Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Hindi

(A) हमें $1! + 2! + 3! + \dots + 11!$ के योग को $12$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि किसी भी $n \ge 4$ के लिए,$n!$ में $4 \times 3 = 12$ के गुणनखंड होते हैं।
इसलिए,सभी $n \ge 4$ के लिए $n!$,$12$ से विभाज्य है।
इसका अर्थ है कि $4!, 5!, 6!, \dots, 11!$ सभी $12$ से विभाज्य हैं,इसलिए उन्हें $12$ से विभाजित करने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
योग $S \equiv 1! + 2! + 3! + 0 + \dots + 0 \pmod{12}$ हो जाता है।
$S \equiv 1 + 2 + 6 \pmod{12}$.
$S \equiv 9 \pmod{12}$.
अतः,शेषफल $9$ है।

(D) व्यंजक $(n+24)(n+25)(n+26)(n+27)$ लगातार $4$ प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है।
हम जानते हैं कि $k$ लगातार प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा $k!$ से विभाज्य होता है।
यहाँ,$k = 4$ है,इसलिए गुणनफल $4!$ से विभाज्य है।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
अतः,यह व्यंजक हमेशा $24$ से विभाज्य है।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी $n \ge 10$ के लिए,$n!$ के अंतिम दो अंक $00$ होते हैं।
अतः,$10!, 12!, 13!, 15!, 16!, \text{ और } 17!$ सभी के अंतिम दो अंक $00$ हैं।
इसलिए,दिए गए योग $1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!$ का दहाई का अंक $1! + 4! + 7!$ के दहाई के अंक के समान है।
योग की गणना करने पर: $1! + 4! + 7! = 1 + 24 + 5040 = 5065$।
$5065$ में दहाई का अंक $6$ है।
चूंकि $3! = 6$,इसलिए दहाई का अंक $3!$ से विभाज्य है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) कोई संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
दिए गए अंक $4, 6, 9, 5, 3, x, y$ हैं।
अंकों का योग $= 4 + 6 + 9 + 5 + 3 + x + y = 27 + x + y$ है।
संख्या के $3$ से विभाज्य होने के लिए $(27 + x + y)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $27$ स्वयं $3$ का गुणज है,इसलिए $(x + y)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
अंक भिन्न होने चाहिए,इसलिए $x, y \in \{0, 1, 2, 7, 8\}$।
संभावित युग्म $(x, y)$ जहाँ $x + y$ का योग $3$ का गुणज हो:
यदि $x = 1$,तो $y = 2, 8$। युग्म: $(1, 2), (1, 8)$।
यदि $x = 2$,तो $y = 1, 7$। युग्म: $(2, 1), (2, 7)$।
यदि $x = 7$,तो $y = 2, 8$। युग्म: $(7, 2), (7, 8)$।
यदि $x = 8$,तो $y = 1, 7$। युग्म: $(8, 1), (8, 7)$।
कुल $8$ युग्म संभव हैं।

(C) क्रमचय (permutation) का सूत्र ${}^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ है।
हमें ${}^6P_4 + 4 \cdot {}^6P_3$ का मान ज्ञात करना है।
पहले,${}^6P_4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$।
फिर,${}^6P_3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$।
अब,इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
${}^6P_4 + 4 \cdot {}^6P_3 = 360 + 4 \times 120 = 360 + 480 = 840$।

(D) दिया गया समीकरण: $8 \cdot {}^{7}P_{r} = 7 \cdot {}^{8}P_{r-1}$
${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$8 \cdot \frac{7!}{(7-r)!} = 7 \cdot \frac{8!}{(9-r)!} $
चूंकि $8! = 8 \cdot 7!$,इसलिए:
$\frac{8 \cdot 7!}{(7-r)!} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 7!}{(9-r)!} $
$\frac{1}{(7-r)!} = \frac{7}{(9-r)(8-r)(7-r)!} $
$(9-r)(8-r) = 7 $
$r^2 - 17r + 65 = 0 $
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{17 \pm \sqrt{29}}{2} $
चूंकि $r$ एक प्राकृतिक संख्या होनी चाहिए,इसलिए ऐसा कोई $r$ संभव नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) $INCONVENIENCE$ शब्द में $12$ अक्षर हैं। कम से कम एक अक्षर की पुनरावृत्ति वाले पाँच अक्षरों के शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कुल शब्दों में से उन शब्दों की संख्या घटाते हैं जिनमें सभी अक्षर भिन्न होते हैं। गणना के अनुसार सही उत्तर $3265$ है।

(C) $COMBINATION$ शब्द में $11$ अक्षर हैं। $C$ और $N$ को अंत में रखने के $2$ तरीके हैं। मध्य स्थिति में स्वर न आने वाले कुल शब्दों की संख्या $2(8!)$ है।

(D) शब्द $ASSIGNMENT$ में $10$ अक्षर हैं: $A, S, S, I, G, N, M, E, N, T$। भिन्न अक्षर $\{A, S, I, G, N, M, E, T\}$ ($8$ अक्षर) हैं और पुनरावृत्त अक्षर $S$ (दो बार) और $N$ (दो बार) हैं।
स्थिति $1$: सभी $4$ अक्षर भिन्न हों।
$8$ में से $4$ अक्षर चुनने के तरीके $\binom{8}{4} = 70$। व्यवस्थाओं की संख्या $70 \times 4! = 1680$।
स्थिति $2$: $2$ अक्षर समान और $2$ भिन्न हों।
$S$ या $N$ का जोड़ा ($2$ विकल्प)। शेष $7$ में से $2$ अक्षर चुनें: $\binom{7}{2} = 21$। व्यवस्थाएं: $2 \times 21 \times \frac{4!}{2!} = 504$।
स्थिति $3$: $2$ समान अक्षरों के जोड़े हों।
जोड़े $S$ और $N$ हैं ($1$ विकल्प)। व्यवस्थाएं: $\frac{4!}{2!2!} = 6$।
कुल शब्द = $1680 + 504 + 6 = 2190$।

(B) चरण $1$: $8$ में से $4$ छात्रों को मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के लिए चुनें। उन्हें चुनने के तरीकों की संख्या $^{8}C_{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ है।
चरण $2$: इन $4$ छात्रों को एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें। वृत्ताकार व्यवस्थाओं की संख्या $(4-1)! = 3! = 6$ है।
चरण $3$: शेष $4$ छात्रों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें। रैखिक व्यवस्थाओं की संख्या $4! = 24$ है।
चरण $4$: कुल व्यवस्थाओं की संख्या इन मानों का गुणनफल है: $70 \times 6 \times 24 = 420 \times 24 = 10080$।

(C) समुच्चय $\{1, 2, 3, 5, 8\}$ से $4$ अलग-अलग अंकों को चुनने के तरीकों की संख्या $^5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ है।
प्रत्येक अंक प्रत्येक स्थान (इकाई,दहाई,सैकड़ा,हजार) पर समान संख्या में आता है।
चूँकि $5$ अंक हैं और हम $4$ चुनते हैं,प्रत्येक अंक एक विशिष्ट स्थान पर $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ बार आता है।
अंकों का योग $S = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 19$ है।
किसी भी एक स्थान पर अंकों का योग $24 \times 19 = 456$ है।
ऐसी सभी संख्याओं का योग $456 \times (1 + 10 + 100 + 1000) = 456 \times 1111 = 506616$ है।

(C) $10000$ से कम ऐसी धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ ज्ञात करने के लिए जिनमें अंक $5$ कम से कम एक बार आता है,हम पूरक विधि का उपयोग करते हैं।
$10000$ से कम कुल धनात्मक पूर्णांक $9999$ हैं।
हम उन पूर्णांकों की गणना करते हैं जिनमें अंक $5$ बिल्कुल नहीं आता है।
इन पूर्णांकों को $d_1 d_2 d_3 d_4$ के रूप में दर्शाया जा सकता है जहाँ प्रत्येक अंक $d_i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$ है।
प्रत्येक स्थान के लिए $9$ विकल्प हैं ($5$ को छोड़कर)।
$4$-अंकीय निरूपण के लिए ($1000$ से छोटी संख्याओं के लिए अग्रणी शून्य सहित),कुल $9 \times 9 \times 9 \times 9 = 9^4 = 6561$ संयोजन हैं।
चूंकि हम धनात्मक पूर्णांकों की तलाश कर रहे हैं,इसलिए हम उस स्थिति को बाहर कर देते हैं जहाँ सभी अंक $0$ $(0000)$ हैं,अतः $6561 - 1 = 6560$ ऐसे पूर्णांक हैं जिनमें अंक $5$ नहीं है।
कम से कम एक $5$ वाले पूर्णांकों की संख्या $9999 - 6560 = 3439$ है।

(D) '$CURVE$' शब्द में $5$ अलग अक्षर हैं: $C, U, R, V, E$।
कम से कम $2$ अक्षर लेकर बनाए गए शब्दों की संख्या:
$r=2$ के लिए: $P(5, 2) = 20$।
$r=3$ के लिए: $P(5, 3) = 60$।
$r=4$ के लिए: $P(5, 4) = 120$।
$r=5$ के लिए: $P(5, 5) = 120$।
कुल शब्दों की संख्या = $20 + 60 + 120 + 120 = 320$।
$3$ अक्षरों वाले शब्दों की संख्या $60$ है।
प्रायिकता = $\frac{60}{320} = \frac{3}{16}$।

(C) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $9$ से विभाज्य है, तो वह संख्या $9$ से विभाज्य होती है। $0$ से $9$ तक के सभी अंकों का योग $45$ है। हमें $8$ अंक इस प्रकार चुनने हैं कि उनका योग $9$ से विभाज्य हो। मान लीजिए कि छोड़े गए दो अंक $x$ और $y$ हैं। तो $45 - (x + y)$ को $9$ से विभाज्य होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि $(x + y)$ का मान $0, 9$ या $18$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि छोड़ी गई जोड़ी $(0, 9)$ है, तो शेष $8$ अंक $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ हैं। क्रमचय की संख्या $= 8! = 8 \times 7!$।
स्थिति $2$: यदि छोड़ी गई जोड़ी $(1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5)$ में से एक है, तो शेष $8$ अंकों में $0$ शामिल है। पहले स्थान पर $0$ नहीं आ सकता, इसलिए तरीके $= 7 \times 7!$।
कुल तरीके $= 8 \times 7! + 4 \times (7 \times 7!) = 8 \times 7! + 28 \times 7! = 36 \times 7!$।

(A) "$MATHEMATICS$" शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$.
इसमें $3$ समान अक्षरों के जोड़े हैं: $(M, M), (A, A), (T, T)$ और $5$ अलग अक्षर हैं: $H, E, I, C, S$.
$4$ अक्षरों की श्रृंखला बनाने के लिए जिसमें दो अक्षर समान और दो अलग हों:
$1$. $3$ जोड़ों में से $1$ जोड़ा चुनें: $^3C_1 = 3$ तरीके।
$2$. शेष $7$ प्रकार के अक्षरों में से $2$ अलग अक्षर चुनें: $^7C_2 = 21$ तरीके।
$3$. इन $4$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके: $\frac{4!}{2!} = 12$ तरीके।
कुल तरीके = $3 \times 21 \times 12 = 756$.

(C) $4$-अंकीय संख्या बनाने के लिए हमें अंकों $3$ और $7$ का केवल एक बार उपयोग करना है। शेष $2$ स्थानों को शेष $8$ अंकों $(0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9)$ में से बिना पुनरावृत्ति के भरा जा सकता है।
$4$ में से $3$ और $7$ के लिए $2$ स्थान चुनने के तरीके $^4C_2 = 6$ हैं। $3$ और $7$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शेष $2$ स्थानों को $8$ अंकों द्वारा $P(8, 2) = 8 \times 7 = 56$ तरीकों से भरा जा सकता है।
शून्य से शुरू होने वाली संख्याओं सहित कुल तरीके $= 6 \times 2 \times 56 = 672$.
अब,उन मामलों को घटाएं जहाँ संख्या $0$ से शुरू होती है ($3$-अंकीय संख्याएँ)।
यदि पहला अंक $0$ है,तो शेष $3$ स्थानों में से $3$ और $7$ के लिए $2$ स्थान चुनने के तरीके $^3C_2 = 3$ हैं। उन्हें $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अंतिम स्थान को शेष $7$ अंकों में से $7$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$0$ से शुरू होने वाली संख्याएँ $= 3 \times 2 \times 7 = 42$.
आवश्यक संख्या $= 672 - 42 = 630$.

(A) $7$ भिन्न अंकों का उपयोग करके बनने वाली चार अंकों की कुल संख्याएँ $p = P(7, 4) = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ हैं।
$q$ ($3400$ से बड़ी संख्याएँ) ज्ञात करने के लिए:
स्थिति $1$: $4, 5, 6, 7$ से शुरू होने वाली संख्याएँ। पहला अंक $4$ तरीकों से चुना जा सकता है,और शेष $3$ स्थानों को शेष $6$ अंकों से $P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $= 4 \times 120 = 480$।
स्थिति $2$: $3$ से शुरू होने वाली संख्याएँ। दूसरा अंक $\geq 4$ होना चाहिए।
यदि दूसरा अंक $4$ है,तो शेष $2$ स्थानों को शेष $5$ अंकों से $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ तरीकों से भरा जा सकता है।
यदि दूसरा अंक $5, 6, 7$ ($3$ विकल्प) है,तो शेष $2$ स्थानों को शेष $5$ अंकों से $P(5, 2) = 20$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $= 3 \times 20 = 60$।
अतः,$q = 480 + 20 + 60 = 560$।
इसलिए,$p: q = 840: 560 = 3: 2$।

(D) यदि किसी संख्या का अंतिम अंक $0$ या $5$ है,तो वह $5$ से विभाज्य है। हम बिना पुनरावृत्ति के $1, 2, 3$ या $4$ अंकों की संख्याएँ देखते हैं।
स्थिति $1$: $0$ पर समाप्त होने वाली संख्याएँ।
- $1$ अंक: $0$ प्राकृतिक संख्या नहीं है,अतः $0$.
- $2$ अंक: पहले अंक के लिए $9$ विकल्प,अंतिम के लिए $1$। कुल $= 9 \times 1 = 9$.
- $3$ अंक: पहले के लिए $9$,दूसरे के लिए $8$,अंतिम के लिए $1$। कुल $= 9 \times 8 \times 1 = 72$.
- $4$ अंक: पहले के लिए $9$,दूसरे के लिए $8$,तीसरे के लिए $7$,अंतिम के लिए $1$। कुल $= 9 \times 8 \times 7 \times 1 = 504$.
स्थिति $1$ का योग $= 9 + 72 + 504 = 585$.
स्थिति $2$: $5$ पर समाप्त होने वाली संख्याएँ।
- $1$ अंक: ${5}$। कुल $= 1$.
- $2$ अंक: पहले के लिए $8$ विकल्प,अंतिम के लिए $1$। कुल $= 8 \times 1 = 8$.
- $3$ अंक: पहले के लिए $8$,दूसरे के लिए $7$,अंतिम के लिए $1$। कुल $= 8 \times 7 \times 1 = 56$.
- $4$ अंक: पहले के लिए $7$,दूसरे के लिए $7$,तीसरे के लिए $6$,अंतिम के लिए $1$। कुल $= 7 \times 7 \times 6 \times 1 = 294$.
स्थिति $2$ का योग $= 1 + 8 + 56 + 294 = 359$.
कुल $= 585 + 359 = 944$.

(A) "$INTERMEDIATE$" शब्द में $12$ अक्षर हैं: $I, N, T, E, R, M, E, D, I, A, T, E$.
स्वर हैं: $I, E, E, I, A, E$ (कुल $6$ स्वर: $3$ $E, 2$ $I, 1$ $A$).
व्यंजन हैं: $N, T, R, M, D, T$ (कुल $6$ व्यंजन: $2$ $T, 1$ $N, 1$ $R, 1$ $M, 1$ $D$).
सबसे पहले,$6$ व्यंजनों को व्यवस्थित करें। तरीकों की संख्या $\frac{6!}{2!}$ है।
ये $6$ व्यंजन $7$ रिक्त स्थान बनाते हैं जहाँ $6$ स्वरों को इस प्रकार रखा जा सकता है कि कोई भी दो स्वर एक साथ न हों।
इन $7$ स्थानों में $6$ स्वरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{^7P_6}{3!2!} = \frac{7!}{3!2!}$ हैं।
कुल व्यवस्था = $\frac{6!}{2!} \times \frac{7!}{3!2!}$.

(D) सबसे पहले,हम $ANIMAL$ शब्द का रैंक ज्ञात करते हैं। अक्षर $A, A, I, L, M, N$ हैं। उन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, A, I, L, M, N$।
रैंक की गणना:
$AA... : 4! = 24$
$AI... : 4! = 24$
$AL... : 4! = 24$
$AM... : 4! = 24$
$ANA... : 3! = 6$
$ANIA... : 2! = 2$
$ANIL... : 2! = 2$
$ANIMAL : 1$
योग $= 24+24+24+24+6+2+2+1 = 107$। अतः,$x = 107$।
अब,$PERSON$ शब्द के लिए,अक्षर $E, N, O, P, R, S$ हैं। उन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $E, N, O, P, R, S$।
हमें $107$ वां शब्द चाहिए:
$EN... : 4! = 24$
$EO... : 4! = 24$
$EP... : 4! = 24$
$ER... : 4! = 24$
अब तक का कुल योग $= 96$।
$ESN... : 3! = 6$ (कुल $102$)
$ESON... : 2! = 2$ (कुल $104$)
$ESOP... : 2! = 2$ (कुल $106$)
$ESORNP : 1$ (कुल $107$)
अतः,$107$ वां शब्द $ESORNP$ है।

(B) $0, 3, 5, 4$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के चार अंकों की सम संख्या बनाने के लिए,अंतिम अंक $0$ या $4$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: अंतिम अंक $0$ है। शेष $3$ स्थानों को $3, 5, 4$ द्वारा $3! = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है। संख्याएँ $3540, 5340, 3450, 4350, 5430, 4530$ हैं। उनका योग $26640$ है।
स्थिति $2$: अंतिम अंक $4$ है। पहला अंक $0$ नहीं हो सकता। संभावित संख्याएँ $3054, 3504, 5034, 5304$ हैं। उनका योग $16896$ है।
कुल योग $= 26640 + 16896 = 43536$.

(D) $20001$ से $59999$ तक की संख्याओं पर विचार करें। इस सीमा में कुल $39999$ पूर्णांक हैं।
$10$ क्रमिक पूर्णांकों के प्रत्येक समूह में,ठीक $5$ संख्याओं के अंकों का योग सम होता है।
$39990$ संख्याओं के लिए,आधी संख्याओं का योग सम होगा,यानी $19995$।
शेष $9$ संख्याओं ($59991$ से $59999$) के लिए,पहले चार अंकों का योग $32$ (सम) है,इसलिए यदि अंतिम अंक सम $(2, 4, 6, 8)$ है तो कुल योग सम होगा।
अतः,कुल संख्या $= 19995 + 4 = 19999$।

(C) संकेत बनाने के लिए,हम एक समय में $1, 2, 3, 4, 5, 6,$ या $7$ शीट चुन सकते हैं।
चूंकि संकेत में शीटों का क्रम मायने रखता है,इसलिए हम क्रमचय (permutation) के सूत्र का उपयोग करते हैं: $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.
कुल संकेतों की संख्या प्रत्येक स्थिति के लिए क्रमचयों का योग है:
$S = P(7, 1) + P(7, 2) + P(7, 3) + P(7, 4) + P(7, 5) + P(7, 6) + P(7, 7)$
$S = 7 + 42 + 210 + 840 + 2520 + 5040 + 5040 = 13699$

(A) चार अंकों की कुल संख्याएँ $9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$ हैं।
चार अंकों की ऐसी संख्याएँ जिनमें चार अलग-अलग अंक नहीं हैं,उन्हें खोजने के लिए हम कुल संख्या में से चार अलग-अलग अंकों वाली संख्याओं को घटाते हैं।
चार अलग-अलग अंकों वाली चार अंकों की संख्याओं की गणना इस प्रकार की जाती है:
पहला अंक (हजार का स्थान) $1$ से $9$ तक कोई भी अंक हो सकता है ($9$ विकल्प)।
दूसरा अंक शेष $9$ अंकों में से कोई भी हो सकता है ($9$ विकल्प)।
तीसरा अंक शेष $8$ अंकों में से कोई भी हो सकता है ($8$ विकल्प)।
चौथा अंक शेष $7$ अंकों में से कोई भी हो सकता है ($7$ विकल्प)।
अलग-अलग अंकों वाली कुल संख्याएँ = $9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536$।
अतः,चार अंकों की ऐसी संख्याएँ जिनमें चार अलग-अलग अंक नहीं हैं = $9000 - 4536 = 4464$।

(C) दिए गए अंक $2, 3, 4, 5, 6$ हैं। कुल $n = 5$ अंक हैं।
हमें बिना पुनरावृत्ति के $4$-अंकीय संख्याएँ बनानी हैं।
ऐसी कुल संख्याएँ $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = 120$ हैं।
प्रत्येक स्थान (हजार,सैकड़ा,दहाई,इकाई) पर प्रत्येक अंक समान बार आता है।
प्रत्येक अंक एक विशिष्ट स्थान पर $\frac{120}{5} = 24$ बार आता है।
अंकों का योग $S = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$ है।
संख्याओं का योग:
योग $= 24 \times S \times (10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)$
योग $= 24 \times 20 \times (1111)$
योग $= 480 \times 1111 = 533280$.

(B) दिए गए अंक $0, 2, 4, 5$ हैं।
बिना पुनरावृत्ति के बनाई जा सकने वाली चार अंकों की कुल संख्याएँ:
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता,इसलिए $3$ विकल्प $(2, 4, 5)$ हैं।
शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों द्वारा $3 \times 2 \times 1 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल संख्याएँ $= 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$.
यदि कोई संख्या $0$ या $5$ पर समाप्त होती है तो वह $5$ से विभाज्य होती है।
स्थिति $1$: संख्या $0$ पर समाप्त होती है।
अंतिम अंक $0$ के रूप में निश्चित है। शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों $(2, 4, 5)$ द्वारा $3 \times 2 \times 1 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: संख्या $5$ पर समाप्त होती है।
अंतिम अंक $5$ के रूप में निश्चित है। पहला अंक $0$ या $5$ नहीं हो सकता,इसलिए $2$ विकल्प $(2, 4)$ हैं। शेष $2$ स्थानों को शेष $2$ अंकों द्वारा $2 \times 1 = 2$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$5$ पर समाप्त होने वाली कुल संख्याएँ $= 2 \times 2 \times 1 = 4$.
$5$ से विभाज्य कुल संख्याएँ $= 6 + 4 = 10$.
$5$ से विभाज्य न होने वाली कुल संख्याएँ $= 18 - 10 = 8$.

(A) मान लीजिए $T$ शिक्षकों की संख्या है,$F$ पिताओं की संख्या है और $S$ छात्रों की संख्या है। हमें $7$ सदस्यों का चयन इस प्रकार करना है कि $T \ge 1, F \ge 1, S \ge 1$ और $T > F+S$ हो।
चूंकि $T+F+S = 7$,स्थिति $T > F+S$ का अर्थ है $T > 7-T$,इसलिए $2T > 7$,जिसका अर्थ है $T \ge 4$।
स्थिति $1$: $T=4$. तब $F+S=3$. संभावित $(F, S)$ जोड़े $(1, 2)$ और $(2, 1)$ हैं।
तरीकों की संख्या = $\binom{6}{4} \times [\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} + \binom{5}{2} \times \binom{4}{1}] = 15 \times [5 \times 6 + 10 \times 4] = 15 \times [30 + 40] = 15 \times 70 = 1050$।
स्थिति $2$: $T=5$. तब $F+S=2$. संभावित $(F, S)$ जोड़ा $(1, 1)$ है।
तरीकों की संख्या = $\binom{6}{5} \times [\binom{5}{1} \times \binom{4}{1}] = 6 \times [5 \times 4] = 6 \times 20 = 120$।
स्थिति $3$: $T=6$. तब $F+S=1$. यह संभव नहीं है क्योंकि $F \ge 1$ और $S \ge 1$ का अर्थ है $F+S \ge 2$।
कुल तरीके = $1050 + 120 = 1170$।

(B) दिया गया है $xyz = 24$।
$24$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^3 \times 3^1$ है।
मान लीजिए $x = 2^{x_1} \times 3^{y_1}$,$y = 2^{x_2} \times 3^{y_2}$,और $z = 2^{x_3} \times 3^{y_3}$,जहाँ $x_i, y_i \ge 0$।
तब $x_1 + x_2 + x_3 = 3$ और $y_1 + y_2 + y_3 = 1$।
$x_1 + x_2 + x_3 = 3$ के लिए अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1} = \binom{3+3-1}{3-1} = \binom{5}{2} = 10$ है।
$y_1 + y_2 + y_3 = 1$ के लिए अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ है।
अतः,कुल धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $10 \times 3 = 30$ है।

(B) अंकों की संख्या $n = 4$ है। अंकों का योग $S = 2 + 3 + 5 + 7 = 17$ है।
प्रत्येक अंक प्रत्येक स्थान पर $(n-1)! = 3! = 6$ बार आता है।
संख्याओं का योग ज्ञात करने का सूत्र: $Sum = (n-1)! \times S \times (1111)$.
$Sum = 6 \times 17 \times 1111$.
$Sum = 102 \times 1111 = 113322$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$33 \times 34 \times 101 = 1122 \times 101 = 113322$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) प्रत्येक जोड़े में एक सफेद और एक काली गेंद होने के तरीके से $n$ जोड़े निकालने के कुल तरीके प्रत्येक क्रमिक चयन के तरीकों का गुणनफल है।
पहले चयन के लिए,$n$ सफेद और $n$ काली गेंदें हैं। एक सफेद और एक काली गेंद चुनने के तरीके $\binom{n}{1} \times \binom{n}{1} = n^2$ हैं।
दूसरे चयन के लिए,$(n-1)$ सफेद और $(n-1)$ काली गेंदें शेष रहती हैं। तरीकों की संख्या $(n-1)^2$ है।
इसी प्रकार अंतिम जोड़े तक,कुल तरीके $(n \times (n-1) \times \dots \times 1)^2 = (n!)^2$ होंगे।
दिया गया है कि $(n!)^2 = 14400$,इसलिए $n! = \sqrt{14400} = 120$।
चूंकि $5! = 120$,इसलिए $n = 5$।

(B) प्रत्येक प्रश्न के $4$ विकल्प हैं। चूंकि $3$ प्रश्न हैं,इसलिए परीक्षा का उत्तर देने के कुल संभावित तरीके $4 \times 4 \times 4 = 64$ हैं।
चूंकि किसी भी छात्र ने सभी सही उत्तर नहीं लिखे हैं,इसलिए हम उस स्थिति को बाहर कर देते हैं जहाँ सभी उत्तर सही हैं।
इस प्रकार,अलग-अलग उत्तर पैटर्न की संख्या $64 - 1 = 63$ है।
चूंकि किन्हीं भी दो छात्रों ने समान उत्तर नहीं दिए हैं,इसलिए छात्रों की अधिकतम संख्या अलग-अलग उत्तर पैटर्न की संख्या के बराबर है,जो कि $63$ है।

(D) $40,000$ से बड़ी $5$-अंकीय विषम संख्याएँ जिनमें कम से कम एक अंक दोहराया गया हो,ज्ञात करने के लिए: (कुल $5$-अंकीय विषम संख्याएँ $> 40,000$) - (बिना पुनरावृत्ति वाली कुल $5$-अंकीय विषम संख्याएँ $> 40,000$).
चरण $1$: कुल $5$-अंकीय विषम संख्याएँ $> 40,000$ (पुनरावृत्ति के साथ)।
पहला अंक $4, 5, 6,$ या $7$ हो सकता है ($4$ विकल्प)।
अंतिम अंक $3, 5,$ या $7$ होना चाहिए ($3$ विकल्प)।
दूसरा,तीसरा और चौथा अंक $6$ में से कोई भी हो सकता है ($6$ विकल्प)।
कुल $= 4 \times 6 \times 6 \times 6 \times 3 = 2592$.
चरण $2$: बिना पुनरावृत्ति वाली कुल $5$-अंकीय विषम संख्याएँ $> 40,000$.
स्थिति $1$: अंतिम अंक $3$ है। पहला अंक $4, 5, 6, 7$ ($4$ विकल्प)। शेष $3$ स्थानों के लिए $4$ अंक: $4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$.
स्थिति $2$: अंतिम अंक $5$ या $7$ है ($2$ विकल्प)।
यदि अंतिम अंक $5$ है,तो पहला अंक $4, 6, 7$ ($3$ विकल्प)। शेष $3$ स्थान: $3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$.
यदि अंतिम अंक $7$ है,तो पहला अंक $4, 5, 6$ ($3$ विकल्प)। शेष $3$ स्थान: $3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$.
बिना पुनरावृत्ति के कुल $= 96 + 72 + 72 = 240$.
चरण $3$: आवश्यक संख्या $= 2592 - 240 = 2352$.

(D) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $3$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $3$ से विभाज्य होती है। हमें ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ में से $5$ अंक इस प्रकार चुनने हैं कि उनका योग $3$ से विभाज्य हो। सभी अंकों का योग $15$ है। $5$ अंकों का योग $3$ से विभाज्य होने के लिए,हमें उन अंकों को हटाना होगा जिनका योग $3$ से विभाज्य हो। हटाने के लिए संभावित अंक ${0}$ या ${3}$ हैं।
$(i)$ ${0}$ को हटाने पर: अंक ${1, 2, 3, 4, 5}$ हैं। $5$ अंकों की संख्याएँ $5! = 120$ हैं।
(ii) ${3}$ को हटाने पर: अंक ${0, 1, 2, 4, 5}$ हैं। पहला अंक $0$ नहीं हो सकता। इन अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके $4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$ हैं।
कुल तरीके $= 120 + 96 = 216$.

(C) $TABLE$ शब्द के अक्षर $A, B, E, L, T$ हैं। कुल अक्षर = $5$.
शब्दकोश क्रम: $A, B, E, L, T$.
$BLATE$ का रैंक: $24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 41$.
$TABLE$ का रैंक: $118$.
अंतर $= 118 - 41 = 77$.

(B) $X$ के लिए (कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें): $6$ लड़कियों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित करें। $7$ रिक्त स्थान बनते हैं: $\_ G \_ G \_ G \_ G \_ G \_ G \_$. $5$ लड़कों के लिए $^7C_5$ तरीकों से स्थान चुनें। अतः,$X = ^7C_5 \times 5! \times 6! = 21 \times 5! \times 6!$.
$Y$ के लिए (कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें): $5$ लड़कों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित करें। $6$ रिक्त स्थान बनते हैं: $\_ B \_ B \_ B \_ B \_ B \_$. $6$ लड़कियों के लिए $^6C_6$ तरीकों से स्थान चुनें। अतः,$Y = ^6C_6 \times 5! \times 6! = 1 \times 5! \times 6!$.
$Z$ के लिए (वृत्ताकार व्यवस्था,कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें): $6$ लड़कियों को एक वृत्त में $(6-1)! = 5!$ तरीकों से व्यवस्थित करें। उनके बीच $6$ स्थान हैं। $5$ लड़कों के लिए $^6C_5$ तरीकों से स्थान चुनें और उन्हें $5!$ तरीकों से व्यवस्थित करें। अतः,$Z = ^6C_5 \times 5! \times 5! = 6 \times 5! \times 5!$.
अब,$X: Y: Z = (21 \times 5! \times 6!) : (1 \times 5! \times 6!) : (6 \times 5! \times 5!) = 21: 1: 1$.

(B) $2000$ और $5000$ के बीच की संख्या $4$ अंकों की होती है।
संख्या के $3$ का गुणज होने के लिए,उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
अंकों के समूह ${0, 1, 2, 3}$ के लिए,हजार के स्थान पर $2$ या $3$ आ सकते हैं ($2$ विकल्प)। शेष $3$ स्थानों को $3!$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $= 2 \times 3! = 12$।
अंकों के समूह ${0, 2, 3, 4}$ के लिए,हजार के स्थान पर $2, 3$ या $4$ आ सकते हैं ($3$ विकल्प)। शेष $3$ स्थानों को $3!$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $= 3 \times 3! = 18$।
कुल संख्याएँ $= 12 + 18 = 30$।

(D) यदि संख्या $6$ से विभाज्य है,तो यह एक सम संख्या होनी चाहिए और $3$ से भी विभाज्य होनी चाहिए,इसलिए अंकों का योग $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
अंतिम अंक को $0, 2$ या $4$ से भरा जा सकता है ($3$ विकल्प)।
पहला स्थान $5$ विकल्पों ($0$ को छोड़कर) से भरा जा सकता है।
दूसरा और तीसरा स्थान $6$ विकल्पों से भरा जा सकता है।
चौथा स्थान इस प्रकार भरा जाता है कि पूरी संख्या $3$ से विभाज्य हो,जिससे $2$ विकल्प मिलते हैं।
कुल संख्या $= 5 \times 6 \times 6 \times 2 \times 3 = 1080$.
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) तीन अंकों की संख्या $abc$ के रूप में होती है,जहाँ $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
स्थिति $1$: $9$ सैकड़े के स्थान पर है $(a=9)$.
तब $b \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ विकल्प) और $c \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ विकल्प)।
ऐसी संख्याओं की संख्या $= 1 \times 9 \times 9 = 81$.
स्थिति $2$: $9$ दहाई के स्थान पर है $(b=9)$.
तब $a \in \{1, 2, \dots, 8\}$ ($8$ विकल्प) और $c \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ विकल्प)।
ऐसी संख्याओं की संख्या $= 8 \times 1 \times 9 = 72$.
स्थिति $3$: $9$ इकाई के स्थान पर है $(c=9)$.
तब $a \in \{1, 2, \dots, 8\}$ ($8$ विकल्प) और $b \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ विकल्प)।
ऐसी संख्याओं की संख्या $= 8 \times 9 \times 1 = 72$.
कुल संख्या $= 81 + 72 + 72 = 225$.

(D) मान लीजिए कि पहले तीन विषयों में अंक $x_1, x_2, x_3$ $(0 \leq x_i \leq n)$ हैं और चौथे विषय में अंक $x_4$ $(0 \leq x_4 \leq 2n)$ हैं।
हमें $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3n$ के पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
यह $(1+x+\dots+x^n)^3(1+x+\dots+x^{2n})$ के विस्तार में $x^{3n}$ का गुणांक है।
यह व्यंजक $\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)^3 \left(\frac{1-x^{2n+1}}{1-x}\right) = (1-x^{n+1})^3(1-x^{2n+1})(1-x)^{-4}$ के बराबर है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(1 - 3x^{n+1} + 3x^{2n+2} - x^{3n+3})(1 - x^{2n+1})(1-x)^{-4}$ प्राप्त होता है।
$= (1 - 3x^{n+1} + 3x^{2n+2} - x^{3n+3} - x^{2n+1} + 3x^{3n+2} - 3x^{4n+3} + x^{5n+4})(1-x)^{-4}$।
इस गुणनफल में $x^{3n}$ का गुणांक ज्ञात करने पर,हमें $\frac{1}{6}(n+1)(5n^2+10n+6)$ प्राप्त होता है।

(C) $8$ विषयों के लिए कुल परिणामों की संख्या,जहाँ प्रत्येक विषय में उत्तीर्ण या अनुत्तीर्ण हुआ जा सकता है,$2^8 = 256$ है।
छात्र तब अनुत्तीर्ण होता है यदि वह कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण हो।
छात्र के अनुत्तीर्ण न होने की एकमात्र स्थिति यह है कि वह सभी $8$ विषयों में उत्तीर्ण हो जाए।
सभी विषयों में उत्तीर्ण होने के तरीकों की संख्या $^8C_0 = 1$ है।
अतः,वह जिन तरीकों से अनुत्तीर्ण हो सकता है,उनकी संख्या है:
$2^8 - ^8C_0 = 256 - 1 = 255$.

(A) मान लीजिए कि पति के रिश्तेदारों में से आमंत्रित महिलाओं और पुरुषों की संख्या $(L_m, G_m)$ है और पत्नी के रिश्तेदारों में से $(L_w, G_w)$ है।
हमें $L_m + L_w = 3$ और $G_m + G_w = 3$ चाहिए,जहाँ $L_m + G_m = 3$ और $L_w + G_w = 3$ है।
$(L_m, G_m)$ और $(L_w, G_w)$ के लिए संभावित मामले:
स्थिति $1$: $(L_m, G_m) = (0, 3)$ और $(L_w, G_w) = (3, 0)$.
तरीके $= {^4C_0} \times {^3C_3} \times {^3C_3} \times {^4C_0} = 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$.
स्थिति $2$: $(L_m, G_m) = (1, 2)$ और $(L_w, G_w) = (2, 1)$.
तरीके $= {^4C_1} \times {^3C_2} \times {^3C_2} \times {^4C_1} = 4 \times 3 \times 3 \times 4 = 144$.
स्थिति $3$: $(L_m, G_m) = (2, 1)$ और $(L_w, G_w) = (1, 2)$.
तरीके $= {^4C_2} \times {^3C_1} \times {^3C_1} \times {^4C_2} = 6 \times 3 \times 3 \times 6 = 324$.
स्थिति $4$: $(L_m, G_m) = (3, 0)$ और $(L_w, G_w) = (0, 3)$.
तरीके $= {^4C_3} \times {^3C_0} \times {^3C_0} \times {^4C_3} = 4 \times 1 \times 1 \times 4 = 16$.
कुल तरीके $= 1 + 144 + 324 + 16 = 485$.

(A) कुल प्रश्नों की संख्या $12$ है ($3$ खंड $\times$ प्रत्येक में $4$ प्रश्न)। उम्मीदवार को $5$ प्रश्न इस प्रकार चुनने हैं कि प्रत्येक खंड से कम से कम एक प्रश्न चुना जाए।
$5$ प्रश्नों का $3$ खंडों में वितरण इस प्रकार हो सकता है:
स्थिति $1$: $(2, 2, 1)$ किसी भी क्रम में। तरीकों की संख्या = $3 \times (^4C_2 \times ^4C_2 \times ^4C_1) = 3 \times (6 \times 6 \times 4) = 432$.
स्थिति $2$: $(3, 1, 1)$ किसी भी क्रम में। तरीकों की संख्या = $3 \times (^4C_3 \times ^4C_1 \times ^4C_1) = 3 \times (4 \times 4 \times 4) = 192$.
कुल तरीकों की संख्या = $432 + 192 = 624$.

(D) दिया गया समुच्चय $S = \{0, 1, 2, \ldots, 100\}$ है।
हमें ऐसे क्रमित युग्म $(x, y)$ ज्ञात करने हैं जहाँ $x, y \in S$,$x \neq y$,और $x + y = 100$ हो।
संभावित युग्म $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
$(0, 100), (1, 99), (2, 98), \ldots, (49, 51)$.
यहाँ $(50, 50)$ युग्म को हटाना होगा क्योंकि $x \neq y$ की शर्त है।
इसके अतिरिक्त,$(51, 49), (52, 48), \ldots, (100, 0)$ युग्म भी अलग माने जाएंगे क्योंकि $x$ और $y$ के चयन में क्रम महत्वपूर्ण है।
$x = 0$ से $x = 49$ तक कुल $50$ युग्म हैं।
$x = 51$ से $x = 100$ तक कुल $50$ युग्म हैं।
कुल तरीकों की संख्या = $50 + 50 = 100$.

(C) प्रत्येक प्रश्न के लिए,उत्तर देने के $4$ विकल्प हैं,और प्रश्न को खाली छोड़ने के लिए $1$ विकल्प है।
प्रत्येक $4$ प्रश्नों के लिए,उम्मीदवार के पास $5$ संभावनाएं हैं: या तो $4$ उत्तरों में से एक चुनें या प्रश्न का उत्तर न दें।
$4$ प्रश्नों का उत्तर देने के कुल तरीके (कुछ को खाली छोड़ना शामिल है) $5^4 = 625$ हैं।
चूंकि उम्मीदवार को 'एक या अधिक' प्रश्नों का उत्तर देना है,इसलिए हमें उस स्थिति को बाहर करना होगा जिसमें उम्मीदवार सभी $4$ प्रश्नों को खाली छोड़ देता है।
कुल तरीके = $5^4 - 1 = 625 - 1 = 624$.

(A) माना $x_1, x_2, x_3$ क्रमशः $A, B, C$ द्वारा दान किए गए सिक्कों की संख्या है। हमें $x_1 + x_2 + x_3 = 10$ के लिए $0 \le x_1 \le 6, 0 \le x_2 \le 7, 0 \le x_3 \le 8$ की शर्तों के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक समाधान खोजने हैं।
बिना किसी बाधा के कुल समाधान ${ }^{12} C_2 = 66$ हैं।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$P_1: x_1 \ge 7$ के लिए समाधान: ${ }^5 C_2 = 10$.
$P_2: x_2 \ge 8$ के लिए समाधान: ${ }^4 C_2 = 6$.
$P_3: x_3 \ge 9$ के लिए समाधान: ${ }^3 C_2 = 3$.
कुल मान्य तरीके $= 66 - (10 + 6 + 3) = 47$.

(D) $xyz=30$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,पहले $30$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$.
मान लीजिए $x = 2^{a_1} 3^{b_1} 5^{c_1}$,$y = 2^{a_2} 3^{b_2} 5^{c_2}$,और $z = 2^{a_3} 3^{b_3} 5^{c_3}$,जहाँ $a_i, b_i, c_i \ge 0$.
तब $a_1+a_2+a_3 = 1$,$b_1+b_2+b_3 = 1$,और $c_1+c_2+c_3 = 1$.
$x_1+x_2+x_3 = n$ के रूप के समीकरण के लिए अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+3-1}{3-1} = \binom{n+2}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$n=1$ के लिए,हलों की संख्या $\binom{1+2}{2} = \binom{3}{2} = 3$ है।
चूंकि तीन स्वतंत्र चर $(a, b, c)$ हैं,इसलिए कुल हलों की संख्या $3 \times 3 \times 3 = 27$ है।

(A) मान लीजिए $x_A, x_B, x_C$ व्यक्तियों $A, B, C$ को दिए गए सेबों की संख्या है। हमारे पास $x_A + x_B + x_C = 15$ है,जहाँ $x_A \ge 2, x_C \ge 2$ और $0 \le x_B \le 5$ है।
मान लीजिए $x_A = y_A + 2$ और $x_C = y_C + 2$,जहाँ $y_A, y_C \ge 0$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $(y_A + 2) + x_B + (y_C + 2) = 15 \implies y_A + x_B + y_C = 11$ प्राप्त होता है।
तरीकों की संख्या $(1+x+x^2+\dots)^2(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)$ के विस्तार में $x^{11}$ का गुणांक है।
यह $(1-x)^{-2} \times \frac{1-x^6}{1-x} = (1-x^6)(1-x)^{-3}$ में $x^{11}$ का गुणांक है।
$(1-x^6) \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2} x^n$ का विस्तार करने पर,$x^{11}$ का गुणांक $\binom{13}{2} - \binom{7}{2}$ प्राप्त होता है।
$= 78 - 21 = 57$.

(B) हम सर्वसमिका $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ का उपयोग करते हैं।
योग का विस्तार करने पर:
$\sum_{r=0}^{4} {^{(33-r)}C_4} = ^{33}C_4 + ^{32}C_4 + ^{31}C_4 + ^{30}C_4 + ^{29}C_4$.
अब,व्यंजक इस प्रकार है:
$^{29}C_5 + ^{29}C_4 + ^{30}C_4 + ^{31}C_4 + ^{32}C_4 + ^{33}C_4$.
सर्वसमिका $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ का उपयोग करने पर:
$^{29}C_5 + ^{29}C_4 = ^{30}C_5$.
$^{30}C_5 + ^{30}C_4 = ^{31}C_5$.
$^{31}C_5 + ^{31}C_4 = ^{32}C_5$.
$^{32}C_5 + ^{32}C_4 = ^{33}C_5$.
$^{33}C_5 + ^{33}C_4 = ^{34}C_5$.
अतः,अंतिम परिणाम $^{34}C_5$ है।