अ Hindi
Defination of Function Questions in Hindi
Class 11 Mathematics · Relations and Functions · Defination of Function
28+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 27 of 28 questions in Hindi
1
MediumMCQ
निम्नलिखित में से कौन सा एक फलन ($NOT$ a function) नहीं है?
A
B
C
D
Solution
(D) एक संबंध फलन होता है यदि प्रत्येक इनपुट $x$ के लिए ठीक एक आउटपुट $y$ हो। इसके लिए वर्टिकल लाइन टेस्ट का उपयोग किया जाता है। यदि कोई ऊर्ध्वाधर रेखा ग्राफ को एक से अधिक बिंदुओं पर काटती है,तो वह फलन नहीं है।
$A$: परवलय एक फलन है।
$B$: स्टेप फलन एक फलन है।
$C$: घन फलन एक फलन है।
$D$: मूल बिंदु से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 0$ संबंध को दर्शाती है। $x = 0$ के लिए,$y$ के अनंत मान प्राप्त होते हैं। अतः,यह वर्टिकल लाइन टेस्ट में विफल हो जाती है और फलन नहीं है।
$A$: परवलय एक फलन है।
$B$: स्टेप फलन एक फलन है।
$C$: घन फलन एक फलन है।
$D$: मूल बिंदु से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 0$ संबंध को दर्शाती है। $x = 0$ के लिए,$y$ के अनंत मान प्राप्त होते हैं। अतः,यह वर्टिकल लाइन टेस्ट में विफल हो जाती है और फलन नहीं है।
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AdvancedMCQ
निम्नलिखित में से कौन सा एक फलन (function) को दर्शाता है?
A
$y = \sqrt{x} - |x|; \, x \in R$
B
$y = \sqrt{x} - |x|; \, x \ge 1$
C
$x = y^2$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) एक संबंध $f: A \to B$ एक फलन है यदि प्रांत $A$ के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत $B$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो।
$1$. विकल्प $A$ के लिए: $y = \sqrt{x} - |x|$। यदि $x < 0$ है,तो $\sqrt{x}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ में परिभाषित नहीं है। अतः,यह $R$ पर फलन नहीं है।
$2$. विकल्प $B$ के लिए: $y = \sqrt{x} - |x|$,जहाँ $x \ge 1$ है। प्रांत $[1, \infty)$ में प्रत्येक $x$ के लिए,$y$ का एक अद्वितीय वास्तविक मान प्राप्त होता है। इसलिए,यह एक फलन को दर्शाता है।
$3$. विकल्प $C$ के लिए: $x = y^2$। इसका अर्थ है $y = \pm \sqrt{x}$। $x > 0$ के एक मान के लिए,$y$ के दो मान प्राप्त होते हैं। अतः,यह फलन नहीं है।
निष्कर्ष: विकल्प $B$ फलन का सही निरूपण है।
$1$. विकल्प $A$ के लिए: $y = \sqrt{x} - |x|$। यदि $x < 0$ है,तो $\sqrt{x}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ में परिभाषित नहीं है। अतः,यह $R$ पर फलन नहीं है।
$2$. विकल्प $B$ के लिए: $y = \sqrt{x} - |x|$,जहाँ $x \ge 1$ है। प्रांत $[1, \infty)$ में प्रत्येक $x$ के लिए,$y$ का एक अद्वितीय वास्तविक मान प्राप्त होता है। इसलिए,यह एक फलन को दर्शाता है।
$3$. विकल्प $C$ के लिए: $x = y^2$। इसका अर्थ है $y = \pm \sqrt{x}$। $x > 0$ के एक मान के लिए,$y$ के दो मान प्राप्त होते हैं। अतः,यह फलन नहीं है।
निष्कर्ष: विकल्प $B$ फलन का सही निरूपण है।
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DifficultMCQ
कथन $1$ : यदि $A$ और $B$ दो समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः $p$ और $q$ अवयव हैं,जहाँ $q > p$ है। तो समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक फलनों की कुल संख्या $q^p$ है।
कथन $2$ : $q$ वस्तुओं में से $p$ भिन्न वस्तुओं के चयन की कुल संख्या ${}^qC_p$ है।
कथन $2$ : $q$ वस्तुओं में से $p$ भिन्न वस्तुओं के चयन की कुल संख्या ${}^qC_p$ है।
A
कथन $1$ सत्य है,कथन $2$ असत्य है।
B
कथन $1$ सत्य है,कथन $2$ सत्य है,कथन $2$,कथन $1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
कथन $1$ असत्य है,कथन $2$ सत्य है।
D
कथन $1$ सत्य है,कथन $2$ सत्य है,कथन $2$,कथन $1$ की सही व्याख्या है।
Solution
(B) कथन-$1$: एक समुच्चय $A$ जिसमें $n(A) = p$ अवयव हैं,से एक समुच्चय $B$ जिसमें $n(B) = q$ अवयव हैं,तक फलनों की संख्या $q^p$ द्वारा दी जाती है। यह समुच्चय सिद्धांत का एक मानक परिणाम है। अतः,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$: $q$ भिन्न वस्तुओं में से $p$ वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${}^qC_p = \frac{q!}{p!(q-p)!}$ द्वारा दी जाती है। यह एक सत्य कथन है।
हालाँकि,कथन-$2$ संचय की संख्या का वर्णन करता है,जो गणना का एक मौलिक सिद्धांत है,लेकिन यह यह नहीं समझाता है कि $A$ से $B$ तक फलनों की संख्या $q^p$ क्यों है। फलनों की संख्या इस तथ्य से प्राप्त होती है कि $A$ के प्रत्येक $p$ अवयव के लिए $B$ में $q$ विकल्प होते हैं। इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।
कथन-$2$: $q$ भिन्न वस्तुओं में से $p$ वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${}^qC_p = \frac{q!}{p!(q-p)!}$ द्वारा दी जाती है। यह एक सत्य कथन है।
हालाँकि,कथन-$2$ संचय की संख्या का वर्णन करता है,जो गणना का एक मौलिक सिद्धांत है,लेकिन यह यह नहीं समझाता है कि $A$ से $B$ तक फलनों की संख्या $q^p$ क्यों है। फलनों की संख्या इस तथ्य से प्राप्त होती है कि $A$ के प्रत्येक $p$ अवयव के लिए $B$ में $q$ विकल्प होते हैं। इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।
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Easy
मान लीजिए $N$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है और संबंध $R$,$N$ पर इस प्रकार परिभाषित है कि $R = \{(x, y) : y = 2x, x, y \in N \}$। $R$ का प्रांत (domain),सह-प्रांत (codomain) और परिसर (range) क्या है? क्या यह संबंध एक फलन (function) है?
Solution
(N/A) $R$ का प्रांत प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $N$ है।
$R$ का सह-प्रांत भी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $N$ है।
$R$ का परिसर सम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है,अर्थात $\{2, 4, 6, \dots \}$।
चूंकि प्रत्येक अवयव $x \in N$ का $N$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब $y = 2x$ है,इसलिए यह संबंध एक फलन है।
$R$ का सह-प्रांत भी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $N$ है।
$R$ का परिसर सम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है,अर्थात $\{2, 4, 6, \dots \}$।
चूंकि प्रत्येक अवयव $x \in N$ का $N$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब $y = 2x$ है,इसलिए यह संबंध एक फलन है।
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View Solution5
EasyMCQ
निम्नलिखित संबंध की जाँच करें और कारण बताते हुए कहें कि क्या यह एक फलन है या नहीं?
$R = \{(2, 1), (3, 1), (4, 2)\}$
$R = \{(2, 1), (3, 1), (4, 2)\}$
A
यह एक फलन है क्योंकि प्रांत के प्रत्येक अवयव का एक अद्वितीय प्रतिबिंब है।
B
यह एक फलन नहीं है क्योंकि परिसर में अवयव $1$ दोहराया गया है।
C
यह एक फलन नहीं है क्योंकि प्रांत में अवयव $2$ दोहराया गया है।
D
यह एक फलन नहीं है क्योंकि संबंध एकैकी नहीं है।
Solution
(A) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक का एक संबंध $R$ एक फलन होता है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में एक और केवल एक ही प्रतिबिंब हो।
दिए गए संबंध $R = \{(2, 1), (3, 1), (4, 2)\}$ में,प्रांत $\{2, 3, 4\}$ है।
प्रांत के प्रत्येक अवयव के लिए:
- $2$ का प्रतिबिंब $1$ है।
- $3$ का प्रतिबिंब $1$ है।
- $4$ का प्रतिबिंब $2$ है।
चूंकि प्रांत के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत में एक अद्वितीय प्रतिबिंब है,इसलिए संबंध $R$ एक फलन है।
दिए गए संबंध $R = \{(2, 1), (3, 1), (4, 2)\}$ में,प्रांत $\{2, 3, 4\}$ है।
प्रांत के प्रत्येक अवयव के लिए:
- $2$ का प्रतिबिंब $1$ है।
- $3$ का प्रतिबिंब $1$ है।
- $4$ का प्रतिबिंब $2$ है।
चूंकि प्रांत के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत में एक अद्वितीय प्रतिबिंब है,इसलिए संबंध $R$ एक फलन है।
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View Solution6
EasyMCQ
निम्नलिखित संबंध की जाँच करें और कारण बताते हुए स्पष्ट करें कि क्या यह एक फलन है या नहीं: $R = \{(2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)\}$
A
हाँ,यह एक फलन है।
B
नहीं,यह एक फलन नहीं है।
C
यह एकैकी-आच्छादक फलन है।
D
यह एक अचर फलन है।
Solution
(B) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक का संबंध $R$ एक फलन कहलाता है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में एक और केवल एक ही प्रतिबिंब हो।
दिए गए संबंध $R = \{(2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)\}$ में,अवयव $2$ दो अलग-अलग प्रतिबिंबों $2$ और $4$ से संबंधित है।
चूंकि एक ही प्रथम अवयव $2$ दो अलग-अलग प्रतिबिंबों से संबंधित है,इसलिए यह संबंध एक फलन नहीं है।
दिए गए संबंध $R = \{(2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)\}$ में,अवयव $2$ दो अलग-अलग प्रतिबिंबों $2$ और $4$ से संबंधित है।
चूंकि एक ही प्रथम अवयव $2$ दो अलग-अलग प्रतिबिंबों से संबंधित है,इसलिए यह संबंध एक फलन नहीं है।
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View Solution7
EasyMCQ
निम्नलिखित संबंध की जाँच करें और कारण बताते हुए कहें कि क्या यह एक फलन है या नहीं?
$R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7)\}$
$R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7)\}$
A
यह एक फलन है क्योंकि प्रांत के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत में एक अद्वितीय प्रतिबिंब है।
B
यह एक फलन नहीं है क्योंकि प्रांत के अवयव भिन्न नहीं हैं।
C
यह एक फलन है क्योंकि परिसर के अवयव भिन्न हैं।
D
यह एक फलन नहीं है क्योंकि संबंध सममित नहीं है।
Solution
(A) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक का संबंध $R$ एक फलन कहलाता है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में एक और केवल एक ही प्रतिबिंब हो।
दिए गए संबंध $R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7)\}$ में,प्रांत $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ का प्रत्येक अवयव परिसर $\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ के एक अद्वितीय अवयव से जुड़ा है।
चूंकि किन्हीं भी दो क्रमित युग्मों का पहला अवयव समान नहीं है,इसलिए प्रत्येक इनपुट का केवल एक ही आउटपुट है।
अतः,यह संबंध एक फलन है।
दिए गए संबंध $R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7)\}$ में,प्रांत $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ का प्रत्येक अवयव परिसर $\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ के एक अद्वितीय अवयव से जुड़ा है।
चूंकि किन्हीं भी दो क्रमित युग्मों का पहला अवयव समान नहीं है,इसलिए प्रत्येक इनपुट का केवल एक ही आउटपुट है।
अतः,यह संबंध एक फलन है।
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View Solution8
Easy
मान लीजिए $N$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। एक फलन $f: N \rightarrow N$ को $f(x) = 2x + 1$ द्वारा परिभाषित कीजिए। इस परिभाषा का उपयोग करके,नीचे दी गई तालिका को पूरा कीजिए।
| $x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| $y$ | $f(1) = \dots$ | $f(2) = \dots$ | $f(3) = \dots$ | $f(4) = \dots$ | $f(5) = \dots$ | $f(6) = \dots$ | $f(7) = \dots$ |
Solution
(N/A) तालिका को पूरा करने के लिए,हम $x$ के प्रत्येक मान को फलन $f(x) = 2x + 1$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
| $x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| $y$ | $f(1) = 3$ | $f(2) = 5$ | $f(3) = 7$ | $f(4) = 9$ | $f(5) = 11$ | $f(6) = 13$ | $f(7) = 15$ |
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View Solution9
Medium
निम्नलिखित में से कौन से संबंध फलन हैं? कारण बताइए। यदि यह एक फलन है,तो इसका प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए।
$\{(2,1), (5,1), (8,1), (11,1), (14,1), (17,1)\}$
$\{(2,1), (5,1), (8,1), (11,1), (14,1), (17,1)\}$
Solution
(N/A) दिया गया संबंध $R = \{(2,1), (5,1), (8,1), (11,1), (14,1), (17,1)\}$ है।
चूंकि प्रांत $\{2, 5, 8, 11, 14, 17\}$ के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत में एक अद्वितीय प्रतिबिंब है,इसलिए यह संबंध एक फलन है।
प्रांत $= \{2, 5, 8, 11, 14, 17\}$
परिसर $= \{1\}$
चूंकि प्रांत $\{2, 5, 8, 11, 14, 17\}$ के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत में एक अद्वितीय प्रतिबिंब है,इसलिए यह संबंध एक फलन है।
प्रांत $= \{2, 5, 8, 11, 14, 17\}$
परिसर $= \{1\}$
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View Solution10
Medium
निम्नलिखित में से कौन से संबंध फलन हैं? कारण बताइए। यदि यह एक फलन है,तो इसका प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए।
$\{(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7)\}$
$\{(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7)\}$
Solution
(N/A) दिया गया संबंध $R = \{(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7)\}$ है।
एक संबंध फलन होता है यदि प्रांत के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो।
इस संबंध में,प्रत्येक प्रथम अवयव $(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)$ केवल एक अद्वितीय द्वितीय अवयव ($1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ क्रमशः) से जुड़ा है।
अतः,दिया गया संबंध एक फलन है।
प्रांत सभी प्रथम अवयवों का समुच्चय है: $\text{Domain} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\}$.
परिसर सभी द्वितीय अवयवों का समुच्चय है: $\text{Range} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
एक संबंध फलन होता है यदि प्रांत के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो।
इस संबंध में,प्रत्येक प्रथम अवयव $(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)$ केवल एक अद्वितीय द्वितीय अवयव ($1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ क्रमशः) से जुड़ा है।
अतः,दिया गया संबंध एक फलन है।
प्रांत सभी प्रथम अवयवों का समुच्चय है: $\text{Domain} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\}$.
परिसर सभी द्वितीय अवयवों का समुच्चय है: $\text{Range} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
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View Solution11
EasyMCQ
एक फलन $f$ को $f(x) = 2x - 5$ द्वारा परिभाषित किया गया है। $f(0)$,$f(7)$,और $f(-3)$ के मान ज्ञात कीजिए।
A
$f(0) = -5, f(7) = 9, f(-3) = -11$
B
$f(0) = -5, f(7) = 14, f(-3) = -6$
C
$f(0) = 5, f(7) = 9, f(-3) = -11$
D
$f(0) = -5, f(7) = 9, f(-3) = -111$
Solution
(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x - 5$ है।
$f(0)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ प्रतिस्थापित करें:
$f(0) = 2(0) - 5 = 0 - 5 = -5$।
$f(7)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 7$ प्रतिस्थापित करें:
$f(7) = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9$।
$f(-3)$ ज्ञात करने के लिए,$x = -3$ प्रतिस्थापित करें:
$f(-3) = 2(-3) - 5 = -6 - 5 = -11$।
$f(0)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ प्रतिस्थापित करें:
$f(0) = 2(0) - 5 = 0 - 5 = -5$।
$f(7)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 7$ प्रतिस्थापित करें:
$f(7) = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9$।
$f(-3)$ ज्ञात करने के लिए,$x = -3$ प्रतिस्थापित करें:
$f(-3) = 2(-3) - 5 = -6 - 5 = -11$।
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View Solution12
EasyMCQ
एक फलन $f$,$f(x) = 2x - 5$ द्वारा परिभाषित है। $f(7)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$9$
B
$10$
C
$11$
D
$12$
Solution
(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x - 5$ है।
$f(7)$ का मान ज्ञात करने के लिए,फलन में $x = 7$ प्रतिस्थापित करें:
$f(7) = 2(7) - 5$
$f(7) = 14 - 5$
$f(7) = 9$
$f(7)$ का मान ज्ञात करने के लिए,फलन में $x = 7$ प्रतिस्थापित करें:
$f(7) = 2(7) - 5$
$f(7) = 14 - 5$
$f(7) = 9$
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View Solution13
EasyMCQ
एक फलन $f$,$f(x) = 2x - 5$ द्वारा परिभाषित है। $f(-3)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$-11$
B
$-1$
C
$1$
D
$11$
Solution
(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x - 5$ है।
$f(-3)$ का मान ज्ञात करने के लिए,फलन में $x = -3$ प्रतिस्थापित करें:
$f(-3) = 2(-3) - 5$
$f(-3) = -6 - 5$
$f(-3) = -11$
$f(-3)$ का मान ज्ञात करने के लिए,फलन में $x = -3$ प्रतिस्थापित करें:
$f(-3) = 2(-3) - 5$
$f(-3) = -6 - 5$
$f(-3) = -11$
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EasyMCQ
फलन $t$ जो सेल्सियस में तापमान को फारेनहाइट में तापमान में परिवर्तित करता है,$t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ द्वारा परिभाषित है। $t(0)$ ज्ञात कीजिए।
A
$32$
B
$0$
C
$9/5$
D
$160/9$
Solution
(A) दिया गया फलन $t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ है।
$t(0)$ ज्ञात करने के लिए,फलन में $C = 0$ प्रतिस्थापित करें:
$t(0) = \frac{9(0)}{5} + 32$
$t(0) = 0 + 32$
$t(0) = 32$
$t(0)$ ज्ञात करने के लिए,फलन में $C = 0$ प्रतिस्थापित करें:
$t(0) = \frac{9(0)}{5} + 32$
$t(0) = 0 + 32$
$t(0) = 32$
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View Solution15
EasyMCQ
फलन $t$ जो डिग्री सेल्सियस में तापमान को डिग्री फ़ारेनहाइट में तापमान में मैप करता है,$t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ द्वारा परिभाषित है। $t(-10)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$14$
B
$16$
C
$18$
D
$20$
Solution
(A) दिया गया फलन $t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ है।
$t(-10)$ ज्ञात करने के लिए,फलन में $C = -10$ प्रतिस्थापित करें:
$t(-10) = \frac{9 \times (-10)}{5} + 32$
$t(-10) = 9 \times (-2) + 32$
$t(-10) = -18 + 32$
$t(-10) = 14$
$t(-10)$ ज्ञात करने के लिए,फलन में $C = -10$ प्रतिस्थापित करें:
$t(-10) = \frac{9 \times (-10)}{5} + 32$
$t(-10) = 9 \times (-2) + 32$
$t(-10) = -18 + 32$
$t(-10) = 14$
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EasyMCQ
फलन $t$,जो सेल्सियस में तापमान को फारेनहाइट में तापमान में परिवर्तित करता है,$t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ द्वारा परिभाषित है। जब $t(C) = 212$ हो,तो $C$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$100$
B
$90$
C
$80$
D
$110$
Solution
(A) दिया गया फलन $t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ है।
यह दिया गया है कि $t(C) = 212$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$212 = \frac{9C}{5} + 32$
दोनों पक्षों से $32$ घटाने पर:
$212 - 32 = \frac{9C}{5}$
$180 = \frac{9C}{5}$
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर:
$180 \times 5 = 9C$
$900 = 9C$
$9$ से भाग देने पर:
$C = \frac{900}{9} = 100$
अतः,जब $t(C) = 212$ है,तो $C$ का मान $100$ है।
यह दिया गया है कि $t(C) = 212$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$212 = \frac{9C}{5} + 32$
दोनों पक्षों से $32$ घटाने पर:
$212 - 32 = \frac{9C}{5}$
$180 = \frac{9C}{5}$
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर:
$180 \times 5 = 9C$
$900 = 9C$
$9$ से भाग देने पर:
$C = \frac{900}{9} = 100$
अतः,जब $t(C) = 212$ है,तो $C$ का मान $100$ है।
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View Solution17
Medium
संबंध $f$ को $f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 3 \\ 3x, & 3 \le x \le 10 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। संबंध $g$ को $g(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 2 \\ 3x, & 2 \le x \le 10 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। दर्शाइए कि $f$ एक फलन है और $g$ एक फलन नहीं है।
Solution
(N/A) किसी संबंध को फलन होने के लिए,प्रांत के प्रत्येक अवयव का एक अद्वितीय प्रतिबिंब होना चाहिए।
$f(x)$ के लिए:
$x = 3$ पर,पहला भाग $f(3) = 3^2 = 9$ देता है।
दूसरा भाग $f(3) = 3 \times 3 = 9$ देता है।
चूँकि $x = 3$ पर दोनों भाग समान मान $9$ देते हैं,इसलिए $f(x)$ एक फलन है।
$g(x)$ के लिए:
$x = 2$ पर,पहला भाग $g(2) = 2^2 = 4$ देता है।
दूसरा भाग $g(2) = 3 \times 2 = 6$ देता है।
चूँकि $x = 2$ के दो अलग-अलग प्रतिबिंब ($4$ और $6$) हैं,इसलिए $g(x)$ एक फलन नहीं है।
$f(x)$ के लिए:
$x = 3$ पर,पहला भाग $f(3) = 3^2 = 9$ देता है।
दूसरा भाग $f(3) = 3 \times 3 = 9$ देता है।
चूँकि $x = 3$ पर दोनों भाग समान मान $9$ देते हैं,इसलिए $f(x)$ एक फलन है।
$g(x)$ के लिए:
$x = 2$ पर,पहला भाग $g(2) = 2^2 = 4$ देता है।
दूसरा भाग $g(2) = 3 \times 2 = 6$ देता है।
चूँकि $x = 2$ के दो अलग-अलग प्रतिबिंब ($4$ और $6$) हैं,इसलिए $g(x)$ एक फलन नहीं है।
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View Solution18
Medium
मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, 4\}$,$B = \{1, 5, 9, 11, 15, 16\}$ और $f = \{(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)\}$ है। क्या $f$,$A$ से $B$ में एक फलन है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
Solution
(B) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में एक संबंध $f$ एक फलन होता है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में एक और केवल एक ही प्रतिबिंब हो।
दिया गया है $f = \{(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)\}$।
यहाँ,अवयव $2 \in A$,$B$ में दो अलग-अलग प्रतिबिंबों से जुड़ा है,जो $9$ और $11$ हैं (अर्थात $f(2) = 9$ और $f(2) = 11$)।
चूंकि प्रांत का कोई भी अवयव सह-प्रांत में एक से अधिक प्रतिबिंब नहीं रख सकता है,इसलिए $f$ एक फलन नहीं है।
दिया गया है $f = \{(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)\}$।
यहाँ,अवयव $2 \in A$,$B$ में दो अलग-अलग प्रतिबिंबों से जुड़ा है,जो $9$ और $11$ हैं (अर्थात $f(2) = 9$ और $f(2) = 11$)।
चूंकि प्रांत का कोई भी अवयव सह-प्रांत में एक से अधिक प्रतिबिंब नहीं रख सकता है,इसलिए $f$ एक फलन नहीं है।
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Medium
मान लीजिए कि $f$,$Z \times Z$ का एक उपसमुच्चय है जो $f = \{(ab, a+b) : a, b \in Z\}$ द्वारा परिभाषित है। क्या $f$,$Z$ से $Z$ में एक फलन है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
Solution
(N/A) संबंध $f$ को $f = \{(ab, a+b) : a, b \in Z\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में एक संबंध $f$ एक फलन कहलाता है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो।
$Z$ में अवयव $a=2, b=6$ और $a=-2, b=-6$ पर विचार करें।
$a=2, b=6$ के लिए,$(ab, a+b) = (2 \times 6, 2+6) = (12, 8) \in f$ है।
$a=-2, b=-6$ के लिए,$(ab, a+b) = (-2 \times -6, -2-6) = (12, -8) \in f$ है।
चूंकि एक ही प्रथम अवयव $12$ दो अलग-अलग प्रतिबिंबों $8$ और $-8$ से संबंधित है,इसलिए संबंध $f$ एक फलन नहीं है।
समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में एक संबंध $f$ एक फलन कहलाता है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो।
$Z$ में अवयव $a=2, b=6$ और $a=-2, b=-6$ पर विचार करें।
$a=2, b=6$ के लिए,$(ab, a+b) = (2 \times 6, 2+6) = (12, 8) \in f$ है।
$a=-2, b=-6$ के लिए,$(ab, a+b) = (-2 \times -6, -2-6) = (12, -8) \in f$ है।
चूंकि एक ही प्रथम अवयव $12$ दो अलग-अलग प्रतिबिंबों $8$ और $-8$ से संबंधित है,इसलिए संबंध $f$ एक फलन नहीं है।
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DifficultMCQ
मान लीजिए $f(x)$ पूर्णांक गुणांकों वाला एक बहुपद है जो $f(1)=5$ और $f(2)=7$ को संतुष्ट करता है। $f(12)$ का सबसे छोटा संभव धनात्मक मान है
A
$5$
B
$7$
C
$27$
D
$15$
Solution
(C) पूर्णांक गुणांकों वाले किसी भी बहुपद $f(x)$ के लिए,किसी भी भिन्न पूर्णांक $a$ और $b$ के लिए $(a-b)$,$(f(a)-f(b))$ को विभाजित करता है।
दिया गया है $f(1)=5$ और $f(2)=7$,इसलिए $(2-1)$,$(f(2)-f(1))$ को विभाजित करता है,अर्थात $1$,$(7-5)=2$ को विभाजित करता है। यह हमेशा सत्य है।
$f(12)$ के लिए,$(12-1)$,$(f(12)-f(1))$ को विभाजित करता है $\implies 11$,$(f(12)-5)$ को विभाजित करता है।
साथ ही,$(12-2)$,$(f(12)-f(2))$ को विभाजित करता है $\implies 10$,$(f(12)-7)$ को विभाजित करता है।
मान लीजिए $f(12) = k$. तो $k \equiv 5 \pmod{11}$ और $k \equiv 7 \pmod{10}$.
$k \equiv 7 \pmod{10}$ से,$k$ के मान $7, 17, 27, 37, \dots$ हो सकते हैं।
इन मानों को $k \equiv 5 \pmod{11}$ के लिए जाँचने पर:
$7 \equiv 7 \pmod{11}$
$17 \equiv 6 \pmod{11}$
$27 \equiv 5 \pmod{11}$.
अतः,सबसे छोटा धनात्मक मान $27$ है।
दिया गया है $f(1)=5$ और $f(2)=7$,इसलिए $(2-1)$,$(f(2)-f(1))$ को विभाजित करता है,अर्थात $1$,$(7-5)=2$ को विभाजित करता है। यह हमेशा सत्य है।
$f(12)$ के लिए,$(12-1)$,$(f(12)-f(1))$ को विभाजित करता है $\implies 11$,$(f(12)-5)$ को विभाजित करता है।
साथ ही,$(12-2)$,$(f(12)-f(2))$ को विभाजित करता है $\implies 10$,$(f(12)-7)$ को विभाजित करता है।
मान लीजिए $f(12) = k$. तो $k \equiv 5 \pmod{11}$ और $k \equiv 7 \pmod{10}$.
$k \equiv 7 \pmod{10}$ से,$k$ के मान $7, 17, 27, 37, \dots$ हो सकते हैं।
इन मानों को $k \equiv 5 \pmod{11}$ के लिए जाँचने पर:
$7 \equiv 7 \pmod{11}$
$17 \equiv 6 \pmod{11}$
$27 \equiv 5 \pmod{11}$.
अतः,सबसे छोटा धनात्मक मान $27$ है।
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AdvancedMCQ
$m$-अवयव वाले समुच्चय $A$ से $n$-अवयव वाले समुच्चय $B$ तक उन संबंधों $R$ की संख्या ज्ञात कीजिए जो शर्त $(a, b_1) \in R, (a, b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $a \in A, b_1, b_2 \in B$.
A
$n^m$
B
$2^{m+n}-2^m-2^n$
C
$mn$
D
$(n+1)^m$
Solution
(A) दी गई शर्त $(a, b_1) \in R$ और $(a, b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2$ समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक एक फलन की परिभाषा है।
एक फलन में,समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव $a$ को समुच्चय $B$ के केवल एक अवयव $b$ से जोड़ा जाना चाहिए।
चूंकि समुच्चय $A$ में $m$ अवयव हैं और प्रत्येक अवयव के लिए समुच्चय $B$ में $n$ विकल्प हैं,इसलिए ऐसे संबंधों (जो फलन हैं) की कुल संख्या $n \times n \times \dots \times n$ ($m$ बार) होगी।
अतः,ऐसे संबंधों की कुल संख्या $n^m$ है।
एक फलन में,समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव $a$ को समुच्चय $B$ के केवल एक अवयव $b$ से जोड़ा जाना चाहिए।
चूंकि समुच्चय $A$ में $m$ अवयव हैं और प्रत्येक अवयव के लिए समुच्चय $B$ में $n$ विकल्प हैं,इसलिए ऐसे संबंधों (जो फलन हैं) की कुल संख्या $n \times n \times \dots \times n$ ($m$ बार) होगी।
अतः,ऐसे संबंधों की कुल संख्या $n^m$ है।
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EasyMCQ
मान लीजिए $A = \{a, b, c, d\}$ और $B = \{1, 2, 3\}$ है। संबंध $R_1, R_2, R_3, R_4$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$R_1 = \{(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2)\}$
$R_2 = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)\}$
$R_3 = \{(a, 2), (b, 3), (c, 2), (d, 2)\}$
$R_4 = \{(a, 1), (b, 2), (a, 2), (d, 3)\}$
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$R_1 = \{(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2)\}$
$R_2 = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)\}$
$R_3 = \{(a, 2), (b, 3), (c, 2), (d, 2)\}$
$R_4 = \{(a, 1), (b, 2), (a, 2), (d, 3)\}$
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
A
केवल $R_3$ और $R_4$ फलन नहीं हैं
B
केवल $R_1$ और $R_2$ फलन नहीं हैं
C
केवल $R_3$ फलन नहीं है
D
केवल $R_4$ फलन नहीं है
Solution
(D) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक का संबंध $f$ एक फलन है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो।
$R_1$ के लिए: $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में केवल एक प्रतिबिंब है। अतः,$R_1$ एक फलन है।
$R_2$ के लिए: $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में केवल एक प्रतिबिंब है। अतः,$R_2$ एक फलन है।
$R_3$ के लिए: $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में केवल एक प्रतिबिंब है। अतः,$R_3$ एक फलन है।
$R_4$ के लिए: अवयव $a \in A$ दो अलग-अलग मानों $1$ और $2$ से जुड़ा है (अर्थात $(a, 1) \in R_4$ और $(a, 2) \in R_4$)।
चूंकि एक अवयव के दो अलग-अलग प्रतिबिंब नहीं हो सकते,इसलिए $R_4$ फलन नहीं है।
अतः,केवल $R_4$ फलन नहीं है।
$R_1$ के लिए: $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में केवल एक प्रतिबिंब है। अतः,$R_1$ एक फलन है।
$R_2$ के लिए: $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में केवल एक प्रतिबिंब है। अतः,$R_2$ एक फलन है।
$R_3$ के लिए: $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में केवल एक प्रतिबिंब है। अतः,$R_3$ एक फलन है।
$R_4$ के लिए: अवयव $a \in A$ दो अलग-अलग मानों $1$ और $2$ से जुड़ा है (अर्थात $(a, 1) \in R_4$ और $(a, 2) \in R_4$)।
चूंकि एक अवयव के दो अलग-अलग प्रतिबिंब नहीं हो सकते,इसलिए $R_4$ फलन नहीं है।
अतः,केवल $R_4$ फलन नहीं है।
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EasyMCQ
मान लीजिए $f: R \rightarrow R$,$f(x)=x^2+1$ द्वारा परिभाषित है। तो,$17$ और $-3$ के पूर्व-प्रतिबिंब (pre-images) क्रमशः क्या हैं?
A
$\phi, \{4, -4\}$
B
$\{3, -3\}, \phi$
C
$\{4, -4\}, \phi$
D
$\{4, -4\}, \{2, -2\}$
Solution
(C) $17$ का पूर्व-प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = 17$ रखते हैं:
$x^2 + 1 = 17$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
अतः,$17$ का पूर्व-प्रतिबिंब $\{4, -4\}$ है।
$-3$ का पूर्व-प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = -3$ रखते हैं:
$x^2 + 1 = -3$
$x^2 = -4$
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए $x$ का कोई ऐसा वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए $f(x) = -3$ हो।
अतः,$-3$ का पूर्व-प्रतिबिंब $\phi$ (रिक्त समुच्चय) है।
इसलिए,पूर्व-प्रतिबिंब $\{4, -4\}$ और $\phi$ हैं।
$x^2 + 1 = 17$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
अतः,$17$ का पूर्व-प्रतिबिंब $\{4, -4\}$ है।
$-3$ का पूर्व-प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = -3$ रखते हैं:
$x^2 + 1 = -3$
$x^2 = -4$
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए $x$ का कोई ऐसा वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए $f(x) = -3$ हो।
अतः,$-3$ का पूर्व-प्रतिबिंब $\phi$ (रिक्त समुच्चय) है।
इसलिए,पूर्व-प्रतिबिंब $\{4, -4\}$ और $\phi$ हैं।
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MediumMCQ
यदि $f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - ax + b$ को $(x - 1)$ और $(x + 1)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्रमशः $5$ और $19$ प्राप्त होते हैं। यदि $f(x)$ को $(x - 2)$ से विभाजित किया जाए,तो शेषफल क्या होगा?
A
$8$
B
$5$
C
$10$
D
$12$
Solution
(C) दिया गया है $f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - ax + b$.
शेषफल प्रमेय के अनुसार,$f(1) = 5$ और $f(-1) = 19$.
$f(1) = 5$ के लिए:
$1 - 2 + 3 - a + b = 5 \implies 2 - a + b = 5 \implies b - a = 3$ (समीकरण $i$).
$f(-1) = 19$ के लिए:
$1 + 2 + 3 + a + b = 19 \implies 6 + a + b = 19 \implies a + b = 13$ (समीकरण $ii$).
समीकरण $i$ और $ii$ को जोड़ने पर:
$(b - a) + (a + b) = 3 + 13 \implies 2b = 16 \implies b = 8$.
$b = 8$ को समीकरण $ii$ में रखने पर:
$a + 8 = 13 \implies a = 5$.
अतः,$f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 5x + 8$.
$f(x)$ को $(x - 2)$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए $f(2)$ का मान निकालते हैं:
$f(2) = (2)^4 - 2(2)^3 + 3(2)^2 - 5(2) + 8$
$f(2) = 16 - 16 + 12 - 10 + 8 = 10$.
अतः,शेषफल $10$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,$f(1) = 5$ और $f(-1) = 19$.
$f(1) = 5$ के लिए:
$1 - 2 + 3 - a + b = 5 \implies 2 - a + b = 5 \implies b - a = 3$ (समीकरण $i$).
$f(-1) = 19$ के लिए:
$1 + 2 + 3 + a + b = 19 \implies 6 + a + b = 19 \implies a + b = 13$ (समीकरण $ii$).
समीकरण $i$ और $ii$ को जोड़ने पर:
$(b - a) + (a + b) = 3 + 13 \implies 2b = 16 \implies b = 8$.
$b = 8$ को समीकरण $ii$ में रखने पर:
$a + 8 = 13 \implies a = 5$.
अतः,$f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 5x + 8$.
$f(x)$ को $(x - 2)$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए $f(2)$ का मान निकालते हैं:
$f(2) = (2)^4 - 2(2)^3 + 3(2)^2 - 5(2) + 8$
$f(2) = 16 - 16 + 12 - 10 + 8 = 10$.
अतः,शेषफल $10$ है।
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EasyMCQ
यदि $f$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर एक संबंध है जो $f(x) = 3x^2 - 2$ द्वारा परिभाषित है,तो $f$ है
A
एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं
B
आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं
C
एकैकी आच्छादक (bijection) है
D
फलन नहीं है
Solution
(D) दिया गया संबंध $f: R_{+} \rightarrow R_{+}$ है,जो $f(x) = 3x^2 - 2$ द्वारा परिभाषित है।
$f$ के फलन होने के लिए,प्रांत $R_{+}$ के प्रत्येक अवयव $x$ का सह-प्रांत $R_{+}$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब $f(x)$ होना चाहिए।
चूंकि $x \in (0, \infty)$,इसलिए $x^2 > 0$,जिससे $3x^2 > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = 3x^2 - 2 > -2$।
इसका अर्थ है कि $f$ का परिसर $(-2, \infty)$ है।
यहाँ सह-प्रांत $R_{+} = (0, \infty)$ दिया गया है,और परिसर $(-2, \infty)$ सह-प्रांत $(0, \infty)$ का उपसमुच्चय नहीं है (उदाहरण के लिए,यदि $x=0.5$ लें,तो $f(0.5) = 3(0.25) - 2 = 0.75 - 2 = -1.25$,जो $R_{+}$ में नहीं है),इसलिए संबंध $f$ प्रांत के प्रत्येक अवयव को सह-प्रांत के अवयव से नहीं जोड़ता है।
अतः,$f$ एक फलन नहीं है।
$f$ के फलन होने के लिए,प्रांत $R_{+}$ के प्रत्येक अवयव $x$ का सह-प्रांत $R_{+}$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब $f(x)$ होना चाहिए।
चूंकि $x \in (0, \infty)$,इसलिए $x^2 > 0$,जिससे $3x^2 > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = 3x^2 - 2 > -2$।
इसका अर्थ है कि $f$ का परिसर $(-2, \infty)$ है।
यहाँ सह-प्रांत $R_{+} = (0, \infty)$ दिया गया है,और परिसर $(-2, \infty)$ सह-प्रांत $(0, \infty)$ का उपसमुच्चय नहीं है (उदाहरण के लिए,यदि $x=0.5$ लें,तो $f(0.5) = 3(0.25) - 2 = 0.75 - 2 = -1.25$,जो $R_{+}$ में नहीं है),इसलिए संबंध $f$ प्रांत के प्रत्येक अवयव को सह-प्रांत के अवयव से नहीं जोड़ता है।
अतः,$f$ एक फलन नहीं है।
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EasyMCQ
मान लीजिए $f: X \rightarrow Y$ एक फलन है और $y \in Y$ के लिए $A_y = f^{-1}(\{y\})$ है। तो $A_i \cap A_j = \phi$ $(i \neq j)$ सभी $i, j \in Y$ के लिए और $\bigcup_{y \in Y} A_y = X$,यदि
A
$f$ केवल आच्छादक (onto) फलन है
B
$f$ केवल एकैकी (one-one) फलन है
C
$f$ कोई भी फलन है
D
$X$ और $Y$ केवल परिमित समुच्चय हैं
Solution
(C) दिया गया है कि $f: X \rightarrow Y$ एक फलन है।
परिभाषा के अनुसार,$A_y = f^{-1}(\{y\}) = \{x \in X : f(x) = y\}$।
यह समुच्चय $A_y$ फलन $f$ के अंतर्गत अवयव $y$ का पूर्व-प्रतिबिंब (preimage) दर्शाता है।
किन्हीं भी दो भिन्न अवयवों $i, j \in Y$ जहाँ $i \neq j$ के लिए,समुच्चय $A_i$ और $A_j$ असंयुक्त (disjoint) होते हैं क्योंकि एक फलन प्रांत के प्रत्येक अवयव को सह-प्रांत के केवल एक ही अवयव से जोड़ता है। अतः,$A_i \cap A_j = \phi$।
इसके अतिरिक्त,सभी $y \in Y$ के लिए सभी पूर्व-प्रतिबिंबों $A_y$ का संघ (union) पूरे प्रांत $X$ को कवर करता है,अर्थात $\bigcup_{y \in Y} A_y = X$।
ये गुण किसी भी फलन $f: X \rightarrow Y$ के लिए सत्य हैं।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
परिभाषा के अनुसार,$A_y = f^{-1}(\{y\}) = \{x \in X : f(x) = y\}$।
यह समुच्चय $A_y$ फलन $f$ के अंतर्गत अवयव $y$ का पूर्व-प्रतिबिंब (preimage) दर्शाता है।
किन्हीं भी दो भिन्न अवयवों $i, j \in Y$ जहाँ $i \neq j$ के लिए,समुच्चय $A_i$ और $A_j$ असंयुक्त (disjoint) होते हैं क्योंकि एक फलन प्रांत के प्रत्येक अवयव को सह-प्रांत के केवल एक ही अवयव से जोड़ता है। अतः,$A_i \cap A_j = \phi$।
इसके अतिरिक्त,सभी $y \in Y$ के लिए सभी पूर्व-प्रतिबिंबों $A_y$ का संघ (union) पूरे प्रांत $X$ को कवर करता है,अर्थात $\bigcup_{y \in Y} A_y = X$।
ये गुण किसी भी फलन $f: X \rightarrow Y$ के लिए सत्य हैं।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
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MediumMCQ
यदि $Q$ सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है और किसी भी $\frac{p}{q} \in Q$ के लिए $f\left(\frac{p}{q}\right)=\sqrt{p^2-q^2}$ है,तो निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें।
$I$. प्रत्येक $\frac{p}{q} \in Q$ के लिए $f\left(\frac{p}{q}\right)$ वास्तविक है।
$II$. प्रत्येक $\frac{p}{q} \in Q$ के लिए $f\left(\frac{p}{q}\right)$ एक सम्मिश्र संख्या है।
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
$I$. प्रत्येक $\frac{p}{q} \in Q$ के लिए $f\left(\frac{p}{q}\right)$ वास्तविक है।
$II$. प्रत्येक $\frac{p}{q} \in Q$ के लिए $f\left(\frac{p}{q}\right)$ एक सम्मिश्र संख्या है।
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
A
$I$ और $II$ दोनों सत्य हैं
B
$I$ सत्य है,$II$ असत्य है
C
$I$ असत्य है,$II$ सत्य है
D
$I$ और $II$ दोनों असत्य हैं
Solution
(C) दिया गया है,$f\left(\frac{p}{q}\right)=\sqrt{p^2-q^2}$,जहाँ $\frac{p}{q} \in Q$.
यदि $p < q$ है,तो $p^2 - q^2 < 0$ होगा।
चूंकि ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं होता है,इसलिए कथन $I$ असत्य है।
हालाँकि,ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एक सम्मिश्र संख्या (काल्पनिक संख्या) होती है,इसलिए कथन $II$ सत्य है।
अतः,$I$ असत्य है और $II$ सत्य है।
यदि $p < q$ है,तो $p^2 - q^2 < 0$ होगा।
चूंकि ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं होता है,इसलिए कथन $I$ असत्य है।
हालाँकि,ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एक सम्मिश्र संख्या (काल्पनिक संख्या) होती है,इसलिए कथन $II$ सत्य है।
अतः,$I$ असत्य है और $II$ सत्य है।
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