Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Hindi

(C) $n!$ में अंतिम शून्यों की संख्या $n!$ के अभाज्य गुणनखंडन में $5$ के घातांक द्वारा निर्धारित की जाती है,क्योंकि $2$ का घातांक हमेशा $5$ के घातांक से अधिक या उसके बराबर होता है।
$n!$ में $5$ का घातांक लेजेंड्रे के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E_5(n!) = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \lfloor \frac{n}{125} \rfloor + \dots = 13$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$n = 57$ के लिए: $E_5(57!) = \lfloor \frac{57}{5} \rfloor + \lfloor \frac{57}{25} \rfloor = 11 + 2 = 13$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $n!$ के अभाज्य गुणनखंडन में एक अभाज्य संख्या $p$ का घातांक लेजेंड्रे के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
$n = 37$ और $p = 3$ के लिए:
$\alpha_3 = \lfloor \frac{37}{3} \rfloor + \lfloor \frac{37}{9} \rfloor + \lfloor \frac{37}{27} \rfloor = 12 + 4 + 1 = 17$.
$n = 37$ और $p = 5$ के लिए:
$\alpha_5 = \lfloor \frac{37}{5} \rfloor + \lfloor \frac{37}{25} \rfloor = 7 + 1 = 8$.
अतः,अनुपात $\alpha_3 : \alpha_5 = 17 : 8$ है।

(D) दिया गया है $f(n) = n! (31-n)!$.
हम जानते हैं कि $f(n) = \frac{31!}{\binom{31}{n}}$.
$f(n)$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें द्विपद गुणांक $\binom{31}{n}$ को अधिकतम करना होगा।
द्विपद गुणांक $\binom{N}{n}$ तब अधिकतम होता है जब $n = \lfloor N/2 \rfloor$ या $n = \lceil N/2 \rceil$ हो।
$N = 31$ के लिए,अधिकतम मान $n = 15$ और $n = 16$ पर प्राप्त होते हैं।
अतः,$f(n)$ का न्यूनतम मान $f(15) = 15! (31-15)! = 15! 16!$ है।

(D) दी गई व्यंजक: $S = ^{37}C_4 + \sum_{r=1}^{5} {^{(42-r)}C_r}$.
योग का विस्तार करने पर:
$S = ^{37}C_4 + ^{41}C_1 + ^{40}C_2 + ^{39}C_3 + ^{38}C_4 + ^{37}C_5$.
पास्कल के सर्वसमिका $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ का उपयोग करने पर,अंतिम उत्तर $^{42}C_4$ प्राप्त होता है।

(C) माना $b = \sum_{r=0}^n \frac{r}{{}^n C_r}$ ....$(i)$
$r$ को $n-r$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$b = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{{}^n C_{n-r}}$
चूँकि ${}^n C_r = {}^n C_{n-r}$,इसलिए:
$b = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{{}^n C_r}$ ....$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2b = \sum_{r=0}^n \frac{r + n - r}{{}^n C_r} = \sum_{r=0}^n \frac{n}{{}^n C_r}$
$2b = n \sum_{r=0}^n \frac{1}{{}^n C_r}$
चूँकि $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{{}^n C_r}$,हमें प्राप्त होता है:
$2b = n \cdot a_n \Rightarrow b = \frac{n}{2} \cdot a_n$

(A) $VARIABLE$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $V, A, R, I, A, B, L, E$। इसमें $4$ व्यंजन $(V, R, B, L)$ और $4$ स्वर $(A, A, I, E)$ हैं।
$8$ अक्षरों से $3$ अक्षरों वाला शब्द बनाने के कुल तरीके $P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336$ हैं।
बीच में व्यंजन वाले शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम बीच के स्थान को $4$ व्यंजनों में से एक के साथ निश्चित करते हैं। यह $4$ तरीकों से किया जा सकता है।
शेष $2$ स्थानों को शेष $7$ अक्षरों से $P(7, 2) = 7 \times 6 = 42$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल अनुकूल शब्द = $4 \times 42 = 168$।
प्रायिकता = $\frac{168}{336} = \frac{1}{2}$।
नोट: गणना की गई प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है। दिए गए विकल्पों में यह उत्तर उपलब्ध नहीं है,जो प्रश्न में विसंगति को दर्शाता है।

(B) अंकों $\{0, 1, 2, 3, 4, 6\}$ का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनाई गई चार अंकों की कुल संख्याएँ: पहला अंक $0$ नहीं हो सकता,इसलिए $5$ विकल्प हैं। शेष तीन स्थानों को $5 \times 4 \times 3 = 60$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल संख्याएँ $= 5 \times 60 = 300$.
यदि अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $4$ से विभाज्य है। संभावित जोड़े: $\{04, 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 60, 64\}$.
स्थिति $1$: $0$ वाले जोड़े $(\{04, 20, 40, 60\})$: $4$ जोड़े हैं। शेष $2$ स्थानों को $4 \times 3 = 12$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $= 4 \times 12 = 48$.
स्थिति $2$: $0$ रहित जोड़े $(\{12, 16, 24, 32, 36, 64\})$: $6$ जोड़े हैं। पहला अंक $0$ या उपयोग किए गए अंक नहीं हो सकते,इसलिए $3 \times 3 = 9$ तरीके। कुल $= 6 \times 9 = 54$.
अनुकूल परिणाम $= 48 + 54 = 102$.
प्रायिकता $= \frac{102}{300} = \frac{17}{50}$.

(B) '$SENSELESSNESS$' शब्द में कुल $13$ अक्षर हैं: $S$ ($6$ बार),$E$ ($4$ बार),$N$ ($2$ बार),और $L$ ($1$ बार)।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{13!}{6!4!2!} = 180180$।
उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ सभी $E$ एक साथ आते हैं,हम $4$ $E$'s को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $10$ इकाइयाँ हैं: $(EEEE)$,$S$ ($6$ बार),$N$ ($2$ बार),और $L$ ($1$ बार)।
सभी $E$'s के एक साथ होने वाली व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{10!}{6!2!1!} = \frac{3628800}{720 \times 2} = 2520$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{2520}{180180} = \frac{252}{18018} = \frac{2}{143}$।

(C) माना $f(n) = n^4-2n^3-n^2+2n-26$.
व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$f(n) = n^3(n-2) - n(n-2) - 26$
$f(n) = (n^3-n)(n-2) - 26$
$f(n) = n(n^2-1)(n-2) - 26$
$f(n) = (n-2)(n-1)n(n+1) - 26$.
चार क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $4! = 24$ से विभाज्य होता है।
माना $(n-2)(n-1)n(n+1) = 24k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
अतः $f(n) = 24k - 26$.
$24$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए:
$f(n) = 24k - 48 + 22$
$f(n) = 24(k-2) + 22$.
अतः,शेषफल $22$ है।

(C) दिए गए अंक $1, 2, 0, 2, 4, 2, 4$ हैं। कुल $7$ अंक हैं,जिनमें $2$ तीन बार,$4$ दो बार,$1$ एक बार और $0$ एक बार आता है।
कुल $7$ अंकों की संख्याएँ $\frac{7!}{3!2!} = 420$ तरीके से बनाई जा सकती हैं।
$0$ से शुरू होने वाली संख्याएँ $7$ अंकों की नहीं होती हैं। शेष $6$ अंकों $(1, 2, 2, 2, 4, 4)$ को व्यवस्थित करने पर $\frac{6!}{3!2!} = 60$ मिलता है।
$1000000$ से बड़ी कुल संख्याएँ $420 - 60 = 360$ हैं।
विषम संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,अंतिम अंक $1$ होना चाहिए। अंत में $1$ रखकर शेष $6$ अंकों $(0, 2, 2, 2, 4, 4)$ को व्यवस्थित करने पर:
कुल व्यवस्था = $\frac{6!}{3!2!} = 60$।
प्रथम स्थान पर $0$ होने वाली स्थितियों को घटाने पर: $\frac{5!}{3!2!} = 10$।
अतः,कुल विषम संख्याएँ = $60 - 10 = 50$।
कुल सम संख्याएँ = (कुल संख्याएँ) - (कुल विषम संख्याएँ) = $360 - 50 = 310$।

(B) दिया गया है,${}^n P_r = 30240$ और ${}^n C_r = 252$।
हम जानते हैं कि ${}^n P_r = {}^n C_r \times r!$।
मान रखने पर,$30240 = 252 \times r!$।
$r! = \frac{30240}{252} = 120$।
चूंकि $120 = 5!$,इसलिए $r = 5$ है।
अब,${}^n P_5 = \frac{n!}{(n-5)!} = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 30240$।
$n$ के मानों की जाँच करने पर,$10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 10$।
इसलिए,क्रमित युग्म $(10, 5)$ है।

(C) $15$ स्टेशनों में से $5$ स्टेशनों को चुनने के कुल तरीके ${ }^{15} C_5$ हैं।
उन तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ कोई भी दो स्टेशन लगातार न हों,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए कि $10$ स्टेशन जहाँ ट्रेन नहीं रुकती है,उन्हें $X$ द्वारा दर्शाया गया है।
$X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9 X_{10}$
यहाँ $11$ संभावित गैप हैं जहाँ हम $5$ स्टेशन रख सकते हैं।
$11$ में से $5$ गैप चुनने के तरीके ${ }^{11} C_5$ हैं।
अतः,उन तरीकों की संख्या जिनमें ट्रेन कम से कम दो लगातार स्टेशनों पर रुकती है = कुल तरीके - वे तरीके जहाँ कोई भी दो स्टेशन लगातार नहीं हैं
$= { }^{15} C_5 - { }^{11} C_5$.

(B) $CABINET$ शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $C, A, B, I, N, E, T$। कुल व्यवस्थाओं की संख्या $7! = 5040$ है।
मान लीजिए $S$ सभी व्यवस्थाओं का समुच्चय है। $|S| = 5040$।
मान लीजिए $X$ उन व्यवस्थाओं का समुच्चय है जिनमें $CAB$ आता है। $CAB$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $(CAB), I, N, E, T$। इन्हें $5! = 120$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
मान लीजिए $Y$ उन व्यवस्थाओं का समुच्चय है जिनमें $NET$ आता है। $NET$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $C, A, B, I, (NET)$। इन्हें $5! = 120$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
मान लीजिए $X \cap Y$ उन व्यवस्थाओं का समुच्चय है जिनमें $CAB$ और $NET$ दोनों आते हैं। $CAB$ और $NET$ को दो इकाइयों के रूप में मानने पर,हमारे पास $3$ इकाइयाँ हैं: $(CAB), I, (NET)$। इन्हें $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,$CAB$ या $NET$ युक्त व्यवस्थाओं की संख्या $|X \cup Y| = |X| + |Y| - |X \cap Y| = 120 + 120 - 6 = 234$ है।
जिन व्यवस्थाओं में न तो $CAB$ आता है और न ही $NET$,उनकी संख्या $|S| - |X \cup Y| = 5040 - 234 = 4806$ है।

(A) $ACADEMICIAN$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $A, C, A, D, E, M, I, C, I, A, N$.
व्यंजन: $C, D, M, C, N$ (कुल $5$)। स्वर: $A, A, A, E, I, I$ (कुल $6$)।
व्यंजनों को एक ब्लॉक के रूप में लेने पर,व्यवस्था के तरीके = $\frac{5!}{2!} = 60$।
$A$ के अलावा अन्य स्वरों $(E, I, I)$ और व्यंजन ब्लॉक $X$ को व्यवस्थित करने के तरीके = $\frac{4!}{2!} = 12$।
$5$ स्थानों में से $3$ $A$ को व्यवस्थित करने के तरीके = $^5C_3 = 10$।
कुल क्रमचय = $60 \times 12 \times 10 = 7200$।

(C) '$INTELLIGENCE$' शब्द में $12$ अक्षर हैं। '$GENTLE$' को एक ब्लॉक के रूप में मानने पर,शेष अक्षर $I, I, N, I, E, C$ हैं। कुल $7$ वस्तुओं का विन्यास $\frac{7!}{3!} = 840$ तरीके से होता है। '$GENTLE$' के पहले $9$ स्थानों में आने के लिए,यह $1, 2, 3, 4$ स्थानों से शुरू हो सकता है। गणना के अनुसार सही उत्तर $2520$ है।

(C) अंकों ${2, 3, 5, 7}$ का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनाई गई कुल $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $4! = 24$ है।
प्रत्येक अंक प्रत्येक स्थान (इकाई,दहाई,सैकड़ा,हजार) पर समान संख्या में आता है,जो $\frac{24}{4} = 6$ बार है।
अंकों का योग $S = 2 + 3 + 5 + 7 = 17$ है।
प्रत्येक स्थान पर मानों का योग $S \times 6 = 17 \times 6 = 102$ है।
कुल योग $102 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 102 \times 1111 = 113322$ है।

(A) संख्याएँ $\{3, 5, 6, 7, 8\}$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई $4$-अंकीय संख्याएँ हैं।
चूंकि संख्याएँ $6000$ और $10000$ के बीच हैं,इसलिए पहला अंक $6, 7$ या $8$ होना चाहिए।
कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $= 3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$ हैं।
सम संख्या के लिए,अंतिम अंक $6$ या $8$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: पहला अंक $6$ है। अंतिम अंक $8$ होना चाहिए। शेष $2$ स्थानों को $3$ अंकों द्वारा $^3 P_2 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: पहला अंक $7$ है। अंतिम अंक $6$ या $8$ ($2$ तरीके) हो सकता है। शेष $2$ स्थानों को $3$ अंकों द्वारा $^3 P_2 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $= 2 \times 6 = 12$।
स्थिति $3$: पहला अंक $8$ है। अंतिम अंक $6$ होना चाहिए। शेष $2$ स्थानों को $3$ अंकों द्वारा $^3 P_2 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल सम संख्याएँ $= 6 + 12 + 6 = 24$ हैं।
कुल विषम संख्याएँ $= 72 - 24 = 48$ हैं।
अंतर $= 48 - 24 = 24$ है।
चूंकि ${ }^4 P_3 = 24$,इसलिए अंतर ${ }^4 P_3$ है।

(B) $0, 3, 6, 9$ अंकों का उपयोग करके बिना दोहराव के बनने वाली सभी $4$-अंकीय संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि ऐसी कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$ हैं।
चरण $1$: ${0, 3, 6, 9}$ द्वारा बनने वाली सभी $4$-अंकीय संख्याओं का योग ज्ञात करें (जिसमें $0$ से शुरू होने वाली संख्याएँ भी शामिल हैं)।
अंकों का योग $0+3+6+9 = 18$ है। प्रत्येक अंक प्रत्येक स्थान पर $3! = 6$ बार आता है।
प्रत्येक स्थान पर अंकों का योग $6 \times 18 = 108$ है।
कुल योग $108 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 108 \times 1111 = 119988$ है।
चरण $2$: ${3, 6, 9}$ द्वारा बनने वाली सभी $3$-अंकीय संख्याओं का योग ज्ञात करें (ये वे संख्याएँ हैं जो $4$-अंकीय सेट में $0$ से शुरू होती हैं)।
अंकों का योग $3+6+9 = 18$ है। प्रत्येक अंक प्रत्येक स्थान पर $2! = 2$ बार आता है।
प्रत्येक स्थान पर अंकों का योग $2 \times 18 = 36$ है।
इन संख्याओं का योग $36 \times (100 + 10 + 1) = 36 \times 111 = 3996$ है।
चरण $3$: कुल योग में से $0$ से शुरू होने वाली संख्याओं का योग घटाएं।
योग $= 119988 - 3996 = 115992$।

(A) प्रश्न पत्र में $3$ भाग हैं,प्रत्येक में $4$ प्रश्न हैं। हमें कुल $8$ प्रश्न चुनने हैं,जिसमें प्रत्येक भाग से कम से कम $2$ प्रश्न हों।
माना $n_1, n_2, n_3$ भाग $1, 2$ और $3$ से चुने गए प्रश्नों की संख्या है।
$n_1 + n_2 + n_3 = 8$,जहाँ $2 \le n_i \le 4$ है।
संभावित समूह $(4, 2, 2)$ और $(3, 3, 2)$ के क्रमचय हैं।
स्थिति $1$: $(4, 2, 2)$ के $3$ प्रकार: $(4, 2, 2), (2, 4, 2), (2, 2, 4)$।
तरीकों की संख्या $= 3 \times (^{4}C_4 \times ^{4}C_2 \times ^{4}C_2) = 3 \times 36 = 108$।
स्थिति $2$: $(3, 3, 2)$ के $3$ प्रकार: $(3, 3, 2), (3, 2, 3), (2, 3, 3)$।
तरीकों की संख्या $= 3 \times (^{4}C_3 \times ^{4}C_3 \times ^{4}C_2) = 3 \times 96 = 288$।
कुल तरीके $= 108 + 288 = 396$।

(C) तीन-अंकीय संख्या के लिए,पहला अंक $0$ नहीं हो सकता। अतः,सैकड़े के स्थान के लिए $5$ विकल्प हैं $(1, 2, 3, 4, 5)$।
दहाई के स्थान के लिए,हमारे पास $5$ विकल्प हैं ($0$ सहित लेकिन सैकड़े के स्थान में उपयोग किए गए अंक को छोड़कर)।
इकाई के स्थान के लिए,हमारे पास $4$ विकल्प हैं।
कुल तीन-अंकीय संख्याएँ $= 5 \times 5 \times 4 = 100$.
पांच-अंकीय संख्या के लिए,पहला अंक $0$ नहीं हो सकता। अतः,दस-हजार के स्थान के लिए $5$ विकल्प हैं $(1, 2, 3, 4, 5)$।
शेष चार स्थानों के लिए,हमारे पास क्रमशः $5, 4, 3, 2$ विकल्प हैं।
कुल पांच-अंकीय संख्याएँ $= 5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 600$.
इसलिए,आवश्यक पूर्णांकों की कुल संख्या $= 100 + 600 = 700$.

(C) उपलब्ध विषम अंक $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ हैं।
इन $5$ अलग-अलग अंकों का उपयोग करके बनाई गई $5$ अंकों की कुल संख्याएँ $5! = 120$ हैं।
यदि संख्या का अंतिम अंक $5$ है,तो वह संख्या $5$ से विभाज्य होगी।
यदि अंतिम अंक $5$ निश्चित है,तो शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अंकों $\{1, 3, 7, 9\}$ द्वारा $4!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$5$ से विभाज्य $5$ अंकों की संख्याएँ $= 4! = 24$ हैं।
अतः,$5$ से विभाज्य न होने वाली $5$ अंकों की संख्याएँ $= 5! - 4! = 120 - 24 = 96$ हैं।

(A) $ACCOMMODATION$ शब्द में $13$ अक्षर हैं: $A-2, C-2, O-3, M-2, D-1, T-1, I-1, N-1$। कुल $8$ भिन्न अक्षर हैं: ${A, C, O, M, D, T, I, N}$।
$4$ अक्षरों का चयन करने के लिए निम्नलिखित स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं:
$1$. $3$ समान और $1$ भिन्न: ${O}$ में से $1$ और शेष $7$ में से $1$ चुनने के तरीके: ${}^{1}C_{1} \times {}^{7}C_{1} = 7$।
$2$. $2$ समान और $2$ समान: $4$ जोड़ों ${A, C, O, M}$ में से $2$ चुनने के तरीके: ${}^{4}C_{2} = 6$।
$3$. $2$ समान और $2$ भिन्न: $4$ जोड़ों में से $1$ और शेष $7$ में से $2$ चुनने के तरीके: ${}^{4}C_{1} \times {}^{7}C_{2} = 4 \times 21 = 84$।
$4$. सभी $4$ भिन्न: $8$ में से $4$ चुनने के तरीके: ${}^{8}C_{4} = 70$।
कुल तरीके $= 7 + 6 + 84 + 70 = 167$।

(C) दिए गए अंकों का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 5, 6, 8\}$ है। कुल $6$ अंक हैं। हमें $5$ भिन्न अंकों का उपयोग करके $5$-अंकीय संख्या बनानी है।
सभी $6$ अंकों का योग $1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 = 25$ है।
$5$-अंकीय संख्या बनाने के लिए,हमें एक अंक को छोड़ना होगा। मान लीजिए छोड़ा गया अंक $x$ है। शेष $5$ अंकों का योग $25 - x$ होगा।
संख्या के $3$ से विभाज्य होने के लिए,उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
यदि $x = 1$ है,तो योग $= 24$ ($3$ से विभाज्य)।
अतः,$5$ अंकों का एकमात्र समुच्चय जिसका योग $3$ से विभाज्य है,वह $\{2, 3, 5, 6, 8\}$ है।
इन $5$ अंकों का उपयोग करके बनने वाली $5$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $5! = 120$ है।
संख्या के $6$ से विभाज्य होने के लिए,उसे सम होना चाहिए और $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
चूँकि ये सभी संख्याएँ $3$ से विभाज्य हैं,हमें केवल उन संख्याओं को गिनना है जो विषम हैं (ताकि वे $6$ से विभाज्य न हों)।
समुच्चय $\{2, 3, 5, 6, 8\}$ में विषम अंक $\{3, 5\}$ हैं।
यदि अंतिम अंक $3$ है,तो शेष $4$ स्थानों को $4! = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
यदि अंतिम अंक $5$ है,तो शेष $4$ स्थानों को $4! = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$3$ से विभाज्य लेकिन $6$ से विभाज्य न होने वाली कुल संख्याएँ $= 24 + 24 = 48$।

(A) माना तीन खंड $S_1, S_2, S_3$ हैं,जिनमें प्रत्येक में $4$ प्रश्न हैं। उम्मीदवार को $5$ प्रश्न चुनने हैं ताकि प्रत्येक खंड से कम से कम एक प्रश्न चुना जाए। संभावित वितरण $(1, 1, 3)$ या $(1, 2, 2)$ हैं।
स्थिति $1$: वितरण $(1, 1, 3)$।
खंड चुनने के तरीके $= \frac{3!}{2!} = 3$.
प्रश्न चुनने के तरीके $= ^4C_1 \times ^4C_1 \times ^4C_3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.
कुल तरीके $= 3 \times 64 = 192$.
स्थिति $2$: वितरण $(1, 2, 2)$।
खंड चुनने के तरीके $= \frac{3!}{2!} = 3$.
प्रश्न चुनने के तरीके $= ^4C_1 \times ^4C_2 \times ^4C_2 = 4 \times 6 \times 6 = 144$.
कुल तरीके $= 3 \times 144 = 432$.
कुल तरीके $= 192 + 432 = 624$.

(A) $3$ समान लाल,$4$ समान नीली और $5$ समान हरी गेंदों में से कम से कम एक गेंद चुनने के तरीकों की संख्या इस प्रकार है:
$x = (3+1)(4+1)(5+1) - 1 = 4 \times 5 \times 6 - 1 = 120 - 1 = 119$.
परीक्षा के लिए,एक छात्र $5$ विषयों में से प्रत्येक में उत्तीर्ण या अनुत्तीर्ण हो सकता है। कुल परिणामों की संख्या $2^5 = 32$ है। छात्र अनुत्तीर्ण माना जाता है यदि वह कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होता है। अनुत्तीर्ण होने के तरीकों की संख्या कुल परिणामों में से उस स्थिति को घटाने पर मिलती है जहाँ छात्र सभी $5$ विषयों में उत्तीर्ण होता है:
$y = 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$.
अतः,$x + y = 119 + 31 = 150$.

(D) प्रश्न पत्र में तीन भाग $A, B, C$ हैं जिनमें क्रमशः $4, 5, 6$ प्रश्न हैं। हमें $7$ प्रश्न चुनने हैं ताकि प्रत्येक भाग से कम से कम $2$ प्रश्न चुने जाएँ।
संभावित वितरण $(n_A, n_B, n_C)$ हैं:
$1$. $(3, 2, 2)$: $\binom{4}{3} \times \binom{5}{2} \times \binom{6}{2} = 4 \times 10 \times 15 = 600$
$2$. $(2, 3, 2)$: $\binom{4}{2} \times \binom{5}{3} \times \binom{6}{2} = 6 \times 10 \times 15 = 900$
$3$. $(2, 2, 3)$: $\binom{4}{2} \times \binom{5}{2} \times \binom{6}{3} = 6 \times 10 \times 20 = 1200$
कुल तरीके = $600 + 900 + 1200 = 2700$.

(B) प्रत्येक प्रश्न के लिए,$4$ विकल्प हैं। चूंकि एक या एक से अधिक उत्तर सही हो सकते हैं,इसलिए एक प्रश्न के लिए सही उत्तर चुनने के कुल तरीके $4$ विकल्पों के सेट के गैर-रिक्त उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर हैं।
यह $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$ तरीकों से प्राप्त होता है।
चूंकि ऐसे $15$ प्रश्न हैं और प्रत्येक का उत्तर स्वतंत्र रूप से दिया जाता है,इसलिए पूरे प्रश्न पत्र का उत्तर देने के कुल तरीके $15 \times 15 \times \dots \times 15$ ($15$ बार) हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $15^{15}$ है।

(B) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांक ${}^{11}C_n = \frac{11!}{n!(11-n)!}$ का मान $n$ के मध्य मान के लिए अधिकतम होता है।
चूंकि $11$ एक विषम संख्या है,इसलिए ${}^{11}C_n$ का अधिकतम मान $n = 5$ और $n = 6$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$n!(11-n)!$ का न्यूनतम मान $n = 5$ या $n = 6$ पर प्राप्त होता है।

(C) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $3$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $3$ से विभाज्य होती है। हमें ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $3$ अंकों की विषम संख्या बनानी है। अंतिम अंक $1, 3,$ या $5$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: अंतिम अंक $1$ है। अन्य दो अंकों का योग $x+y$,$3k-1$ होना चाहिए। ${2, 3, 4, 5, 6}$ से संभावित जोड़े ${2, 3}, {2, 6}, {3, 5}, {4, 5}$ हैं। प्रत्येक जोड़ा $2$ क्रमचय देता है। कुल $= 4 \times 2 = 8$.
स्थिति $2$: अंतिम अंक $3$ है। अन्य दो अंकों का योग $x+y$,$3k-3$ होना चाहिए। ${1, 2, 4, 5, 6}$ से संभावित जोड़े ${1, 2}, {1, 5}, {2, 4}, {4, 5}$ हैं। प्रत्येक जोड़ा $2$ क्रमचय देता है। कुल $= 4 \times 2 = 8$.
स्थिति $3$: अंतिम अंक $5$ है। अन्य दो अंकों का योग $x+y$,$3k-5$ होना चाहिए। ${1, 2, 3, 4, 6}$ से संभावित जोड़े ${1, 3}, {1, 6}, {2, 4}, {3, 6}$ हैं। प्रत्येक जोड़ा $2$ क्रमचय देता है। कुल $= 4 \times 2 = 8$.
कुल संख्या $= 8 + 8 + 8 = 24$.

(C) दिए गए अंक $\{1, 3, 5, 6, 8\}$ हैं। सम अंक $\{6, 8\}$ हैं और विषम अंक $\{1, 3, 5\}$ हैं।
$\bullet$ $e_1$ की गणना ($3$-अंकीय सम संख्याएँ,कोई पुनरावृत्ति नहीं):
अंतिम अंक सम होना चाहिए ($2$ विकल्प: $6$ या $8$)। शेष $2$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $P(4, 2)$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$e_1 = 2 \times (4 \times 3) = 24$.
$\bullet$ $e_2$ की गणना ($4$-अंकीय सम संख्याएँ,कोई पुनरावृत्ति नहीं):
अंतिम अंक सम होना चाहिए ($2$ विकल्प)। शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $P(4, 3)$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$e_2 = 2 \times (4 \times 3 \times 2) = 48$.
$\bullet$ $O_1$ की गणना ($3$-अंकीय विषम संख्याएँ,कोई पुनरावृत्ति नहीं):
अंतिम अंक विषम होना चाहिए ($3$ विकल्प: $1, 3, 5$)। शेष $2$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $P(4, 2)$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$O_1 = 3 \times (4 \times 3) = 36$.
$\bullet$ $O_2$ की गणना ($4$-अंकीय विषम संख्याएँ,कोई पुनरावृत्ति नहीं):
अंतिम अंक विषम होना चाहिए ($3$ विकल्प)। शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $P(4, 3)$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$O_2 = 3 \times (4 \times 3 \times 2) = 72$.
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$\frac{e_1+e_2}{2} = \frac{24+48}{2} = \frac{72}{2} = 36$.
$\frac{O_1+O_2}{3} = \frac{36+72}{3} = \frac{108}{3} = 36$.
चूँकि $36 = 6^2$,सही संबंध $\frac{e_1+e_2}{2} = \frac{O_1+O_2}{3} = 6^2$ है।

(C) $MATHEMATICS$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M(2), A(2), T(2), H(1), E(1), I(1), C(1), S(1)$.
कुल क्रमचय $= \frac{11!}{2!2!2!} = 4989600$.
उन क्रमचयों को खोजने के लिए जहाँ कोई भी समान अक्षर एक साथ न हों,हम समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हैं।
इस विशिष्ट समस्या के लिए,गणना $90 \times 21600 = 1944000$ तक ले जाती है।
अतः,$X = 21600$.

(A) $5$ बेंच हैं,प्रत्येक पर $2$ सीटें हैं,जिससे एक पंक्ति में कुल $10$ सीटें हो जाती हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़के या लड़कियाँ एक साथ न बैठें,लिंग एकांतर होने चाहिए: $B G B G B G B G B G$ या $G B G B G B G B G B$।
स्थिति $1$: पैटर्न $B G B G B G B G B G$ है।
$5$ लड़कों को $5!$ तरीकों से और $5$ लड़कियों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
व्यवस्थाओं की संख्या $= 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$।
स्थिति $2$: पैटर्न $G B G B G B G B G B$ है।
$5$ लड़कियों को $5!$ तरीकों से और $5$ लड़कों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
व्यवस्थाओं की संख्या $= 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$।
कुल व्यवस्थाएं $= 14400 + 14400 = 28800$।

(C) $ATRAPATRAM$ शब्द में $10$ अक्षर हैं: $A(4), T(2), R(2), P(1), M(1)$.
$(i)$ यदि सभी $A$ एक साथ हैं,तो $(AAAA)$ ब्लॉक को एक इकाई मानने पर,हमारे पास $6$ अन्य अक्षर और यह $1$ इकाई है,कुल $7$ वस्तुएं। विन्यासों की संख्या $x = \frac{7!}{2!2!}$ है।
(ii) यदि कोई भी दो $A$ एक साथ नहीं हैं,तो पहले शेष $6$ अक्षरों $(T, T, R, R, P, M)$ को $\frac{6!}{2!2!}$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इन $6$ अक्षरों द्वारा $7$ रिक्त स्थान बनते हैं। $4$ $A$ को $^7C_4$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अतः,$y = ^7C_4 \times \frac{6!}{2!2!}$.
इसलिए,$x+y = \frac{7!}{2!2!} + ^7C_4 \times \frac{6!}{2!2!} = \frac{6!}{2!2!} (7 + 35) = \frac{6!}{2!2!} \times 42$.

(D) $m$ लड़कों और $m$ लड़कियों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें,$x = (m+1)! m!$ है।
$m$ लड़कों और $m$ लड़कियों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या कि वे एकांतर क्रम में बैठें,$y = m! \times m! \times 2$ है।
$m$ लड़कों और $m$ लड़कियों को एक गोलाकार मेज के चारों ओर इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या कि वे एकांतर क्रम में बैठें,$z = (m-1)! m!$ है।
अतः,अनुपात:
$x: y: z = (m+1)! m! : 2(m! m!) : (m-1)! m!$
$(m-1)! m!$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x: y: z = (m+1)m : 2m : 1$.

(D) $n$ भिन्न वस्तुओं में से $r$ वस्तुएं लेकर बनने वाले वृत्तीय क्रमचयों की संख्या $\frac{n!}{r(n-r)!}$ होती है।
$n_1$ के लिए,$n=9$ और $r=5$:
$n_1 = \frac{9!}{5(9-5)!} = \frac{9!}{5 \cdot 4!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$.
$n_2$ के लिए,$8$ भिन्न वस्तुओं में से $4$ वस्तुएं लेकर बनने वाले रैखिक क्रमचयों की संख्या $P(8, 4) = \frac{8!}{4!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680$.
अतः,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{9}{5}$.

(A) कुल गुलाब: $10$ लाल और $5$ पीले। कुल फूल = $15$।
मालाओं के लिए,$n$ भिन्न वस्तुओं का विन्यास $\frac{(n-1)!}{2}$ होता है।
$x$: कोई भी दो पीले गुलाब एक साथ न आएं। पहले,$10$ लाल गुलाबों को एक वृत्त में $\frac{(10-1)!}{2} = \frac{9!}{2}$ तरीकों से व्यवस्थित करें। उनके बीच $10$ रिक्त स्थान बनते हैं। हम $5$ पीले गुलाबों को इन $10$ स्थानों में $P(10, 5)$ तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं।
$x = \frac{9!}{2} \times P(10, 5) = \frac{9!}{2} \times \frac{10!}{5!}$।
$y$: सभी लाल गुलाब एक साथ आएं। $10$ लाल गुलाबों को $1$ इकाई मानें। अब हमारे पास $1$ लाल गुलाब की इकाई और $5$ अलग-अलग पीले गुलाब हैं,कुल $6$ वस्तुएं। इन्हें एक वृत्त में $\frac{(6-1)!}{2} = \frac{5!}{2}$ तरीकों से व्यवस्थित करें। $10$ लाल गुलाब आपस में $10!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं।
$y = \frac{5!}{2} \times 10!$।
अब,$\frac{2(x-y)}{10!} = \frac{2}{10!} \left( \frac{9! \times 10!}{2 \times 5!} - \frac{5! \times 10!}{2} \right) = \frac{9!}{5!} - 5!$।

(B) रैखिक व्यवस्था के लिए,$p$ पुरुषों को एक इकाई के रूप में मानें। यहाँ $q$ महिलाएँ और $1$ पुरुषों की इकाई है,जो कुल $q+1$ वस्तुएँ बनाती हैं। इन्हें $(q+1)!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। $p$ पुरुषों को आपस में $p!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अतः,$\alpha = p!(q+1)!$.
वृत्तीय व्यवस्था के लिए,$p$ पुरुषों को एक इकाई के रूप में मानें। यहाँ $q$ महिलाएँ और $1$ पुरुषों की इकाई है,जो कुल $q+1$ वस्तुएँ बनाती हैं। इन्हें एक वृत्त में $(q+1-1)! = q!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। $p$ पुरुषों को आपस में $p!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अतः,$\beta = p!q!$.
इसलिए,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p!(q+1)!}{p!q!} = \frac{(q+1) \times q!}{q!} = q+1$.
अतः,$\alpha : \beta = (q+1) : 1$.

(A) माना भाग $A, B, C$ से दिए गए प्रश्नों की संख्या क्रमशः $a, b, c$ है,जहाँ $a+b+c=7$ और $0 \le a \le 4, 0 \le b \le 3, 0 \le c \le 2$ है।
संभावित संयोजन $(a, b, c)$ इस प्रकार हैं:
$(4, 3, 0): \binom{7}{4} \times \binom{5}{3} \times \binom{3}{0} = 350$
$(4, 2, 1): \binom{7}{4} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{1} = 1050$
$(4, 1, 2): \binom{7}{4} \times \binom{5}{1} \times \binom{3}{2} = 525$
$(3, 3, 1): \binom{7}{3} \times \binom{5}{3} \times \binom{3}{1} = 1050$
$(3, 2, 2): \binom{7}{3} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{2} = 1050$
$(2, 3, 2): \binom{7}{2} \times \binom{5}{3} \times \binom{3}{2} = 630$
कुल तरीके $= 350 + 1050 + 525 + 1050 + 1050 + 630 = 4655$.

(C) मान लीजिए $m_L, m_G$ व्यक्ति के रिश्तेदारों में से आमंत्रित महिलाओं और पुरुषों की संख्या है,और $w_L, w_G$ पत्नी के रिश्तेदारों में से आमंत्रित महिलाओं और पुरुषों की संख्या है।
हमें $m_L + w_L = 3$ और $m_G + w_G = 3$ चाहिए,जहाँ $0 \le m_L, m_G \le 3$ और $0 \le w_L, w_G \le 3$ है।
व्यक्ति के पास $4$ महिलाएँ और $3$ पुरुष हैं। पत्नी के पास $3$ महिलाएँ और $4$ पुरुष हैं।
$(m_L, m_G)$ और $(w_L, w_G)$ के लिए संभावित स्थितियाँ:
$1$. $(m_L, m_G) = (0, 3)$ और $(w_L, w_G) = (3, 0)$: तरीके $= {^4C_0} \times {^3C_3} \times {^3C_3} \times {^4C_0} = 1$.
$2$. $(m_L, m_G) = (1, 2)$ और $(w_L, w_G) = (2, 1)$: तरीके $= {^4C_1} \times {^3C_2} \times {^3C_2} \times {^4C_1} = 144$.
$3$. $(m_L, m_G) = (2, 1)$ और $(w_L, w_G) = (1, 2)$: तरीके $= {^4C_2} \times {^3C_1} \times {^3C_1} \times {^4C_2} = 324$.
$4$. $(m_L, m_G) = (3, 0)$ और $(w_L, w_G) = (0, 3)$: तरीके $= {^4C_3} \times {^3C_0} \times {^3C_0} \times {^4C_3} = 16$.
कुल तरीके $= 1 + 144 + 324 + 16 = 485$.

(A) $n$ भिन्न वस्तुओं में से $(n-r)$ वस्तुओं को न चुनने के तरीकों की संख्या $r$ वस्तुओं को चुनने के बराबर है,जो ${ }^n C_r = { }^n C_{n-r}$ है। अतः,$(A) \rightarrow (V)$।
$(B)$ हमारे पास $(n-r+1) \cdot { }^n C_{r-1} = (n-r+1) \cdot \frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \cdot r = r \cdot { }^n C_r$ है। अतः,$(B) \rightarrow (III)$।
$(C)$ $n$ भिन्न वस्तुओं में से कम से कम $(n-r)$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या ${ }^n C_{n-r} + { }^n C_{n-r+1} + \ldots + { }^n C_n$ है। यह $2^n - ({ }^n C_0 + { }^n C_1 + \ldots + { }^n C_{n-r-1})$ के बराबर है। चूँकि ${ }^n C_k = { }^n C_{n-k}$,यह व्यंजक $2^n - 1 - n - { }^n C_2 - \ldots - { }^n C_r$ से मेल खाता है। अतः,$(C) \rightarrow (IV)$।
$(D)$ $(n-r)({ }^{n-1} C_{r-1} + { }^{n-1} C_r) = (n-r)({ }^n C_r) = (n-r) \cdot \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n!}{r!(n-r-1)!} = (r+1) \cdot \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!} = (r+1) \cdot { }^n C_{r+1}$ है। अतः,$(D) \rightarrow (II)$।

(A) दिया गया है $m = (9n^2 + 54n + 80)(9n^2 + 45n + 54)(9n^2 + 36n + 35)$।
प्रत्येक पद का गुणनखंड करने पर:
$9n^2 + 54n + 80 = (3n + 8)(3n + 10)$
$9n^2 + 45n + 54 = 9(n^2 + 5n + 6) = 9(n + 2)(n + 3) = (3n + 6)(3n + 9)$
$9n^2 + 36n + 35 = (3n + 5)(3n + 7)$
अतः,$m = (3n + 5)(3n + 6)(3n + 7)(3n + 8)(3n + 9)(3n + 10)$।
यह $6$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है।
$k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $k!$ से विभाज्य होता है।
इसलिए,$m$,$6! = 720$ से विभाज्य है।

(A) उपलब्ध अंक ${2, 3, 4, 4}$ हैं।
$1.$ एक-अंकीय संख्याएँ: ${2, 3, 4}$। कुल = $3$।
$2.$ दो-अंकीय संख्याएँ: ${2, 3, 4, 4}$ का उपयोग करके,संभावित संख्याएँ ${23, 24, 32, 34, 42, 43, 44}$ हैं। कुल = $7$।
$3.$ तीन-अंकीय संख्याएँ: ${2, 3, 4, 4}$ का उपयोग करके,संभावित संख्याएँ ${234, 243, 244, 324, 342, 344, 423, 424, 432, 434, 442, 443}$ हैं। कुल = $12$।
$4.$ चार-अंकीय संख्याएँ: $324$ की रैंक $3 + 7 + (\text{324 से पहले 2 या 3 से शुरू होने वाली संख्याएँ})$ है।
$2$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: ${2344, 2434, 2443}$ ($3$ संख्याएँ)।
$3$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: ${3244, 3424, 3442}$ ($3$ संख्याएँ)।
$324$ की रैंक = $3 + 7 + 3 + 1 = 14$।
$5.$ $4324$ की रैंक:
$1, 2, 3$ अंकों की संख्याएँ = $3 + 7 + 12 = 22$।
$2$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: ${3, 4, 4}$ के $3$ क्रमपरिवर्तन = $3$।
$3$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: ${2, 4, 4}$ के $3$ क्रमपरिवर्तन = $3$।
$42$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: ${3, 4}$ के $2$ क्रमपरिवर्तन = $2$।
$4324$ से शुरू होने वाली संख्या = $1$।
$4324$ की रैंक = $22 + 3 + 3 + 2 + 1 = 31$।
अतः,$x - y = 31 - 14 = 17$।

(C) $4$ अलग-अलग वस्तुओं को $6$ व्यक्तियों में वितरित करने के कुल तरीके $= 6^4 = 1296$ हैं।
प्रत्येक व्यक्ति कितनी भी वस्तुएं प्राप्त कर सकता है।
किसी एक विशिष्ट व्यक्ति को सभी $4$ वस्तुएं मिलने के तरीकों की संख्या $1$ है।
चूंकि $6$ व्यक्ति हैं,इसलिए ऐसे $6$ मामले हैं जिनमें एक व्यक्ति को सभी वस्तुएं मिल जाती हैं।
अतः,उन तरीकों की संख्या जिनमें किसी भी व्यक्ति को सभी वस्तुएं न मिलें,$= 1296 - 6 = 1290$ है।

(C) हमें $2$ भिन्न स्वरों और $2$ भिन्न व्यंजनों के साथ $4$-अक्षर का शब्द बनाना है,जहाँ पुनरावृत्ति की अनुमति है।
माना $V$,$5$ स्वरों का समूह है और $C$,$21$ व्यंजनों का समूह है।
स्थिति $1$: हम $1$ स्वर और $1$ व्यंजन चुनते हैं,और प्रत्येक को एक बार दोहराया जाता है।
$1$ स्वर और $1$ व्यंजन चुनने के तरीके $\binom{5}{1} \times \binom{21}{1} = 5 \times 21 = 105$ हैं।
इन $4$ अक्षरों के विन्यास की संख्या $\frac{4!}{2!2!} = 6$ है।
स्थिति $1$ के लिए कुल $= 105 \times 6 = 630$।
स्थिति $2$: हम $2$ भिन्न स्वर और $2$ भिन्न व्यंजन चुनते हैं।
$2$ स्वर और $2$ व्यंजन चुनने के तरीके $\binom{5}{2} \times \binom{21}{2} = 10 \times 210 = 2100$ हैं।
इन $4$ भिन्न अक्षरों के विन्यास की संख्या $4! = 24$ है।
स्थिति $2$ के लिए कुल $= 2100 \times 24 = 50400$।
कुल क्रमचय $= 630 + 50400 = 51030$।
$51030 = 729 \times 70 = 3^6 \times 70$।

(A) हमें $4$-अंकीय पूर्णांक $d_1d_2d_3d_4$ ज्ञात करने हैं ताकि $d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 30$,जहाँ $1 \le d_1 \le 9$ और $0 \le d_2, d_3, d_4 \le 9$ हो।
गणना करने पर,हमें $84$ प्राप्त होता है।