$'MATHEMETICS'$ શબ્દના ચાર અક્ષરોને કેટલી રીતે  પ્રમાણે ગોઠવી શકાય ?

જો $\sum\limits_{i = 0}^4 {^{4 + 1}} {C_i} + \sum\limits_{j = 6}^9 {^{3 + j}} {C_j} = {\,^x}{C_y}$ ($x$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે), હોય તો નીચેનામાંથી ક્યુ વિધાન ખોટું છે ?

એક રેખા પર છ $‘+’$ અને ચાર $‘-’$ ની નિશાની રાખવામાં આવે છે કે જેથી કોઇપણ બે $‘-’$  નિશાની પાસપાસે ન આવે તો આવી કુલ ગોઠવણી મેળવો.       

$5$ ઈનામો $4$ છોકરાંઓ વચ્ચે કેટલી ભિન્ન રીતે વહેંચી શકાય જ્યારે દરેક છોકરો કોઈ પણ ઈનામની સંખ્યા લઈ શકે છે?

જો $0 < x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6$ હોય તેવી તમામ છ અંક વાળી સંખ્યાઆ $x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6$ ને વધતા ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે, તો $72$ મી સંખ્યાનાં અંકોનો સરવાળો $=........$ છે.

જો $^nP_4 = 30 ^nC_5,$ હોય તો  $ n$ = ……