विभिन्न रंगों की पाँच गेंदों को तीन अलग-अलग आकार के बक्सों में रखा जाना है,जहाँ प्रत्येक बक्सा सभी पाँच गेंदों को रख सकता है। गेंदों को कितनी तरह से रखा जा सकता है कि कोई भी बक्सा खाली न रहे?

$30$ समान कैंडी को चार बच्चों $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ और $C_{4}$ के बीच इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि $C_{2}$ को कम से कम $4$ और अधिक से अधिक $7$ कैंडी मिलें,और $C_{3}$ को कम से कम $2$ और अधिक से अधिक $6$ कैंडी मिलें।

$ANIMAL$ शब्द के सभी अक्षरों को सभी संभावित तरीकों से व्यवस्थित किया जाता है और इस प्रकार बने क्रमचयों को शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। यदि $ANIMAL$ शब्द का रैंक $x$ है,तो $PERSON$ शब्द के अक्षरों को व्यवस्थित करके प्राप्त क्रमचयों को शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित करने पर,$x$ रैंक वाला क्रमचय कौन सा है?

एक प्रश्न पत्र दो भागों $A$ और $B$ में विभाजित है और प्रत्येक भाग में $5$ प्रश्न हैं। एक उम्मीदवार प्रत्येक भाग से कम से कम दो प्रश्न चुनकर कुल $6$ प्रश्नों के उत्तर कितने तरीकों से दे सकता है?

यदि कुछ $m, n$ के लिए,${ }^6 C_{m}+2({ }^6 C_{m+1})+{ }^6 C_{m+2} > { }^8 C_3$ और ${ }^{n-1} P_3 : { }^n P_4 = 1 : 8$ है,तो ${ }^n P_{m+1} + { }^{n+1} C_m$ का मान ज्ञात कीजिए।

सभी $n \in N$ के लिए,$(n+24)(n+25)(n+26)(n+27)$ का गुणनफल हमेशा किससे विभाज्य है?