$xyz = 24$ के धनात्मक पूर्णांक हलों $(x, y, z)$ की कुल संख्या क्या है?

मान लीजिए $a_1, a_2, \ldots, a_n$ $n$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,जिनमें से $p$ धनात्मक हैं और शेष ऋणात्मक हैं। $j < k$ के साथ उन क्रमित युग्मों $(j, k)$ की संख्या,जिनके लिए $a_j a_k$ धनात्मक है,$55$ है। इसी प्रकार,$j < k$ के साथ उन क्रमित युग्मों $(j, k)$ की संख्या,जिनके लिए $a_j a_k$ ऋणात्मक है,$50$ है। तो,$p^2 + (n-p)^2$ का मान है

एक डिबेट क्लब में $6$ लड़कियाँ और $4$ लड़के हैं। इस क्लब से $4$ सदस्यों की एक टीम चुनी जानी है,जिसमें टीम के लिए एक कप्तान का चयन (इन $4$ सदस्यों में से) भी शामिल है। यदि टीम में अधिकतम एक लड़का शामिल हो,तो टीम चुनने के तरीकों की संख्या क्या है?

$6$ अलग-अलग उपन्यासों और $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से $4$ उपन्यासों और $1$ शब्दकोश का चयन करके उन्हें एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करना है कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या क्या है?

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. $x_1+x_2+x_3+x_4=10$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $286$ है।
$II$. यदि $25! = 10^n \times k, (k \in N)$ है,तो $n=6$ है।
निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

यदि $9$ भिन्न वस्तुओं में से एक समय में $5$ वस्तुएं लेकर बनने वाले वृत्तीय क्रमचयों की संख्या $n_1$ है और $8$ भिन्न वस्तुओं में से एक समय में $4$ वस्तुएं लेकर बनने वाले रैखिक क्रमचयों की संख्या $n_2$ है,तो $\frac{n_1}{n_2}=$