Different types of Function Questions in Hindi

(D) दिया गया है $f(x) = \cos([\pi^2]x) + \cos([- \pi^2]x)$.
चूंकि $\pi^2 \approx 9.86$,इसलिए $[\pi^2] = 9$ और $[-\pi^2] = [-9.86] = -10$ है।
अतः,$f(x) = \cos(9x) + \cos(-10x) = \cos(9x) + \cos(10x)$।
सूत्र $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करने पर,$f(x) = 2\cos\left(\frac{19x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
विकल्प $D$ के लिए,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{19\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$।
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \times \cos\left(4\pi + \frac{3\pi}{4}\right) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$।

(C) स्टेप फलन वास्तविक संख्याओं पर एक ऐसा फलन है जिसे अंतरालों के सूचक फलनों के परिमित रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{यदि } 0 \le x \le \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3}, & \text{यदि } \frac{1}{2} < x \le 1 \end{cases}$ के लिए,इस फलन का ग्राफ डोमेन के विभिन्न अंतरालों पर अलग-अलग ऊंचाइयों पर क्षैतिज रेखा खंडों से बना है।
यह एक स्टेप फलन का विशिष्ट गुण है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक फलन $f(x)$ सम (even) होता है यदि $f(-x) = f(x)$ और विषम (odd) होता है यदि $f(-x) = -f(x)$ हो।
विकल्प $(A)$ के लिए: $f(-x) = \frac{a^{-x} + 1}{a^{-x} - 1} = \frac{\frac{1}{a^x} + 1}{\frac{1}{a^x} - 1} = \frac{1 + a^x}{1 - a^x} = -\frac{a^x + 1}{a^x - 1} = -f(x)$। अतः,यह एक विषम फलन है।
विकल्प $(B)$ के लिए: $f(-x) = (-x) \left( \frac{a^{-x} - 1}{a^{-x} + 1} \right) = (-x) \left( \frac{\frac{1}{a^x} - 1}{\frac{1}{a^x} + 1} \right) = (-x) \left( \frac{1 - a^x}{1 + a^x} \right) = x \left( \frac{a^x - 1}{a^x + 1} \right) = f(x)$। अतः,यह एक सम फलन है।
विकल्प $(C)$ के लिए: $f(-x) = \frac{a^{-x} - a^x}{a^{-x} + a^x} = -\frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} = -f(x)$। अतः,यह एक विषम फलन है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $f(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -f(x)$। अतः,यह एक विषम फलन है।
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \log \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)$.
यह जांचने के लिए कि फलन सम है या विषम,हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-x) = \log \left( \frac{1 + (-x)}{1 - (-x)} \right) = \log \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right)$.
लघुगणक के गुणधर्म $\log(a^{-1}) = -\log(a)$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$f(-x) = \log \left( \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)$.
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।

(D) माना $f(x) = |x| + |x + \frac{1}{2}| + |x - 3| + |x - \frac{5}{2}|$.
यह निरपेक्ष मान फलनों का योग है। $\sum |x - a_i|$ के रूप के योग का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $x$,$a_i$ मानों का माध्यिका (median) हो।
यहाँ,क्रांतिक बिंदु $0, -\frac{1}{2}, 3, \frac{5}{2}$ हैं।
इन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: $-\frac{1}{2}, 0, \frac{5}{2}, 3$ प्राप्त होता है।
माध्यिका $[0, \frac{5}{2}]$ अंतराल में स्थित है।
अंतराल $[0, \frac{5}{2}]$ में किसी भी $x$ के लिए,$f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(x) = x + (x + \frac{1}{2}) + (3 - x) + (\frac{5}{2} - x) = x + x + \frac{1}{2} + 3 - x + \frac{5}{2} - x = \frac{1}{2} + 3 + \frac{5}{2} = 6$.
अतः,$[0, \frac{5}{2}]$ में किसी भी $x$ के लिए,फलन का मान स्थिर और $6$ के बराबर है।
इसलिए,न्यूनतम मान $6$ है।

(C) दिया गया है $g(u) = 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$.
विषम/सम की जाँच करने के लिए,$g(-u) = 2 \tan^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$ लें।
चूँकि $e^{-u} = \frac{1}{e^u}$,हमारे पास $g(-u) = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{e^u}\right) - \frac{\pi}{2}$ है।
सर्वसमिका $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \cot^{-1}(x)$ होता है।
अतः,$g(-u) = 2 \cot^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$.
अब,$g(u) + g(-u) = 2(\tan^{-1}(e^u) + \cot^{-1}(e^u)) - \pi = 2(\frac{\pi}{2}) - \pi = 0$.
चूँकि $g(-u) = -g(u)$,फलन विषम है।
एकदिष्टता की जाँच करने के लिए,अवकलज ज्ञात करें $g'(u) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^u)^2} \cdot e^u = \frac{2e^u}{1 + e^{2u}}$.
चूँकि सभी $u \in \mathbb{R}$ के लिए $e^u > 0$,इसलिए $g'(u) > 0$ है।
अतः,$g(u)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान फलन है।

(C) फलन $g(x) = 2 \tan^{-1}(e^x) - \frac{\pi}{2}$ के लिए,इसका अवकलन करने पर:
$g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^x)^2} \cdot e^x = \frac{2e^x}{1 + e^{2x}}$।
चूँकि $e^x > 0$ सभी $x \in (-\infty, \infty)$ के लिए है,इसलिए $g'(x) > 0$ है। अतः,$g(x)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ में निरंतर वर्धमान फलन है।
अब,सम या विषम की जाँच करने के लिए: $g(-x) = 2 \tan^{-1}(e^{-x}) - \frac{\pi}{2} = 2 \tan^{-1}(\frac{1}{e^x}) - \frac{\pi}{2}$।
सर्वसमिका $\tan^{-1}(\frac{1}{u}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(u)$ (जब $u > 0$) का उपयोग करने पर:
$g(-x) = 2(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^x)) - \frac{\pi}{2} = \pi - 2 \tan^{-1}(e^x) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^x) = -g(x)$।
इस प्रकार,$g(-x) = -g(x)$ होने के कारण $g(x)$ एक विषम फलन है।

(A) $x-$अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = 0$ रखते हैं।
$||x - 2| - \alpha| - 5 = 0$
$||x - 2| - \alpha| = 5$
इसका तात्पर्य है कि $|x - 2| - \alpha = 5$ या $|x - 2| - \alpha = -5$ है।
$|x - 2| = \alpha + 5$ या $|x - 2| = \alpha - 5$ है।
समीकरण $|x - 2| = k$ के दो अलग-अलग हल होने के लिए,हमारे पास $k > 0$ होना चाहिए।
यदि $\alpha - 5 > 0$ है,तो $|x - 2| = \alpha - 5$ दो हल देता है,और $|x - 2| = \alpha + 5$ भी दो हल देता है (क्योंकि $\alpha + 5 > \alpha - 5 > 0$ है)।
अतः,हमें $\alpha - 5 > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\alpha > 5$ है।
चूंकि हम $\alpha$ का न्यूनतम पूर्णांक मान खोज रहे हैं,और $\alpha > 5$ है,इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक $\alpha = 6$ है।

(D) फलन $f(t) = 2^t + t$ पर विचार करें।
चूंकि $f'(t) = 2^t \ln 2 + 1 > 0$ सभी $t$ के लिए,$f(t)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
दिया गया समीकरण $f(x) = f(\sin x)$ है।
चूंकि $f$ निरंतर वर्धमान है,$f(x) = f(\sin x)$ का अर्थ है $x = \sin x$।
अंतराल $[0, 10\pi]$ में,समीकरण $x = \sin x$ केवल $x = 0$ पर सत्य है।
अतः,दिए गए अंतराल में केवल $1$ हल है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = (\{x\} - \frac{1}{2})^2$ है।
$1$. सांतत्य: भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\}$ सभी पूर्णांकों $n \in \mathbb{Z}$ पर असंतत है। इसलिए,$f(x)$ सभी पूर्णांकों $n \in \mathbb{Z}$ पर असंतत है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$2$. अवकलनीयता: चूंकि $f(x)$ पूर्णांकों पर असंतत है,इसलिए यह पूर्णांकों पर अवकलनीय नहीं है। अतः,विकल्प $B$ गलत है।
$3$. आवर्तता: भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\}$ $1$ आवर्तकाल वाला एक आवर्ती फलन है। इसलिए,$f(x) = (\{x\} - \frac{1}{2})^2$ भी $1$ आवर्तकाल वाला फलन है। अतः,विकल्प $C$ गलत है।
$4$. सम/विषम: फलन के सम होने के लिए,$f(-x) = f(x)$ होना चाहिए। यहाँ,$f(-x) = (\{-x\} - \frac{1}{2})^2$ है। यदि $x$ पूर्णांक नहीं है,तो $\{-x\} = 1 - \{x\}$ होता है। तब $f(-x) = (1 - \{x\} - \frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2} - \{x\})^2 = (\{x\} - \frac{1}{2})^2 = f(x)$। यदि $x$ पूर्णांक है,तो $f(-x) = (0 - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ और $f(x) = (0 - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$। अतः,$f(x)$ एक सम फलन है। विकल्प $D$ भी सही है।

(A) माना $f(x) = |x + |2x - 1|| - |x - |2x - 1||$.
इस फलन का विश्लेषण करने पर,यह $x < 1/3$ के लिए $2x$,$1/3 \le x \le 1$ के लिए $4x-2$ और $x > 1$ के लिए $2x$ है।
यह फलन निरंतर वर्धमान है,इसलिए किसी भी $K$ के लिए इसके अधिकतम एक ही हल हो सकते हैं।
अतः,$K$ का ऐसा कोई मान संभव नहीं है जिसके लिए तीन हल प्राप्त हों। उत्तर $0$ है।

(D) कथन $-1$ एक सम फलन की मानक परिभाषा है,जो सत्य है।
कथन $-2$ के लिए,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \left[ \frac{x^2 + x + 1}{4} \right]$ का प्रांत $1 - x^2 > 0$ द्वारा निर्धारित होता है,जिसका अर्थ है $x \in (-1, 1)$।
अंतराल $x \in (-1, 1)$ के भीतर,व्यंजक $g(x) = \frac{x^2 + x + 1}{4}$ का मान $\frac{(-1)^2 + (-1) + 1}{4} = 0.25$ से $\frac{1^2 + 1 + 1}{4} = 0.75$ के बीच रहता है।
चूंकि सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $0 \le g(x) < 1$ है,इसलिए महत्तम पूर्णांक फलन $[g(x)] = 0$ होगा।
अतः,$x \in (-1, 1)$ के लिए,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + 0 = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$।
चूंकि $f(-x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (-x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = f(x)$,इसलिए यह फलन सम है।
दोनों कथन सत्य हैं,और कथन $-1$ वह परिभाषा प्रदान करता है जिसका उपयोग कथन $-2$ को सत्यापित करने के लिए किया गया है।

(C) दिया गया है $g(u) = 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$.
विषम/सम की जाँच करने के लिए,हम $g(-u)$ का मूल्यांकन करते हैं:
$g(-u) = 2 \tan^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$
$= 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{e^u}\right) - \frac{\pi}{2}$
सर्वसमिका $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\tan^{-1}\left(\frac{1}{e^u}\right) = \cot^{-1}(e^u) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^u)$ है।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$g(-u) = 2 \left[ \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^u) \right] - \frac{\pi}{2}$
$= \pi - 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$
$= \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^u)$
$= - \left( 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2} \right) = -g(u)$.
चूंकि $g(-u) = -g(u)$,फलन विषम है।
अब,अवकलज ज्ञात करके एकदिष्टता की जाँच करें:
$g'(u) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^u)^2} \cdot e^u = \frac{2e^u}{1 + e^{2u}}$.
चूंकि सभी $u \in (-\infty, \infty)$ के लिए $e^u > 0$,इसलिए $g'(u) > 0$ है।
अतः,$g(u)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।

(D) माना $f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_3)(x-\alpha_5) + 3(x-\alpha_2)(x-\alpha_4)(x-\alpha_6)$ है।
दिए गए बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(\alpha_1) = 0 + 3(\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_1-\alpha_4)(\alpha_1-\alpha_6) = 3(-)(-)(-) < 0$.
$f(\alpha_2) = (\alpha_2-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha_3)(\alpha_2-\alpha_5) + 0 = (+)(-)(-) > 0$.
$f(\alpha_3) = 0 + 3(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_4)(\alpha_3-\alpha_6) = 3(+)(-)(-) > 0$.
$f(\alpha_4) = (\alpha_4-\alpha_1)(\alpha_4-\alpha_3)(\alpha_4-\alpha_5) + 0 = (+)(+)(-) < 0$.
$f(\alpha_5) = 0 + 3(\alpha_5-\alpha_2)(\alpha_5-\alpha_4)(\alpha_5-\alpha_6) = 3(+)(+)(-) < 0$.
$f(\alpha_6) = (\alpha_6-\alpha_1)(\alpha_6-\alpha_3)(\alpha_6-\alpha_5) + 0 = (+)(+)(+) > 0$.
चूंकि $f(\alpha_1) < 0$ और $f(\alpha_2) > 0$,इसलिए $(\alpha_1, \alpha_2)$ में एक मूल है।
चूंकि $f(\alpha_3) > 0$ और $f(\alpha_4) < 0$,इसलिए $(\alpha_3, \alpha_4)$ में एक मूल है।
चूंकि $f(\alpha_5) < 0$ और $f(\alpha_6) > 0$,इसलिए $(\alpha_5, \alpha_6)$ में एक मूल है।
जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$। चूंकि $f(\alpha_1) < 0$,इसलिए $(-\infty, \alpha_1)$ में कोई मूल होने की गारंटी नहीं है।

(C) दिया गया है कि $f$ एक विषम फलन है,इसलिए $f(-x) = -f(x)$ होता है।
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = 3 \sin x + 4 \cos x$ है।
हमें $f\left(-\frac{11\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $f$ विषम है,इसलिए $f\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -f\left(\frac{11\pi}{6}\right)$ होगा।
पहले $f\left(\frac{11\pi}{6}\right)$ की गणना करते हैं:
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3 \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) + 4 \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)$
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3 \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 4 \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right)$
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3(-\sin\frac{\pi}{6}) + 4(\cos\frac{\pi}{6})$
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3(-\frac{1}{2}) + 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}$।
अतः,$f\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -(-\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}) = \frac{3}{2} - 2\sqrt{3}$।

(N/A) हमारे पास फलन $f(x) = x^{3}$ है।
आलेख खींचने के लिए,हम फलन के कुछ मानों की गणना करते हैं:
$f(0) = 0^{3} = 0$
$f(1) = 1^{3} = 1$
$f(-1) = (-1)^{3} = -1$
$f(2) = 2^{3} = 8$
$f(-2) = (-2)^{3} = -8$
इन बिंदुओं $(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (2, 8), (-2, -8)$ को कार्तीय तल पर आलेखित करके और उन्हें एक चिकने वक्र द्वारा जोड़ने पर घन फलन $f(x) = x^{3}$ का आलेख प्राप्त होता है।

(B) समुच्चय में अवयवों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $(|x|-3)|x+4|=6$ को हल करते हैं।
मान लीजिए $f(x) = |x|-3$ और $g(x) = \frac{6}{|x+4|}$ है।
हम $y = |x|-3$ और $y = \frac{6}{|x+4|}$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करते हैं।
$y = |x|-3$ का ग्राफ एक $V$-आकार का वक्र है जिसका शीर्ष $(0, -3)$ पर है और $x$-अंतःखंड $x = 3$ और $x = -3$ पर हैं।
$y = \frac{6}{|x+4|}$ का ग्राफ $x = -4$ पर एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptote) वाला वक्र है और यह हमेशा धनात्मक होता है।
ग्राफ का अवलोकन करने पर,वक्र $y = |x|-3$,$y = \frac{6}{|x+4|}$ को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है: एक $(3, \infty)$ अंतराल में और दूसरा $(-\infty, -4)$ अंतराल में।
अतः,समुच्चय में अवयवों की संख्या $2$ है।

(N/A) फलन $f(x) = x + 10$ का आलेख खींचने के लिए,हम रेखा पर कुछ बिंदुओं की पहचान करते हैं:
$x = 0$ के लिए,$f(0) = 0 + 10 = 10$। अतः,बिंदु $(0, 10)$ है।
$x = -10$ के लिए,$f(-10) = -10 + 10 = 0$। अतः,बिंदु $(-10, 0)$ है।
चूंकि $f(x)$ एक रैखिक फलन है,इसलिए इसका आलेख बिंदुओं $(0, 10)$ और $(-10, 0)$ से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

(A) चूंकि $f$ एक रैखिक फलन है,इसे $f(x) = mx + c$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
दिए गए बिंदु $(1, 1)$ और $(0, -1)$ फलन $f$ में हैं,इसलिए:
$f(0) = m(0) + c = -1 \implies c = -1$.
$f(1) = m(1) + c = 1 \implies m - 1 = 1 \implies m = 2$.
$m = 2$ और $c = -1$ को रैखिक रूप में रखने पर,हमें $f(x) = 2x - 1$ प्राप्त होता है।

फलन $f(x)$ तीन भागों में परिभाषित है:
$1$. $x < 0$ के लिए,$f(x) = 1 - x$। यह एक सीधी रेखा है। उदाहरण के लिए,$f(-1) = 2$,$f(-2) = 3$,$f(-3) = 4$।
$2$. $x = 0$ के लिए,$f(0) = 1$। यह एक बिंदु $(0, 1)$ है।
$3$. $x > 0$ के लिए,$f(x) = x + 1$। यह एक सीधी रेखा है। उदाहरण के लिए,$f(1) = 2$,$f(2) = 3$,$f(3) = 4$।
इन्हें मिलाने पर,आलेख में $(0, 1)$ से शुरू होने वाली दो किरणें प्राप्त होती हैं जो क्रमशः दूसरे और पहले चतुर्थांश में विस्तारित होती हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $[x]^{2}+2[x+2]-7=0$
गुणधर्म $[x+n] = [x]+n$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है,हमें मिलता है $[x+2] = [x]+2$।
समीकरण में मान रखने पर: $[x]^{2}+2([x]+2)-7=0$
$[x]^{2}+2[x]+4-7=0$
$[x]^{2}+2[x]-3=0$
मान लीजिए $y = [x]$,तो $y^{2}+2y-3=0$
$(y+3)(y-1)=0$
अतः,$[x] = 1$ या $[x] = -3$
यदि $[x] = 1$,तो $x \in [1, 2)$
यदि $[x] = -3$,तो $x \in [-3, -2)$
इस प्रकार,हल समुच्चय $x \in [-3, -2) \cup [1, 2)$ है,जिसमें अनंत वास्तविक मान हैं।

(A) दिया गया है $f(n) = 2n^{2} - n - 1$. हमें $S = \{n \in \mathbb{Z} : |2n^{2} - n - 1| \leq 800\}$ ज्ञात करना है।
इसका अर्थ है $-800 \leq 2n^{2} - n - 1 \leq 800$.
$2n^{2} - n - 1 \leq 800 \implies 2n^{2} - n - 801 \leq 0$ को हल करने पर,$2n^{2} - n - 801 = 0$ के मूल $n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 6408}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{6409}}{4}$ हैं। चूँकि $\sqrt{6409} \approx 80.05$,मूल $\approx -19.76$ और $\approx 20.26$ हैं।
अतः,$n \in \{-19, -18, \dots, 20\}$.
साथ ही,$2n^{2} - n - 1 \geq -800 \implies 2n^{2} - n + 799 \geq 0$. विविक्तकर $D = 1 - 4(2)(799) = 1 - 6392 < 0$ है,इसलिए यह सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए सत्य है।
अतः,$S = \{-19, -18, \dots, 20\}$.
हमें $\sum_{n=-19}^{20} (2n^{2} - n - 1) = 2 \sum_{n=-19}^{20} n^{2} - \sum_{n=-19}^{20} n - \sum_{n=-19}^{20} 1$ की गणना करनी है।
$\sum_{n=-19}^{20} n^{2} = (19^{2} + 18^{2} + \dots + 1^{2}) + 0^{2} + (1^{2} + 2^{2} + \dots + 20^{2}) = 2 \sum_{k=1}^{19} k^{2} + 20^{2} = 2 \frac{19(20)(39)}{6} + 400 = 2(4940) + 400 = 10280$.
$\sum_{n=-19}^{20} n = 20$.
$\sum_{n=-19}^{20} 1 = 40$.
योग $= 2(10280) - 20 - 40 = 20560 - 60 = 10620$.

(D) सही उत्तर $(d)$ है।
$(a)$ $[x+y] \leq [x] + [y]$: मान लीजिए $x = 0.6, y = 0.5$। तब $[0.6+0.5] = [1.1] = 1$,जबकि $[0.6] + [0.5] = 0 + 0 = 0$। चूँकि $1 \not\leq 0$,यह गलत है।
$(b)$ $[xy] \leq [x][y]$: मान लीजिए $x = 1.5, y = 1.6$। तब $[1.5 \times 1.6] = [2.4] = 2$,जबकि $[1.5][1.6] = 1 \times 1 = 1$। चूँकि $2 \not\leq 1$,यह गलत है।
$(c)$ $[2^x] \leq 2^{[x]}$: मान लीजिए $x = 2.5$। तब $[2^{2.5}] = [4\sqrt{2}] \approx [5.65] = 5$,जबकि $2^{[2.5]} = 2^2 = 4$। चूँकि $5 \not\leq 4$,यह गलत है।
$(d)$ $[x/y] \leq [x]/[y]$: $x, y \geq 1$ के लिए,यदि $x < y$ है,तो $[x/y] = 0$,और चूँकि $[x] \geq 1$ और $[y] \geq 1$,इसलिए $[x]/[y] \geq 0$,अतः $0 \leq [x]/[y]$ सत्य है। यदि $x \geq y$ है,तो $x, y \geq 1$ के लिए $[x/y] \leq [x]/[y]$ गुणधर्म सत्य रहता है।

(D) दिया गया समीकरण $[x]\{x\} = 5$ है,जहाँ $x \in [0, 2015]$.
माना $n = [x]$ और $f = \{x\}$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है और $0 \leq f < 1$.
समीकरण $n \cdot f = 5$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $f = \frac{5}{n}$.
चूँकि $0 \leq f < 1$,इसलिए $0 \leq \frac{5}{n} < 1$.
इसका अर्थ है $n > 5$.
साथ ही,$x = n + f = n + \frac{5}{n}$.
$x \leq 2015$ होने के कारण,$n + \frac{5}{n} \leq 2015$.
चूँकि $n$ एक पूर्णांक है और $n > 5$,इसलिए $n$ के संभावित मान $6, 7, \dots, 2014$ हैं।
प्रत्येक $n$ के लिए,$x = n + \frac{5}{n}$ एक हल है।
कुल हलों की संख्या $2014 - 6 + 1 = 2009$ है।

(A) हमें समीकरण $x^3-3|x|+2=0$ दिया गया है। हमें धनात्मक वास्तविक हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
स्थिति $I$: $x > 0$
चूँकि $x > 0$,इसलिए $|x| = x$ होगा। समीकरण इस प्रकार है:
$x^3 - 3x + 2 = 0$
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है। गुणनखंड करने पर:
$(x - 1)^2(x + 2) = 0$
अतः मूल $x = 1$ और $x = -2$ हैं।
चूँकि हमने $x > 0$ माना था,इसलिए केवल $x = 1$ ही मान्य धनात्मक हल है।
स्थिति $II$: $x < 0$
चूँकि $x < 0$,इसलिए $|x| = -x$ होगा। समीकरण इस प्रकार है:
$x^3 + 3x + 2 = 0$
माना $f(x) = x^3 + 3x + 2$ है। चूँकि $f'(x) = 3x^2 + 3 > 0$ है,इसलिए यह फलन निरंतर वर्धमान है और इसका केवल एक वास्तविक मूल है जो $(-1, 0)$ के बीच स्थित है। यह मूल ऋणात्मक है।
अतः,समीकरण को संतुष्ट करने वाली केवल एक ही धनात्मक वास्तविक संख्या $x = 1$ है।

(A) दिया गया है,$f(x) = ax + b$,जहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं।
हमें $f(-1) = -5$ और $f(4) = 3$ दिया गया है।
फलन में $x = -1$ रखने पर:
$f(-1) = a(-1) + b = -5$
$-a + b = -5$ (समीकरण $i$)
फलन में $x = 4$ रखने पर:
$f(4) = a(4) + b = 3$
$4a + b = 3$ (समीकरण $ii$)
यदि हम $f(3)=3$ मान लें:
$3a + b = 3$ (समीकरण $ii$)
समीकरण $ii$ में से समीकरण $i$ घटाने पर:
$(3a + b) - (-a + b) = 3 - (-5)$
$4a = 8 \implies a = 2$
$a = 2$ को समीकरण $i$ में रखने पर:
$-2 + b = -5 \implies b = -3$
अतः,$a = 2$ और $b = -3$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $[x]^2-5[x]+6=0$ है।
माना $[x] = y$,तो समीकरण $y^2-5y+6=0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y-3)(y-2)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$[x]=2$ या $[x]=3$ है।
यदि $[x]=2$ है,तो $2 \le x < 3$,जिसका अर्थ है $x \in [2, 3)$।
यदि $[x]=3$ है,तो $3 \le x < 4$,जिसका अर्थ है $x \in [3, 4)$।
इन दोनों अंतरालों को मिलाने पर,हमें $x \in [2, 3) \cup [3, 4) = [2, 4)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) एक फलन $f(x)$ विषम होता है यदि $f(-x) = -f(x)$ हो।
$I. f(x) = x \left( \frac{e^x-1}{e^x+1} \right)$
$f(-x) = (-x) \left( \frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1} \right) = (-x) \left( \frac{\frac{1}{e^x}-1}{\frac{1}{e^x}+1} \right) = (-x) \left( \frac{1-e^x}{1+e^x} \right) = x \left( \frac{e^x-1}{e^x+1} \right) = f(x)$.
चूंकि $f(-x) = f(x)$,इसलिए $I$ एक सम फलन है।
$II. f(x) = k^x + k^{-x} + \cos x$
$f(-x) = k^{-x} + k^x + \cos(-x) = k^{-x} + k^x + \cos x = f(x)$.
चूंकि $f(-x) = f(x)$,इसलिए $II$ एक सम फलन है।
$III. f(x) = \log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
$f(-x) = \log \left(-x+\sqrt{(-x)^2+1}\right) = \log \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$
अंश और हर को $\sqrt{x^2+1}+x$ से गुणा करने पर:
$f(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x} \right) = \log \left( \frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} \right) = \log \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \right)$
$f(-x) = \log \left( (x+\sqrt{x^2+1})^{-1} \right) = -\log \left( x+\sqrt{x^2+1} \right) = -f(x)$.
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए $III$ एक विषम फलन है।
अतः,केवल $III$ एक विषम फलन है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = \sin x - \cos x$ सम है या विषम,हम $f(-x)$ का मूल्यांकन करते हैं:
$f(-x) = \sin(-x) - \cos(-x)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin(-x) = -\sin x$ और $\cos(-x) = \cos x$ का उपयोग करने पर:
$f(-x) = -\sin x - \cos x$
$f(-x) = -(\sin x + \cos x)$
चूंकि $f(-x) \neq f(x)$ और $f(-x) \neq -f(x)$,इसलिए यह फलन न तो सम है और न ही विषम है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) कथन $(A)$: $\coth x = \frac{1-k}{1+k}$
$\Rightarrow \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \frac{1-k}{1+k}$
योगांतरानुपात (Componendo and Dividendo) लागू करने पर:
$\frac{(e^x + e^{-x}) + (e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})} = \frac{(1-k) + (1+k)}{(1-k) - (1+k)}$
$\Rightarrow \frac{2e^x}{2e^{-x}} = \frac{2}{-2k}$
$\Rightarrow e^{2x} = -\frac{1}{k}$
चूंकि $e^{2x} > 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए और $0 < k < 2$ के लिए $-\frac{1}{k} < 0$ है,इसलिए समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है। अतः,कथन गलत है।
कारण $(R)$: फलन $y = \tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ है। जैसे $x \to \infty$,$y \to 1$ और जैसे $x \to -\infty$,$y \to -1$। ग्राफ $y = -1$ और $y = 1$ के बीच स्थित होता है। अतः,कारण सत्य है।

(C) हमें दिया गया है,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2 \sqrt{2x-4}}} + \frac{1}{\sqrt{x-2 \sqrt{2x-4}}}$
$x = 11$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11+2 \sqrt{18}}} + \frac{1}{\sqrt{11-2 \sqrt{18}}}$
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11+6 \sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{11-6 \sqrt{2}}}$
चूंकि $11+6 \sqrt{2} = (3+\sqrt{2})^2$ और $11-6 \sqrt{2} = (3-\sqrt{2})^2$ है,
अतः $f(11) = \frac{1}{3+\sqrt{2}} + \frac{1}{3-\sqrt{2}}$
$f(11) = \frac{3-\sqrt{2} + 3+\sqrt{2}}{9-2} = \frac{6}{7}$

(C) फलन को $f(x) = \frac{|x-a|}{x-a}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मापांक फलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{यदि } x > a \\ -1, & \text{यदि } x < a \end{cases}$
$x = a$ पर फलन अपरिभाषित है क्योंकि हर शून्य हो जाता है।
चूंकि बायां सीमा $\lim_{x \to a^-} f(x) = -1$ और दायां सीमा $\lim_{x \to a^+} f(x) = 1$ बराबर नहीं हैं,इसलिए $x = a$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
जब $x > a$ होता है,तो $f(x) = 1$,जो एक अचर फलन है।
अतः,सही कथन यह है कि जब $x > a$ होता है तो यह एक अचर फलन है।

(C) दिया गया समीकरण: $6^{x}+8^{x}=10^{x}$
दोनों पक्षों को $10^{x}$ से विभाजित करने पर:
$\left(\frac{6}{10}\right)^{x}+\left(\frac{8}{10}\right)^{x}=1$
$\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+\left(\frac{4}{5}\right)^{x}=1$
माना $f(x) = \left(\frac{3}{5}\right)^{x}+\left(\frac{4}{5}\right)^{x}$.
चूँकि $\frac{3}{5} < 1$ और $\frac{4}{5} < 1$,दोनों फलन $\left(\frac{3}{5}\right)^{x}$ और $\left(\frac{4}{5}\right)^{x}$ निरंतर ह्रासमान फलन हैं।
इसलिए,उनका योग $f(x)$ भी एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
एक निरंतर ह्रासमान फलन अधिकतम एक बार $1$ का मान ले सकता है।
अवलोकन करने पर,$x=2$ के लिए,$\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2} = \frac{9}{25}+\frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$ है।
अतः,$x=2$ अद्वितीय हल है।
इसलिए,समीकरण का ठीक एक वास्तविक मूल है।

(B) अंतर $g(n) - f(n) = 1 + (n+1)2^n - 2^{n+1}$ पर विचार करें।
चूंकि $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$,हमारे पास है:
$g(n) - f(n) = 1 + (n+1)2^n - 2 \cdot 2^n$
$g(n) - f(n) = 1 + (n+1-2)2^n$
$g(n) - f(n) = 1 + (n-1)2^n$.
सभी $n \in N$ के लिए,$n \geq 1$,जिसका अर्थ है कि $(n-1) \geq 0$.
चूंकि $2^n > 0$,पद $(n-1)2^n \geq 0$ है।
इसलिए,$1 + (n-1)2^n > 0$,जिसका अर्थ है कि $g(n) - f(n) > 0$ या $g(n) > f(n)$.

(A) माना $f(x) = x^{2}-1$ और $g(x) = \cos x$ है।
हम समीकरण $x^{2}-1 = \cos x$ के हलों की संख्या ज्ञात कर रहे हैं।
दोनों फलनों के व्यवहार का अवलोकन करें:
$1$. फलन $f(x) = x^{2}-1$ एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $(0, -1)$ पर है।
$2$. फलन $g(x) = \cos x$ एक आवर्ती तरंग है जो $-1$ और $1$ के बीच दोलन करती है।
$x = 0$ पर,$f(0) = -1$ और $g(0) = 1$ है।
ग्राफ का अवलोकन करने पर,परवलय $x^{2}-1$ वक्र $\cos x$ को ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

(C) एक फलन $f(x)$ सम होता है यदि $f(-x) = f(x)$ हो।
आइए विकल्प $C$ की जाँच करें: $f(x) = x \cdot \frac{a^x - 1}{a^x + 1}$।
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{a^{-x} - 1}{a^{-x} + 1}$
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{\frac{1}{a^x} - 1}{\frac{1}{a^x} + 1}$
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{\frac{1 - a^x}{a^x}}{\frac{1 + a^x}{a^x}}$
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{-(a^x - 1)}{a^x + 1}$
$f(-x) = x \cdot \frac{a^x - 1}{a^x + 1} = f(x)$।
चूंकि $f(-x) = f(x)$,इसलिए विकल्प $C$ में दिया गया फलन एक सम फलन है।