Mathematical logic Questions in Hindi

(A) माना $p$ : सतह का क्षेत्रफल बढ़ता है।
माना $q$ : दबाव कम हो जाता है।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का प्रतिलोम $\sim p \rightarrow \sim q$ के रूप में परिभाषित होता है।
यहाँ,$\sim p$ का अर्थ है "सतह का क्षेत्रफल नहीं बढ़ता है" और $\sim q$ का अर्थ है "दबाव कम नहीं होता है"।
अतः,प्रतिलोम कथन "यदि सतह का क्षेत्रफल नहीं बढ़ता है,तो दबाव कम नहीं होता है।" है।
इस प्रकार,विकल्प $(A)$ सही है।

(D) माना $p$: एक चतुर्भुज एक वर्ग है।
माना $q$: चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
कथन $1$ है $p \rightarrow q$।
कथन $2$ है $q \rightarrow p$।
परिभाषा के अनुसार,एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का विलोम $q \rightarrow p$ होता है।
अतः,कथन $2$,कथन $1$ का विलोम है।

(B) मान लीजिए कि $S$ कथन $(p \wedge q) \rightarrow (p \vee \sim q)$ है।
$S$ का प्रतिलोम $\sim(p \wedge q) \rightarrow \sim(p \vee \sim q)$ है।
तार्किक तुल्यता $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करते हुए,प्रतिलोम है:
$\sim[\sim(p \wedge q)] \vee \sim(p \vee \sim q)$
$\equiv (p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q)$ (डी मॉर्गन के नियम द्वारा)
$\equiv (q \wedge p) \vee (q \wedge \sim p)$ (क्रमविनिमेय नियम द्वारा)
$\equiv q \wedge (p \vee \sim p)$ (वितरण नियम द्वारा)
$\equiv q \wedge T$ (पूरक नियम द्वारा,जहाँ $T$ एक पुनरुक्ति है)
$\equiv q$ (तत्समक नियम द्वारा)।
अब,प्रतिलोम का निषेध $\sim(q) = \sim q$ है।

(C) हम तार्किक नियमों का उपयोग करके व्यंजक को सरल बनाते हैं:
$(p \wedge \sim q) \vee q \vee (\sim p \wedge q)$
पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$\equiv ((p \vee q) \wedge (\sim q \vee q)) \vee (\sim p \wedge q)$
चूंकि $(\sim q \vee q) \equiv T$ (पूरक नियम):
$\equiv ((p \vee q) \wedge T) \vee (\sim p \wedge q)$
$\equiv (p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)$
फिर से वितरण नियम लागू करने पर:
$\equiv (p \vee q \vee \sim p) \wedge (p \vee q \vee q)$
चूंकि $(p \vee \sim p) \equiv T$ और $(q \vee q) \equiv q$ (वर्गसम नियम):
$\equiv (T \vee q) \wedge (p \vee q)$
चूंकि $(T \vee q) \equiv T$:
$\equiv T \wedge (p \vee q)$
$\equiv p \vee q$
अतः,व्यंजक $p \vee q$ के समतुल्य है।

(B) दिया गया है कि $q$ असत्य है और $p \wedge q \leftrightarrow r$ सत्य है।
चूंकि $q \equiv F$,इसलिए $p \wedge q \equiv F$ होगा।
द्वि-प्रतिबंधक कथन $p \wedge q \leftrightarrow r$ के सत्य होने के लिए,$r$ का सत्यता मान $p \wedge q$ के समान होना चाहिए।
अतः,$r \equiv F$ है।
अब,विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
$(A)$ $p \vee r \equiv p \vee F \equiv p$,जो पुनरुक्ति नहीं है।
$(B)$ $(p \wedge r)$ $\rightarrow (p \vee r) \equiv (p \wedge F)$ $\rightarrow (p \vee F) \equiv F$ $\rightarrow p$. चूंकि $F \rightarrow p$ हमेशा सत्य होता है,इसलिए यह एक पुनरुक्ति है।
$(C)$ $(p \vee r)$ $\rightarrow (p \wedge r) \equiv (p \vee F)$ $\rightarrow (p \wedge F) \equiv p$ $\rightarrow F$,जो पुनरुक्ति नहीं है।
$(D)$ $p \wedge r \equiv p \wedge F \equiv F$,जो एक व्याघात (contradiction) है।

(B) कथन $(p \vee \sim q) \rightarrow (p \wedge \sim q)$ का प्रतिधनात्मक $\sim (p \wedge \sim q) \rightarrow \sim (p \vee \sim q)$ है।
नियम $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करते हुए:
$\sim (p \wedge \sim q) \vee \sim (p \vee \sim q)$
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार:
$(\sim p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)$
अब,इस प्रतिधनात्मक का निषेध:
$\sim [(\sim p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)]$
पुनः डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए:
$\sim (\sim p \vee q) \wedge \sim (\sim p \wedge q)$
$\sim C = (\sim p \vee q) \wedge (p \vee \sim q)$.

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि कथन $[(p$ $\rightarrow q) \wedge \sim q]$ $\rightarrow r$ कब एक पुनरुक्ति है,हम व्यंजक $[(p \rightarrow q) \wedge \sim q]$ का विश्लेषण करते हैं।
चूंकि $(p \rightarrow q) \equiv (\sim p \vee q)$,इसलिए $[(p \rightarrow q) \wedge \sim q] \equiv [(\sim p \vee q) \wedge \sim q]$ होता है।
वितरण नियम का उपयोग करने पर,यह $(\sim p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim q)$ बन जाता है।
चूंकि $(q \wedge \sim q) \equiv F$ है,इसलिए यह व्यंजक $(\sim p \wedge \sim q)$ में सरल हो जाता है।
अब,मूल कथन $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow r$ है।
यह कथन तब एक पुनरुक्ति है जब $r \equiv \sim q$ हो,क्योंकि $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow \sim q$ हमेशा सत्य होता है।

(A) माना $p$: संख्या एक विषम संख्या है।
माना $q$: संख्या $3$ से विभाज्य है।
दिया गया कथन $p \leftrightarrow q$ है।
द्वि-प्रतिबंधक कथन का निषेध $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ होता है।
अतः,निषेध है: "संख्या एक विषम संख्या है लेकिन $3$ से विभाज्य नहीं है या संख्या $3$ से विभाज्य है लेकिन विषम संख्या नहीं है।"

(B) दिया गया व्यंजक: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim r \wedge \sim q \wedge p]$
दूसरे भाग पर क्रमविनिमेय नियम का उपयोग करने पर: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim q \wedge \sim r]$
दूसरे भाग पर डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim (q \vee r)]$
वितरण नियम का उपयोग करने पर: $p \wedge [(q \vee r) \vee \sim (q \vee r)]$
पूरक नियम का उपयोग करने पर: $p \wedge T$ (जहाँ $T$ एक पुनरुक्ति है)
तत्समक नियम का उपयोग करने पर: $p$
अतः,यह कथन $p$ के समतुल्य है.

(B) कथन $p \leftrightarrow (q \rightarrow p)$ असत्य है।
यह द्वि-प्रतिबंधक (biconditional) तब असत्य होता है जब $p$ और $(q \rightarrow p)$ के सत्य मान अलग-अलग हों।
यदि $p$ का मान $T$ है,तो $(q \rightarrow T)$ का मान $T$ होगा,इसलिए $T \leftrightarrow T$ का मान $T$ होगा।
यदि $p$ का मान $F$ है,तो द्वि-प्रतिबंधक को असत्य होने के लिए $(q \rightarrow F)$ का मान $T$ होना चाहिए।
$(q \rightarrow F)$ को $T$ होने के लिए,$q$ का मान $F$ होना चाहिए।
अतः,$p \equiv F$ और $q \equiv F$।
अब,विकल्प $(B)$ की जाँच करें: $p$ $\rightarrow (p \vee \sim q) \equiv F$ $\rightarrow (F \vee \sim F) \equiv F$ $\rightarrow (F \vee T) \equiv F$ $\rightarrow T \equiv T$।
चूँकि परिणाम $T$ है,इसलिए विकल्प $(B)$ सही कथन पैटर्न है।

(D) माना कि दिया गया कथन $S = (p \wedge \sim q) \vee q \vee (\sim p \wedge q)$ है।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करके,हम पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:
$S = \{(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)\} \vee q$
हम जानते हैं कि $(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ एक्सक्लूसिव $OR$ के लिए तार्किक व्यंजक है,जिसे $p \oplus q$ या $\sim(p \Leftrightarrow q)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
अतः,$S = (p \oplus q) \vee q$.
वितरण नियम का उपयोग करने पर: $(p \oplus q) \vee q \equiv (p \vee q) \wedge (\sim q \vee q) \equiv (p \vee q) \wedge T \equiv p \vee q$.
इस प्रकार,दिया गया कथन $p \vee q$ के समतुल्य है।

(C) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$ है।
अतः,व्यंजक $(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ हो जाता है।
वितरण नियम लागू करने पर,हम $\sim p$ को उभयनिष्ठ लेते हैं:
$\sim p \wedge (\sim q \vee q)$।
चूँकि $(\sim q \vee q) \equiv t$ (एक पुनरुक्ति),
अतः व्यंजक सरल होकर $\sim p \wedge t \equiv \sim p$ हो जाता है।

(A) दिया गया कथन 'यदि $p$,तो $q$' के रूप में है,जहाँ $p$ है '$\forall x, x$ एक सम्मिश्र संख्या है' और $q$ है '$x^2 < 0$'।
'यदि $p$,तो $q$' का निषेध '$p$ और (नहीं $q$)' होता है।
यहाँ $p$ है '$\forall x, x$ एक सम्मिश्र संख्या है' और $\neg q$ है '$x^2 \geq 0$'।
अतः,निषेध '$\forall x, x$ एक सम्मिश्र संख्या है और $x^2 \geq 0$' है।

(D) एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिए गए कथन $(\sim p \wedge q) \rightarrow (q \wedge \sim r)$ के लिए,$p$ का मान $(\sim p \wedge q)$ है और $q$ का मान $(q \wedge \sim r)$ है।
अतः प्रतिधनात्मक $\sim (q \wedge \sim r) \rightarrow \sim (\sim p \wedge q)$ होगा।
डी मॉर्गन के नियमों को लागू करने पर:
$\sim (q \wedge \sim r) \equiv \sim q \vee r$.
$\sim (\sim p \wedge q) \equiv p \vee \sim q$.
इस प्रकार,प्रतिधनात्मक $(\sim q \vee r) \rightarrow (p \vee \sim q)$ है।

(B) समतुल्य कथन निर्धारित करने के लिए,हम दिए गए पैटर्न $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ के लिए सत्यता सारणी का मूल्यांकन करते हैं और विकल्पों के साथ तुलना करते हैं।
| $p$ | $q$ | $q \rightarrow p$ | $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ |
|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
कथन $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ एक पुनरुक्ति (tautology) है।
अब,विकल्प $B$ की जाँच करें: $p \rightarrow (p \vee q)$।
| $p$ | $q$ | $p \vee q$ | $p \rightarrow (p \vee q)$ |
|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
चूंकि $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ और $p \rightarrow (p \vee q)$ दोनों ही पुनरुक्ति हैं,इसलिए वे तार्किक रूप से समतुल्य हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) कथन $p \vee (q \rightarrow \sim r)$ का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हैं: $\sim(p \vee (q$ $\rightarrow \sim r)) \equiv \sim p \wedge \sim(q$ $\rightarrow \sim r)$.
तार्किक तुल्यता $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ का उपयोग करने पर,हमें $\sim(q \rightarrow \sim r) \equiv q \wedge \sim(\sim r)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sim(\sim r) \equiv r$,इसलिए व्यंजक $q \wedge r$ में सरल हो जाता है।
अतः,अंतिम निषेध $\sim p \wedge (q \wedge r)$ है।

(C) $n^2+n = n(n+1)$ दो क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है,जो हमेशा सम होता है। अतः,$p$ सत्य है।
$n^2-n = n(n-1)$ भी दो क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है,जो हमेशा सम होता है। अतः,$q$ असत्य है।
अब,सत्यता मानों का मूल्यांकन करने पर:
$p \wedge q = T \wedge F = F$
$p \vee q = T \vee F = T$
$p$ $\rightarrow q = T$ $\rightarrow F = F$
अतः,सत्यता मान $F, T, F$ हैं।

(B) मान लीजिए $p$ कथन है "भुगतान किया जाता है" और $q$ कथन है "कार्य समय पर पूरा हो जाता है"।
दिया गया कथन $p \leftrightarrow q$ है।
हम जानते हैं कि द्वि-प्रतिबंधात्मक कथन का निषेध $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ होता है।
इसका अर्थ है: "भुगतान किया जाता है और कार्य समय पर पूरा नहीं होता है,या भुगतान नहीं किया जाता है और कार्य समय पर पूरा हो जाता है"।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(A) एक कथन पैटर्न एक विरोधाभास है यदि इसके घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए इसका सत्य मान हमेशा असत्य $(c)$ होता है।
$S_3 \equiv (\sim p \wedge q) \wedge (\sim q)$ के लिए:
$S_3 \equiv \sim p \wedge (q \wedge \sim q)$ [साहचर्य नियम]
$S_3 \equiv \sim p \wedge c$ [चूंकि $q \wedge \sim q \equiv c$]
$S_3 \equiv c$ [चूंकि कोई भी कथन $\wedge c \equiv c$]
चूंकि $S_3$ एक विरोधाभास है,इसलिए विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया व्यंजक $p \rightarrow (q \vee r)$ है।
तार्किक समतुल्यता $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करने पर:
$p \rightarrow (q \vee r) \equiv \sim p \vee (q \vee r)$
वियोजन के साहचर्य नियम (associative law) द्वारा:
$\equiv (\sim p \vee q) \vee (\sim p \vee r)$
दोनों भागों पर पुन: निहितार्थ (implication) की परिभाषा $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ लागू करने पर:
$\equiv (p$ $\rightarrow q) \vee (p$ $\rightarrow r)$

(C) हम तर्क के नियमों का उपयोग करके दिए गए व्यंजक को सरल बनाते हैं:
$(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q) \vee (r \wedge \sim q)$
पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$\equiv \{(p \vee \sim p) \wedge q\} \vee (r \wedge \sim q)$
चूंकि $(p \vee \sim p) \equiv t$ (पुनरुक्ति):
$\equiv (t \wedge q) \vee (r \wedge \sim q)$
$\equiv q \vee (r \wedge \sim q)$
वितरण नियम $A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ लागू करने पर:
$\equiv (q \vee r) \wedge (q \vee \sim q)$
चूंकि $(q \vee \sim q) \equiv t$:
$\equiv (q \vee r) \wedge t$
$\equiv q \vee r$

(A) $p \rightarrow q$ के रूप वाले कथन का प्रतिधनात्मक कथन $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$p$ है '$A \subseteq B$ और $B \subseteq D$' और $q$ है '$A \subseteq C$'।
निषेध $\sim q$ है '$A \nsubseteq C$'।
निषेध $\sim p$ है '$\sim(A \subseteq B \text{ और } B \subseteq D)$',जो डी मॉर्गन के नियम के अनुसार '$A \nsubseteq B$ या $B \nsubseteq D$' है।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: यदि $A \nsubseteq C$,तो $A \nsubseteq B$ या $B \nsubseteq D$।

(C) दिया गया है कि $(p \wedge \sim r) \rightarrow (\sim p \vee q)$ का सत्यता मान $F$ है।
एक निहितार्थ $A \rightarrow B$ केवल तब $F$ होता है जब $A$ का मान $T$ हो और $B$ का मान $F$ हो।
अतः,$(p \wedge \sim r)$ का मान $T$ है और $(\sim p \vee q)$ का मान $F$ है।
$(p \wedge \sim r)$ के $T$ होने के लिए,$p$ का $T$ होना और $\sim r$ का $T$ होना आवश्यक है।
यदि $p$ का मान $T$ है,तो $\sim p$ का मान $F$ होगा।
$(\sim p \vee q)$ के $F$ होने के लिए,चूंकि $\sim p$ का मान $F$ है,इसलिए $q$ का भी $F$ होना आवश्यक है।
चूंकि $\sim r$ का मान $T$ है,इसलिए $r$ का मान $F$ होगा।
अतः,सत्यता मान $p = T, q = F, r = F$ हैं।

(D) '$\text{एक आदमी न तो खुश है और न ही अमीर है}$' कथन का अर्थ है कि आदमी खुश नहीं है $AND$ आदमी अमीर नहीं है।
प्रतीकात्मक रूप से,इसे $(\sim p \wedge \sim q)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$(\sim p \wedge \sim q) \equiv \sim(p \vee q)$।
अतः,सही प्रतीकात्मक रूप $\sim(p \vee q)$ है।

(A) हमें $\sim s \vee (\sim r \wedge s)$ का निषेध ज्ञात करना है।
माना $P = \sim s \vee (\sim r \wedge s)$ है।
इसका निषेध $\sim P = \sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s))$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$:
$\sim P \equiv \sim (\sim s) \wedge \sim (\sim r \wedge s)$।
द्वि-निषेध नियम $\sim (\sim s) \equiv s$ और डी मॉर्गन के नियम $\sim (A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$ का उपयोग करते हुए:
$\sim P \equiv s \wedge (\sim (\sim r) \vee \sim s)$।
इसे और सरल करने पर:
$\sim P \equiv s \wedge (r \vee \sim s)$।
वितरण नियम $A \wedge (B \vee C) \equiv (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ का उपयोग करते हुए:
$\sim P \equiv (s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$।
चूंकि $(s \wedge \sim s) \equiv F$ (एक विरोधाभास):
$\sim P \equiv (s \wedge r) \vee F \equiv s \wedge r$।

(D) कथन पैटर्न $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम एक सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $p \leftrightarrow \sim q$ | $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ | $p \leftrightarrow q$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
सत्यता सारणी से,हम देखते हैं कि $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ के लिए कॉलम $(p \leftrightarrow q)$ के कॉलम के समान है।
अतः,कथन पैटर्न $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$,$(p \leftrightarrow q)$ के समतुल्य है।

(A) सबसे पहले,कथनों के सत्यता मान निर्धारित करें:
$P: 11$ एक अभाज्य संख्या है,जो $T$ (सत्य) है।
$Q: 7$,$176$ का एक गुणनखंड है। चूँकि $176 \div 7 = 25.14$,$7$ गुणनखंड नहीं है,इसलिए $Q$ का मान $F$ (असत्य) है।
$R$: $3$ और $7$ का ल.स.प. $21$ है,जो $T$ (सत्य) है।
अब,विकल्पों का मूल्यांकन करें:
विकल्प $A$: $P \vee (\sim Q \wedge R) \equiv T \vee (\sim F \wedge T) \equiv T \vee (T \wedge T) \equiv T \vee T \equiv T$.
विकल्प $B$: $(\sim P) \wedge (\sim Q \wedge R) \equiv F \wedge (T \wedge T) \equiv F \wedge T \equiv F$.
विकल्प $C$: $(P \wedge Q) \vee (\sim R) \equiv (T \wedge F) \vee F \equiv F \vee F \equiv F$.
विकल्प $D$: $(\sim P) \vee (Q \wedge R) \equiv F \vee (F \wedge T) \equiv F \vee F \equiv F$.
अतः,विकल्प $A$ में दिया गया कथन सत्य है।

(D) माना कि $p$ कथन 'मैं अध्ययन करता हूँ' है और $q$ कथन 'मैं असफल हो जाता हूँ' है।
दिया गया कथन $p \vee q$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,वियोजन का निषेध $\sim(p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$ होता है।
यहाँ,$\sim p$ का अर्थ है 'मैं अध्ययन नहीं करता हूँ' और $\sim q$ का अर्थ है 'मैं असफल नहीं होता हूँ'।
अतः,निषेध 'मैं अध्ययन नहीं करता हूँ और मैं असफल नहीं होता हूँ' है।

(B) प्रत्येक कथन का विश्लेषण करते हैं:
$S_1: \sim(p \rightarrow \sim q) \equiv p \wedge \sim(\sim q) \equiv p \wedge q$. अतः,$S_1$ सही है।
$S_2: (p \wedge q) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \wedge q) \wedge \sim(p \wedge q)$,जो एक व्याघात है,पुनरुक्ति नहीं।
$S_3: [p \wedge (p$ $\rightarrow \sim q)]$ $\rightarrow q$ एक नैमित्तिक है,व्याघात नहीं।
$S_4: p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ एक पुनरुक्ति है,नैमित्तिक नहीं।
इसलिए,केवल $S_1$ सही है।

(B) प्रतिबंधात्मक कथन $p \rightarrow (\sim p \vee q)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती $p$ सत्य हो और परिणामी $(\sim p \vee q)$ असत्य हो।
चूंकि $p$ सत्य है,इसलिए $\sim p$ असत्य है।
वियोजन $(\sim p \vee q)$ के असत्य होने के लिए,$\sim p$ और $q$ दोनों का असत्य होना आवश्यक है।
चूंकि $\sim p$ पहले से ही असत्य है,इसलिए $q$ को असत्य होना चाहिए।
अतः,$p$ सत्य है और $q$ असत्य है।

(B) दिया गया है कि $p = F$ और $q = F$ है।
चरण $1$: $(\sim p \vee q) \leftrightarrow \sim(p \wedge q)$ का मूल्यांकन करें
$\sim p = \sim F = T$
$\sim p \vee q = T \vee F = T$
$p \wedge q = F \wedge F = F$
$\sim(p \wedge q) = \sim F = T$
अतः,$(\sim p \vee q) \leftrightarrow \sim(p \wedge q) = T \leftrightarrow T = T$ है।
चरण $2$: $\sim p \leftrightarrow (p \rightarrow \sim q)$ का मूल्यांकन करें
$\sim p = T$
$\sim q = \sim F = T$
$p$ $\rightarrow \sim q = F$ $\rightarrow T = T$
अतः,$\sim p \leftrightarrow (p \rightarrow \sim q) = T \leftrightarrow T = T$ है।
इस प्रकार,सत्यता मान $T, T$ हैं।

(C) एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का विलोम (converse) $q \rightarrow p$ के रूप में परिभाषित होता है।
इस मामले में,मान लें कि $p$ है 'चतुर्भुज $ABCD$ एक वर्ग है' और $q$ है 'चतुर्भुज $ABCD$ की सभी भुजाएँ समान हैं'।
कथन $I$ है $p \rightarrow q$।
कथन $II$ है $q \rightarrow p$।
इसलिए,कथन $II$,कथन $I$ का विलोम है।

(D) सबसे पहले,हम दिए गए कथनों के सत्य मान निर्धारित करते हैं:
$p: 25$ एक अभाज्य संख्या है। चूंकि $25 = 5 \times 5$,यह एक भाज्य संख्या है। अतः,$p \equiv F$.
$q: 14$ एक भाज्य संख्या है। चूंकि $14 = 2 \times 7$,यह एक भाज्य संख्या है। अतः,$q \equiv T$.
$r: 64$ एक पूर्ण वर्ग संख्या है। चूंकि $64 = 8^2$,यह एक पूर्ण वर्ग है। अतः,$r \equiv T$.
अब,विकल्पों की जांच करने पर:
$D: \sim p \vee (q \wedge r) \equiv \sim F \vee (T \wedge T) \equiv T \vee T \equiv T$.

(A) एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का प्रतिलोम $\sim p \rightarrow \sim q$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिए गए कथन पैटर्न $(p \vee q) \rightarrow (p \wedge q)$ के लिए,हम $p$ को $(p \vee q)$ और $q$ को $(p \wedge q)$ मानते हैं।
परिभाषा लागू करने पर,प्रतिलोम $\sim(p \vee q) \rightarrow \sim(p \wedge q)$ प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करते हुए,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$ और $\sim(p \wedge q) \equiv (\sim p \vee \sim q)$ होता है।
अतः,प्रतिलोम $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow (\sim p \vee \sim q)$ है।

(A) सबसे पहले,कथन $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ पर विचार करें। यह $\neg p \vee (\neg q \vee p)$ के समतुल्य है,जो $(\neg p \vee p) \vee \neg q = T \vee \neg q = T$ में सरल हो जाता है। अतः,यह एक पुनरुक्ति है।
अगला,$p \rightarrow (p \vee q)$ पर विचार करें। यह $\neg p \vee (p \vee q)$ के समतुल्य है,जो $(\neg p \vee p) \vee q = T \vee q = T$ में सरल हो जाता है। अतः,यह भी एक पुनरुक्ति है।
अंत में,व्यंजक $[p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)]$ $\rightarrow [p$ $\rightarrow (p \vee q)]$ का मान $T \rightarrow T$ हो जाता है,जो $T$ है। इसलिए,यह कथन पैटर्न एक पुनरुक्ति है।

(C) मान लीजिए $p$ कथन है: "एक चतुर्भुज $ABCD$ एक समचतुर्भुज है".
मान लीजिए $q$ कथन है: "इसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर हैं".
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
$p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है,जिसका अर्थ है: "यदि एक चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ समांतर नहीं हैं,तो चतुर्भुज $ABCD$ एक समचतुर्भुज नहीं है".
$p \rightarrow q$ का विलोम $q \rightarrow p$ होता है,जिसका अर्थ है: "यदि एक चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ समांतर हैं,तो चतुर्भुज $ABCD$ एक समचतुर्भुज है".
अतः,विकल्प $C$ सही है.

(D) तार्किक व्यंजक $p \wedge (\sim p \vee \sim q)$ को सरल बनाने के लिए,हम तर्कशास्त्र के वितरण नियम (distributive law) का उपयोग करते हैं:
$p \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \wedge \sim p) \vee (p \wedge \sim q)$.
चूंकि $(p \wedge \sim p)$ एक व्याघात (contradiction) है,इसलिए यह $F$ (असत्य) के बराबर है।
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$F \vee (p \wedge \sim q) \equiv p \wedge \sim q$.
इस प्रकार,सही व्यंजक $p \wedge \sim q$ है।

(B) मान लीजिए $p$ कथन '$x \in A \cap B$' है और $q$ कथन '$x \in A \text{ and } x \in B$' है।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ के रूप में है।
प्रतिबंधात्मक कथन $p \rightarrow q$ का निषेध $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$p$ '$x \in A \cap B$' है और $\sim q$ '$x \in A \text{ and } x \in B$' का निषेध है,जो डी मॉर्गन के नियम के अनुसार '$x \notin A \text{ or } x \notin B$' है।
अतः,निषेध '$x \in A \cap B \text{ and } (x \notin A \text{ or } x \notin B)$' है।

(C) दिए गए कथन:
$p$: आज बारिश होती है
$q$: मैं स्कूल जा रहा हूँ
$r$: मैं अपने मित्र से मिलूँगा
$s$: मैं फिल्म देखने जाऊँगा
कथन है: "यदि (आज बारिश नहीं होती है या मैं स्कूल नहीं जाऊँगा),तो (मैं अपने मित्र से मिलूँगा और मैं फिल्म देखने जाऊँगा)।"
प्रतीकात्मक रूप में:
"आज बारिश नहीं होती है" का अर्थ है $\sim p$.
"मैं स्कूल नहीं जाऊँगा" का अर्थ है $\sim q$.
"मैं अपने मित्र से मिलूँगा" का अर्थ है $r$.
"मैं फिल्म देखने जाऊँगा" का अर्थ है $s$.
तार्किक संयोजकों का उपयोग करते हुए:
$(\sim p \vee \sim q) \rightarrow (r \wedge s)$
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim p \vee \sim q \equiv \sim(p \wedge q)$.
अतः,प्रतीकात्मक रूप $\sim(p \wedge q) \rightarrow (r \wedge s)$ है।

(D) तार्किक तुल्यता $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ का उपयोग करते हुए,
$(p \wedge q) \rightarrow (\sim p \vee r)$ का निषेध $(p \wedge q) \wedge \sim(\sim p \vee r)$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim(\sim p \vee r) \equiv p \wedge \sim r$।
अतः,$(p \wedge q) \wedge (p \wedge \sim r) \equiv p \wedge q \wedge (\sim r)$।

(C) दिया गया है: $p = T, q = T, r = F$.
प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करने पर:
$(A)$ $(p \vee q) \vee r \equiv (T \vee T) \vee F \equiv T \vee F \equiv T$.
$(B)$ $(p \wedge q)$ $\rightarrow r \equiv (T \wedge T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
$(C)$ $(p$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow q \equiv (T$ $\rightarrow F)$ $\rightarrow T \equiv F$ $\rightarrow T \equiv T$.
$(D)$ $(p \leftrightarrow q)$ $\rightarrow r \equiv (T \leftrightarrow T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
चूंकि प्रश्न में पूछा गया है कि कौन सा कथन सही है,और विकल्प $(C)$ का मान $T$ प्राप्त होता है,इसलिए विकल्प $(C)$ सही कथन है।

(C) एक सार्वभौमिक परिमाणक कथन $\forall x \in S, P(x)$ का निषेध $\exists x \in S$ इस प्रकार है कि $\neg P(x)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,कथन $\forall x \in \mathbb{R}, x^2+1=0$ है।
नियम लागू करने पर,निषेध $\exists x \in \mathbb{R}$ इस प्रकार है कि $x^2+1 \neq 0$ है।

(A) दिया गया तार्किक कथन: $(p$ $\rightarrow q) \wedge (p$ $\rightarrow \sim p)$
निहितार्थ नियम $a \rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ का उपयोग करते हुए:
$(p \rightarrow q) \equiv \sim p \vee q$
$(p \rightarrow \sim p) \equiv \sim p \vee \sim p \equiv \sim p$
अब,व्यंजक इस प्रकार है: $(\sim p \vee q) \wedge (\sim p)$
अवशोषण नियम का उपयोग करते हुए: $A \wedge (A \vee B) \equiv A$
यहाँ,$A = \sim p$ और $B = q$ लें।
अतः,$(\sim p) \wedge (\sim p \vee q) \equiv \sim p$
इसलिए,यह कथन $\sim p$ के समतुल्य है।

(B) दिया गया है: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
प्रथम व्यंजक $\sim(p \rightarrow q) \leftrightarrow (p \wedge s)$ के लिए:
$\sim(T \rightarrow T) \leftrightarrow (T \wedge F)$
$= \sim(T) \leftrightarrow (F)$
$= F \leftrightarrow F = T$.
द्वितीय व्यंजक $(\sim p \rightarrow q) \wedge (r \leftrightarrow s)$ के लिए:
$(\sim T \rightarrow T) \wedge (F \leftrightarrow F)$
$= (F \rightarrow T) \wedge (T)$
$= T \wedge T = T$.
अतः,सत्यता मान $T, T$ हैं.

(C) दिया गया है $p = T, q = T, r = F, s = F$.
$a : \sim (p \wedge \sim r) \vee (\sim q \vee s)$ के लिए:
$a \equiv \sim (T \wedge \sim F) \vee (\sim T \vee F)$
$a \equiv \sim (T \wedge T) \vee (F \vee F)$
$a \equiv \sim T \vee F$
$a \equiv F \vee F$
$a \equiv F$.
$b : (p \vee s) \leftrightarrow (q \wedge r)$ के लिए:
$b \equiv (T \vee F) \leftrightarrow (T \wedge F)$
$b \equiv T \leftrightarrow F$
$b \equiv F$.
अतः,$a$ और $b$ के सत्य मान क्रमशः $F$ और $F$ हैं।

(B) दिया गया व्यंजक: $(p \wedge q) \wedge [(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q)]$
वर्ग कोष्ठक के अंदर के पद पर वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q) \equiv (p \vee \sim p) \wedge q$
चूंकि $(p \vee \sim p) \equiv T$ (पुनरुक्ति),इसलिए:
$T \wedge q \equiv q$
इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(p \wedge q) \wedge q$
साहचर्य और वर्गसम नियमों का उपयोग करने पर:
$p \wedge (q \wedge q) \equiv p \wedge q$
अतः,व्यंजक $p \wedge q$ के समतुल्य है।

(D) हम दिए गए कथनों को तार्किक रूप में लिखते हैं:
$S_1 = p \rightarrow q$
$S_2 = p \rightarrow \sim q$
$S_3 = \sim p \vee q$
$S_4 = p \wedge q$
हम जानते हैं कि तार्किक तुल्यता $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ होती है।
इसे $S_1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $S_1 = p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ प्राप्त होता है।
चूंकि $S_3 = \sim p \vee q$,इसलिए $S_1 \equiv S_3$ है।