ધારો કે S_r = {(x, y, z) : x + y + z = 11, x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે,$S_r = \{(x, y, z) : x + y + z = 11, x \geq r, y \geq r, z \geq r\}$.$S_2$ માટે: $x+y+z=11, x \geq 2, y \geq 2, z \geq 2$.ધારો કે $x-2=a,

Vedclass · Accepted Answer

$27$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે,$S_r = \{(x, y, z) : x + y + z = 11, x \geq r, y \geq r, z \geq r\}$.$S_2$ માટે: $x+y+z=11, x \geq 2, y \geq 2, z \geq 2$.ધારો કે $x-2=a, y-2=b, z-2=c$,જ્યાં $a, b, c \geq 0$.તેથી $(a+2)+(b+2)+(c+2)=11 \Rightarrow a+b+c=5$.અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+k-1}{k-1} = \binom{5+3-1}{3-1} = \binom{7}{2} = 21$ દ્વારા મળે છે.તેથી,$n(S_2) = 21$.$S_3$ માટે: $x+y+z=11, x \geq 3, y \geq 3, z \geq 3$.ધારો કે $x-3=a, y-3=b, z-3=c$,જ્યાં $a, b, c \geq 0$.તેથી $(a+3)+(b+3)+(c+3)=11 \Rightarrow a+b+c=2$.ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$ છે.તેથી,$n(S_3) = 6$.$S_4$ માટે: $x+y+z=11, x \geq 4, y \geq 4, z \geq 4$.ધારો કે $x-4=a, y-4=b, z-4=c$,જ્યાં $a, b, c \geq 0$.તેથી $(a+4)+(b+4)+(c+4)=11 \Rightarrow a+b+c=-1$.કારણ કે $a, b, c \geq 0$,આ શક્ય નથી,તેથી $n(S_4) = 0$.તેથી,$n(S_2) + n(S_3) + n(S_4) = 21 + 6 + 0 = 27$.

ધારો કે $S_r = \{(x, y, z) : x + y + z = 11, x \geq r, y \geq r, z \geq r, x, y, z, r \in \mathbb{Z}\}$ અને $n(S_r)$ એ $S_r$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા દર્શાવે છે. તો $n(S_2) + n(S_3) + n(S_4) = $

Similar Questions

કોઈપણ $r$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશા કોના વડે વિભાજ્ય હોય છે?

એક થેલીમાં $5$ કાળા અને $6$ લાલ દડા છે. $2$ કાળા અને $3$ લાલ દડા કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય તે નક્કી કરો.

$10$ સભ્યોમાંથી $6$ સભ્યોની સમિતિ કેટલી રીતે બનાવી શકાય,જેમાં હંમેશા એક ચોક્કસ સભ્યનો સમાવેશ થાય?

જો $\binom{n-1}{r} = (k^2 - 3) \binom{n}{r+1}$ હોય,તો $k \in \dots$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module