$1$ से $100$ तक की प्राकृतिक संख्याएँ लिखते समय अंक $5$ कितनी बार आता है?

एक व्यक्ति अपना $4-$अंकीय $ATM$ पिन कोड भूल जाता है। लेकिन उसे याद है कि कोड में सभी अंक अलग-अलग हैं,सबसे बड़ा अंक $7$ है और पहले दो अंकों का योग अंतिम दो अंकों के योग के बराबर है। तो सही कोड प्राप्त करने के लिए आवश्यक अधिकतम प्रयासों की संख्या $...........$ है।

एक प्रश्न पत्र में तीन खंड हैं,प्रत्येक खंड में $4$ प्रश्न हैं। यदि एक उम्मीदवार को इस प्रश्न पत्र से कुल $5$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं और प्रत्येक खंड से कम से कम एक प्रश्न का उत्तर देना अनिवार्य है,तो उम्मीदवार कितने तरीकों से प्रश्नों का चयन कर सकता है?

$VARIABLE$ शब्द के अक्षरों में से यादृच्छिक रूप से तीन अक्षर चुने जाते हैं और उनसे सभी संभव तीन-अक्षरों वाले शब्द (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) बनाए जाते हैं। तो तीन-अक्षरों वाले शब्द में बीच का अक्षर व्यंजन होने की प्रायिकता क्या है?

एक परीक्षा में $3$ बहुविकल्पीय प्रश्न हैं और प्रत्येक प्रश्न के $4$ विकल्प हैं। उन तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें एक छात्र सभी उत्तर सही प्राप्त करने में विफल रहता है:

यदि ${}^n P_r = 30240$ और ${}^n C_r = 252$ है,तो क्रमित युग्म $(n, r)$ का मान क्या है?