ के लिए: सभी अवयव $(x, y)$ के लिए $x \in X$ और $y \in Y$ है। अतः,$R_2 \subseteq X \times Y$ है।
$R_3$ के लिए: $(1, 1), (1, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 7)$ सभी $x \in X$ और $y \in Y$ की शर्त को पूरा करते हैं। अतः,$R_3 \subseteq X \times Y$ है।
$R_4$ के लिए: $(7, 9) \notin X \times Y$ क्योंकि $7 \notin X$ है।

(C) यहाँ $n(A) = 2$ तथा $n(B) = 3$ दिया गया है।
कार्तीय गुणन $A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 2 \times 3 = 6$ है।
समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में एक संबंध को $A \times B$ के किसी भी उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$A$ से $B$ में संबंधों की कुल संख्या $A \times B$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर होती है।
$m$ अवयवों वाले एक समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या $2^m$ होती है।
अतः,संबंधों की कुल संख्या $2^{n(A \times B)} = 2^6 = 64$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $(c)$ है।

(C) माना $S$ एक घात समुच्चय है। किसी भी समुच्चय $A \in S$ के लिए,हम जानते हैं कि $A \subseteq A$ होता है। इसलिए,संबंध '$\subseteq$' स्वतुल्य है।
यदि $A \subseteq B$ और $B \subseteq C$ है,तो $A \subseteq C$ होता है। इसलिए,संबंध '$\subseteq$' संक्रामक (transitive) है।
हालाँकि,यदि $A \subseteq B$ है,तो इसका अर्थ यह नहीं है कि $B \subseteq A$ (जब तक कि $A = B$ न हो)। इसलिए,संबंध '$\subseteq$' सममित नहीं है।
चूँकि यह संबंध स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध नहीं है। अतः,सही गुण यह है कि यह स्वतुल्य है।

(B) संबंध $R$ समुच्चयों के परिवार $X$ पर इस प्रकार परिभाषित है कि $A R B$ यदि और केवल यदि $A \cap B = \emptyset$ हो।
$1$. स्वतुल्यता: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $A \in X$ के लिए $A R A$ सत्य होना चाहिए। इसका अर्थ है $A \cap A = \emptyset$,जिसका मतलब है $A = \emptyset$। चूंकि यह $X$ के सभी समुच्चयों के लिए सत्य नहीं है,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: यदि $A R B$ है,तो $A \cap B = \emptyset$। चूंकि सर्वनिष्ठ (intersection) क्रमविनिमेय है,इसलिए $B \cap A = \emptyset$,जिसका अर्थ है $B R A$। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $A R B$ और $B R C$ है,तो यह आवश्यक नहीं है कि $A R C$ हो। उदाहरण के लिए,मान लीजिए $A = \{1\}$,$B = \{2\}$,और $C = \{1\}$। यहाँ $A \cap B = \emptyset$ और $B \cap C = \emptyset$ है,लेकिन $A \cap C = \{1\} \neq \emptyset$। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,संबंध $R$ सममित है।

(D) परिभाषा के अनुसार,एक अरिक्त समुच्चय $P$ से एक अरिक्त समुच्चय $Q$ में संबंध $R$,कार्तीय गुणनफल $P \times Q$ का कोई भी उपसमुच्चय होता है।
अतः,$R \subseteq P \times Q$।

(C) परिभाषा के अनुसार,समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में एक संबंध $R$,कार्तीय गुणन $A \times B$ का एक उपसमुच्चय होता है।
अतः,$R \subseteq A \times B$।

(C) समुच्चय $A$ पर एक संबंध को कार्तीय गुणनफल $A \times A$ के उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि $n(A) = n$,कार्तीय गुणनफल $A \times A$ में अवयवों की संख्या $n(A \times A) = n(A) \times n(A) = n \times n = n^2$ है।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^m$ होती है।
अतः,समुच्चय $A$ पर संबंधों की कुल संख्या $A \times A$ के उपसमुच्चयों की संख्या है,जो कि $2^{n(A \times A)} = 2^{n^2}$ है।

(A) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में एक संबंध $R$,कार्तीय गुणनफल $A \times B$ का एक उपसमुच्चय होता है।
चूंकि समुच्चय $A$ में $m$ अवयव हैं और समुच्चय $B$ में $n$ अवयव हैं,कार्तीय गुणनफल $A \times B$ में अवयवों की संख्या $|A \times B| = |A| \times |B| = m \times n = mn$ होगी।
$k$ अवयवों वाले एक समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^k$ होती है।
चूंकि एक संबंध $A \times B$ का कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है,इसलिए $A$ से $B$ में संबंधों की कुल संख्या $A \times B$ के उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर होगी।
अतः,संबंधों की कुल संख्या $2^{mn}$ है।

(D) दो संख्याएँ सापेक्ष अभाज्य (relatively prime) कहलाती हैं यदि उनका महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ $1$ हो।
हम $A$ के प्रत्येक अवयव $x$ के लिए जाँच करते हैं कि क्या $B$ में कम से कम एक ऐसा $y$ मौजूद है जिसके लिए $\text{gcd}(x, y) = 1$:
$1$. $x = 2$ के लिए: $\text{gcd}(2, 3) = 1$,अतः $(2, 3) \in R$।
$2$. $x = 3$ के लिए: $\text{gcd}(3, 7) = 1$,अतः $(3, 7) \in R$।
$3$. $x = 4$ के लिए: $\text{gcd}(4, 3) = 1$,अतः $(4, 3) \in R$।
$4$. $x = 5$ के लिए: $\text{gcd}(5, 3) = 1$,अतः $(5, 3) \in R$।
चूँकि $A$ के प्रत्येक अवयव का संबंध $R$ के अंतर्गत $B$ में कम से कम एक प्रतिबिंब है,इसलिए $R$ का प्रांत $A = \{2, 3, 4, 5\}$ है।

(C) संबंध $R, A$ से $B$ में इस प्रकार परिभाषित है कि $R = \{(x, y) : x \in A, y \in B, x > y\}$।
यहाँ $A = \{1, 2, 3\}$ और $B = \{1, 4, 6, 9\}$ दिया गया है।
हम सभी युग्मों $(x, y)$ के लिए शर्त $x > y$ की जाँच करते हैं:
$x = 1$ के लिए: $B$ में कोई भी $y$ ऐसा नहीं है जो $1 > y$ को संतुष्ट करे।
$x = 2$ के लिए: $2 > 1$ सत्य है,इसलिए $(2, 1) \in R$।
$x = 3$ के लिए: $3 > 1$ सत्य है,इसलिए $(3, 1) \in R$।
अतः,$R = \{(2, 1), (3, 1)\}$।
$R$ की रेंज $R$ में मौजूद क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय है।
रेंज $= \{1\}$।

(A) दिए गए समुच्चय $A = \{11, 12, 13\}$ और $B = \{8, 10, 12\}$ हैं।
संबंध $R$,$y = x - 3$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $x \in A$ और $y \in B$ है।
$x = 11$ के लिए,$y = 11 - 3 = 8$। चूँकि $8 \in B$,इसलिए $(11, 8) \in R$ है।
$x = 12$ के लिए,$y = 12 - 3 = 9$। चूँकि $9 \notin B$,इसलिए $(12, 9) \notin R$ है।
$x = 13$ के लिए,$y = 13 - 3 = 10$। चूँकि $10 \in B$,इसलिए $(13, 10) \in R$ है।
अतः,$R = \{(11, 8), (13, 10)\}$ है।
प्रतिलोम संबंध $R^{-1}$,$R$ में क्रमित युग्मों के अवयवों को परस्पर बदलकर प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,$R^{-1} = \{(8, 11), (10, 13)\}$ है।

(C) सर्वांगसमता $x \equiv 3 \pmod{7}$ का अर्थ है कि $x - 3$,$7$ से विभाज्य है।
इसे किसी पूर्णांक $p \in \mathbb{Z}$ के लिए $x - 3 = 7p$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x = 7p + 3$ प्राप्त होता है।
अतः,ऐसे सभी पूर्णांकों $x$ का समुच्चय $\{7p + 3 : p \in \mathbb{Z}\}$ है।

(B) दिया गया समुच्चय $A = \{x : |x| < 3, x \in Z\}$ है।
चूँकि $|x| < 3$ और $x$ एक पूर्णांक है,$A$ के अवयव $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ हैं।
संबंध $R$ को $R = \{(x, y) : y = |x|, x \neq -1\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$A$ के प्रत्येक $x$ के लिए जहाँ $x \neq -1$,हम संगत $y = |x|$ ज्ञात करते हैं:
यदि $x = -2$,तो $y = |-2| = 2$. अतः,$(-2, 2) \in R$.
यदि $x = 0$,तो $y = |0| = 0$. अतः,$(0, 0) \in R$.
यदि $x = 1$,तो $y = |1| = 1$. अतः,$(1, 1) \in R$.
यदि $x = 2$,तो $y = |2| = 2$. अतः,$(2, 2) \in R$.
इस प्रकार,$R = \{(-2, 2), (0, 0), (1, 1), (2, 2)\}$.
$R$ में अवयवों की संख्या $n(R) = 4$ है।
$R$ के घात समुच्चय में अवयवों की संख्या $2^{n(R)} = 2^4 = 16$ है।

(N/A) संबंध की परिभाषा के अनुसार,हमारे पास $R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)\}$ है।
इसका संगत तीर आरेख नीचे दर्शाया गया है:
दो समुच्चयों $A$ को अंडाकार आकृतियों के रूप में दर्शाया गया है। दोनों में अवयव $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ अंकित हैं। पहले समुच्चय के $x$ से दूसरे समुच्चय के $y$ तक तीर खींचे गए हैं ताकि $y = x + 1$ हो। विशेष रूप से,तीर $1 \to 2$,$2 \to 3$,$3 \to 4$,$4 \to 5$,और $5 \to 6$ को जोड़ते हैं।

(N/A) संबंध $R$ को $R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)\}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रांत $R$ में क्रमित युग्मों के सभी प्रथम घटकों का समुच्चय है,जो $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
परिसर $R$ में क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय घटकों का समुच्चय है,जो $\{2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
सह-प्रांत समुच्चय $A$ स्वयं है,जो $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।

(N/A) आकृति से,हम निम्नलिखित मैपिंग देखते हैं:
$9$ $\rightarrow 3, 9$ $\rightarrow -3$
$4$ $\rightarrow 2, 4$ $\rightarrow -2$
$25$ $\rightarrow 5, 25$ $\rightarrow -5$
यह दर्शाता है कि समुच्चय $P$ का प्रत्येक अवयव $x$,समुच्चय $Q$ के संबंधित अवयव $y$ का वर्ग है।
$1.$ समुच्चय-निर्माण रूप:
$R = \{(x, y) : x = y^2, x \in P, y \in Q\}$
$2.$ प्रांत (Domain):
$R$ में क्रमित युग्मों के सभी प्रथम अवयवों का समुच्चय $\{4, 9, 25\}$ है।
$3.$ परिसर (Range):
$R$ में क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय अवयवों का समुच्चय $\{-5, -3, -2, 2, 3, 5\}$ है।

(N/A) आकृति से यह स्पष्ट है कि संबंध $R$ को '$x, y$ का वर्ग है' के रूप में परिभाषित किया गया है।
रोस्टर रूप में,संबंध $R = \{(9, 3), (9, -3), (4, 2), (4, -2), (25, 5), (25, -5)\}$ है।
इस संबंध का प्रांत क्रमित युग्मों के सभी प्रथम घटकों का समुच्चय है,जो $\{4, 9, 25\}$ है।
इस संबंध का परिसर क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय घटकों का समुच्चय है,जो $\{-5, -3, -2, 2, 3, 5\}$ है।

(C) हमारे पास $A = \{1, 2\}$ और $B = \{3, 4\}$ है।
कार्तीय गुणन $A \times B = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\}$ है।
$A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A \times B) = 4$ है।
$A$ से $B$ में एक संबंध $A \times B$ का एक उपसमुच्चय होता है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ होती है।
अतः,$A$ से $B$ में संबंधों की संख्या $2^4 = 16$ है।

(N/A) से $A$ में संबंध $R = \{(x, y) : 3x - y = 0, \text{ जहाँ } x, y \in A\}$ दिया गया है।
इसे $R = \{(x, y) : y = 3x, \text{ जहाँ } x, y \in A\}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x = 1$ के लिए,$y = 3 \in A$.
$x = 2$ के लिए,$y = 6 \in A$.
$x = 3$ के लिए,$y = 9 \in A$.
$x = 4$ के लिए,$y = 12 \in A$.
$x = 5$ के लिए,$y = 15 \notin A$.
अतः,$R = \{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)\}$.
$R$ का प्रांत क्रमित युग्मों के सभी प्रथम अवयवों का समुच्चय है,जो $\{1, 2, 3, 4\}$ है।
संबंध $R$ का सह-प्रांत समुच्चय $A = \{1, 2, 3, \ldots, 14\}$ है।
$R$ का परिसर क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय अवयवों का समुच्चय है,जो $\{3, 6, 9, 12\}$ है।

(N/A) संबंध को $R = \{(x, y) : y = x + 5, x \in \{1, 2, 3\}, x, y \in N\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $x$,$4$ से कम एक प्राकृत संख्या है,इसलिए $x$ के संभावित मान $1, 2,$ और $3$ हैं।
$x = 1$ के लिए,$y = 1 + 5 = 6$ है।
$x = 2$ के लिए,$y = 2 + 5 = 7$ है।
$x = 3$ के लिए,$y = 3 + 5 = 8$ है।
अतः,रोस्टर रूप में,$R = \{(1, 6), (2, 7), (3, 8)\}$ है।
प्रांत क्रमित युग्मों के सभी प्रथम अवयवों का समुच्चय है: $\text{Domain} = \{1, 2, 3\}$।
परिसर क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय अवयवों का समुच्चय है: $\text{Range} = \{6, 7, 8\}$।

(A) दिए गए समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 5\}$ और $B = \{4, 6, 9\}$ हैं।
संबंध $R$ को सभी क्रमित युग्मों $(x, y)$ के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ $|x - y|$ विषम है,जहाँ $x \in A$ और $y \in B$.
प्रत्येक युग्म की जाँच करने पर:
$x = 1$ के लिए: $|1 - 4| = 3$ (विषम),$|1 - 6| = 5$ (विषम),$|1 - 9| = 8$ (सम)। अतः,$(1, 4)$ और $(1, 6) \in R$.
$x = 2$ के लिए: $|2 - 4| = 2$ (सम),$|2 - 6| = 4$ (सम),$|2 - 9| = 7$ (विषम)। अतः,$(2, 9) \in R$.
$x = 3$ के लिए: $|3 - 4| = 1$ (विषम),$|3 - 6| = 3$ (विषम),$|3 - 9| = 6$ (सम)। अतः,$(3, 4)$ और $(3, 6) \in R$.
$x = 5$ के लिए: $|5 - 4| = 1$ (विषम),$|5 - 6| = 1$ (विषम),$|5 - 9| = 4$ (सम)। अतः,$(5, 4)$ और $(5, 6) \in R$.
अतः,$R = \{(1, 4), (1, 6), (2, 9), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)\}$.

(N/A) दी गई आकृति से,समुच्चय $P = \{5, 6, 7\}$ और $Q = \{3, 4, 5\}$ हैं।
$1$. समुच्चय-निर्माण रूप:
संबंध $R$ को $R = \{(x, y) : y = x - 2, x \in P\}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$2$. प्रांत (Domain):
प्रांत संबंध में क्रमित युग्मों के सभी प्रथम घटकों का समुच्चय है,जो $\{5, 6, 7\}$ है।
$3$. परिसर (Range):
परिसर संबंध में क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय घटकों का समुच्चय है,जो $\{3, 4, 5\}$ है।

(N/A) दी गई आकृति के अनुसार,$P = \{5, 6, 7\}$ और $Q = \{3, 4, 5\}$ है।
रोस्टर रूप में संबंध $R = \{(5, 3), (6, 4), (7, 5)\}$ है।
$R$ का प्रांत क्रमित युग्मों के सभी प्रथम घटकों का समुच्चय है,इसलिए $\text{Domain} = \{5, 6, 7\}$।
$R$ का परिसर क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय घटकों का समुच्चय है,इसलिए $\text{Range} = \{3, 4, 5\}$।

समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ है।
$R$ उन क्रमित युग्मों $(a, b)$ का समुच्चय है जहाँ $b, a$ से पूर्णतः विभाज्य है।
प्रत्येक अवयव $a \in A$ के लिए हम उसके गुणज $b \in A$ ज्ञात करते हैं:
$a = 1$ के लिए: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6)$
$a = 2$ के लिए: $(2, 2), (2, 4), (2, 6)$
$a = 3$ के लिए: $(3, 3), (3, 6)$
$a = 4$ के लिए: $(4, 4)$
$a = 6$ के लिए: $(6, 6)$
अतः,रोस्टर रूप में संबंध $R$ है:
$R = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (6, 6)\}$

(A) दिया गया संबंध $R = \{(x, x+5): x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\}$ है।
$x$ के प्रत्येक मान को $x+5$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x=0$ के लिए,$x+5=5$
$x=1$ के लिए,$x+5=6$
$x=2$ के लिए,$x+5=7$
$x=3$ के लिए,$x+5=8$
$x=4$ के लिए,$x+5=9$
$x=5$ के लिए,$x+5=10$
अतः,$R = \{(0, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10)\}$।
प्रांत क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय है: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$।
परिसर क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों का समुच्चय है: $\{5, 6, 7, 8, 9, 10\}$।

(A) संबंध को $R = \{ (x, x^3) : x \text{ एक अभाज्य संख्या है जो } 10 \text{ से कम है } \}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$10$ से कम अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5$ और $7$ हैं।
$x = 2$ के लिए,$x^3 = 2^3 = 8$ है।
$x = 3$ के लिए,$x^3 = 3^3 = 27$ है।
$x = 5$ के लिए,$x^3 = 5^3 = 125$ है।
$x = 7$ के लिए,$x^3 = 7^3 = 343$ है।
अतः,रोस्टर रूप में संबंध $R = \{ (2, 8), (3, 27), (5, 125), (7, 343) \}$ है।

(B) दिए गए समुच्चय $A = \{x, y, z\}$ और $B = \{1, 2\}$ हैं।
$A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 3$ है और $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 2$ है।
कार्तीय गुणन $A \times B$ में $n(A) \times n(B) = 3 \times 2 = 6$ अवयव होते हैं।
$A$ से $B$ तक का संबंध $A \times B$ का एक उपसमुच्चय होता है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या $2^{n}$ होती है।
अतः,$A$ से $B$ तक संबंधों की संख्या $2^{6} = 64$ है।

(N/A) दिया गया संबंध $R = \{(1,3), (1,5), (2,5)\}$ है।
किसी संबंध के फलन होने के लिए,प्रांत के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत में एक अद्वितीय प्रतिबिंब होना चाहिए।
यहाँ,प्रांत का अवयव $1$ दो अलग-अलग प्रतिबिंबों $3$ और $5$ से जुड़ा है।
चूँकि एक ही प्रथम अवयव $1$ दो अलग-अलग प्रतिबिंबों से संबंधित है,इसलिए यह संबंध फलन नहीं है।

(B) दिया गया है $R = \{(a, b) : a, b \in N \text{ और } a = b^2\}$.
यह जांचने के लिए कि क्या $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$,हम एक प्रतिउदाहरण लेते हैं।
युग्म $(9, 3)$ पर विचार करें। चूंकि $9 = 3^2$ और $9, 3 \in N$,इसलिए $(9, 3) \in R$ है।
अब,जांचें कि क्या $(3, 9) \in R$ है। $(3, 9)$ के $R$ में होने के लिए,इसे $a = b^2$ को संतुष्ट करना होगा,जिसका अर्थ है $3 = 9^2 = 81$। चूंकि $3 \neq 81$,इसलिए $(3, 9) \notin R$ है।
अतः,कथन $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ असत्य है।

(A) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में एक संबंध को कार्तीय गुणनफल $A \times B$ के उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $B = \{1, 5, 9, 11, 15, 16\}$ है।
कार्तीय गुणनफल $A \times B$ में सभी क्रमित युग्म $(a, b)$ होते हैं जहाँ $a \in A$ और $b \in B$ है।
चूँकि समुच्चय $f = \{(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)\}$ का प्रत्येक अवयव इस शर्त को पूरा करता है कि पहला घटक $A$ में है और दूसरा घटक $B$ में है,इसलिए हम कह सकते हैं कि $f \subseteq A \times B$ है।
अतः,$f$,$A$ से $B$ में एक संबंध है।

(B) $R^{-1}$ का प्रांत,संबंध $R$ का परिसर (range) होता है। $R$ का परिसर उन सभी संभावित पूर्णांक $y$ के मानों का संग्रह है जिनके लिए कम से कम एक पूर्णांक $x$ ऐसा मौजूद हो जो $x^{2} + 3y^{2} \leq 8$ को संतुष्ट करे।
असमिका $3y^{2} \leq 8 - x^{2}$ दी गई है,चूँकि $x^{2} \geq 0$,इसलिए $3y^{2} \leq 8$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $y^{2} \leq \frac{8}{3} \approx 2.66$.
चूँकि $y$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $y$ के संभावित मान $y \in \{-1, 0, 1\}$ हैं।
आइए इन मानों की जाँच करें:
यदि $y = 0$ है,तो $x^{2} \leq 8 \Rightarrow x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
यदि $y = 1$ है,तो $x^{2} + 3(1)^{2} \leq 8 \Rightarrow x^{2} \leq 5 \Rightarrow x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
यदि $y = -1$ है,तो $x^{2} + 3(-1)^{2} \leq 8 \Rightarrow x^{2} \leq 5 \Rightarrow x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
अतः,$y$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय $\{-1, 0, 1\}$ है।
इसलिए,$R^{-1}$ का प्रांत $\{-1, 0, 1\}$ है।

(D) माना $x = a - b$ है। शर्त $2x^2 + 3x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ है।
स्थिति $1$: $2x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(2x + 3) = 0$। चूँकि $a, b \in \{1, \ldots, 10\}$ है,$x$ एक पूर्णांक होना चाहिए। अतः,$x = 0$।
यदि $x = 0$ है,तो $a - b = 0 \Rightarrow a = b$। ऐसे $10$ युग्म हैं: $(1,1), (2,2), \ldots, (10,10)$।
स्थिति $2$: $2x^2 + 3x = 1 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 1 = 0$। $x$ के लिए कोई पूर्णांक हल नहीं है।
स्थिति $3$: $2x^2 + 3x = 2 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 2 = 0 \Rightarrow (2x - 1)(x + 2) = 0$। पूर्णांक हल $x = -2$ है।
यदि $x = -2$ है,तो $a - b = -2 \Rightarrow b = a + 2$। संभावित युग्म: $(1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (5,7), (6,8), (7,9), (8,10)$। ऐसे $8$ युग्म हैं।
स्थिति $4$: $2x^2 + 3x = 3 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 3 = 0$। कोई पूर्णांक हल नहीं है।
स्थिति $5$: $2x^2 + 3x = 4 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 4 = 0$। कोई पूर्णांक हल नहीं है।
कुल अवयवों की संख्या $= 10 + 8 = 18$।

(C) संबंध $R = \{(a, b) : a = 2b + 1\}$ के रूप में परिभाषित है जहाँ $a, b \in \{1, 2, \ldots, 10\}$।
$R$ के तत्व: $R = \{(3, 1), (5, 2), (7, 3), (9, 4)\}$।
हम $k$ क्रमित युग्मों का एक अनुक्रम $(x_1, x_2), (x_2, x_3), \ldots, (x_k, x_{k+1})$ खोज रहे हैं ताकि प्रत्येक युग्म $R$ में हो।
संबंध $a_i = 2a_{i+1} + 1$ से।
अंतिम युग्म $(a_k, a_{k+1})$ से शुरू करते हुए:
यदि $a_{k+1} = 1$,तो $a_k = 2(1) + 1 = 3$।
यदि $a_k = 3$,तो $a_{k-1} = 2(3) + 1 = 7$।
यदि $a_{k-1} = 7$,तो $a_{k-2} = 2(7) + 1 = 15$,जो $A$ में नहीं है।
अतः,अनुक्रम $(7, 3), (3, 1)$ हो सकता है,जिसमें $k = 2$ युग्म हैं।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $3$ है।

(B) दिया गया संबंध $R = \{(a, b) : b = a - 1, a \in \mathbb{Z}, 5 < a < 9\}$ है।
चूंकि $a$ एक पूर्णांक है जहाँ $5 < a < 9$,इसलिए $a$ के संभावित मान $a \in \{6, 7, 8\}$ हैं।
यदि $a = 6$,तो $b = 6 - 1 = 5$ है।
यदि $a = 7$,तो $b = 7 - 1 = 6$ है।
यदि $a = 8$,तो $b = 8 - 1 = 7$ है।
अतः,संबंध $R = \{(6, 5), (7, 6), (8, 7)\}$ है।
$R$ का परिसर क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय है,जो $\{5, 6, 7\}$ है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) संबंध $R$,$A$ से $B$ में $R = \{(x, y) : x \in A, y \in B, x > y\}$ के रूप में परिभाषित है।
प्रत्येक $x \in A$ के लिए $y \in B$ की जाँच करने पर जहाँ $x > y$:
$x = 2$ के लिए,$y = 1$ $(2 > 1)$,अतः $(2, 1) \in R$।
$x = 3$ के लिए,$y = 1$ $(3 > 1)$,अतः $(3, 1) \in R$।
$x = 4$ के लिए,$y = 1$ $(4 > 1)$,अतः $(4, 1) \in R$।
$x = 5$ के लिए,$y = 1$ $(5 > 1)$ और $y = 4$ $(5 > 4)$,अतः $(5, 1) \in R$ और $(5, 4) \in R$।
$R$ में सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय $\{(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (5, 4)\}$ है।
परिसर $R$ के क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय है।
परिसर $R = \{1, 4\}$।

(A) दिए गए समुच्चय $A = \{x, y, z\}$ और $B = \{1, 2\}$ हैं।
समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 3$ है।
समुच्चय $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 2$ है।
कार्तीय गुणन $A \times B$ में $n(A) \times n(B) = 3 \times 2 = 6$ अवयव होते हैं।
$A$ से $B$ में एक संबंध $A \times B$ का एक उपसमुच्चय होता है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ होती है।
इसलिए,$A$ से $B$ में संबंधों की कुल संख्या $2^6 = 64$ है।

(D) संबंध $R = \{(a, b) : a = b - 2, b > 6\}$ के रूप में परिभाषित है।
प्रत्येक विकल्प की जाँच करते हैं:
$A$: $(2, 4)$ के लिए,$b = 4$ है। चूँकि $4 > 6$ सत्य नहीं है,इसलिए $(2, 4) \notin R$ है।
$B$: $(8, 7)$ के लिए,$a = 8$ और $b = 7$ है। यहाँ $a = b - 2$ का अर्थ है $8 = 7 - 2$,जो $8 = 5$ है (असत्य)।
$C$: $(3, 8)$ के लिए,$a = 3$ और $b = 8$ है। यहाँ $a = b - 2$ का अर्थ है $3 = 8 - 2$,जो $3 = 6$ है (असत्य)।
$D$: $(6, 8)$ के लिए,$a = 6$ और $b = 8$ है। यहाँ $b > 6$ का अर्थ है $8 > 6$ (सत्य),और $a = b - 2$ का अर्थ है $6 = 8 - 2$,जो $6 = 6$ है (सत्य)।
अतः,$(6, 8) \in R$ है।

(D) दिया गया है कि $n(A) = 2$ है। मान लीजिए $n(B) = m$ है।
समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में संबंधों की कुल संख्या $2^{n(A) \times n(B)}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,$2^{2 \times m} = 1024$ है।
चूँकि $1024 = 2^{10}$ होता है,इसलिए $2^{2m} = 2^{10}$ है।
घातों की तुलना करने पर,$2m = 10$,जिससे $m = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$n(B) = 5$ है।

(D) दिया गया संबंध $R = \{(x, y) : 4x + 3y = 20\}$ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{N}$ पर है।
$(x, y) \in R$ के लिए,$x$ और $y$ दोनों प्राकृत संख्याएँ होनी चाहिए (अर्थात $x, y \in \{1, 2, 3, \dots\}$)।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
$(a)$ $(-4, 12)$: $-4 \notin \mathbb{N}$।
$(b)$ $(5, 0)$: $0 \notin \mathbb{N}$।
$(c)$ $(3, 4)$: $4(3) + 3(4) = 12 + 12 = 24 \neq 20$।
$(d)$ $(2, 4)$: $4(2) + 3(4) = 8 + 12 = 20$। चूँकि $2 \in \mathbb{N}$ और $4 \in \mathbb{N}$,इसलिए $(2, 4) \in R$।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) दिया गया संबंध $3 a+2 b=27$ है जहाँ $a, b \in N$ (प्राकृत संख्याएँ)।
$2 b = 27 - 3 a$
$b = \frac{3(9 - a)}{2}$
चूँकि $b$ एक प्राकृत संख्या होनी चाहिए,इसलिए $3(9 - a)$ सम और धनात्मक होना चाहिए।
$a = 1$ के लिए,$b = 12$।
$a = 3$ के लिए,$b = 9$।
$a = 5$ के लिए,$b = 6$।
$a = 7$ के लिए,$b = 3$।
$a = 9$ के लिए,$b = 0$ (जो प्राकृत संख्या नहीं है)।
अतः,$R = \{(1, 12), (3, 9), (5, 6), (7, 3)\}$।