मान लीजिए S उन सभी सात-अंकीय संख्याओं का समुच | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $A$ उन संख्याओं का समुच्चय है जिनमें अंक $0$ ठीक दो बार आता है। मान लीजिए $B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जिनमें अंक $1$ ठीक दो बार आता है

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$762$

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(D) मान लीजिए $A$ उन संख्याओं का समुच्चय है जिनमें अंक $0$ ठीक दो बार आता है। मान लीजिए $B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जिनमें अंक $1$ ठीक दो बार आता है। हम $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ ज्ञात करना चाहते हैं।$1$. $n(A)$ की गणना:पहला अंक $0$ नहीं हो सकता। इसलिए,हम शेष $6$ स्थानों में से $0$ के लिए $2$ स्थान $\binom{6}{2}$ तरीकों से चुनते हैं। शेष $5$ स्थानों को $1$ या $2$ द्वारा $2^5$ तरीकों से भरा जा सकता है। अतः,$n(A) = \binom{6}{2} 	imes 2^5 = 15 	imes 32 = 480$.$2$. $n(B)$ की गणना:स्थिति $I$: $1$ पहले स्थान पर है। हमें शेष $6$ स्थानों में एक और $1$ की आवश्यकता है,जिसे $\binom{6}{1}$ तरीकों से रखा जा सकता है। शेष $5$ स्थानों को $0$ या $2$ द्वारा $2^5$ तरीकों से भरा जा सकता है। तरीकों की संख्या $= 6 	imes 32 = 192$.स्थिति $II$: $1$ पहले स्थान पर नहीं है। पहला स्थान $2$ हो सकता है (केवल $1$ विकल्प,क्योंकि यह $0$ नहीं हो सकता)। हम शेष $6$ स्थानों में से $1$ के लिए $2$ स्थान $\binom{6}{2}$ तरीकों से चुनते हैं। शेष $4$ स्थानों को $0$ या $2$ द्वारा $2^4$ तरीकों से भरा जा सकता है। तरीकों की संख्या $= 15 	imes 16 = 240$.अतः,$n(B) = 192 + 240 = 432$.$3$. $n(A \cap B)$ की गणना:हमें ठीक दो $0$ और ठीक दो $1$ की आवश्यकता है। पहला अंक $0$ नहीं हो सकता।यदि पहला अंक $1$ है,तो हमें $\binom{6}{1}$ तरीकों से एक और $1$ और $\binom{5}{2}$ तरीकों से दो $0$ की आवश्यकता है। शेष $3$ स्थानों को $2$ द्वारा $1$ तरीके से भरा जा सकता है। तरीके $= 6 	imes 10 = 60$.यदि पहला अंक $2$ है,तो हमें $\binom{6}{2}$ तरीकों से दो $0$ और $\binom{4}{2}$ तरीकों से दो $1$ की आवश्यकता है। शेष $2$ स्थानों को $2$ द्वारा $1$ तरीके से भरा जा सकता है। तरीके $= 15 	imes 6 = 90$.अतः,$n(A \cap B) = 60 + 90 = 150$.$4$. अंतिम परिणाम:$n(A \cup B) = 480 + 432 - 150 = 762$.

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