$(2n + 1) (2n + 3) (2n + 5) \dots (4n - 1)$ किसके बराबर है?

यदि शब्द $MATHEMATICS$ के अक्षरों के सभी संभावित क्रमचयों की संख्या जिनमें दोहराए गए अक्षर एक साथ नहीं हैं,$90(X)$ है,तो $X=$

${}^6P_4 + 4 \cdot {}^6P_3$ का मान $.......$ है।

पूर्णांक $n$ और $r$ के लिए,मान लीजिए $\binom{n}{r} = \begin{cases} ^{n}C_{r}, & \text{यदि } n \geq r \geq 0 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$. $k$ का अधिकतम मान जिसके लिए योग $\sum_{i=0}^{k}\binom{10}{i}\binom{15}{k-i} + \sum_{i=0}^{k+1}\binom{12}{i}\binom{13}{k+1-i}$ मौजूद है,वह ...... के बराबर है।

अंकों $1, 2, 3, 4, 5, 6$ का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली $3$ अंकों की विषम संख्याओं की संख्या,जो $3$ से विभाज्य हैं और जिनमें अंकों की पुनरावृत्ति नहीं होती है,है:

$4$ अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जो $5$ से विभाज्य नहीं हैं?