L'Hospital's rule and Limit of Indeterminate Form Questions in Hindi

(B) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt {3x - a} - \sqrt {x + a} }}{{x - a}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश का परिमेयकरण करते हैं:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt {3x - a} - \sqrt {x + a} }}{{x - a}} \times \frac{{\sqrt {3x - a} + \sqrt {x + a} }}{{\sqrt {3x - a} + \sqrt {x + a} }}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(3x - a) - (x + a)}}{{(x - a)(\sqrt {3x - a} + \sqrt {x + a})}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{2x - 2a}}{{(x - a)(\sqrt {3x - a} + \sqrt {x + a})}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{2(x - a)}}{{(x - a)(\sqrt {3x - a} + \sqrt {x + a})}}$
$= \frac{2}{{\sqrt {3a - a} + \sqrt {a + a}}} = \frac{2}{{\sqrt {2a} + \sqrt {2a}}} = \frac{2}{{2\sqrt {2a}}} = \frac{1}{{\sqrt {2a}}}$
वैकल्पिक रूप से,$L'\text{Hospital}$ नियम का उपयोग करते हुए:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{d}{{dx}}(\sqrt {3x - a} - \sqrt {x + a})}}{{\frac{d}{{dx}}(x - a)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{3}{{2\sqrt {3x - a} }} - \frac{1}{{2\sqrt {x + a} }}}}{1}$
$= \frac{3}{{2\sqrt {2a} }} - \frac{1}{{2\sqrt {2a} }} = \frac{2}{{2\sqrt {2a} }} = \frac{1}{{\sqrt {2a}}}$

(A) $L'Hospital$ नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\log x}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{d}{dx}(\log x)}}{{\frac{d}{dx}(x - 1)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{x}}}{1}$
$= \frac{1}{1} = 1$
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(A) चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,इसलिए $L'\text{Hospital's rule}$ का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\log \cos x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}(\log \cos x)}}{{\frac{d}{{dx}}(x)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{\cos x}} \cdot (-\sin x)}}{1}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (-\tan x)$
$= -\tan(0) = 0$

(B) दिया गया सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{\sqrt {f(x)} - 3}}{{\sqrt x - 3}}$ है।
चूंकि $f(9) = 9$,इसलिए $x \to 9$ पर यह $\frac{0}{0}$ का अनिर्धार्य रूप लेता है।
$L'\text{Hospital's rule}$ का उपयोग करके अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{f(x)} - 3)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x} - 3)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{f'(x) \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}}$.
$f(9) = 9$ और $f'(9) = 4$ का मान रखने पर:
$= \frac{f'(9) \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{f(9)}} = \frac{4 \cdot 3}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.

(B) $L$'$H$ôpital's rule का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x} - 1}}{{{{(1 + x)}^{1/2}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}({2^x} - 1)}}{{\frac{d}{{dx}}({{(1 + x)}^{1/2}} - 1)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x}\ln 2}}{{\frac{1}{2}{{(1 + x)}^{ - 1/2}}}}$
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{{{2^0}\ln 2}}{{\frac{1}{2}{{(1 + 0)}^{ - 1/2}}}} = \frac{{1 \cdot \ln 2}}{{\frac{1}{2}}} = 2\ln 2 = \ln({2^2}) = \ln 4$.

(A) हम जानते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ और $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} \times \frac{\sin x}{x} \right)$
$= \left( \mathop {\lim }\limits_{\sin x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} \right) \times \left( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \right)$
$= 1 \times 1 = 1$.
वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करते हुए:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^{\sin x} - 1)}{\frac{d}{dx}(x)}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\cos x \cdot e^{\sin x}}{1} = \cos(0) \cdot e^{\sin(0)} = 1 \cdot e^0 = 1$.

(B) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \sin x} - \sqrt {1 - \sin x} }}{x}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $L'Hospital$ नियम का उपयोग कर सकते हैं क्योंकि यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है।
अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
अंश: $\frac{d}{dx}(\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}) = \frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}} + \frac{\cos x}{2\sqrt{1-\sin x}}$
हर: $\frac{d}{dx}(x) = 1$
$x \to 0$ पर सीमा लेने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}} + \frac{\cos x}{2\sqrt{1-\sin x}} \right) = \frac{1}{2(1)} + \frac{1}{2(1)} = 1.$

(A) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \pi /4} \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\alpha - \pi /4}}$.
अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{2} \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right)$.
सीमा में मान रखने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \pi /4} \frac{\sqrt{2} \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right)}{\alpha - \frac{\pi}{4}}$.
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$L = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$.
वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \pi /4} \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(A) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \tan x \log \sin x$.
यह $\infty \times 0$ प्रकार का अनिर्धारित रूप है।
हम व्यंजक को $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{\log \sin x}{\cot x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$L'\text{Hospital's rule}$ लागू करने पर,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{\frac{d}{dx}(\log \sin x)}{\frac{d}{dx}(\cot x)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{\frac{1}{\sin x} \cos x}{-\csc^2 x}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{\cot x}{-\csc^2 x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} (-\cos x \sin x)$.
जैसे $x \to \frac{\pi }{2}$,$\cos x \to 0$ और $\sin x \to 1$.
अतः,$L = -(0 \times 1) = 0$.

(A) हमें $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /2} (\sec \theta - \tan \theta )$ का मान ज्ञात करना है।
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ और $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /2} \left( \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta} \right)$.
जब $\theta \to \pi /2$,तो यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है।
सर्वसमिका $1 - \sin \theta = \left( \cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} \right)^2$ और $\cos \theta = (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})(\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /2} \frac{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}} = \frac{\cos(\pi/4) - \sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)} = 0$.

(C) $L-Hospital$ नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan 2x - x}}{{3x - \sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}(\tan 2x - x)}}{{\frac{d}{{dx}}(3x - \sin x)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sec^2 2x - 1}}{{3 - \cos x}}$
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{{2\sec^2(0) - 1}}{{3 - \cos(0)}} = \frac{{2(1)^2 - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{2 - 1}}{2} = \frac{1}{2}$.

(B) त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos C - \cos D = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{D-C}{2} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos ax - \cos bx}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 \sin \left( \frac{ax+bx}{2} \right) \sin \left( \frac{bx-ax}{2} \right)}}{{{x^2}}}$
$= 2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin \left( \frac{a+b}{2}x \right)}{x} \right) \left( \frac{\sin \left( \frac{b-a}{2}x \right)}{x} \right)$
$= 2 \cdot \left( \frac{a+b}{2} \right) \cdot \left( \frac{b-a}{2} \right) = 2 \cdot \frac{b^2 - a^2}{4} = \frac{b^2 - a^2}{2}$
वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करते हुए:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos ax - \cos bx}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{-a \sin ax + b \sin bx}}{{2x}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{-a^2 \cos ax + b^2 \cos bx}}{2} = \frac{-a^2(1) + b^2(1)}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$

(A) हमें $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x \log (\sin x)$ का मान ज्ञात करना है।
जैसे $x \to 0^+$,$\sin x \to 0^+$,इसलिए $\log(\sin x) \to -\infty$।
यह $0 \times (-\infty)$ प्रकार का अनिर्धारित रूप है।
हम व्यंजक को $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\log(\sin x)}{1/x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x}{-1/x^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} -x^2 \cot x$।
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} -x \cdot (x \cot x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} -x \cdot \frac{x}{\tan x}$।
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$,इसलिए $L = 0 \cdot 1 = 0$।

(A) हम $\sin x$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हैं:
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$
इसे सीमा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots) - x + \frac{x^3}{6}}{x^5}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{x^5}{120} - \dots}{x^5}$
$= \frac{1}{120}$.

(A) हमें सीमा का मूल्यांकन करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{1}{x} - \frac{{\log (1 + x)}}{{{x^2}}}} \right]$.
पदों को एक भिन्न में संयोजित करें:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{x - \log (1 + x)}{{x^2}}} \right]$.
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है,हम $L'\text{Hospital}$ नियम लागू करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(x - \log (1 + x))}{\frac{d}{dx}(x^2)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{2x}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1+x-1}{1+x}}{2x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{2x(1+x)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{2(1+x)}$.
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2(1+0)} = \frac{1}{2}$.

(D) हमें सीमा का मूल्यांकन करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{{\sin x - \sin \alpha }}{{x - \alpha }}$.
यह $x \to \alpha$ पर $\frac{0}{0}$ प्रकार का अनिर्धारित रूप है।
$L'Hospital$ नियम लागू करने पर,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}(\sin x - \sin \alpha) = \cos x$
$\frac{d}{dx}(x - \alpha) = 1$
अतः,सीमा का मान:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{\cos x}{1} = \cos \alpha $ होगा।

(C) दी गई सीमा: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2x - \pi}{\cos x}$.
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ का रूप है,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$-Hospital नियम लागू करते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{\frac{d}{dx}(2x - \pi)}{\frac{d}{dx}(\cos x)}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2}{-\sin x}$
$x = \pi /2$ रखने पर:
$L = \frac{2}{-\sin(\pi /2)} = \frac{2}{-1} = -2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) $\sin x$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए:
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots) - x}{x^3}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots}{x^3}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (-\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \dots)$
$= -\frac{1}{6}$
वैकल्पिक रूप से,$L$-हॉस्पिटल नियम को तीन बार लागू करने पर समान परिणाम प्राप्त होता है।

(B) हमें सीमा का मूल्यांकन करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}\sin x}}$.
चूंकि यह $x \to 0$ पर $\frac{0}{0}$ रूप है,हम $L'\text{Hospital's rule}$ लागू करते हैं।
अंश का अवकलन: $\frac{d}{dx}(x\cos x - \sin x) = -x\sin x$.
हर का अवकलन: $\frac{d}{dx}(x^2\sin x) = 2x\sin x + x^2\cos x$.
अतः,सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2\sin x + x\cos x}$ हो जाती है।
पुनः $L'\text{Hospital's rule}$ लागू करने पर:
अंश का अवकलन: $-\cos x$.
हर का अवकलन: $3\cos x - x\sin x$.
सीमा का मान: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{-\cos x}{3\cos x - x\sin x} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$.

(C) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + x)}^{1/2}} - {{(1 - x)}^{1/2}}}}{x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम परिमेयकरण विधि या $L$-Hospital नियम का उपयोग कर सकते हैं।
विधि $1$: परिमेयकरण
अंश और हर को संयुग्मी $\frac{{{{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}}}}{{{{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}}}}$ से गुणा करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + x) - (1 - x)}}{{x({{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{x({{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{{{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}}}} = \frac{2}{{1 + 1}} = 1$.
विधि $2$: $L$-Hospital नियम
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,इसलिए अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}({{(1 + x)}^{1/2}} - {{(1 - x)}^{1/2}})}}{{\frac{d}{{dx}}(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{2}{{(1 + x)}^{ - 1/2}} - ( - \frac{1}{2}{{(1 - x)}^{ - 1/2}})}}{1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

(B) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} }}{{{{\sin }^{ - 1}}x}}$.
चूंकि रूप $\frac{0}{0}$ है,हम $L$-Hospital नियम लागू करते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}(\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} )}}{{\frac{d}{{dx}}({{\sin }^{ - 1}}x)}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}}$
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{1} = 1$.

(B) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{{\sqrt 2 \cos x - 1}}{{\cot x - 1}}$.
चूँकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम $L$-Hospital नियम लागू करते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{{\frac{d}{{dx}}(\sqrt 2 \cos x - 1)}}{{\frac{d}{{dx}}(\cot x - 1)}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{{-\sqrt 2 \sin x}}{{-\csc^2 x}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \sqrt 2 \sin x \sin^2 x = \sqrt 2 \sin^3 x$
$x = \pi /4$ रखने पर:
$L = \sqrt 2 \left( \frac{1}{{\sqrt 2 }} \right)^3 = \sqrt 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\cos x - \cos a}}{{\cot x - \cot a}}$
$x$ के सापेक्ष अंश और हर का अवकलन करके एल-हॉस्पिटल नियम लागू करने पर:
अंश: $\frac{d}{dx}(\cos x - \cos a) = -\sin x$
हर: $\frac{d}{dx}(\cot x - \cot a) = -\csc^2 x$
अतः,सीमा हो जाती है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{-\sin x}{-\csc^2 x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{\sin x}{\frac{1}{\sin^2 x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \sin^3 x$
$x \to a$ पर सीमा का मूल्यांकन करने पर: $\sin^3 a$.

(B) माना $y = x^x$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log y = x \log x$ प्राप्त होता है।
अब,$x \to 0^+$ के लिए सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \log y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} x \log x = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{\log x}{1/x}$.
एल-हॉपिटल नियम का उपयोग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} (-x) = 0$.
चूंकि $\log y \to 0$,इसलिए $y \to e^0 = 1$.
अतः,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} x^x = 1$.

(A) हमें $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{{x^2}}} - \cos x}}{{{x^2}}}$ का मान ज्ञात करना है।
${e^{{x^2}}}$ और $\cos x$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:
${e^{{x^2}}} = 1 + {x^2} + \frac{{{x^4}}}{{2!}} + \dots$
$\cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} - \dots$
इन मानों को सीमा में रखने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + {x^2} + \frac{{{x^4}}}{2} + \dots) - (1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{24}} - \dots)}}{{{x^2}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + \frac{{{x^2}}}{2} + O({x^4})}}{{{x^2}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 + \frac{1}{2} + O({x^2})) = \frac{3}{2}$.
वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{{x^2}}} - \cos x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x{e^{{x^2}}} + \sin x}}{{2x}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {e^{{x^2}}} + \frac{{\sin x}}{{2x}} \right)$
$= 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(D) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{x^{-1} - a^{-1}}{x - a}$.
चरण $1$: व्यंजक को सरल करें।
$\frac{x^{-1} - a^{-1}}{x - a} = \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{a}}{x - a} = \frac{\frac{a - x}{ax}}{x - a}$.
चरण $2$: भिन्न को सरल करें।
$\frac{-(x - a)}{ax(x - a)} = -\frac{1}{ax}$ (जहाँ $x \neq a$ है)।
चरण $3$: $x \to a$ सीमा लागू करें।
$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (-\frac{1}{ax}) = -\frac{1}{a(a)} = -\frac{1}{a^2}$.
वैकल्पिक रूप से,$L'\text{Hospital}$ नियम का उपयोग करते हुए:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{\frac{d}{dx}(x^{-1} - a^{-1})}{\frac{d}{dx}(x - a)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{-x^{-2}}{1} = -\frac{1}{a^2}$.

(C) हमें सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} (1 - \sin x)\tan x$ का मूल्यांकन करना है।
व्यंजक को इस प्रकार लिखें: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} (1 - \sin x) \frac{\sin x}{\cos x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{\sin x - \sin^2 x}{\cos x}$.
जैसे ही $x \to \frac{\pi }{2}$,व्यंजक $\frac{0}{0}$ का रूप लेता है,जो एक अनिर्धारित रूप है।
$L'\text{Hospital}$ नियम का उपयोग करते हुए:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{\frac{d}{dx}(\sin x - \sin^2 x)}{\frac{d}{dx}(\cos x)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{\cos x - 2\sin x \cos x}{-\sin x}$.
$x = \frac{\pi }{2}$ रखने पर:
$\frac{\cos(\frac{\pi }{2}) - 2\sin(\frac{\pi }{2})\cos(\frac{\pi }{2})}{-\sin(\frac{\pi }{2})} = \frac{0 - 2(1)(0)}{-1} = 0$.

(C) $L$-Hospital नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x + \log (1 - x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - \frac{1}{{1 - x}}}}{{2x}}$
पुनः $L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \sin x - \frac{1}{{{{(1 - x)}^2}}}}}{2} = \frac{{ - 0 - 1}}{2} = - \frac{1}{2}$.

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {\tan \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)} \right\}^{1/x}}$.
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $\tan(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$ प्राप्त होता है।
अतः,$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + \tan x}}{{1 - \tan x}}} \right)^{1/x}}$.
यह $1^\infty$ रूप है,इसलिए $L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1)}$.
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1 + \tan x - 1 + \tan x}{1 - \tan x})} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \tan x}{x(1 - \tan x)}}$.
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$,इसलिए $L = e^{2 \times 1 \times \frac{1}{1 - 0}} = e^2$.

(A) हमें सीमा दी गई है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\tan x}} - {e^x}}}{{\tan x - x}}$.
अंश से $e^x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}({e^{\tan x - x}} - 1)}}{{\tan x - x}}$.
सीमा के गुणधर्म $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \tan x - x$:
जैसे $x \to 0$,$u = \tan x - x \to 0$.
अतः,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e^x} \times \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = {e^0} \times 1 = 1 \times 1 = 1$.

(D) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{{a^x} + {b^x} + {c^x}}}{3}} \right)^{2/x}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{x} \ln \left( \frac{a^x + b^x + c^x}{3} \right)$.
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हैं:
$\ln y = 2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \ln \left( \frac{a^x + b^x + c^x}{3} \right)}{\frac{d}{dx} (x)}$.
$\ln y = 2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3}{a^x + b^x + c^x} \cdot \frac{a^x \ln a + b^x \ln b + c^x \ln c}{3}$.
जैसे ही $x \to 0$,$a^x, b^x, c^x \to 1$:
$\ln y = 2 \cdot \frac{1}{3} (\ln a + \ln b + \ln c) = \frac{2}{3} \ln(abc) = \ln((abc)^{2/3})$.
अतः,$y = (abc)^{2/3}$.

(A) हम सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } x^m (\log x)^n$ का मूल्यांकन करते हैं।
यह $0 \times \infty$ प्रकार का अनिर्धारित रूप है।
हम व्यंजक को $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{(\log x)^n}{x^{-m}}$ के रूप में लिखते हैं,जो $\frac{\infty}{\infty}$ रूप है।
$L'\text{Hospital's rule}$ को $n$ बार लागू करने पर,हम अंश और हर का बार-बार अवकलन करते हैं।
$n$ बार अवकलन करने के बाद,अंश एक स्थिरांक $n!$ बन जाता है और हर में $x$ की घात बनी रहती है।
परिणामस्वरूप,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{n! \cdot (-1)^n}{(-m)^n x^{-m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{n! \cdot (-1)^n x^m}{(-m)^n}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m > 0$ है,इसलिए जैसे ही $x \to 0^+$,$x^m \to 0$ होता है।
अतः,सीमा का मान $0$ है।

(A) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{\log x}{x^n}$ जहाँ $n > 0$.
चूंकि $x \to \infty$ होने पर यह $\frac{\infty}{\infty}$ रूप में है,हम $L$-Hospital नियम का उपयोग करके अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{\frac{d}{dx}(\log x)}{\frac{d}{dx}(x^n)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{\frac{1}{x}}{n x^{n-1}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{n x^n}$
जैसे-जैसे $x \to \infty$,$n > 0$ के लिए $x^n \to \infty$,इसलिए व्यंजक $0$ की ओर अग्रसर होता है।

(A) दिया गया सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\log (x - a)}}{{\log ({e^x} - {e^a})}}$ है।
चूंकि $x \to a^+$ पर यह $\frac{-\infty}{-\infty}$ के रूप में है,हम $L$'$H$ôpital नियम लागू करते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{\frac{1}{x-a}}{\frac{e^x}{e^x - e^a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{e^x - e^a}{(x-a)e^x}$.
यह अब $\frac{0}{0}$ के रूप में है। पुनः $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{e^x}{e^x + (x-a)e^x} = \frac{e^a}{e^a + 0} = 1$.

(B) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \left[ {x\tan x - \left( {\frac{\pi }{2}} \right)\sec x} \right]$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \left[ {x \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\pi}{2} \frac{1}{\cos x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2x \sin x - \pi}{2 \cos x}$
यह $x \to \pi/2$ पर $\frac{0}{0}$ अनिर्धार्य रूप में है।
अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{\frac{d}{dx}(2x \sin x - \pi)}{\frac{d}{dx}(2 \cos x)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2 \sin x + 2x \cos x}{-2 \sin x}$
$x = \pi/2$ रखने पर:
$L = \frac{2 \sin(\pi/2) + 2(\pi/2) \cos(\pi/2)}{-2 \sin(\pi/2)} = \frac{2(1) + \pi(0)}{-2(1)} = \frac{2}{-2} = -1$

(D) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x{e^x} - \log (1 + x)}}{{{x^2}}}$.
चूँकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम $L'\text{Hospital's rule}$ लागू करते हैं।
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}(x{e^x} - \log (1 + x))}}{{\frac{d}{{dx}}({x^2})}}$
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} + x{e^x} - \frac{1}{{1 + x}}}}{{2x}}$.
पुनः,यह $\frac{0}{0}$ रूप है,इसलिए फिर से $L'\text{Hospital's rule}$ लागू करने पर:
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}({e^x} + x{e^x} - \frac{1}{{1 + x}})}}{{\frac{d}{{dx}}(2x)}}$
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} + {e^x} + x{e^x} + \frac{1}{{{{(1 + x)}^2}}}}}{2}$
$x = 0$ रखने पर:
$y = \frac{{{e^0} + {e^0} + 0 \cdot {e^0} + \frac{1}{{{{(1 + 0)}^2}}}}}{2} = \frac{{1 + 1 + 0 + 1}}{2} = \frac{3}{2}$.

(D) माना $y = \lim_{x \to 3} \frac{x^3 - x^2 - 18}{x - 3}$.
$x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{27 - 9 - 18}{3 - 3} = \frac{0}{0}$ रूप प्राप्त होता है।
$L'\text{Hospital}$ नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y = \lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 2x}{1}$
$x = 3$ रखने पर:
$y = 3(3)^2 - 2(3) = 27 - 6 = 21$.

(D) हमें दिया गया सीमा है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\tan }^{ - 1}}x}}{x}$.
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप प्राप्त होता है।
$L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2}$ और $\frac{d}{dx}(x) = 1$.
अतः,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{1+x^2}$.
$x \to 0$ पर सीमा का मूल्यांकन करने पर,हमें $\frac{1}{1+0^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\cos x - \log (1 + x)}}{{{x^2}}}$,जो $\frac{0}{0}$ रूप में है।
$L'Hospital$ नियम लागू करने पर,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - x\sin x - \frac{1}{{1 + x}}}}{{2x}}$.
यह अभी भी $\frac{0}{0}$ रूप में है। पुनः $L'Hospital$ नियम लागू करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{-\sin x - (\sin x + x\cos x) + \frac{1}{{{{(1 + x)}^2}}}}}{2}$.
$x \to 0$ पर सीमा का मान रखने पर:
$= \frac{{-\sin(0) - (\sin(0) + 0 \cdot \cos(0)) + \frac{1}{{{{(1 + 0)}^2}}}}}{2} = \frac{{0 - 0 + 1}}{2} = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया सीमा $x \to 1$ के लिए $\frac{0}{0}$ के रूप में है।
$L'Hospital$ नियम लागू करने पर,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(1 + \log x - x)}{\frac{d}{dx}(1 - 2x + x^2)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{-2 + 2x}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1 - x}{x(-2 + 2x)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{-(x - 1)}{2x(x - 1)}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{-1}{2x} = -\frac{1}{2}$.

(D) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^{ - 1}}x - {{\tan }^{ - 1}}x}}{{{x^3}}}$,जो $\left( \frac{0}{0} \right)$ रूप में है।
$L'\text{Hospital}$ नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - \frac{1}{{1 + {x^2}}}}}{{3{x^2}}}$,जो अभी भी $\left( \frac{0}{0} \right)$ रूप में है।
पुनः $L'\text{Hospital}$ नियम का उपयोग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}} \left( (1 - {x^2})^{-1/2} - (1 + {x^2})^{-1} \right)}}{{6x}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{-\frac{1}{2}(1 - {x^2})^{-3/2}(-2x) - (-1)(1 + {x^2})^{-2}(2x)}}{{6x}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(1 - {x^2})^{-3/2} + 2x(1 + {x^2})^{-2}}}{{6x}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{6} \left[ (1 - {x^2})^{-3/2} + 2(1 + {x^2})^{-2} \right]$
$= \frac{1}{6} [1 + 2] = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया सीमा $x \to 0$ पर $\frac{0}{0}$ के रूप में है।
$L'Hospital$ नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\cos x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{\cos x}} \cdot (-\sin x)}}{{2x}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{-\tan x}}{{2x}}$
पुनः $L'Hospital$ नियम का उपयोग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{-\sec^2 x}}{2}$
$= \frac{{-1^2}}{2} = -\frac{1}{2}$.

(D) हमें सीमा का मूल्यांकन करना है: $\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \beta } \frac{{{{\sin }^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta }}{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}}$
चूंकि $\alpha \to \beta$ होने पर यह सीमा $\frac{0}{0}$ के अनिर्धारित रूप में है,हम $\alpha$ के सापेक्ष अंश और हर का अवकलन करके $L'\text{Hospital}$ नियम लागू करते हैं:
$\frac{d}{d\alpha} (\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta) = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$
$\frac{d}{d\alpha} (\alpha^2 - \beta^2) = 2\alpha$
अब,$\alpha \to \beta$ सीमा लेने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \beta } \frac{{\sin 2\alpha }}{{2\alpha }} = \frac{{\sin 2\beta }}{{2\beta }}$.

(B) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + \cos \pi x}}{{{{\tan }^2}\pi x}}$.
यह $\frac{0}{0}$ रूप है।
$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{-\pi \sin \pi x}}{{2 \tan \pi x \cdot \sec^2 \pi x \cdot \pi}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{-\sin \pi x}}{{2 \tan \pi x \cdot \sec^2 \pi x}}$
चूंकि $\tan \pi x = \frac{\sin \pi x}{\cos \pi x}$,इसलिए:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{-\cos^3 \pi x}}{2}$
$x = 1$ रखने पर:
$L = \frac{{-\cos^3 \pi}}{2} = \frac{{-(-1)^3}}{2} = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\log _e}(1 + x)}{{3^x - 1}}$
यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप में है।
$L'\text{Hospital}$ नियम का उपयोग करके अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[\log _e(1 + x)]}{\frac{d}{dx}[3^x - 1]} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x}}{3^x \log _e 3}$
$x = 0$ रखने पर:
$= \frac{\frac{1}{1 + 0}}{3^0 \log _e 3} = \frac{1}{1 \cdot \log _e 3} = \frac{1}{\log _e 3}$
$\frac{1}{\log _a b} = \log _b a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$= \log _3 e$.

(C) मान लीजिए $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{xf(2) - 2f(x)}}{{x - 2}}$.
अंश में $2f(2)$ जोड़ने और घटाने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{xf(2) - 2f(2) + 2f(2) - 2f(x)}}{{x - 2}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ \frac{f(2)(x - 2)}{x - 2} - 2\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} \right]$
$L = f(2) - 2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$
$L = f(2) - 2f'(2)$
दिया गया है कि $f(2) = 4$ और $f'(2) = 4$:
$L = 4 - 2(4) = 4 - 8 = -4$.

(A) हमें सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\log {x^n} - [x]}}{{[x]}}$ दी गई है।
इसे $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( \frac{{\log {x^n}}}{{[x]}} - \frac{{[x]}}{{[x]}} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
जैसे $x \to \infty,$ $[x] \approx x$ होता है।
अतः,$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\log {x^n}}}{{[x]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{n \log x}}{x} = 0.$
इस प्रकार,अंतिम मान $0 - 1 = -1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f(x)} - 1}}{{\sqrt x - 1}}$.
अंश और हर को $(\sqrt{f(x)} + 1)$ और $(\sqrt{x} + 1)$ से गुणा करने पर:
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(\sqrt{f(x)} - 1)(\sqrt{f(x)} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1}$
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f(x) - 1}{x - 1} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1}$
चूंकि $f(1) = 1$,हम $f(x) - 1$ को $f(x) - f(1)$ के रूप में लिख सकते हैं:
$y = \left( \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \right) \times \left( \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1} \right)$
$y = f'(1) \times \frac{\sqrt{1} + 1}{\sqrt{f(1)} + 1} = 2 \times \frac{2}{1 + 1} = 2 \times 1 = 2$.
वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2\sqrt{f(x)}} f'(x)}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f'(x) \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}} = \frac{f'(1) \sqrt{1}}{\sqrt{f(1)}} = \frac{2 \times 1}{1} = 2$.

(A) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{4^x} - {9^x}}}{{x({4^x} + {9^x})}}$. यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है।
$L'Hospital$ नियम का उपयोग करने पर:
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{4^x \ln 4 - 9^x \ln 9}{(4^x + 9^x) + x(4^x \ln 4 + 9^x \ln 9)}$
$x = 0$ रखने पर:
$y = \frac{\ln 4 - \ln 9}{2} = \frac{\ln(4/9)}{2} = \frac{\ln((2/3)^2)}{2} = \ln \left( \frac{2}{3} \right)$.

(A) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - {b^x}}}{{{e^x} - 1}}$.
विधि $1$: मानक सीमा का उपयोग करते हुए.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - {b^x}}}{{{e^x} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\frac{a^x - 1}{x} - \frac{b^x - 1}{x}}{\frac{e^x - 1}{x}} \right)$.
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{k^x - 1}{x} = \ln k$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\ln a - \ln b}{\ln e} = \ln \left( \frac{a}{b} \right)$.
विधि $2$: $L-Hospital$ नियम का उपयोग करते हुए.
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{a^x \ln a - b^x \ln b}{e^x} = \frac{a^0 \ln a - b^0 \ln b}{e^0} = \ln a - \ln b = \ln \left( \frac{a}{b} \right)$.